山东省烟台市中英文学校2023-2024学年高一下学期期末检测数学试题（含答案）

烟台市中英文学校2023-2024学年高一下学期期末检测数学一、单选题1．某地为了了解学生的睡眠时间，根据初中和高中学生的人数比例采用分层抽样，抽取了40名初中生和20名高中生，调查发现初中生每天的平均睡眠时间为8小时，方差为2，高中生每天的平均睡眠时间为7小时，方差为1.根据调查数据，估计该地区中学生睡眠时间的总体方差约为（

）A． B． C． D．2．甲中学的女排和乙中学的女排两队进行比赛，在一局比赛中甲中学女排获胜的概率是，没有平局．若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲中学的女排获胜的概率等于（

）A． B． C． D．3．设是三个不同平面，且，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知母线长为a的圆锥的侧面展开图为半圆，在该圆锥内放置一个圆柱，则当圆柱的侧面积最大时，圆柱的体积为（

）A． B． C． D．5．2016年至2023年我国原油进口数量如图所示：下列结论正确的是（

）A．2016年至2023年我国原油进口数量逐年增加B．2016年至2023年我国原油进口数量的极差为16138万吨C．2016年至2023年我国原油进口数是的分位数为54239万吨D．2015年我国原油进口数量少于30000万吨6．如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（

）A．26πB．28πC．34πD．14π7．抛掷一枚骰子两次，将得到的点数分别记为，则能构成三角形的概率是（

）A． B． C． D．8．在三棱锥中，顶点P在底面的射影为的垂心O（O在内部），且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面，过BM作平行于AC的截面，记，与底面ABC所成的锐二面角分别为，，若，则下列说法错误的是（

）A．若，则B．若，则C．可能值为D．当取值最大时，二、多选题9．某不透明盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个白球2个黑球，现从中随机取两个球，甲表示事件“第一次取到黑球”，乙表示事件“第二次取到白球”，则下列说法错误的是（

）A．若不放回取球，则甲乙相互独立 B．若有放回取球，则甲乙相互独立C．若不放回取球，则甲乙为互斥事件 D．若有放回取球，则甲乙为互斥事件10．盒子中有编号一次为1,2,3,4,5,6的6个小球（大小相同），从中不放回地抽取4个小球并记下编号，根据以下统计数据，可以判断一定抽出编号为6的小球的是（

）A．极差为5 B．上四分位数为5 C．平均数为3.5 D．方差为4.2511．如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，，过点的平面截该正方体所得的截面为，则（

）A．不存在，使得平面B．当平面平面时，C．线段长的最小值为D．当时，三、填空题12．已知样本数据为1，a，b，7，9，该样本数据的平均数为5，则这组样本数据的方差的最小值为．13．冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1如给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则至少有1个数的运算次数为奇数的概率为.14．如图，在三棱台中，平面平面ABC，，，.（1）求DC与平面ABC所成线面角大小.（2）若，求三棱锥外接球表面积.四、解答题15．如图，在正四棱锥中，为底面的中心．(1)若，，求正四棱锥的体积；(2)若，为的中点，求直线与平面所成角的大小．16．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率；(2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，在棱上且侧面，，垂足为．(1)求证：平面；(2)若平面与直线交于点，证明：；(3)侧面为等边三角形时，求二面角的平面角的正切值．18．某电子公司新开发一款电子产品，该电子产品的一个系统由3个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为，且每个电子元件能否正常工作是相互独立，若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则可以正常工作，否则就需要维修．(1)求系统需要维修的概率；(2)为提高系统正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率为，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则可以正常工作．问：满足什么条件时可以提高整个系统的正常工作概率？19．如图，点在以为直径的圆上不同于，，垂直于圆所在平面，为的重心，，在线段上，且.(1)证明：∥平面；(2)在圆上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由.高一数学期末检测参考答案：1．D【详解】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：（小时），该地区中学生每天睡眠时间的方差为：.故选：D.2．D【详解】甲中学的女排要获胜，必须赢得其中两局，可以是第一、二局，也可以是第一、三局，也可以是第二、三局．故甲中学的女排获胜的概率,故选：D3．B【详解】若，，则由平面平行的性质定理：得；但当，时，可能有，也可能有相交，如是三棱柱的两条侧棱所在直线，是确定的平面，另两个侧面所在平面分别为，此时符合条件，而相交，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B4．A【详解】设圆锥底面半径为，则，故，故圆锥的高为，设圆柱底面半径为，则，故，其中，故圆柱的侧面积为，而，当且仅当时等号成立，故圆柱的侧面积取最大值时，，，此时体积为，故选：A.5．C【详解】2021年和2022年我国原油进口数量都比上一年少，A错误；2016年至2023年我国原油进口数量的极差为18298万吨，B错误；将数据从小到大排序：，，，，，，，，由于，则年至2023年我国原油进口数量的分位数为为第7个数，即54239万吨，C正确；设2015年我国原油进口数量为万吨，，，所以2015年我国原油进口数量超过30000万吨，D错误．故选：C6．C【详解】如图，因为面，四边形为正方形，所以可将四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球也是长方体的外接球.由面，所以就是与平面所成的角，则，所以，设四棱锥的外接球的半径为，因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径，所以，所以，所以四棱锥的外接球的表面积为.故选：C7．A【详解】因为三角形两边之和大于第三边，所以，又因为最大为，所以当时，有共六种情况，当时，有共五种情况，当时，有共四种情况，当时，有共三种情况，当时，有共两种情况，当时，有一种情况，所以共有种情况，而总的可能数有种，所以概率为，故选：A.8．C【详解】

如图所示，连接延长交与，连接延长交与，设平面平面顶点P在底面的射影为的垂心，平面，平面平面则有：直线与平行又，则平面，则又则平面从而故为与平面的二面角，即同理可得：对选项A，，又，则有：可得：与全等，则又根据是的垂心，则，综上可得：直线垂直并平分线段可得：，故选项A正确；对选项B，易知有如下角关系：又，则有：可得：解得：则，故选项B正确；对选项C，若，则有：则有：化简后可得：令，则有：则有：，此时方程无解，故选项C错误；对选项D，设（），则有：可化简为：令，则有：则有：解得：故取得最大值时，，此时同理可得：故，且则有：，故选项D正确；故选：C9．ACD【详解】由题记样本点为，分别表示第一次和第二次取到的球，将3个白球2个黑球分别标记为和，则放回抽样样本空间为共25个样本点，甲事件样本空间为，共10个样本点，则；乙事件样本空间为共15个样本点，则，则共6个样本点，故甲乙不为互斥事件，且即甲相互独立，故B对、D错；不放回抽样样本空间为共20个样本点，甲事件样本空间为，共8个样本点，则；乙事件样本空间为共12个样本点，则，则共6个样本点，故甲乙不为互斥事件，且即甲不相互独立，故A、C错.故选：ACD.10．ABD【详解】假设抽出四张卡牌从小到大排列为A．，得，，故A正确；B．上四分位数为，得，，故B正确；C．，存在，，，使得不抽出卡牌6，故C错误；D．若未抽出卡牌6，则方差最大为，，，时，此时，，故D正确.故选：ABD.11．BCD【详解】当时，与重合，与重合，易证平面，即存在，使得平面，故A错误；若平面平面，因为平面平面，平面平面，所以，设，因为为的中点，所以为的中点，所以，延长到，使得，同理可得，又，所以，又为的中点，所以，所以，所以，故B正确；由题意知，且，故（当且仅当时等号成立），当且仅当时等号成立，所以，故C正确；当时，易得为正六边形（如图六边形），其边长为，故的面积为.，所以，故D正确.故选：BCD.12．【详解】因为平均数为，所以．因为方差，所以，当且仅当时，等号成立，所以方差的最小值为．故答案为：.13．/0.7【详解】按照题中运算规律，正整数6的运算过程为，运算次数为8；正整数7的部分运算过程为，当运算到10时，运算次数为10，由正整数的运算过程可知，正整数7总的运算次数为；正整数8的运算次数为3；正整数9的部分运算过程为，当运算到7时，运算次数为3，由正整数7的运算过程可知，正整数9总的运算次数为．正整数10的运算次数为6；故正整数6，7，8，9，10的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数、偶数，从正整数6，7，8，9，10中任取2个数的方法总数为：，共种，其中的运算次数均为偶数的方法总数为：，共种，故运算次数均为偶数的的概率为，故所求概率．故答案为：．14．【详解】过点作于，连接，因为平面平面ABC，且平面平面ABC，所以平面ABC，为DC与平面ABC所成的线面角，过作于，连接，则，在中，，在中，，在中，，所以，即，解得，所以，即DC与平面ABC所成线面角大小为；如图：因为，所以，即，且，所以，又因为，，所以，即，所以，即，又，平面，所以平面，因为平面，所以，由（1）知，，且，由余弦定理可得，所以，即，又平面，所以平面，设三棱锥外接球半径为，底面的外接圆半径为，且，所以，所以，所以三棱锥外接球表面积为，故答案为：；.15．(1)(2)【详解】（1）正四棱锥满足平面，由平面，则，又正四棱锥底面是正方形，由可得，，故，则；（2）连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，由是中点，则，又平面，故平面，即平面，又平面，于是即为直线与平面所成角，设，则，，又线面角的范围是，故，即直线与平面所成角的大小为.16．(1)，；(2)，最小值为．【详解】（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以，所以，解得：，．（2）当时，；当时，,故，所以在区间的最小值为．17．【详解】（1）如图：因为侧面，平面，所以，又因为四边形为正方形，所以，又，平面，所以平面.因为侧面，所以，

因为，且，平面，所以平面.（2）因为底面为正方形，所以,又因为平面，平面,所以平面.又平面，平面平面,所以.（3）如图：由题为等边三角形，，故为中点，在线段上取点，使得，因为是正方形，所以，又，所以，又因为底面，底面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以，所以即为二面角的平面角，设，不妨设等边的边长为2，则，，所以在中，.18．(1)(2)【详解】（1）记事件，事件事件，显然事件与事件互斥，则由题意可知.所以系统需要维修的概率为.（2）记，，，，则由题意可知且显然事件、事件、事件两两互斥，则,将分别代入并整理得.由（1）可知系统原来的正常工作概率为，若新增两个电子元件后整个系统的正常工作概率提高了，则有不等式成立，解得,考虑实际意义知.综上当时，可以提高整个系统的正常工作