考研数学二（矩阵）模拟试卷1（共276题）

考研数学二（矩阵）模拟试卷1（共9套）（共276题）考研数学二（矩阵）模拟试卷第1套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设A为m×n阶矩阵，B为n×m阶矩阵，且m＞n，令r(AB)＝r，则()．A、r＞mB、r＝mC、r＜mD、r≥m标准答案：C知识点解析：显然AB为m阶矩阵，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B))≤n＜m，所以选C．2、设A为四阶非零矩阵，且r(A*)＝1，则()．A、r(A)＝1B、r(A)＝2C、r(A)＝3D、r(A)＝4标准答案：C知识点解析：因为r(A*)＝1，所以r(A)＝4－1＝3，选C．3、设A，B都是n阶矩阵，其中B是非零矩阵，且AB＝O，则()．A、r(B)＝nB、r(B)＜nC、A2－B2＝(A＋B)(A－B)D、｜A｜＝0标准答案：D知识点解析：因为AB＝O，所以r(A)＋r(B)≤n，又因为B是非零矩阵，所以r(B)≥1，从而r(A)＜n，于是｜A｜＝0，选D．4、设A，B分别为m阶和n阶可逆矩阵，则的逆矩阵为()．A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：A，B都是可逆矩阵，因为，所以，故选D．5、设则A，B的关系为()．A、B＝P1P2AB、B＝P2P1AC、B＝P2AP1D、B＝AP2P1标准答案：D知识点解析：P1＝E12，P2＝E23(2)，显然A首先将第2列的两倍加到第3列，再将第1及第2列对调，所以B＝AE23(2)E12＝AP2P1，选D．6、设，又P1＝，P2＝，则()．A、B＝P1AP2B、B＝P2AP1C、B＝P1-1AP1D、B＝P1-1AP2-1标准答案：D知识点解析：显然B＝＝P1AP2-1，因为P1-1＝P1，所以应选D．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)7、设A＝，则A-1＝_______．标准答案：知识点解析：设，则A＝．于是A-1＝．8、设A＝，则(A*)-1＝_______．标准答案：知识点解析：｜A｜＝10，因为A*＝｜A｜A-1，所以A*＝10A-1，故(A*)-1＝9、设A＝，则A(A－2E)-1＝_______．标准答案：知识点解析：10、设n阶矩阵A满早A2＋A＝3E，则(A－3E)-1＝_______．标准答案：－(A＋4E)知识点解析：由A2＋A－3E，得A2＋A－3E＝O，(A－3E)(A＋4E)＝－9E，(A－3E)[－(A＋4E)]＝E，则(A－3E)-1＝－(A＋4E)．11、设A＝，则＝_______．标准答案：知识点解析：令A＝(α1，α2，α3)，因为｜A｜＝2．所以A*A＝｜A｜E＝2E，而A*A＝(A*a1，A*α2，A*α3)，所以A*α1＝，A*α2＝，A*α1＝于是12、设n维列向量α＝(a，0，…，0，a)T，其中a＜0，又A＝E－ααT，B＝E＋ααT，且B为A的逆矩阵，则a＝_______．标准答案：－1知识点解析：由AB＝(E－aaT)(E＋ααT)＝E＋ααT－ααT－2aααT＝E且ααT≠O，得－1－2a＝0，解得a＝－113、设三阶矩阵A，B；满足关系A-1BA＝6A＋BA，且A＝，则B＝_______．标准答案：知识点解析：由A*BA＝6A＋BA，得A-1B＝6E＋B，于是(A-1－E)B＝6E14、设A是4×3阶矩阵且r(A)＝2，B＝，则r(AB)＝_______．标准答案：2知识点解析：因为｜B｜＝10≠0，所以r(AB)＝r(A)＝2．15、设A＝，B为三阶非零矩阵，且AB＝O，则r(A)＝_______．标准答案：2知识点解析：因为AB＝O，所以r(A)＋r(B)≤3，又因为B≠O，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)＝2．16、，则P12009P2-1＝_______．标准答案：知识点解析：P1＝＝E23，因为Eij-1＝Eij，所以Eij2＝E，于是P12009P2-1＝P1P2-1＝三、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)17、设n阶矩阵A满足A2＋2A－3E＝O．求：(1)(A＋2E)-1；(2)(A＋4E)-1．标准答案：(1)由A2＋2A－3E＝O得A(A＋2E)＝3E，A.(A＋2E)＝E，根据逆矩阵的定义，有(A＋2E)-1＝A．(2)由A2＋2A－3E＝O得(A＋4E)(A－2E)＋5E＝O，则(A＋4E)-1＝－(A－2E)．知识点解析：暂无解析18、设A为n阶矩阵，且Ak＝O，求(E－A)-1．标准答案：Ek－Ak＝(E－A)(E＋A＋A2＋…＋Ak-1)，又Ek－Ak＝E，所以(E－A)-1＝E＋A＋A2＋…＋Ak-1．知识点解析：暂无解析19、设A，B为n阶矩阵，(1)求P.Q；(2)证明：当P可逆时，Q也可逆．标准答案：PQ＝＝｜A｜｜B｜E2n(2)因为｜P｜＝｜A｜｜B｜，所以当P可逆时，｜A｜｜B｜≠0，而PQ＝｜A｜｜B｜E．即PQ＝E，于是Q可逆且Q-1＝P．知识点解析：暂无解析20、设A为n阶可逆矩阵，A2＝｜A｜E．证明：A＝A*．标准答案：因为AA*＝｜A｜E，又已知A2｜A｜E，所以AA*＝A2，而A可逆，故A＝A*．知识点解析：暂无解析21、设A为n阶矩阵，且A2－2A－8E＝O．证明：r(4E－A)＋r(2E＋A)＝n．标准答案：由A2－2A－8E＝O得(4E－A)(2E＋A)＝O，根据矩阵秩的性质得r(4E－A)＋r(2E＋A)≤n．又r(4E－A)＋r(2E＋A)≥r(4E－A)＋(2E＋A)]＝r(6E)＝n，所以有r(4E－A)＋r(2E＋A)＝n．知识点解析：暂无解析22、证明：若矩阵A可逆，则其逆矩阵必然唯一．标准答案：设存在可逆阵B，C，使得AB＝AC＝E，于是A(B－C)＝O，故r(A)＋r(B－C)≤n，因为A可逆，所以r(A)＝n，从而r(B－C)＝0，B－C＝O，于是B＝C，即A的逆矩阵是唯一的．知识点解析：暂无解析23、设A是m×n阶矩阵，若ATA＝O，证明：A＝O．标准答案：因为r(A)＝r(ATA)，而ATA＝O，所以r(A)＝0，于是A＝O．知识点解析：暂无解析考研数学二（矩阵）模拟试卷第2套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设n维行向量α＝(，0，…，0，)，A＝E－αTα，B＝E＋2αTα，则AB为()．A、0B、－EC、ED、E＋αTα标准答案：C知识点解析：由ααT＝，得AB＝(E－αTα)(E＋2αTα)＝E，选C．2、设A，B为n阶矩阵，则下列结论正确的是()．A、若A，B可逆，则A＋B可逆B、若A，B可逆，则AB可逆C、若A＋B可逆，则A－B可逆D、若A＋B可逆，则A，B都可逆标准答案：B知识点解析：若A，B可逆，则｜A｜≠0，｜B｜≠0，又｜AB｜＝｜A｜｜B｜，所以｜AB｜≠0，于是AB可逆，选B．3、设A，B为n阶对称矩阵，下列结论不正确的是()．A、AB为对称矩阵B、设A，B可逆，则A-1＋B-1为对称矩阵C、A＋B为对称矩阵D、kA为对称矩阵标准答案：A知识点解析：由(A＋B)T＝AT＋BT＝A＋B，得A＋B为对称矩阵；由(A-1＋B-1)T＝(A-1)T＋(B-1)T＝A-1B-1，得A-1＋B-1为对称矩阵；由(kA)T＝kAT＝kA，得kA为对称矩阵，选A．4、设A，B皆为n阶矩阵，则下列结论正确的是()．A、AB＝O的充分必要条件是A＝O或B＝OB、AB≠O的充分必要条件是A≠O且B≠OC、AB＝O且r(A)＝n，则B＝OD、若AB≠O，则｜A｜≠0或｜B｜≠0标准答案：C知识点解析：取A＝≠O，B＝≠O，显然AB＝O，故A、B都不对，取A＝，B＝，显然AB＝，但｜A｜＝0且｜B｜＝0，故D不对；由AB＝O得r(A)＋r(B)≤n，因为r(A)＝n，所以r(B)＝0，于是B＝O，所以选C．5、n阶矩阵A经过若干次初等变换化为矩阵B，则()．A、｜A｜＝｜B｜B、｜A｜≠｜B｜C、若｜A｜＝0则｜B｜＝0D、若｜A｜＞0则｜B｜＞0标准答案：C知识点解析：因为A经过若干次初等变换化为B，所以存在初等矩阵P1，…，Ps，Q1，…，Qt，使得B＝Ps…P1AQ1…Qt，而P1，…，Ps，Qs，…，Qt都是可逆矩阵，所以r(A)＝r(B)，若｜A｜＝0，即r(A)＜n，则r(B)＜n，即｜B｜＝0，选C．6、设A为m×n阶矩阵，C为，2阶矩阵，B＝AC，且r(A)＝r，r(B)＝r1，则()．A、r＞r1B、r＜r1C、r≥r1D、r与r1的关系依矩阵C的情况而定标准答案：C知识点解析：因为r1＝r(B)＝r(AC)≤r(A)＝r，所以选C．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)7、设A为n阶可逆矩阵(n≥2)，则[(A*)*]-1＝_______(用A*表示)．标准答案：知识点解析：由A*＝｜A｜A-1得(A*)*＝｜A*｜.(A*)-1＝｜A｜n-1.(｜A｜A-1)-1＝｜A｜n-1A，故[(A*)*]-1＝．8、设α＝(1，－1，2)T，β＝(2，1，1)T，A＝αβT，则An＝_______．标准答案：知识点解析：βTα＝3，A2＝αβT.αβT＝3αβT＝3A，则An＝3n-1A＝3n-19、A＝，且n≥2，则An－2An-1＝_______．标准答案：O知识点解析：由A2＝2A得An＝2n-1A，An-1＝2n-2A，所以An－2An-1＝O．10、设A＝，则(A＋3E)-1(A2一9E)＝_______．标准答案：知识点解析：(A＋3E)-1(A2－9E)＝(A＋3E)-1(A＋3E)(A－3E)＝A－3E＝11、A2－B2＝(A＋B)(A－B)的充分必要条件是_______．标准答案：AB＝BA知识点解析：A2－B2＝(A＋B)(A－B)＝A2＋BA－AB－B2的充分必要条件是AB＝BA．12、设A是三阶矩阵，且｜A｜＝4，则＝_______．标准答案：2知识点解析：＝｜2A-1｜＝23｜A-1｜＝2．13、设A为三阶矩阵，且｜A｜＝4，则＝_______．标准答案：知识点解析：由A*＝｜A｜A-1＝4A-1得14、设A为四阶矩阵，｜A*｜＝8，则｜－3A*｜＝_______．标准答案：8知识点解析：因为A为四阶矩阵，且｜A*｜＝，所以｜A*｜＝｜A｜3＝8，于是｜A｜＝2．又AA*＝｜A｜E＝2E，所以A*＝2A-1，故｜(A)-1＝3A*｜4A-1－6A-1｜＝(－2)A-1｜＝(－2)4｜A-1｜＝16×＝8．15、设A为三阶矩阵，且｜A｜＝3，则｜(－2A)*｜＝_______．标准答案：576知识点解析：因为(－2A)*＝(－2)2A*＝4A*，所以｜(－2A)*｜＝｜4A*｜＝43｜A｜2＝64×9＝576．16、设A＝，则A-1＝_______．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)17、设求(1)｜－2B｜；(2)AB－BA．标准答案：(1)｜－2B｜＝(－2)3｜B｜＝－8；则AB－BA＝知识点解析：暂无解析18、设A，B为n阶矩阵，且A2＝A，B2＝B，(A＋B)2＝A＋B．证明：AB＝O．标准答案：由A2＝A，B2＝B及(A＋B)2＝A＋B＝A2＋B2＋AB＋BA得AB＋BA＝O或AB＝－BA，AB＝－BA两边左乘A得AB＝－ABA，再在AB＝－BA两边右乘A得ABA＝－BA，则AB＝BA，于是AB＝O．知识点解析：暂无解析19、设AX＝A＋2X，其中A＝，求X．标准答案：由AX＝A＋2X得(A－2E)X＝A，其中A－2E＝因为｜A－2E｜＝－1≠0，所以X＝(A－2E)-1A，知识点解析：暂无解析20、设A＝，且AX＋｜A｜E＝A*＋X，求X．标准答案：由AX＋｜A｜E＝A*＋X得(A－E)X＝A*＝｜A｜E＝A*－AA*＝(E－A)A*，因为｜E－A｜＝－3≠0，所以E－A可逆，于是X＝－A*，由｜A｜＝6得X＝－6A-1，得A-1＝，于是X＝－6A-1＝知识点解析：暂无解析21、设四阶矩阵B满足(A*)-1BA-1＝2AB＋E，且A＝，求矩阵B．标准答案：｜A｜＝4，(÷A*)-1BA-1＝2AB＋E(｜A｜A-1)-1BA-1＝2AB＋EABA-1＝2AB＋EB＝2BA＋EB＝(E－2A)-1＝知识点解析：暂无解析22、设A，B满足A*BA＝2BA－8E，且A＝，求B．标准答案：由A*BA＝2BA－8E得AA*BA＝2ABA－8A，即－2BA＝2ABA－8A，整理得(A＋E)B＝4E，所以B＝4(A＋E)-1＝知识点解析：暂无解析23、设B＝，求B-1．标准答案：知识点解析：暂无解析24、设A＝(ai≠0，i＝1，2，…，n)，求A-1．标准答案：令B＝，C＝(an)，则A＝，从而A-1＝知识点解析：暂无解析考研数学二（矩阵）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设A，B均为n阶矩阵，则必有()A、｜A+B｜=｜A｜+｜B｜。B、AB=BA。C、｜AB｜=｜BA｜。D、(A+B)—1=A—1+B—1。标准答案：C知识点解析：因为｜AB｜=｜A｜｜B｜=｜B｜｜B｜=｜BA｜，所以C项正确。取B=一A，则｜A+B｜=0，而｜A｜+｜B｜不一定为零，故A项错误。由矩阵乘法不满足交换律知，B项不正确。因(A+B)(A—1+B—1)≠E，故D项也不正确。故选C。2、设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列等式中必定成立的是()A、(A+B)(A—B)=A2一B2。B、(A+B)—1=A—1+B—1。C、｜A+B｜=｜A｜+｜B2。D、(AB)*=B*A*。标准答案：D知识点解析：根据伴随矩阵的定义可知(AB)*=｜AB｜(AB)—1=｜A｜｜B｜B—1A—1=B*A*。故选D。3、设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。若A3=D，则()A、E一A不可逆，E+A不可逆。B、E—A不可逆，E+A可逆。C、E一A可逆，E+A可逆。D、E—A可逆，E+A不可逆。标准答案：C知识点解析：已知(E一A)(E+A+A2)=E—A3=E，(E+A)(E—A+A2)=E+A3=E，故E—A，E+A均可逆。故选C。4、设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则①若A可逆，则B可逆；②若B可逆，则A+B可逆；③若A+B可逆，则AB可逆；④A一E恒可逆。上述命题中，正确的个数为()A、1。B、2。C、3。D、4。标准答案：D知识点解析：由AB=A+B，有(A—E)B=A。若A可逆，则｜(A—E)B｜=｜A—E｜×｜B｜=｜A｜≠0，所以｜B｜≠0，即矩阵B可逆，从而①正确。同①类似，由B可逆可得出A可逆，从而AB可逆，那么A+B=AB也可逆，故②正确。因为AB=A+B，若A+B可逆，则有AB可逆，即③正确。对于④，用分组因式分解，即AB一A一B+E=E，则有(A—E)(B一E)=E，所以得A—E恒可逆，④正确。故选D。5、设A为n阶可逆矩阵，且n≥2，则(A—1)*=()A、｜A｜A—1。B、｜A｜A。C、｜A—1｜A—1。D、｜A—1｜A。标准答案：D知识点解析：根据伴随矩阵的定义可知(A—1)*=｜A—1｜(A—1)—1=｜A—1｜A。故选D。6、设则必有()A、AP1P2=B。B、AP2P1=B。C、P1P2A=B。D、P2P1A=B。标准答案：C知识点解析：由于对矩阵Am×n施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对Am×n作一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。经过观察A，B的关系可以看出，矩阵B是矩阵A先把第一行加到第三行上，再把所得的矩阵的第一、二两行互换得到的，这两次初等变换所对应的初等矩阵分别为题中条件的P2与P1。故选C。7、设n阶矩阵A，B等价，则下列说法中不一定成立的是()A、若｜A｜＞0，则｜B｜＞0。B、如果A可逆，则存在可逆矩阵P，使得PB=E。C、如果A与E合同，则｜B｜≠0。D、存在可逆矩阵P与Q，使得PAQ=B。标准答案：A知识点解析：两个矩阵等价的充要条件是两个矩阵的秩相同。当A可逆时，r(A)=n，所以r(B)=n，即B是可逆的，故B—1B=E，选项B成立。矩阵的合同是一种等价关系，若A与E合同，则r(A)=r(B)=n，由选项B可知，选项C成立。矩阵A，B等价的充要条件是存在可逆矩阵P与Q，使得PAQ=B，选项D成立。事实上，当｜A｜＞0(即A可逆)时，我们只能得到｜B｜≠0(即B可逆)。故选A。8、设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，若AB=E，则()A、r(A)=m，r(B)=m。B、r(A)=m，r(B)=n。C、r(A)=n，r(B)=m。D、r(A)=n，r(B)=n。标准答案：A知识点解析：因为AB=E，所以r(AB)=m。又r(AB)=m≤min{r(A)，r(B)}，即r(A)≥m，r(B)≥m，而r(A)≤m，r(B)≤m，所以r(A)=m，r(B)=m。故选A。二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)9、设α，β均为三维列向量，βT是β的转置矩阵，如果αβT=，则αβT=______。标准答案：5知识点解析：设α=(a1，a2，a3)T，β=(b1，b2，b3)T，则αβT=而有αTβ=(a1，a2，a3)=a1b1+a2b2+a3b3，可以看出αTβ就是矩阵αβT的主对角线元素的和，所以αTβ=1+6+(一2)=5。10、设α=(1，2，3)T，β=(1，，0)T，A=αβT，则A3=______。标准答案：知识点解析：A=αβT=，又因为βαT=，且矩阵的乘法满足结合律，所以A3=(αβT)(αβT)(αβT)=α(βTα)(βTα)βT=4αβT=4A=。11、设方阵A满足A2一A一2E=O，并且A及A+2E都是可逆矩阵，则(A+2E)—1=______。标准答案：一(A一3E)知识点解析：由A2一A一2E=O，可得(A+2E)(A一3E)=一4E，于是有(A+2E)—1(A+2E)(A一3E)=一4(A+2E)—1，因此(A+2E)—1=一(A一3E)。12、设A，B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知AB=2A+3B，A=，则(B一2E)—1=______。标准答案：知识点解析：利用已知条件AB=2A+3B，通过移、添加项构造出B一2E，于是有AB一2A—3B+6E=6E，则有(A一3E)(B一2E)=6E。从而(B一2E)—1=13、设矩阵A的伴随矩阵A*=，则A=______。标准答案：知识点解析：由AA*=｜A｜E可得A=｜A｜(A*)—1，对等式两端取行列式并结合已知条件，可得｜A*｜=一8=｜A｜3，因此｜A｜=一2，又所以A=｜A｜(A*)—1=14、已知，矩阵X满足A*X=A—1+2X，其中A*是A的伴随矩阵，则X=______。标准答案：知识点解析：左乘矩阵A，并把等式AA*=｜A｜E代入已知矩阵方程，得｜A｜X=E+2AX，移项可得(｜A｜E一2A)X=E，因此X=(｜A｜E一2A)—1。已知｜A｜=4，所以X=(4E一2A)—1=15、设三阶方阵A，B满足A—1BA=6A+BA，且，则B=______。标准答案：知识点解析：将A—1BA=6A+BA变形可得(A—1一E)BA=6A，即B=6(A—1一E)—1。又因为A—1=，A—1一E=，所以16、设矩阵，则A3的秩为______。标准答案：1知识点解析：依矩阵乘法直接计算得A3=故r(A3)=1。17、设A是4×3矩阵，且A的秩r(A)=2，而，则r(AB)=______。标准答案：2知识点解析：因为所以矩阵B可逆，因此r(AB)=r(A)=2。18、设，B是三阶非零矩阵，且AB=O，则a=______。标准答案：知识点解析：因为AB=O，则有r(A)+r(B)≤3，又已知矩阵B≠O，因此r(B)≥1，那么r(A)＜3，则行列式｜A｜=0。而所以。三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)19、已知，求An。标准答案：首先观察由此推测下面用数学归纳法证明此结论成立。当n=1时，结论显然成立；假设n=k时成立，则n=k+1时，Ak+1=Ak·A=由数学归纳法知知识点解析：暂无解析20、已知PA=BP，其中，求A2008。标准答案：｜P｜=6，则矩阵P可逆。由PA=BP，可得A=P—1BP，于是A2008=P—1B2008P。又因为B2008==E，所以A2008=P—1P=E。知识点解析：暂无解析设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明：21、若｜A｜=0，则｜A*｜=0；标准答案：假设｜A*｜≠0，则有A*(A*)—1=E。又因为AA*=｜A｜E，且｜A｜=0，故A=AE=AA*(A*)—1=｜A｜E(A*)—1=0，所以A*=O。这与｜A*｜≠0矛盾，故当｜A｜=0时，有｜A*｜=0。知识点解析：暂无解析22、｜A*｜=｜A｜n—1。标准答案：由于AA*=｜A｜E，两端同时取行列式得｜A｜｜A*｜=｜A｜n。当｜A｜≠0时，｜A*｜=｜A｜n—1；当｜A｜=0时，｜A*｜=0。综上，有｜A*｜=｜A｜n—1成立。知识点解析：暂无解析23、设A为n阶可逆矩阵，A*为A的伴随矩阵。证明(A*)T=(AT)*。标准答案：因为A可逆，所以｜A｜=｜AT｜，且AA—1=E。在AA—1=E两边同时取转置可得(A—1)TAT=E，即(AT)—1=(A—1)T，所以(A*)T=(｜A｜A—1)T=｜A｜(A—1)T=｜AT｜(AT)—1=(AT)*。知识点解析：暂无解析24、设A为n阶方阵，且n≥2。证明｜A*｜=｜(一A)*｜。标准答案：方法一：设A=(aij)，｜A｜中元素aij的代数余子式为Aij，则｜一A｜中一aij的代数余子式Bij=(一1)n—1Aij。于是，(一A)*=(一1)n—1A*。所以｜(一A)*｜=｜(一1)n—1A*｜=[(一1)n—1]n｜A*｜=｜A*｜。方法二：若A不可逆，则(一A)和A*也不可逆，从而(一A)*也不可逆，故｜A*｜=｜(一A)*｜=0。若A可逆，则由AA*=｜A｜E可得(一A)(一A)*=｜—A｜E，于是(一A)*=｜—A｜(一A)—1=(一1)n｜A｜·(一1)A—1=(一1)n—1A*，故有｜(一A)*｜=｜(一1)n—1A*｜=(一1)(n—1)n｜A*｜=｜A*｜。知识点解析：暂无解析已知A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式。证明：25、aij=Aij＜=＞ATA=E，且｜A｜=1；标准答案：当aij=Aij，有AT=A*，则ATA=A*A=｜A｜E。由于A*为n阶非零实矩阵(aij不全为零)，所以tr(ATA)=aij2＞0，tr(ATA)=tr(｜A｜E)=n｜A｜，故｜A｜＞0。在ATA=｜A｜E两边取行列式，得｜A｜n—2=1，从而｜A｜=1。反之，若ATA=E且｜A｜=1，则A*A=｜A｜E=ATA，于是AT=A*，即aij=Aij。知识点解析：暂无解析26、aij=一Aij＜=＞ATA=E，且｜A｜=一1。标准答案：当aij=一Aij时，有AT=一A*，则ATA=一A*A=一｜A｜E，此时n｜A｜tr(一ATA)=一aij2＜0，即｜A｜＜0。在ATA=一｜A｜E两边取行列式，得｜A｜=一1。反之，若ATA=E且｜A｜=一1，则A*A=｜A｜E=一E=一ATA=(一AT)A，于是AT=一A*，即aij=一Aij。知识点解析：暂无解析27、设矩阵A的伴随矩阵A*=，且ABA—1=BA—1+3E，其中E为四阶单位矩阵，求矩阵B。标准答案：AA*=A*A=｜A｜E，知｜A*｜=｜A｜n—1，因此有8=｜A*｜=｜A｜3，于是｜A｜=2。在等式ABA—1=BA—1+3E两边先右乘A，再左乘A*，得2B=A*B+3A*A，即(2E—A*)B=6E。于是B=6(2E—A*)—1=知识点解析：暂无解析28、已知矩阵A的伴随矩阵A*=diag(1，1，1，8)，且ABA—1=BA1+3E，求矩阵B。标准答案：在A*=｜A｜A—1两端取行列式可得｜A*｜=｜A｜4｜A—1｜=｜A｜3，因为A*=diag(1，1，1，8)，所以｜A*｜=8，即｜A｜=2。由ABA—1=BA—1+3E移项并提取公因式得(A—E)BA—1=3E，右乘A得(A—E)B=3A，左乘A—1得(E一A—1)B=3E。由已求结果｜A｜=2，知E—A—1=diag(1，1，1，1)一得(E—A—1)—1=因此B=3(E—A—1)—1=diag(6，6，6，—1)。知识点解析：暂无解析29、设A，B满足A*BA=2BA一8E，其中，求矩阵B。标准答案：｜A｜=一2，利用恒等式AA*=｜A｜E，在等式A*BA=2BA一8E两边同时左乘A右乘A—1得｜A｜B=2AB一8E，移项合并得(A+E)B=4E，则B=4(A+E)—1=知识点解析：暂无解析考研数学二（矩阵）模拟试卷第4套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设A，B，C都是n阶矩阵，满足B=E+AB，C=A+CA，则B-C为A、E．B、-E．C、A．D、-A．标准答案：A知识点解析：由B=E+AB得(E-A)B=E，由C=A+CA得C(E-A)=A，则C(E-A)B=AB，得C=ABR-C=E+AB-AB=E.2、A和B都是n阶矩阵．给出下列条件①是数量矩阵．②A和B都可逆．③(A+B)2=A2+2AB+B2．④AB=CE．⑤(AB)2=A2B2．则其中可推出AB=BA的有()A、①②③④⑤．B、①③⑤．C、①③④．D、①③．标准答案：D知识点解析：①和③的成立是明显的．②是不对的，如④AB=cE，在c≠0时可推出AB=BA，但是c=0时则推不出AB=BA．如⑤(AB)2=A2B2推不出AB=BA．对于④中的A和B，(AB)2和A2B2都是零矩阵，但是AB≠BA．3、设n维行向量α=，矩阵A=E-αTα，B=E+αTα，则AB=A、0．B、E．C、-E．D、E+αTα．标准答案：B知识点解析：AB=(E-αTα)(E+2αTα)=E+2αTα-αTα-2αTααTα=E+αTα-2αT(ααT)α．注意ααT=，故AB=E．应选(B)．4、设A是任一n阶矩阵，下列交换错误的是A、A*A=AA*．B、AmAP=ApAm．C、ATA=AAT．D、(A+E)(A-E)=(A-E)(A+E)．标准答案：C知识点解析：因为AA*=A*A=｜A｜E，AmAp=ApAm=Am+p，(A+E)(A-E)=(A-E)(A+E)=A2-E，所以(A)、(B)、(D)均正确．而AAT=，ATA=，故(C)不正确．5、设A，B，A+B，A-1+B-1均为n阶可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1=A、A+B．B、A-1+B-1．C、A(A+B)-1B．D、(A+B)-1．标准答案：C知识点解析：(A-1+B-1)-1=(EA-1+B-1)-1=(B-1BA-1+B-1)-1=[B-1(BA-1+AA-1)]-1=[B-1(B+A)A-1]-1=(A-1)-1(B+A)-1(B-1)-1=A(A+B)-1B．故应选(C)．6、设A，B均是忍阶矩阵，下列命题中正确的是A、AB=0A=0或B=0．B、AB≠0A≠0且B≠0．C、AB=0｜A｜=0或｜B｜=0．D、AB≠0｜A｜≠0且｜B｜≠0．标准答案：C知识点解析：A=≠0．B=≠0，但AB=0，所以(A)，(B)均不正确．又如A=，有AB≠0，但｜A｜=0且｜B｜=0．可见(D)不正确．由AB=0有｜AB｜=0，有｜A｜.｜B｜=0．故｜A｜=0或｜B｜=0．应选(C)．7、设A=P1=，P2=，P3=，则B=A、AP1P2．B、AP1P3．C、AP3P1．D、AP2P3．标准答案：B知识点解析：把矩阵A的第2列加至第1列，然后第1，3两列互换可得到矩阵B，表示矩阵A的第2列加至第1列，即AP1，故应在(A)、(B)中选择．而P3=表示第1和3两列互换，所以选(B)．二、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)8、若A=，则A2=________，A3=________．标准答案：知识点解析：A2=A3=A2A=9、若A=．则A*=________，(A*)*=________．标准答案：0知识点解析：用定义．A11=-3，A12=6，A13=-3，A21=6，A22=-12，A23=6，A31=-3，A32=6，A33=-3，故因为r(A*)=1，A*的二阶子式全为0，故(A*)*=0．10、设A=，则A-1=________．标准答案：知识点解析：利用和A-1=A*易见11、设矩阵A=，B=A2+5A+6E，则=________．标准答案：知识点解析：因B=(A+2E)(A+3E)，又=5B-1，故=5(A+3E)-1(A+2E)-112、设A是n阶矩阵，满足A2-2A+E=0，则(A+2E)-1=________．标准答案：(4E-A)知识点解析：由(A+2E)(A-4E)+9E=A2-2A+E=0有(A+2E).(4E-A)=E．所以(A+2E)-1=(4E-A)．13、若A=，则(A*)-1=________．标准答案：知识点解析：因为(A*)-1=所以(A*)-1=14、若A-1=，则(3A)*=________．标准答案：知识点解析：因为(kA)*=kn-1A*，故(3A)*=32A*，又A*=｜A｜A-1，而｜A-1｜=从而(3A)*=9A*=15、设A=不可逆，则x=_____．标准答案：4或-5知识点解析：A不可逆｜A｜=0．而=-8(x-4)(x+5)，故x=4或x=-5．16、设A，B均为3阶矩阵，且满足AB=2A+B，其中A=，则｜B-2E｜=________．标准答案：-2知识点解析：由AB-2A-B+2E=2E，有A(B-2E)-(B-2E)=2E，则(A-E)(B-2E)=2E．于是｜A-E｜.｜B-2E｜=｜2E｜=8，而｜A-E｜==-4．所以｜B-2E｜=-2．17、设A2-BA=E，其中A=，则B=________．标准答案：知识点解析：由于BA=A2-E，又A可逆，则有B=(A2-E)A-1=A-A-1．故18、设XA=AT+X，其中A=，则X=________．标准答案：知识点解析：由XA-X=AT有X(A-E)=AT，因为A可逆，知X与A-E均可逆．故X=AT(A-E)-1=19、已知A=，矩阵X满足A*X=A-1+2X，其中A*是A的伴随矩阵，则X=________标准答案：知识点解析：左乘A并把AA*=｜A｜E代入得｜A｜X=E+2AX，移项得(｜A｜E-2A)X=E．故X=(｜A｜E-2A)-1．由｜A｜=4知X=(4E-2A)-1=(2E-A)-1=三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)20、设A，b都是n阶矩阵，证明E-AB可逆E-BA可逆．标准答案：用线性方程组的克拉默法则．证明“”方向．设E-AB可逆，要证明E-BA可逆，为此只要证明齐次线性方程组(E-BA)X=0只有零解．设η是(E-BA)X=0的解，即η-BAη=0，则Aη-ABAη=0，即(E-AB)Aη=0，由于E-AB可逆，得Aη=0，再从η-BAη=0得η=0．证明完毕．知识点解析：暂无解析21、设A，B是3阶矩阵，A可逆，它们满足2A-1B=B-4E．证明A-2E可逆．标准答案：用A左乘2A-1B=B-4E两侧得2B=AB-4A，即(A-2E)B=4A．由A可逆，得A-2E可逆．知识点解析：暂无解析22、设n阶矩阵A，B满足AB=aA+bB．其中ab≠0，证明(1)A-bE和B-aE都可逆．(2)AB=BA．标准答案：(1)A-bE和B-aE都可逆(A-bE)(B-aE)可逆．直接计算(A-bE)(B-aE)．(A-bE)(B-aE)=AB-aA-bB+abE-abE．因为ab≠0，得(A-bE)(B-aE)可逆．(2)利用等式(A-bE)(B-aE)=abE，两边除以ab，得于是再两边乘ab，得(B-aE)(A-bE)=abE，即BA-aA-bE+abE=abE．BA=aA+bB=AB．知识点解析：暂无解析23、A，B都是n阶矩阵，并且B和E+AB都可逆，证明：B(E+AB)-1B-1=E-B(E+AB)-1A．标准答案：对此等式进行恒等变形：B(E+AB)-1B-1=E-B(E+AB)-1AB(E+AB)-1=B-B(E+AB)-1AB(用B右乘等式两边)B(E+AB)-1+B(E+AB)-1AB=BB(E+AB)-1(E+AB)=B．最后的等式显然成立．知识点解析：暂无解析24、设A，B都是对称矩阵，并且E+AB可逆，证明(E+AB)-1A是对称矩阵．标准答案：(E+AB)-1A对称，就是[(E+AB)-1A]T=(E+AB)-1A．[(E+AB)-1A]T=A[(E+AB)-1]T=A[(E+AB)T]-1=A(E+BA)-1．于是要证明的是(E+AB)-1A=A(E+BA)-1．对此式作恒等变形：(E+AB)-1A=A(E+BA)-1A=(E+AB)A(E+BA)-1(用E+AB左乘等式两边)A(E+BA)=(E+AB)A(用E+BA右乘等式两边)．等式A(E+BA)=(E+AB)A．显然成立，于是(E+AB)-1A=A(E+BA)-1成立．知识点解析：暂无解析25、设A，b都是n阶矩阵，使得A+B可逆，证明B(A+B)-1A=A(A+B)-1B．标准答案：两边都加A(A+E)-1A后，都等于A：B(A+E)-1A+A(A+B)-1A=(B+A)(A+B)-1A=A.A(A+B)-1B+A(A+B)-1A=A(A+B)-1(B+A)=A．因此B(A+B)-1A=A(A+B)-1B．知识点解析：暂无解析26、设A，B都是n阶矩阵，并且A是可逆矩阵．证明：矩阵方程AX=B和XA=B的解相同AB=BA．标准答案：AX=B的解为A-1B，XA=B的解为BA-1．AX=B和XA=B的解相同即A-1B=BA-1．作恒等变形：A-1B=BA-1B=ABA-1BA=AB．知识点解析：暂无解析27、设A=，求与A乘积可交换的所有矩阵．标准答案：与A乘积可交换的矩阵一定是2阶矩阵．设X=则AX=XA即：ax1+x3=ax1+x2，ax2+x4=x1，x1=ax3+x4，x2=x3，整理得x1，x2，x3，x4的齐次线性方程组解得通解为c1(a，1，1，0)T+c2(1，0，0，1)T，c1，c2任意．则与A乘积可交换的矩阵的一般形式为c1A+c2E，c1，c2任意．知识点解析：暂无解析28、(1)设A是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等．证明和A乘积可交换的一定是对角矩阵．(2)n阶矩阵C如果和任何n阶矩阵乘积可交换，则C必是数量矩阵．标准答案：(1)设B和A乘积可交换，要证明B是对角矩阵，即要说明B的对角线外的元素bij(i≠j)都为0设A的对角线元素为λ1，λ2，…，λn．则AB的(i，j)位元素为λibij，而BA的(i，j)位元素为λjbij.因为AB=BA，得aibij=λjbij．因为λi≠λj，所以bij=0．(2)先说明C一定是对角矩阵．由于C与对角线上元素两两不相等的n阶对角矩阵乘积可交换，由(1)的结论得出C是对角矩阵．再说明C的对角线元素c11，c22，…，cnn都相等．构造n阶矩阵A，使得其(i，j)位元素为1，i≠j，则CA的(i，j)位元素为cii，AC的(i，j)位元素为cjj．于是cii=cjj．这里的i，j是任意的，从而c11=c22=…=cnn．知识点解析：暂无解析29、设A-1=，求(A*)-1．标准答案：因为(A*)-1=A，知识点解析：暂无解析30、设A=，求An．标准答案：对矩阵A分块，记A=，则由r(B)=1，知B2=2B，Bn=2n-1B=而C=．于是有知识点解析：暂无解析31、设A，B均为n阶矩阵，E+AB可逆，化简(E+BA)[E-B(E+AB)-1A]．标准答案：(E+BA)[E-B(E+AB)-1A]=E+BA-E(E+AB)-1A-BAB(E+AB)-1A=E+BA-B(E+AB)(E+AB)-1A=E+BA-BA=E．知识点解析：暂无解析32、设A，B，C均为n阶矩阵，其中C可逆，且ABA=C-1，证明BAC=CAB．标准答案：由C可逆，知｜ABA｜≠0，故矩阵A，B均可逆．因ABAC=E，即A-1=BAC．又CABA=E，得A-1=CAB．从而BAC=CAB．知识点解析：暂无解析33、若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，则AB是反对称矩阵的充要条件是AB=BA．标准答案：因为AT=A，BT=-B，那么(AB)T=BTAT=-BA．若AB是反对称矩阵，则(AB)T=-AB，从而AB=BA．反之，若AB=BA，则(AB)T=-BA=-AB，即AB是反对称矩阵．知识点解析：暂无解析34、设A是n阶矩阵，Am=0，证明E-A可逆．标准答案：由Am=0，有E-Am=E．于是(E-A)(E+A+A2+…+Am-1)=E-Am=E．所以E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2+…+Am-1．知识点解析：暂无解析35、设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵P=其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．(Ⅰ)计算并化简PQ；(Ⅱ)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．标准答案：(Ⅰ)由AA*=A*A=｜A｜E及A*=｜A｜A-1有(Ⅱ)用拉普拉斯展开式及行列式乘法公式，有=｜A｜2(b-αTA-1α)．因为矩阵A可逆，行列式｜A｜≠0，故｜Q｜=｜A｜(b-αTA-1α)．由此可知，Q可逆的充分必要条件是b-αTA-1α≠0，即αTA-1α≠b．知识点解析：暂无解析36、设A是n阶实反对称矩阵，证明(E-A)(E+A)-1是正交矩阵．标准答案：[(E-A)(E+A)T][(E-A)(E+A)-1]T=(E-A)(E+A)-1[(E+A)-1]T(E-A)T=(E-A)(E+A)-1[(E+A)T]-1(E+A)=(E-A)(E+A)-1(E-A)-1(E+A)=(E-A)[(E-A)(E+A)]-1(E+A)=(E-A)[(E+A)(E-A)]-1(E+A)=(E-A)(E-A)-1(E+A)-1(E+A)=E．所以(E-A)(E+A)-1是正交矩阵．知识点解析：暂无解析考研数学二（矩阵）模拟试卷第5套一、选择题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)1、则A，B的关系为()．A、B＝P1P2AB、B＝P2P1AC、B＝P2AP1D、B＝AP2P1标准答案：D知识点解析：P1＝E12，P2＝E23(2)，显然A首先将第2列的两倍加到第3列，再将第1及第2列对调，所以B＝AE23(2)E12＝AP2P1，选D．2、设又，则()．A、B＝P1AP2B、B＝P2AP1C、B＝P2-1AP1D、B＝P1-1AP2-1标准答案：D知识点解析：显然B＝＝P1AP2-1，因为P1-1＝P1，所以应选D．3、设A是m×n阶矩阵，B是n×m阶矩阵，则()．A、当m＞n时，必有｜AB｜≠0B、当m＞n时，必有｜AB｜＝0C、当n＞m时，必有｜AB｜≠0D、当n＞m时，必有｜AB｜＝0标准答案：B知识点解析：AB为m阶矩阵，因为r(A)≤min{m，n}，r(B)≤min{m，n}，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)≤min{m，n}，故当m＞n时，r(AB)≤n＜m，于是｜AB｜＝0，选B．4、设A，B，A＋B，A-1＋B-1皆为可逆矩阵，则(A-1＋B-1)-1等于()．A、A＋BB、A-1＋B-1C、A(A＋B)-1BD、(A＋B)-1标准答案：C知识点解析：A(A＋B)-1B(A-1＋B-1)＝[(A＋B)A-1]-1(BA-1＋E)＝(BA-1＋＋E)-1(BA-1＋E)＝E，所以选C．5、设A，B都是n阶可逆矩阵，则()．A、(A＋B)*＝A*＋B*B、(AB)*＝B*A*C、(A－B)*＝A*－B*D、(A＋B)*一定可逆标准答案：B知识点解析：因为(AB)*＝｜AB｜(AB)-1＝｜A｜｜B｜B-1A-1＝｜B｜B-1.｜A｜A-1＝B*A*，所以选B．6、设A为n阶矩阵，k为常数，则(kA)*等于()．A、kA*B、knA*C、kn-1A*D、kn(n-1)A*标准答案：C知识点解析：因为(kA)*的每个元素都是kA的代数余子式，而余子式为，n－1阶子式，所以(kA)*＝kn-1A*，选C．7、设A为n阶矩阵，A2＝A，则下列成立的是()．A、A＝OB、A＝EC、若A不可逆，则A＝OD、若A可逆，则A＝E标准答案：D知识点解析：因为A2＝A，所以A(E－A)＝O，由矩阵秩的性质得r(A)＋r(E－A)＝n，若A可逆，则r(A)＝n，所以r(E－A)＝0，A＝E，选D．8、设A为m×n阶矩阵，且r(A)＝m＜n，则()．A、A的任意m个列向量都线性无关B、A的任意m阶子式都不等于零C、非齐次线仕方程组AX＝b一定有无穷多个解D、矩阵A通过初等行变换一定可以化为(EmO)标准答案：C知识点解析：显然由r(A)＝m＜n，得r(A)＝r()＝m＜n，所以方程组AX＝b有无穷多个解．故选C．9、设，若P1mAP2n＝，则m，n可取()．A、m＝3，n＝2B、m＝3，n＝5C、m＝2，n＝3D、m＝2，n＝2标准答案：B知识点解析：P1mA2nP＝经过了A的第1，2两行对调与第1，3两列对调，且Eij2＝E，P1nAP2n＝P1AP2，则m＝3，n＝5，即选B．10、设则B-1为()．A、A-1P1P2B、P1A-1P2C、P1P2A-1D、P2A-1P1标准答案：C知识点解析：B＝AE14E23或B＝AE23E14即B＝AP1P2或B＝AP2P1，所以B-1＝P2-1P1-1A-1或B-1＝P1-1P2-1A-1，注意到Eij-1＝Eij，于是B-1＝P2P1A-1或B-1＝P1P2A-1，选C．11、设P＝，Q为三阶非零矩阵，且PQ＝O，则()．A、当t＝6时，r(Q)＝1B、当t＝6时，r(Q)＝2C、当t≠6时，r(Q)＝1D、当t≠6时，r(Q)＝2标准答案：C知识点解析：因为Q≠O，所以r(Q)≥1，又由PQ＝O得r(P)＋r(Q)≤3，当t≠6时，r(P)≥2，则r(Q)≤1，于是r(Q)＝1，选C．二、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)12、设n阶矩阵A满足A2＋A＝3E，则(A－3E)-1＝_______．标准答案：－(A＋4E)知识点解析：由A2＋A＝3E，得A2＋A－3E＝O，(A－3E)(A＋4E)＝－9E，(A－3E)[－(A＋4E)]＝E，则(A－3E)-1＝－(A＋4E)．13、设A＝，则＝_______．标准答案：知识点解析：令A＝(α1，α2，α3)，因为｜A｜＝2，所以A*A＝｜A｜E＝2E，而A*A＝(A*α1，A*α2，A*α3)，14、设n维列向量α＝(a，0，…，0，a)T，其中a＜0，又A＝E－ααT，B＝E＋ααT，且B为A的逆矩阵，则a＝_______．标准答案：－1知识点解析：由AB＝(E－ααT)(E＋ααT)＝E＋ααT－ααT－2aααT＝E且ααT≠O，得－1－2a＝0，解得a＝－1．15、设三阶矩阵A，B满足关系A-1BA＝6A＋BA，且A＝，则B＝_______．标准答案：知识点解析：由A-1BA＝6A＋BA，得A-1B＝6E＋B，于是(A-1－E)B＝6E，B＝6(A-1－E)-1＝16、设A是4×3阶矩阵且r(A)－2，B＝，则r(AB)＝_______．标准答案：2知识点解析：因为｜B｜＝10≠0，所以r(AB)＝r(A)＝2．17、设A＝，B为三阶非零矩阵，且AB＝O，则r(A)＝_______．标准答案：2知识点解析：因为AB＝O，所以r(A)＋r(B)≤3，又因为B≠O，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)＝2．18、，则P12009P2-1＝_______．标准答案：知识点解析：P1＝＝E23，因为Eij-1＝Eij，所以Eij2＝E，于是19、设A，B都是三阶矩阵，A＝，且满足(A*)-1B＝ABA＋2A2，则B＝_______．标准答案：知识点解析：｜A｜＝－3，A*＝｜A｜A-1＝－3A-1，则(A*)-1B＝ABA＋2A2化为－AB＝ABA＋2A2，注意到A可逆，得－B＝BA＋2A或－B＝3BA＋6A，则B＝－6A(E＋3A)-1，20、设矩阵A，B满足A*BA＝2BA－8E，且A＝，则B＝_______．标准答案：知识点解析：由A*BA＝2BA－8E，得AA*BA－2ABA－8A，即＝2BA－2ABA－8A，于是－2B＝2AB－8E，(A＋E)B＝4E，所以B＝4(A＋E)-1＝21、＝_______．标准答案：知识点解析：因为Eij-1＝Eij，所以Eij2＝E，于是22、设A＝，B为三阶矩阵，r(B*)＝1且AB＝O，则t＝_______．标准答案：6知识点解析：因为r(B*)＝1，所以r(B)＝2，又因为AB＝O，所以r(A)＋r(B)≤3，从而r(A)≤1，又r(A)≥1，r(A)＝1，于是t＝6．23、设A＝，B≠O为三阶矩阵，且BA＝O，则r(B)＝_______．标准答案：1知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)24、证明：若矩阵A可逆，则其逆矩阵必然唯一．标准答案：设存在可逆阵B，C，使得AB＝AC＝E，于是A(B－C)＝O，故r(A)＋r(B－C)≤n，因为A可逆，所以r(A)＝n，从而r(B－C)＝0，B－C＝O，于是B＝C，即A的逆矩阵是唯一的．知识点解析：暂无解析25、设A是m×n阶矩阵，若ATA＝O，证明：A＝O．标准答案：因为r(A)＝r(ATA)，而ATA＝O，所以r(A)＝0，于是A＝O．知识点解析：暂无解析26、设A＝E＝ααT，其中α为n维非零列向量．证明：(1)A2＝A的充分必要条件是α为单位向量；(2)当α是单位向量时A为不可逆矩阵．标准答案：(1)令αTα＝k，则A2＝(E－ααT)(E－ααT)＝E－2ααT＋kααT，因为α为非零向量，所以ααT≠O，于是A2＝A的充分必要条件是k＝1，而αTα＝｜α｜2，所以A2＝A的充要条件是α为单位向量．(2)当α是单位向量时，由A2＝A得r(A)＋r(E－A)＝n，因为E－A＝ααT≠O，所以r(E－A)≥1，于是r(A)≤n－1＜n，故A是不可逆矩阵．知识点解析：暂无解析27、设A为n阶非奇异矩阵，α是n维列向量，b为常数，P＝，Q＝．(1)计算PQ；(2)证明PQ可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．标准答案：(1)(2)｜PQ｜＝｜A｜2(b－αTA-1α)，PQ可逆的充分必要条件是｜PQ｜≠0，即αTA-1α≠b．知识点解析：暂无解析28、设矩阵A满足(2E－C-1B)AT＝C-1，且求矩阵A．标准答案：由(2E－C-1B)AT＝C-1，得AT＝(2E－C-1B)-1C-1＝[C(2E－C-1B)]-1＝(2C－B)-1知识点解析：暂无解析29、设α，β是n维非零列向量，A＝αβT＋βαT．证明：r(A)≤2．标准答案：r(A)＝r(αβT＋βαT)≤r(αβT)＋r(βαT)，而r(αβT)≤r(α)＝1，r(βαT)≤r(β)＝1，所以r(A)≤r(αβT)＋r(βαT)≤2．知识点解析：暂无解析30、设α是n维单位列向量，A＝E－ααT．证明：r(A)＜n．标准答案：A2＝(E－ααT)(E－ααT)＝E－2ααT＋ααT.ααT，因为α为单位列向量，所以αTα＝1，于是A2＝A．由A(E－A)＝O得r(A)＋r(E－A)≤n，又由r(A)＋r(E－A)≥r[A＋(E－A)]＝r(E)＝n，得r(A)＋r(E－A)＝n．因为E－A＝ααT≠0，所以r(E－A)＝r(ααT)＝r(α)＝1，故r(A)＝n－1＜n．知识点解析：暂无解析31、设A为n阶矩阵，证明：r(A*)＝，其中n≥2．标准答案：AA*＝A*A＝｜A｜E．当r(A)＝n时，｜A｜≠0，因为｜A*｜＝｜A｜n-1，所以｜A*｜≠0，从而r(A*)＝n；当r(A)＝n－1时，由于A至少有一个n－1阶子式不为零，所以存在一个Mij≠0，进而Aij≠0，于是A*≠O，故r(A*)≥1，又因为｜A｜＝0，所以AA*＝｜A｜E＝O，根据矩阵秩的性质有r(A)＋r(A*)≤n，而r(A)＝n－1，于是得r(A*)≤1，故r(A*)＝1；当r(A)＜n－1时，由于A的所有n－1阶子式都为零，所以A*＝O，故r(A*)＝0．知识点解析：暂无解析32、设A为n阶矩阵，证明：r(A)＝1的充分必要条件是存在n维非零列向量α，β，使得A＝αβT．标准答案：设r(A)＝1，则A为非零矩阵且A的每行元素都成比例，故A＝αβT，显然α，β为非零向量．设A＝αβT，其中α，β为非零向量，则A为非零矩阵，于是r(A)≥1，又r(A)＝r(αβT)≤r(α)＝1，故r(A)＝1．知识点解析：暂无解析33、设A为n阶矩阵且，r(A)＝n－1．证明：存在常数k，使得(A*)2＝kA*．标准答案：因为r(A)＝n－1，所以r(A*)＝1，于是A*＝(b1…bn)其中为非零向量，故其中k＝aibi．知识点解析：暂无解析34、设A是n(n≥3)阶矩阵，证明：(A*)*＝｜A｜n-2A．标准答案：(A*)*A*＝｜A*｜E＝｜A｜n-1E，当r(A)＝n时，r(A*)＝n，A*＝｜A｜A-1，则(A*)*A*＝(A*)*｜A｜A-1＝｜A｜n-1E，故(A*)*＝｜A｜n-2A．当r(A)＝n－1时，｜A｜＝0，r(A*)＝1，r[(A*)*]＝0，即(A*)*＝O，原式显然成立．当r(A)＜n－1时，｜A｜＝0，r(A*)＝0，(A*)*＝O，原式也成立．知识点解析：暂无解析35、设A，B分别为m×n及n×s阶矩阵，且AB＝O．证明：r(A)＋r(B)≤n．标准答案：令B＝(β1，β2，…，βs)，因为AB＝O，所以B的列向量组β1，β2，…，βs为方程组AX＝0的一组解，而方程组AX＝0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为n－r(A)，所以向量组β1，β2，…，βs的秩不超过n－r(A)，又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等，因此r(B)≤n－r(A)，即，r(A)＋r(B)≤n．知识点解析：暂无解析考研数学二（矩阵）模拟试卷第6套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、两个4阶矩阵满足A2=B2，则A、A=B．B、A=-B．C、A=B或A=-B．D、｜A｜=｜B｜或｜A｜=-｜B｜．标准答案：D知识点解析：对A2=B2两边取行列式，得｜A｜2=｜B｜2｜A｜2-｜B｜2=0(｜A｜-｜B｜)(｜A｜+｜B｜)=0｜A｜-｜B｜=0或｜A｜+｜B｜=0即｜A｜=｜B｜或｜A｜=-｜B｜．2、设A是3阶矩阵，将A的第2行加到第1行上得B，将B的第1列的-1倍加到第2列上得C．则C=()．A、P-1AP．B、PAP-1．C、PTAP．D、PAPT．标准答案：B知识点解析：根据初等矩阵的有关性质，则B=PA，C=BP-1，得C=PA-1．3、设A为3阶矩阵，P=(α1，α2，α3)为3阶可逆矩阵，Q=(α1+α2，α2，α3)．已知PTAP=则QTAQ=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：显然关键是Q和P的关系．由矩阵分解，有Q=，则QT=PT．于是QTAQ=PTAP=QTAQ=4、设A是3阶可逆矩阵，交换A的1，2行得B，则A、交换A*的1，2行得到B*．B、交换A*的1，2列得到B*．C、交换A*的1，2行得到-B*．D、交换A*的1，2列得到-B*．标准答案：D知识点解析：B=因为A是可逆矩阵，所以B也可逆，则B*=｜B｜｜-1．｜B｜=｜A｜=-｜A｜，B*=A*于是B*=-A*得结论：交换A*的1，2列得到-B*．5、设矩阵A=(aij)3×3满足A*=AT，a11，a12，a13为3个相等的正数，则它们为A、B、3．C、1／3．D、标准答案：A知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)6、已知α1，α2都是3阶矩阵A的特征向量，特征值分别为-1和1，又3维向量α3满足Aα3=α2+α3.记P=(α1，α2，α3)，求P-1AP=________.标准答案：知识点解析：暂无解析7、已知α1，α2为2维列向量，矩阵A=(2α1+α2，α1-α2)，B=(α1，α2)．若｜A｜=6，｜B｜=_______．标准答案：-2知识点解析：暂无解析8、α1，α2，α3是线性无关的3维向量组，3阶矩阵A满足Aα1=α1+2α2，Aα2=α2+2α3，Aα3=α3+2α1．｜A｜=_____.标准答案：9知识点解析：暂无解析9、设3阶矩阵A的各行元素之和都为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T都是齐次线性方程组AX=0的解．A=______．标准答案：知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共26题，每题1.0分，共26分。)10、(1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB对角线元素就是A和B对应对角线元素的乘积．(2)证明上三角矩阵A的方幂Ak与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且Ak的对角线元素为a11k，a22k，…，a33k；f(A)的对角线元素为f(a11)，f(a22)，…，f(ann)．(a11，a22，…，ann是A的对角线元素．)标准答案：(1)方法一设A和B都是n阶上三角矩阵，C=AB，要说明C的对角线下的元素都为0，即i＞j时，cij=0．cij=A的第i个行向量和B的第j个列向量对应分量乘积之和．由于A和B都是n阶上三角矩阵，A的第i个行向量的前面i-1个分量都是0，B的第j个列向量的后面n-j个分量都是0，而i-1+n-j=n+(i-j-1)≥n，因此cij=0．cii=ai1b1i+…+aii-1bi-1i+aiibii+aii+1+bi+1i+…+ainbni=aiibii(ai1=…=aii-1=0，bi+1i=…=bni=0)．方法二设A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，C=(γ1，γ2，…，γn)．要证明每个γi下面的n-i个分量都是0．由(2．1)，γi=Aβi．而βi的下面n-i个分量都是0，于是用(2．2)γi=b1iα1+b2iα2+…+biiαi．则因为α1，α2，…，αi的下面n-i个分量都是0，所以γi的下面n-i个分量也都是0．并且γi的第i个分量是(C的一个对角线元素)ci=b1iai1+b2iai2+…+biiaii=aiibii．(因为ai1=ai2=…=aii-1=0．)(2)设A是上三角矩阵．由(1)，直接可得Ak是上三角矩阵，并且对角线元素为a11k，a22k，…，annk．设f(A)=amAm+am-1Am-1+…+a1A+a0E.aiAi都是上三角矩阵，作为它们的和，f(A)也是上三角矩阵．f(A)的对角线元素作为它们的对角线元素的和，是f(a11)，f(a22)，…，f(ann)．知识点解析：暂无解析11、n维向量α=(a，0，…，0，a)T，a＜0，A=E-ααT，A-1=E+a-1ααT，求a．标准答案：(E-ααT)(E+a-1ααT)=EE+a-1ααT-ααT-a-1ααTααT=Ea-1ααT-ααT-a-1ααTααT=0，(αTα=2a2)(a-1-1-2a)ααT=0，a-1-1-2a=0，(因为ααT不是零矩阵．)1-a-2a2=0，a=-1．知识点解析：暂无解析12、A=E-αβT，其中α，β都是n维非零列向量，已知A2=3E-2A，求αTβ．标准答案：A2=3E-2A，A2+2A-3E=0．(A+3E)(A-E)=0，(4E-αβT)(-αβT)=0，4αβT-αβTαβT=0，(βTα是数!)(4-βTα)αβT=0，(由于α，β都是非零列向量，αβT不是零矩阵)4-βTα=0，βTα=4，从而αTβ=βTα=4．知识点解析：暂无解析13、设A=αβT，其中α和β都是n维列向量，证明对正整数k，Ak=(βTα)k-1A=(tr(A))k-1A．(tr(A)是A的对角线上元素之和，称为A的迹数．)标准答案：Ak=(αβT)k=αβTαβT…αβTαβT=α(βTα)(βTα)…(βTα)βT=(βTα)k-1A．βαT=a1b1+a2b2+…+a2b2，而a1b1，a2b2，…，abnn正好的A=αβT的对角线上各元素，于是βTα=tr(A)，Ak=(tr(A))k-1A．知识点解析：暂无解析14、ααT=，求αTα．标准答案：(ααT)2=(αTα)ααT，计算(ααT)2==3ααT．得αTα=3．知识点解析：暂无解析15、设A=，求An．标准答案：A的秩为2，不符合例2．5注的条件，不能用例2．5的方法直接求A的方幂．我们先求A2．A2==2A．A2=2A即AA=2A，A在乘A上的作用相当于2乘A，于是An=An-1A=2n-1A．知识点解析：暂无解析16、求标准答案：记此矩阵为A．A2=A3==-2A．即A2A=-2A．则A2017=(A2)1008A=(-2)1008A=21008A．知识点解析：暂无解析17、设A=(1)证明当n＞1时An=An-2+A2-E．(2)求An．标准答案：(1)An=An-2+A2-E即A2-An-2=A2-E．An-2(A2-E)=A2-E．只要证明A(A2-E)=A2-E．此式可以直接检验：A(A2-E)==A2-E．(2)把An=An-2+A2-E作为递推公式求An．n是偶数2k时：A2k=A2k-2+A2-E=A2k+4+2(A2-E)=……=k(A2-E)+E．n是奇数2k+1时：A2k+1=AA2k=A[k(A2-E)+E]=k(A2-E)+A．知识点解析：暂无解析18、求标准答案：记此矩阵为A，记B=，则A=B+E．因为B和E乘积可交换，对A10=(B+E)10可用二项展开式：(B+E)10=C10iB10-i．注意矩阵B满足：B2=，而当n＞2时Bn是零矩阵．于是A10=C108B2+C109B+E=45B2+10B+E=.知识点解析：暂无解析19、3阶矩阵A，B满足ABA*=2BA*+E，其中A=，求｜B｜．标准答案：用A从右侧乘ABA*=2BA*+E的两边，得｜A｜AB=2｜A｜B+A，｜A｜(A-2E)B=A，两边取行列式｜A｜3｜A-2E｜｜B｜=｜A｜，知识点解析：暂无解析20、设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．求作矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B．标准答案：由于α1，α2，α3，线性无关，矩阵P=(α1，α2，α3)可逆，并且E=P-1(α1，α2，α3)=(P-1α1，P-1α2，P-1α3)，则P-1α1=(1，0，0)T，P-1α2=(0，1，0)T，P-1α3=(0，0，1)T，于是B=P-1AP=P-1A(α1，α2，α3)=P-1(α1+α2+α3，2α1+α3，2α2+α3，2α2+3α3)知识点解析：暂无解析21、A是3阶矩阵，α是3维列向量，使得P=(α，Aα，A2α)可逆，并且A3α=3Aα-2A2α．(1)求B，使得A=PBP-1．(2)求｜A+E｜．标准答案：(1)A=PBP-1即AP=PB或A(α，Aα，A2α)=(α，Aα，A2α)B．A(α，Aα，A2α)=(Aα，A2α，A3α)=(Aα，A2α，3A-2A2α)=(α，Aα，A2α)(矩阵分解法)(2)A+E=P(B+E)P-1．则｜A+E｜=｜P｜｜B+E｜｜P-1｜=｜B+E｜==-4．知识点解析：暂无解析22、设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)，｜A｜=1，B=(α1+α2+α3，α1+2α2+3α3，α1+4α2+9α3)，求｜B｜．标准答案：B=(α1+α2+α3，α1+2α2+3α3，α1+4α2+9α3)=(α1，α2，α3)｜B｜=｜α1，α2，α3｜=2．知识点解析：暂无解析23、已知标准答案：记α=(a1，a2，a3)T，β=(b1，b2，b3)T，γ=(c1，c2，c3)T，所求行列式相应的矩阵为：(λα+μβ，λβ+μγ，λγ+μα)．将它对(α，β，γ)做矩阵分解，得(λα+μβ，λβ+μγ，λγ+μα)=(α，β，γ)两边求行列式，得所求行列式的值：｜λα+μβ，λβ+μγ，λγ+μα｜=｜α，β，γ｜=3(λ3+μ3)．知识点解析：暂无解析24、设A，B和C都是n阶矩阵，其中A，B可逆，求下列2n阶矩阵的逆矩阵．标准答案：因为A，B都可逆，所以这几个矩阵都可逆．①的逆矩阵可用初等变换法计算：②的逆矩阵也可用初等变换法计算：③的逆矩阵用“待定系数法”计算：即设它的逆矩阵为，求Dij．由则BD21=0，得D21=0(因为B可逆)．BD22=E，得D22=B-1．AD11+CD21=E，即AD11=E，得D11=A-1．AD12+CD22=0，得D12=-A-1CB-1．④用③的方法，得知识点解析：暂无解析25、设3阶矩阵A=A-1XA=XA+2A，求X．标准答案：A-1XA=XA+2AA-1X=X+2EX=AX+2A(E-A)X=2A，用初等变换法解此基本矩阵方程：知识点解析：暂无解析26、矩阵A=，求解矩阵方程2A=XA-4X．标准答案：化2A=XA-4X得X(A-4E)=2A．用初等变换法解此矩阵方程：(AT-4E｜2AT)知识点解析：暂无解析27、4阶矩阵A，B满足ABA-1=BA-1+3E，已知A*=，求B．标准答案：用A右乘ABA-1=BA-1+3E的两边，得AB=B+3A；再用A*从左乘两边，得｜A｜B=A*B+3｜A｜E，由｜A*｜=8，得｜A｜=2，代入上式：(2E-A*)B=6E，用初等变换法求得知识点解析：暂无解析28、已知A=，XA+2B=AB+2X，求X2017．标准答案：由XA+2B=AB+2X化得：X(A-2E)=(A-2E)B，即X=(A-2E)B(A-2E)-1，则X2017=(A-2E)B2017(A-2E)-1=(A-2E)B(A-2E)-1=X，再从关于X的矩阵方程X(A-2E)=(A-2E)B用初等变换法求解X：((A-2E)T｜B(A-2E)T)=(AT-2E｜B(AT-2E))知识点解析：暂无解析29、设3阶矩阵A的各行元素之和都为2，向量α1=(-1，1，1)T，α2=(2，-1，1)T都是齐次线性方程组AX=0的解．求A．标准答案：令α3=(1，1，1)T，则Aα3=(2，2，2)T，建立矩阵方程：A(α1，α2，α3)=(0，0，2α3)，用初等变换法解得知识点解析：暂无解析30、设A是3阶矩阵，交换A的1，2列得B，再把B的第2列加到第3列上，得C．求Q，使得C=AQ．标准答案：用矩阵分解．记A=(α1，α2，α3)，则B=(α2，α1，α3)，C=(α2，α1，α1+α3)．于是知识点解析：暂无解析31、设A，B和C都是n阶矩阵，其中A，B可逆，求下列2n阶矩阵的伴随矩阵．标准答案：因为A，B都可逆，所以这几个矩阵都可逆．于是可利用公式A*=｜A｜A-1来求伴随矩阵．①=｜A｜｜B｜，②=(-1)n｜A｜｜B｜，③=｜A｜｜B｜，④=(-1)n｜A｜｜B｜，知识点解析：暂无解析32、设A是n阶非零实矩阵，满足A*=AT．证明｜A｜＞0．标准答案：把条件A*=AT写出，则aij=Aij，于是｜A｜=aijAij=aij2，(也可从AAT=AA*=｜A｜E，也可得到｜A｜=aij2，)由于A是实矩阵，其元素的平方≥0，又A有非0元素，得｜A｜＞0．知识点解析：暂无解析33、设A=(α1，α2，α3)，B=(β1，β2，β3)都是3阶矩阵．规定3阶矩