人教高中数学A版必修一 第二章　一元二次函数、方程和不等式讲解及总结 练习题

第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质第2课时等式性质与不等式性质23自主预习探新知456789合作探究提素养1011121314151617181920212223242526272829303132当堂达标固双基33343536Thankyouforwatching!第二章一元二次函数、方程和不等式章末复习课39404142434445464748495051525354555657Thankyouforwatching!习题课

基本不等式的应用一元二次函数、方程和不等式利用基本不等式求函数、代数式,及实际问题中的最值提示:一正二定三相等,即:①a,b均为正数;②a+b和ab中有一个为定值;③不等式中的等号必须能取到.(3)若a+b为常数S,那么ab的值如何变化?2.填空

3.做一做(1)函数f(x)=x+(x<0)的最大值为

;

(2)若正数a,b满足2a+3b=8,则ab的最大值是

.

探究一探究二思维辨析随堂演练探究一利用基本不等式求函数和代数式的最值1.通过变形后应用基本不等式求最值例1求下列函数的最值,并求出相应的x值.探究一探究二思维辨析随堂演练

反思感悟

利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.解题时应对照已知条件和欲求的式子,运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件,具体可以归纳为:一不正,用其相反数,改变不等号方向;二不定,应凑出定和或定积;三不等,一般需用其他方法,如尝试利用函数的单调性(在第三章学习).

探究一探究二思维辨析随堂演练答案:D探究一探究二思维辨析随堂演练2.应用“1”的代换转化为基本不等式求最值

答案:4反思感悟

在利用基本不等式求最值时,常用的技巧就是“1”的代换,其目的是借助“1”将所求式子的结构进行调整,优化到能够利用基本不等式为止.探究一探究二思维辨析随堂演练答案:1探究一探究二思维辨析随堂演练3.含有多个变量的条件最值问题

反思感悟

含有多个变量的条件最值问题,一般方法是采取减少变量的个数,将问题转化为只含有一个变量的函数的最值问题进行解决;如果条件等式中,含有两个变量的和与积的形式,还可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解,或者通过构造一元二次方程,利用根的分布解决问题.探究一探究二思维辨析随堂演练延伸探究

本例中,若将条件改为“正数a,b满足2a+b+6=ab”,再求ab的最小值.探究一探究二思维辨析随堂演练探究二利用基本不等式解决实际应用中的最值问题例4如图,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.现有36m长的钢筋网材料,每间虎笼的长、宽分别设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?分析:设每间虎笼长x

m,宽y

m,则问题转化为在4x+6y=36的前提下求xy的最大值.探究一探究二思维辨析随堂演练解:设每间虎笼长x

m,宽y

m,则由条件知,4x+6y=36,即2x+3y=18.设每间虎笼的面积为S,则S=xy.探究一探究二思维辨析随堂演练反思感悟

应用基本不等式解决实际问题的思路与方法1.理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为因变量.2.建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.3.在定义域内,求出函数的最大值或最小值.4.根据实际背景写出答案.探究一探究二思维辨析随堂演练变式训练2某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一次的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=

吨.

答案:20探究一探究二思维辨析随堂演练基本不等式的变形技巧技巧一:裂项思路点拨先尽可能地让分子的变量项和分母相同(常用于分子所含变量因子的次数比分母所含变量因子的次数大或相等),然后裂项转化为求和的最值,进而凑定积(即使得含变量的因子x+1的次数和为零,同时取到等号).探究一探究二思维辨析随堂演练技巧二:添项思路点拨当求和的最小值时,尽可能凑定积,本题需添6,再减6.探究一探究二思维辨析随堂演练技巧三:放入根号内或两边平方思路点拨求积的最值(因式中含根号),把变量都放在同一条件下的根号里或者将两边平方去根号,整合结构形式,凑成定和,是解决本题的关键所在.探究一探究二思维辨析随堂演练答案:D探究一探究二思维辨析随堂演练3.已知x>0,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为

.

探究一探究二思维辨析随堂演练5.某企业需要建造一个容积为8立方米,深度为2米的无盖长方体水池,已知池壁的造价为每平方米100元,池底造价为每平方米300元.设水池底面一边长为x米,水池总造价为y元,求y关于x的函数关系式,并求出水池的最低造价.探究一探究二思维辨析随堂演练章末整合一元二次函数、方程和不等式专题一专题二专题三专题一

用基本不等式求最值(1)若m=1,求当x>1时函数的最小值;(2)当x<1时,函数有最大值-3,求实数m的值.分析:(1)由函数的形式可以看出,求最小值可用基本不等式求解;(2)当x<1时,x-1<0,仍可用基本不等式求最值,利用等号成立的条件求参数m的值.专题一专题二专题三专题一专题二专题三方法技巧

应用基本不等式求最值的技巧1.应用基本不等式求最值,必须按照“一正、二定、三相等”的条件进行,若具备这些条件,可直接运用基本不等式,若不具备这些条件,则应进行适当的变形.2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.解题时应对照已知条件和欲求的式子,运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件,具体可以归纳为:一不正,用其相反数,改变不等号方向;二不定,应凑出定和或定积;三不等,一般需用其他方法,如尝试利用函数的单调性.(将在下章中学习)专题一专题二专题三答案:C专题一专题二专题三专题二

解含参不等式例2解关于x的不等式ax2-(2a+3)x+6>0(a∈R).分析:首先讨论不等式的类型:(1)当a=0时,是一次不等式;(2)当a≠0时,是一元二次不等式,然后讨论a的符号,最后讨论两根

与2的大小.专题一专题二专题三专题一专题二专题三方法技巧

解含参不等式的一般方法(1)二次项系数不含参数且二次三项式不能分解因式时,对Δ的取值进行讨论.(2)二次项系数不含参数,二次三项式可分解因式时,主要根据两根大小进行比较,分x1<x2,x1=x2,x1>x2三种情况解答.(3)二次项系数含参数时,首先应讨论二次项系数a与0的关系,①当a=0时,不等式不是一元二次不等式,可直接解答;②当a≠0时,不等式是一元二次不等式,可分a>0和a<0两类,借助(1)(2)两种情况进行解答.专题一专题二专题三变式训练2已知常数a∈R,解关于x的不等式ax2-2x+a<0.解:(1)若a=0,则原不等式为-2x<0,故解集为{x|x>0}.(2)若a>0,Δ=4-4a2.①当Δ>0,即0<a<1时,方程ax2-2x+a=0的两根为∴当0<a<1时,原不等式的解集为②当Δ=0,即a=1时,原不等式的解集为⌀.③当Δ<0,即a>1时,原不等式的解集为⌀.专题一专题二专题三(3)若a<0,Δ=4-4a2.①当Δ>0,即-1<a<0时,原不等式的解集为②当Δ=0,即a=-1时,原不等式化为(x+1)2>0,∴当a=-1时,原不等式的解集为{x|x∈R且x≠-1}.③当Δ<0,即a<-1时,原不等式的解集为R.综上所述,当a≥1时,原不等式的解集为⌀;当0<a<1时,原不等式的解集为专题一专题二专题三当a=0时,原不等式的解集为{x|x>0};当-1<a<0时,原不等式的解集为当a=-1时,原不等式的解集为{x|x∈R且x≠-1};当a<-1时,原不等式的解集为R.专题一专题二专题三专题三

不等式中的恒成立问题例3已知关于x的不等式x2+mx>4x+m-4.(1)若对一切实数x不等式恒成立,求实数m的取值范围;(2)若对一切大于1的实数x不等式恒成立,求实数m的取值范围.分析:(1)不等式为一元二次不等式,利用判别式小于0,即可求m的取值范围;(2)通过对一切大于1的实数x不等式恒成立,判断对应二次函数图象对称轴的位置及当x=1时y的值,即可求m的取值范围.专题一专题二专题三解:(1)将不等式x2+mx>4x+m-4整理,转化为x2+(m-4)x-m+4>0.由Δ=(m-4)2-4(4-m)<0,解得0<m<4.故m的取值范围是(0,4).(2)方法一

将不等式x2+mx>4x+m-4分离变量m,则原问题可等价于对一切大于1的实数x,m>专题一专题二专题三方法二

令y=x2+(m-4)x-m+4.∵对一切大于1的实数x,y>0恒成立,故m的取值范围是(0,+∞).方法技巧

分离变量法解恒成立问题对