2024年高考数学备战补集及综合应用

2024年高考数学备战补集及综合应用

全集全集的定义及表示Q）定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为

全集.（2）符号表示：全集通常记作U.

疑难解析：

对全集概念的理解"全集"是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的.例

如：我们常把实数集R看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z看作全集.补集

［提出冏茎］

%=｛高一(1)班参加足球队的同学｝，吕=｛高一(1)班没有参加

足球队的同学｝,U=｛高一(1)班的同学｝.

问题1：集合力，B,U有何关系？

提示：U=AUB.

问题2：集合5中元素与集合U和力有何关系？

提示：集合方中元素在集合U中，不在集合力中.

补集的概念和性质

对于一个集合a由全集v中不属于集合z

的所有元素组成的集合称为集合力相对全

文字语言

集。的补集，简称为集合力的补集，记作

定义符号语言［，=闺G且应力｝

，

图形语言

(1)07“；(2)cC/=上；

性质(3)14M)=上；

(4Mu(C那尸二；4n(C济尸上

疑难解析

理解补集应关注三点(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前

提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割

的两个概念.(2)[UA包含三层意思：①AGU;②[UA是一个集合，且[:UAcU;③[:UA是由U中所有不

属于A的元素构成的集合.(3)若XWU，则x£A或x£[UA,二者必居其一.补集运算

[例1](1)(广东高考)已知全集U=R,A={x|x<0},B={x|x>l},则集合[:U(AUB)=()A.{x|x>O}B.{x|x

<1}C.{x|O<x<l}D.{x[O<x<1}⑵设U={x|-5<x<-2,或2<xw5,xeZ},A={x|x2-2x-15=0},B

={-3,3,4},则(UA=[UB=.[解析](l)AUB={x|xw0，或xNl},所以】U(AUB)=

{x|0<x<l}.(2)法一:在集合U中：XWZ,则x的值为-5,-4,-3,3,4,5//.U={-5,-4,-3,3,4,5}.又

-/A={x|x2-2x-15=0}={-3,5},•・.[UA={-5,-4,3,4},[UB={-5,-

法二：可用Venii图表示.

则（自={—5,—4,3,4},八4={—5,-4,5}.

四答案：（DD⑵心—4,3,4}{T,—4,5}

求补

集的方法求给定集合A的补集通常利用补集的定义去求，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下

的元素组成的集合即为A的补集.例题：已知全集U,集合A={1,3,5,7},CUA={2,4,6},CUB={1,4,6）,

求集合B.解:「A={135,7},CUA={2,4,6}，.漠={123,4,5,6,7}.又集UB={1,4,6},，B={2,3,5,7}.集合

的交、并、补综合运算

［例2］已知全集U={X*W4},集合/=3一2VXV3},B=

国一3WxW2},(C^)UB,［r(4U为.

［解］如图所示.

—-101234五

'：A^{X\~2<X<3}9b={*—3WxW2},U={X%W4},

・・・(U/={MKW—2,或3WxW4},

卜刀={x«v—3,或2<JcW4},

AHB^{X\~2<X^2}940刀=3一3WXV3}.

故(1源)日用=但大忘2,或3W%W4},NG(卜£)={*|2<rv3},

C^UB)={x|x<-3,或3WJCW4}.

解题技巧

解决集合交、并、补运算的技巧Q)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交

集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.这样处理起来，相对来说比较直

观、形象且解答时不易出错.(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴

上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.练习：已知全集U={x|x<10,xeN*),A

={2,458},B={135,8}，求「U(AUB),CU(AflB),(CUA)n(CUB),([UA)U([UB)解：•「AUB={123,4,5,8},

U={1,2,3,4,5,67,8,9},/.[U(AUB)={6,7,9)./AnB={5,8},/.CU(AAB)={1,2,3,4,67,9}.vCUA=

(1,3,67,9},CUB={2,4,67,9)//.(CUA)A(CUB)={6,7,9},([UA)U(CUB)={1,2,3,4,6,7,9).说明:作出

Venn图，如图所示，由图形也可以直接观察出来结果.补集的综合应

[例3]设全集U=R,M^{x\3a<x<2a+5]9尸二国一

2WxWl},若“休八上求实数。的取值范围.

［解］解：（/={x［x<—2,或x>l},

・・・〃休】济，

•二分M二。，MW。两种情况讨论.

①暇W。时，如图可得

__Lo__

3a2a+5-213a2G+5x

用

j3〃v2a+5,3。<2。+5,

\2a+5^~2或

71

1・。W—5或Qa<5.

/JW

②M=0时，应有3a，2〃+5,

综上可知，。的取值范围是°4或aW—g

解题技巧

利用补集求参数应注意两点Q)与集合的交、并、补运算有关的参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系

时不要忘掉空集的情形.(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集.练

习题：

已知集合A={x|x<a},B={x|x<-1,或x>0}.若AA(CRB)=。,求实数a的取值范围.解：\B={x|x<-

1,或x>0},RB={x|-l<x<0},因而要使AA(CRB)=0，结合数轴分析(如图)，可得a<-1.

即实数a的取值范围是{a|aw-1}.易错分析1.补集思想的综合应用［典例］

(12分)已知集合A={x|x2-4x+2m+6=0},B={x|x<0},若AnB“，求实数m的取值范围.解题流程

欲求m的取值范“AD的对立面为“ADB求满足AdB=0中的m的

围，应建立关于m0”，因此可先求出AQB=0时，小取值范围-*对上述“I的取值

的不等式的取值范阉，然后在R中取补集即可范围在R上取补集分结论

［规范解答］［名师批注］

先求AHR=0时的取值范围.

AnB=0,对于集合A而言，分A=0与

①当A=0时，-----------------------------Ar0两种情况.A=0表示方程无实根，此

方程J.2—4工+2”1+6=0无实根，处极易忽视，发生遗漏.

所以A=（一4尸一4（2?”+6）V0,

解得？—1.（2分）

②当A#0,AnB=0时，---------B={JC|才<0},而Ap|B=0,故AS{ct|

方程£-4JI+2??I+6=0的根为非负实根.（4分）工）0},即已知方程的根为非负实根.此处极易

误认为方程有两正根，忽视方程根为0的情况而

设方程.V—4,r+2m+6=0的两根为上1,上2,贝U

导致解题错误.

△=（-4）2—4（2?鹿+6）》0,

4工】+uz=420,

△―0保证了AX0,即原方程有实根；」】+」2

、JTI父2=2〃i+6>0,（6分）

20与20保证了原方程两根非负.此处极

即「“&-1’解得一34”4一1.（8分）易忽视后两者，只列△》（），从而造成解题错误.

\心一3,

综上，当AnE=0时，

加的取值范围是｛加I加》一3｝.（10分）

又因为C=R,此处易忽视指明U=R而直接得出结论，造成

所以当Af）Rr。时,