1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定课件高一上学期数学人教A版

全称量词命题与存在量词命题的否定安徽淮南第四中学2023.9

情

境

导

入

一位探险家被土人抓住,土人首领说:“如果你说真话,你将被烧死,说假话,将被五马分尸.”问题请问探险家该如何保命

知识点一

全称量词命题的否定

对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论:全称量词命题:∀x∈M,p(x),它的否定:

∃x∈M,

p(x)

⁠.也就是说,

全称量词⁠命题的否定是存在量词命题.全称量词知识点二

存在量词命题的否定

对含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论:存在量词命题:∃x∈M,p(x),它的否定:

∀x∈M,

p(x)

⁠.也就是说,存在量词命题的否定是

全称量词⁠命题.全称量词提醒

对全称量词命和存在量词命题进行否定,总结起来八个字“改变量词,否定结论”,从集合的角度来看,x的范围没有变,只是对量词改变且对结论进行了否定.一个命题和它的否定不能同时为真,也不能同时为假,只能一真一假.(1)一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作

“¬p

”，读作“非p”或“p的否定”．(2)如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然常见的否定词语一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，下面把常用的正面叙述的词语及它的否定列举如下：原词否定词原词否定词等于不等于至多一个至少两个大于不大于至少一个一个也没有小于不小于任意某个是不是所有的某些都是不都是或（且）且（或）题型一全称量词命题的否定例1.写出下列全称量词命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)∀a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有实数根；(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；(4)可以被5整除的整数，末位是0.(1)存在一个平行四边形，它的对边不都平行．(2)∃a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根．(3)∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．(4)存在被5整除的整数，末位不是0.练习.（多选）下列说法正确的是()A.若p：∀x＞3,x2-x-6＞0,则¬p

：∃x＞3,x2-x-6＜0,B.若p：∀x＞3,x2-x-6＞0,则¬p

：∃x＞3,x2-x-6≤0,C.若q：∃x≥1，x4≤2，则¬q

：∃x≥1，x4＞2，D.若q：∃x≥1，x4≤2，则¬q

：∀x≥1，x4＞2，对量词改变：任意改存在，存在改任意对结论进行否定，通常情况下用补集思想题型二存在量词命题的否定例2

写出下列命题的否定并判断真假:(1)p:∃a∈R,一次函数y＝x＋a的图象经过原点;¬p

：∀a∈R,一次函数y＝x＋a的图象不经过原点.因为当a＝0时,一次函数y＝x＋a的图象经过原点,¬p是假命题

(2)q:有的有理数没有倒数;¬q

：所有的有理数都有倒数.因为0为有理数且没有倒数,所以¬q为假命题.(多选)对下列命题进行否定,得到的新命题是全称量词命题且为真命题的有(

)A.∃x∈R,B.所有的正方形都是矩形C.∃x∈R,｜x｜＋2≤0D.至少有一个实数x,使x3＋1=0命题的否定是全称量词命题,则原命题为存在量词命题,故排除B选项.命题的否定为真命题,则原命题为假命题.又选项A、C中的命题为假命题,选项D中的命题为真命题,故选A、C.题型三根据命题的否定求参数范围例3命题“存在x＞1,使得2x＋a＜3”是假命题,求实数a的取值范围.解命题“存在x＞1,使得2x＋a＜3”是假命题,所以此命题的否定“任意x＞1,使得2x＋a≥3”是真命题,因为对任意x＞1,都有2x＋a＞2＋a,所以2＋a≥3,a≥1

已知命题p:∀x∈{x｜-3≤x≤2},都有x∈{x｜a-4≤x≤a＋5},且¬p是假命题,求实数a的取值范围.¬p是假命题即p是真命题,即∀x∈{x｜-3≤x≤2},x∈{x｜a-4≤x≤a＋5}成立,所以实数a的取值范围为{a｜-3≤a≤1}1.(多选)关于命题p:“∀x∈R,x2＋1≠0”的叙述,正确的是(

)A.¬p:∃x∈R,x2＋1＝0B.¬p:∀x∈R,x2＋1＝0C.p是真命题,¬p是假命题D.p是假命题,¬p是真命题命题p:“∀x∈R,x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R,x2＋1＝0”.所以p是真命题,¬p是假命题.2.(多选)下列说法正确的有(

)A.命题“∃x∈R,1＜y≤2”的否定是“∀x∈R,y≤1或y＞2”B.“至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立”是全称量词命题C.“∃x∈R,x-2＞

”是真命题D.“∀x∈R,x2＞0”的否定是真命题因为命题“∃x∈R,x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R,x2＋2x＋m＞0”,而命题“∃x∈R,x2＋2x＋m≤0”是假命题,则其否定“∀x∈R,x2＋2x＋m＞0”为真命题,所以两位同学题中m的取值范围是一致的.则Δ＝4-4m＜0,解得

m＞1.4.已知命题p:∃x＞0,x＋a-1＝0,若p为假命题,则实数a的取值范围是(

)A.{a｜a＜1}B.{a｜a≤1}C.{a｜a＞1}D.{a｜a≥1}∵p为假命题,∴¬p为真命题,即∀x＞0,x＋a-1≠0,即∀x＞0,x≠1-a,∴1-a≤0,则a≥1.∴实数a的取值范围是{a｜a≥1}.故选D.①方程3x-2y＝10有整数解;②∃x∈R,x≤0的否定为∀x∈R,x≤0;③∃n∈N*,使得n能被11整除;④∀x∈N,x2≥1的否定是∃x∈R,x2＜1.①③6.已知命题p:∀1≤x≤3,都有m≥x,命题q:∃1≤x≤3,使m≥x,若命题p为真命题,命题q的否定为假命题,求实数m的取值范围.¬q是假命题即q是真命题,命题p:∀1≤x≤3,都有m≥x,为真命题,则m≥xmax,即m≥3命题q:∃1≤x≤3,使m≥x,为真命题,则m≥xmin,即m≥1.因为命题p,q同时为真命题,故实数m的取值范围是m≥3.选条件①.由命题p为真,可得不等式x2-a≥0对于1≤x≤2恒成立.因为1≤x≤2,所以1≤x2≤4,所以a≤1.若命题q为真,则关于x的方程x2＋2x＋4a＝0有解,所以Δ＝22-16a≥0,解得又p,q都是