高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.2空间几何体外接球、内切球8大模型(精讲)(原卷版+解析)

7.2空间几何体外接球、内切球8大模型【题型解读】【知识必备】一、正方体、长方体外接球模型1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．3．补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示二、正四面体外接球模型如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．三、直棱柱外接球模型如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：，解出四、直棱锥外接球如图，平面，求外接球半径．解题步骤：第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；②．五、正棱锥与侧棱相等模型1．正棱锥外接球半径：．2．侧棱相等模型：如图，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．解题步骤：第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：，解出．六、共斜边拼接模型如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径．七、垂面模型如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．八、二面角模型如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．九、圆锥圆柱圆台模型1．球内接圆锥如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．由图、图可知，或，故，所以．2．球内接圆柱如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．3．球内接圆台，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．十、锥体内切球模型方法：等体积法，即【题型精讲】【题型一长方体、正方体模型】例1(2023·陕西安康·高三期末）长方体的长，宽，高分别为3，，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的体积为（

）A． B． C． D．例2(2023·海原县高三模拟）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为___________.【跟踪精练】1.(2023·陕西高三模拟）已知底面边长为1，侧棱长为则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（

）A． B． C． D．2.(2023·全国·高三专题练习）据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（

）A． B． C． D．【题型二直棱柱模型】例3(2023·山西·太原五中高一阶段练习）在直三棱柱中，若，则该直三棱柱外接球的表面积为（

）A． B． C． D．例4(2023·河南·高三阶段练习）已知正三棱柱的外接球表面积为，则正三棱柱的所有棱长之和的最大值为______．【跟踪精练】1.(2023·安徽·合肥市第六中学高一期中）设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，，，且底面的面积为，则此直三棱柱外接球的表面积是（

）A． B． C． D．2.(2023·全国高三模拟）在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为2，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______.【题型三正棱锥与侧棱相等模型】例5(2023·江西高三模拟）正三棱锥P－ABC底面边长为2，M为AB的中点，且PM⊥PC，则三棱锥P－ABC外接球的体积为（）A． B． C． D．例6（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上是边长为的正三角形，则球的表面积等于（

）A． B． C． D．【题型精练】1．(2023·全国·高三专题练习）在正三棱锥中，，P到平面ABC的距离为2，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．2.(2023·全国·高三专题练习）三棱锥体积为，且，则三棱锥外接球的表面积为____________．【题型四对棱相等模型】例7如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（

）

A． B． C． D．【题型精练】1.(2023·吉林·洮南市第一中学高三阶段练习）已知三棱锥中，，，平面平面ABC，则三棱锥的外接球的表面积为______．2.(2023·全国·高三专题练习）在三棱锥A-BCD中，，，二面角A-BD-C是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2，则A-BCD的外接球的表面积是（

）A．12π B．13π C． D．【题型五共斜边拼接模型】例8三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥的外接球的半径为______【题型精练】1.(2023·四川高三模拟）中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.如图所示的鳖臑中，面，，若，，且顶点均在球上，则球的表面积为______.2.(2023·安徽合肥市高三期末）在三棱锥中，，，.若三棱锥的体积为1，则该三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．【题型六垂面模型】例9(2023·江西高三期末）在三棱锥中，是等边三角形，平面平面，，则三棱锥的外接球体积为（）A． B． C． D．【题型精练】1.(2023·安徽·巢湖市第一中学高三月考）已知三棱锥中，平面平面，且，，若，则三棱锥外接球的表面积为（

）A．64π B．128π C．40π D．80π2.(2023·重庆八中高三阶段练习）在三棱锥中、平面平面，，且，则三棱维的外接球表面积是（

）A． B． C． D．【题型七二面角模型】例10(2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【题型精练】1.(2023·全国·高三专题练习）四边形ABDC是菱形，，，沿对角线BC翻折后，二面角A-BD-C的余弦值为，则三棱锥D-ABC的外接球的体积为_____.2.（2023·全国·高三专题练习）两个边长为2的正三角形与，沿公共边折叠成的二面角，若点在同一球的球面上，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【题型八内切球模型】例11(2023·江西·高三阶段练习）在正三棱锥中，，分别是，的中点，且，，则正三棱锥的内切球的表面积为（

）A． B．C． D．【题型精练】1.(2023·湖北·模拟预测）已知中，，，，以为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（

）A． B． C． D．2.(2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，若三棱锥的内切球的表面积为，则此三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．7.2空间几何体外接球、内切球8大模型【题型解读】【知识必备】一、正方体、长方体外接球模型1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．3．补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示二、正四面体外接球模型如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．三、直棱柱外接球模型如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：，解出四、直棱锥外接球如图，平面，求外接球半径．解题步骤：第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；②．五、正棱锥与侧棱相等模型1．正棱锥外接球半径：．2．侧棱相等模型：如图，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．解题步骤：第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：，解出．六、共斜边拼接模型如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径．七、垂面模型如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．八、二面角模型如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．九、圆锥圆柱圆台模型1．球内接圆锥如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．由图、图可知，或，故，所以．2．球内接圆柱如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．3．球内接圆台，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．十、锥体内切球模型方法：等体积法，即【题型精讲】【题型一长方体、正方体模型】例1(2023·陕西安康·高三期末）长方体的长，宽，高分别为3，，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的体积为（

）A． B． C． D．答案：A分析：求出长方体外接球半径，再由球体体积公式求体积.【详解】球O的半径为，∴体积．故选：A例2(2023·海原县高三模拟）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为___________.答案：【解析】平面，平面，，，又，，，，，则可将三棱锥放入如下图所示的长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，球的半径，球的表面积.故答案为：.【跟踪精练】1.(2023·陕西高三模拟）已知底面边长为1，侧棱长为则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由题可知，正四棱柱的体对角线即为外接球的直径，故，解得，故球的体积为：.故选：D.2.(2023·全国·高三专题练习）据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】如图，将三棱锥补形为正方体，则外接球半径.所以三棱锥外接球表面积.故选：B.【题型二直棱柱模型】例3(2023·山西·太原五中高一阶段练习）在直三棱柱中，若，则该直三棱柱外接球的表面积为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由题意可得三棱柱的上下底面为直角三角形，取直角三角形斜边的中点，直三棱柱的外接球的球心O为上下底面的外接圆圆心的连线的中点，连接AO，,设外接球的半径为R，下底面外接圆的半径为r，r=，则，该直三棱柱外接球的表面积为,故选：C例4(2023·河南·高三阶段练习）已知正三棱柱的外接球表面积为，则正三棱柱的所有棱长之和的最大值为______．答案：【解析】设正三棱柱上下底面中心分别为，连，取中点为正三棱柱外接球的球心，连为外接球的半径，如图，，设正三棱柱的底面边长为x，，在中，，三棱柱的所有棱长之和为.，令，解得，当时，，当时，，所以是函数在定义域内有唯一极大值点，故当时，有最大值.故答案为:.【跟踪精练】1.(2023·安徽·合肥市第六中学高一期中）设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，，，且底面的面积为，则此直三棱柱外接球的表面积是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】设，因为，所以，，而，所以(于是是外接圆的半径)，，即，如图，设分别是和的外接圆圆心，由直棱柱的性质知的中点是三棱柱的外接球球心，，所以外接球为.于是球的表面积为.故选：C.2.(2023·全国高三模拟）在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为2，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______.答案：【解析】设BC的中点为D，的中点为，，由题，得三棱柱外接球的球心在线段的中点O处，由三棱柱的体积为2，得，即，由题，得，所以，外接球表面积.故答案为：【题型三正棱锥与侧棱相等模型】例5(2023·江西高三模拟）正三棱锥P－ABC底面边长为2，M为AB的中点，且PM⊥PC，则三棱锥P－ABC外接球的体积为（）A． B． C． D．答案：C【解析】由图，设，则，而，因为PM⊥PC，所以由勾股定理得即解得，由对称性可知：三棱锥P－ABC外接球的球心在三棱锥P－ABC的高PD上，假设为O点，则，因为,所以，又由于点D是三角形ABC的外心，且三角形ABC为等边三角形，所以,在三角形ODC中，由勾股定理得,即，解得，所以三棱锥P－ABC外接球的体积为.故选：C例6（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上是边长为的正三角形，则球的表面积等于（

）A． B． C． D．答案：B【解析】已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，是边长为的正三角形，如图所示：取BC的中点D，点H为底面的中心，所以设外接球的半径为R，所以，利用勾股定理可得，解得则球的表面积为故选：B.【题型精练】1．(2023·全国·高三专题练习）在正三棱锥中，，P到平面ABC的距离为2，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为，由正三棱锥的性质知，PA，PB，PC两两垂直且相等.设，则.根据，得，解得.设三棱锥外接球的半径为，则，所以.故所求外接球的表面积为.故选：A.2.(2023·全国·高三专题练习）三棱锥体积为，且，则三棱锥外接球的表面积为____________．答案：【解析】三棱锥中，取BC中点D，连PD，连AD并延长至O1，使DO1=AD，连接BO1，CO1，PO1，如图：于是得四边形为平行四边形，而，是菱形，在中，，由余弦定理有，即，则，是正三角形，，于是得O1是外接圆圆心，因，D为BC中点，则PD⊥BC，又AO1⊥BC，，平面，从而有平面，，同理，而，从而得平面，由球的截面小圆性质知，三棱锥外接球球心O在直线上，又，则，解得，设球O的半径为R，则，，中，，即，解得，则球O的表面积为，所以三棱锥外接球的表面积为.故答案为：【题型四对棱相等模型】例7如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（

）

A． B． C． D．答案：C【解析】由题意，，，，将三棱锥放到长方体中，可得长方体的三条对角线分别为，2，，设长方体的长、宽、高分别为，则，，，解得，，．所以三棱锥外接球的半径．三棱锥外接球的体积．故选：C【题型精练】1.(2023·吉林·洮南市第一中学高三阶段练习）已知三棱锥中，，，平面平面ABC，则三棱锥的外接球的表面积为______．答案：【解析】取的中点，连接，，如图所示：因为，所以为的外接圆圆心，又因为，为的中点，所以.因为平面平面，所以平面，所以三棱锥的外接球球心在直线上.在上取一点，使得，即为三棱锥的外接球球心，设，，所以，.在中，，所以，解得，所以三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：2.(2023·全国·高三专题练习）在三棱锥A-BCD中，，，二面角A-BD-C是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2，则A-BCD的外接球的表面积是（

）A．12π B．13π C． D．答案：B【解析】如图1，取中点，连接，则，，又，平面，所以平面，，所以，又，，，又由，，知为二面角的平面角，此角为钝角，所以，所以，因此四面体可以放置在一个长方体中，四面体的六条棱是长方体的六个面对角线，如图2，此长方体的外接球就是四面体的外接球，设长方体的棱长分别为，则，解得，所以外接球的直径为，，球表面积为．故选：B．【题型五共斜边拼接模型】例8三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥的外接球的半径为______答案：1【解析】因为，，故是公共的斜边，的中点是球心，球半径为．故答案为：1【题型精练】1.(2023·四川高三模拟）中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.如图所示的鳖臑中，面，，若，，且顶点均在球上，则球的表面积为______.答案：【解析】由题意可知：球为鳖臑的外接球，面，面，，，又，面，，面，又面，；取中点，连接，，，同理可知：，点与球的球心重合，球的半径，球的表面积.故答案为：.2.(2023·安徽合肥市高三期末）在三棱锥中，，，.若三棱锥的体积为1，则该三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．答案：D【解析】因为，所以和为以为斜边的直角三角形，则的中点到各个顶点的距离都相等，则为外接球的球心.即为直径.过做平面，垂足为，连结，，则，解得：.，，，，则分别为在平面内的射影，所以有，又，为公共边，所以，则，所以在的角平分线上，，，，，所以有平面，平面，则有，因为，，所以，则，则故外接球的表面积为.故选：D.【题型六垂面模型】例9(2023·江西高三期末）在三棱锥中，是等边三角形，平面平面，，则三棱锥的外接球体积为（）A． B． C． D．答案：C【解析】中，，所以，，设是中点，则是外心，又是等边三角形，所以，而平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以的外心即中三棱锥外接球的球心，所以球半径，球体积为．故选：C．【题型精练】1.(2023·安徽·巢湖市第一中学高三月考）已知三棱锥中，平面平面，且，，若，则三棱锥外接球的表面积为（

）A．64π B．128π C．40π D．80π答案：D【解析】由题意得，平面，将三棱锥补成三棱柱，如图，则三棱柱的外接球即为所求.设外接球的球心为，则的外心为，则，又，则外接球的半径，表面积，故选：D2.(2023·重庆八中高三阶段练习）在三棱锥中、平面平面，，且，则三棱维的外接球表面积是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由题意，为直角三角形，故在三棱维的外接球的一个切面圆上，为该圆直径；又平面平面，故外接球的球心在所在的平面内，又，故为等腰三角形，球心O在BD边中线所在直线上，点到线段的距离为，设外接球的半径为，则，解得，则外接球的表面积为.故选：C.【题型七二面角模型】例10(2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】如图所示，为直角三角形，又，所以，因为为正三角形，所以，连接，为的中点，E为中点，则，所以为二面角的平面角所以．因为为直角三角形，E为中点，所以点为的外接圆的圆心，设G为的中心，则G为的外接圆圆心．过E作面的垂线，过G作面的垂线，设两垂线交于O．则O即为三棱锥的外接球球心．设与交于点H，，所以,，∴．所以，故选：C.【题型精练】