高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.7抛物线方程及其性质(精讲)(原卷版+解析)

8.7抛物线方程及其性质【题型解读】【知识必备】1．抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1常用结论抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)；(3)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p)；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.【题型精讲】【题型一抛物线的定义及应用】方法技巧处理抛物线定义的技巧“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．例1(2023·全国·高三专题练习）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则（

）A．4 B．3 C． D．例2(2023·福建高三期末））已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（

）A． B． C． D．例3(2023·全国·高三专题练习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【跟踪精练】1.(2023·全国·高三专题练习）已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（

）A． B． C． D．2.(2023·深圳模拟)是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．3.(2023·全国高三模拟）动点到y轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程．【题型二抛物线的方程】例4(2023·青岛高三模拟）已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且，若点的坐标为，且，则的方程为（）A．或 B．或C．或 D．或例5(2023·山东日照高三模拟）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，过其焦点作直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为点，，，且，则该抛物线的方程为（）A． B． C． D．【跟踪精练】1．(2023·武功县普集高级中学期末）已知直线：与抛物线相交于、两点，若的中点为，且抛物线上存在点，使得（为坐标原点），则抛物线的方程为（）A． B． C． D．2．(2023·全国高三模拟）双曲线：和抛物线：相交于点，，若的外接圆经过点，则抛物线的方程为（）．A． B．C． D．【题型三抛物线的焦点弦问题】方法技巧焦点弦的结论（1）．（2）．（3）．例6(2023·全国高三专题练习）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若，则（

）A．2 B． C． D．4例7(2023·全国高三专题练习）如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则的最小值为（

）A．23 B．26 C．36 D．62例8设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.eq\f(3\r(3),4) B.eq\f(9\r(3),8)C.eq\f(63,32) D.eq\f(9,4)【题型精练】1．(2023·全国·高三专题练习）设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（

）A． B．8 C．12 D．2.(2023·全国·模拟预测）若直线l经过抛物线的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为______.3.(2023·山西太原五中高三期末）（多选）过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于，两点，若，则直线l的斜率为（）A． B．2 C． D．-24.已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于，两点，为坐标原点，则的面积为（）A． B． C．4 D．1【题型四直线和抛物线】方法技巧直线和抛物线(1)求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则可用弦长公式．例9(2023·湖北模拟）已知抛物线：，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于，两点，且线段的中点的纵坐标为4.（1）求抛物线的标准方程；（2）若不过原点且斜率存在的直线与抛物线相交于、两点，且.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.【题型精练】1.(2023·德阳三模）如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.（1）求抛物线C的方程.（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.2.(2023·江西·高三开学考试）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F和椭圆的右焦点重合,直线过点F交抛物线于A、B两点.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线交y轴于点M,且,m、n是实数,对于直线,m+n是否为定值?若是,求出m+n的值；否则,说明理由.8.7抛物线方程及其性质【题型解读】【知识必备】1．抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1常用结论抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝eq\f(p,1－cosα)，|BF|＝eq\f(p,1＋cosα)，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)；(3)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p)；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.【题型精讲】【题型一抛物线的定义及应用】方法技巧处理抛物线定义的技巧“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．例1(2023·全国·高三专题练习）已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则（

）A．4 B．3 C． D．答案：D【解析】由题意，抛物线的准线方程为，根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于到准线的距离，可得，解得故选：D.例2(2023·福建高三期末））已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，如下图所示，此时最小，为点到直线的距离.，则．故选：B．例3(2023·全国·高三专题练习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等,由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，所以，其方程为，故选：A【跟踪精练】1.(2023·全国·高三专题练习）已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由抛物线的定义可知，，所以．故选：C.2.(2023·深圳模拟)是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．答案：【解析】圆的圆心为，半径，抛物线的焦点，因为是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，所以要使最小，即到抛物线的焦点与到圆的圆心的距离最小，连接，则的最小值为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，即，所以的最小值为，故答案为：3.(2023·全国高三模拟）动点到y轴的距离比它到定点的距离小2，求动点的轨迹方程．【解析】∵动点M到y轴的距离比它到定点的距离小2，∴动点M到定点的距离与它到定直线的距离相等．∴动点M到轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，且．∴抛物线的方程为，又∵x轴上点左侧的点到y轴的距离比它到点的距离小2，∴M点的轨迹方程为②．综上，得动点M的轨迹方程为或．【题型二抛物线的方程】例4(2023·青岛高三模拟）已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且，若点的坐标为，且，则的方程为（）A．或 B．或C．或 D．或答案：A【解析】设为，则，又由，所以，因为，所以，可得，由，联立方程组，消去，可得，所以，故，又由，所以，即，解得或，所以的方程为或．故选：A．例5(2023·山东日照高三模拟）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，过其焦点作直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为点，，，且，则该抛物线的方程为（）A． B． C． D．答案：A【解析】设，，，抛物线的方程为，，由可得，所以所以，，所以，，，，所以，，，，所以，因为，所以，所以，所以抛物线的方程为．故选：A.【跟踪精练】1．(2023·武功县普集高级中学期末）已知直线：与抛物线相交于、两点，若的中点为，且抛物线上存在点，使得（为坐标原点），则抛物线的方程为（）A． B． C． D．答案：B【解析】设，联立方程组，整理得，则，可得，由点为的中点，所以设，因为，可得，又由点在抛物线上，可得，即，解得或（舍去），所以抛物线的标准方程为.故选：B.2．(2023·全国高三模拟）双曲线：和抛物线：相交于点，，若的外接圆经过点，则抛物线的方程为（）．A． B．C． D．答案：A【解析】根据双曲线和抛物线的对称性可知，是的外接圆的直径，所以圆的圆心为，半径为，所以圆的方程为，即.由解得或.故可设，将或的坐标代入抛物线的方程得，所以抛物线的方程为.故选：A【题型三抛物线的焦点弦问题】方法技巧焦点弦的结论（1）．（2）．（3）．例6(2023·全国高三专题练习）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若，则（

）A．2 B． C． D．4答案：D【解析】由题知，准线，设与轴的交点为，点在上，由抛物线的定义及已知得，则为等边三角形，解法1：因为轴，所以直线斜率，所以，由解得，舍去，所以.解法2：在中，，则.解法3：过作于点，则为的中点，因为，则.故选：D.例7(2023·全国高三专题练习）如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则的最小值为（

）A．23 B．26 C．36 D．62答案：B【解析】解法一：设抛物线的方程，则，得，所以抛物线方程为，焦点，圆，圆心，半径，可得圆心恰好是抛物线的焦点，即直线l过焦点F.设直线l的方程为：，设P、Q坐标分别为和，由联立，得，∴，，∴，，，当且仅当，即，时取等号.解法二：，又，，当且仅当，即，时等号成立.故选：B.例8设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.eq\f(3\r(3),4) B.eq\f(9\r(3),8)C.eq\f(63,32) D.eq\f(9,4)答案：D【解析】由已知得焦点坐标为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，因此直线AB的方程为y＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))，即4x－4eq\r(3)y－3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y2－12eq\r(3)y－9＝0，故|yA－yB|＝eq\r(yA＋yB2－4yAyB)＝6.因此S△OAB＝eq\f(1,2)|OF||yA－yB|＝eq\f(1,2)×eq\f(3,4)×6＝eq\f(9,4).[应用结论]由2p＝3，及|AB|＝eq\f(2p,sin2α)，得|AB|＝eq\f(2p,sin2α)＝eq\f(3,sin230°)＝12.原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin30°＝eq\f(3,8)，故S△AOB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×12×eq\f(3,8)＝eq\f(9,4).【题型精练】1．(2023·全国·高三专题练习）设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（

）A． B．8 C．12 D．答案：B【解析】依题意可知抛物线焦点为，直线AB的方程为，代入抛物线方程得，可得，根据抛物线的定义可知直线AB的长为．故选：B．2.(2023·全国·模拟预测）若直线l经过抛物线的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为______.答案：8【解析】抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，则其斜率存在，设的方程为，，则由得，，，又，所以，即，，所以．故答案为：8．3.(2023·山西太原五中高三期末）（多选）过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于，两点，若，则直线l的斜率为（）A． B．2 C． D．-2答案：BD【解析】设直线的方程为，联立得，所以,，，,由题得.因为，所以.满足.故选：BD4.已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于，两点，为坐标原点，则的面积为（）A． B． C．4 D．1答案：B【解析】因为抛物线的焦点为，所以代入直线方程得，即，所以直线方程为，与抛物线方程联立得，所以弦长，又点到直线的距离为，所以的面积为,故选B.【题型四直线和抛物线】方法技巧直线和抛物线(1)求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则可用弦长公式．例9(2023·湖北模拟）已知抛物线：，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于，两点，且线段的中点的纵坐标为4.（1）求抛物线的标准方程；（2