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文档简介
7.2空间几何体外接球、内切球8大模型【题型解读】【知识必备】一、正方体、长方体外接球模型1.正方体的外接球的球心为其体对角线的中点,半径为体对角线长的一半.2.长方体的外接球的球心为其体对角线的中点,半径为体对角线长的一半.3.补成长方体(1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,则可将其放入某个长方体内,如图1所示.(2)若三棱锥的四个面均是直角三角形,则此时可构造长方体,如图2所示.(3)正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长,如图3所示.(4)若三棱锥的对棱两两相等,则可将其放入某个长方体内,如图4所示二、正四面体外接球模型如图,设正四面体的的棱长为,将其放入正方体中,则正方体的棱长为,显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为,即正四面体外接球半径为.三、直棱柱外接球模型如图1,图2,图3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形)第一步:确定球心的位置,是的外心,则平面;第二步:算出小圆的半径,(也是圆柱的高);第三步:勾股定理:,解出四、直棱锥外接球如图,平面,求外接球半径.解题步骤:第一步:将画在小圆面上,为小圆直径的一个端点,作小圆的直径,连接,则必过球心;第二步:为的外心,所以平面,算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理,得),;第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:①;②.五、正棱锥与侧棱相等模型1.正棱锥外接球半径:.2.侧棱相等模型:如图,的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上,顶点点也是圆锥的顶点.解题步骤:第一步:确定球心的位置,取的外心,则三点共线;第二步:先算出小圆的半径,再算出棱锥的高(也是圆锥的高);第三步:勾股定理:,解出.六、共斜边拼接模型如图,在四面体中,,,此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的,为公共的斜边,故以“共斜边拼接模型”命名之.设点为公共斜边的中点,根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知,,即点到,,,四点的距离相等,故点就是四面体外接球的球心,公共的斜边就是外接球的一条直径.七、垂面模型如图1所示为四面体,已知平面平面,其外接球问题的步骤如下:(1)找出和的外接圆圆心,分别记为和.(2)分别过和作平面和平面的垂线,其交点为球心,记为.(3)过作的垂线,垂足记为,连接,则.(4)在四棱锥中,垂直于平面,如图2所示,底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径.八、二面角模型如图1所示为四面体,已知二面角大小为,其外接球问题的步骤如下:(1)找出和的外接圆圆心,分别记为和.(2)分别过和作平面和平面的垂线,其交点为球心,记为.(3)过作的垂线,垂足记为,连接,则.(4)在四棱锥中,垂直于平面,如图2所示,底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径.九、圆锥圆柱圆台模型1.球内接圆锥如图,设圆锥的高为,底面圆半径为,球的半径为.通常在中,由勾股定理建立方程来计算.如图,当时,球心在圆锥内部;如图,当时,球心在圆锥外部.和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同,图2和图3两种情况建立的方程是一样的,故无需提前判断.由图、图可知,或,故,所以.2.球内接圆柱如图,圆柱的底面圆半径为,高为,其外接球的半径为,三者之间满足.3.球内接圆台,其中分别为圆台的上底面、下底面、高.十、锥体内切球模型方法:等体积法,即【题型精讲】【题型一长方体、正方体模型】例1(2023·陕西安康·高三期末)长方体的长,宽,高分别为3,,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的体积为(
)A. B. C. D.例2(2023·海原县高三模拟)已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,且平面,,,,则球的表面积为___________.【跟踪精练】1.(2023·陕西高三模拟)已知底面边长为1,侧棱长为则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为(
)A. B. C. D.2.(2023·全国·高三专题练习)据《九章算术》记载,“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示,现有一个“鳖臑”,底面,,且,三棱锥外接球表面积为(
)A. B. C. D.【题型二直棱柱模型】例3(2023·山西·太原五中高一阶段练习)在直三棱柱中,若,则该直三棱柱外接球的表面积为(
)A. B. C. D.例4(2023·河南·高三阶段练习)已知正三棱柱的外接球表面积为,则正三棱柱的所有棱长之和的最大值为______.【跟踪精练】1.(2023·安徽·合肥市第六中学高一期中)设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上,,,且底面的面积为,则此直三棱柱外接球的表面积是(
)A. B. C. D.2.(2023·全国高三模拟)在直三棱柱中,且,已知该三棱柱的体积为2,则此三棱柱外接球表面积的最小值为______.【题型三正棱锥与侧棱相等模型】例5(2023·江西高三模拟)正三棱锥P-ABC底面边长为2,M为AB的中点,且PM⊥PC,则三棱锥P-ABC外接球的体积为()A. B. C. D.例6(2023·全国·高三专题练习)已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上是边长为的正三角形,则球的表面积等于(
)A. B. C. D.【题型精练】1.(2023·全国·高三专题练习)在正三棱锥中,,P到平面ABC的距离为2,则该三棱锥外接球的表面积为(
)A. B. C. D.2.(2023·全国·高三专题练习)三棱锥体积为,且,则三棱锥外接球的表面积为____________.【题型四对棱相等模型】例7如图,在三棱锥中,,,,则三棱锥外接球的体积为(
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A. B. C. D.【题型精练】1.(2023·吉林·洮南市第一中学高三阶段练习)已知三棱锥中,,,平面平面ABC,则三棱锥的外接球的表面积为______.2.(2023·全国·高三专题练习)在三棱锥A-BCD中,,,二面角A-BD-C是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2,则A-BCD的外接球的表面积是(
)A.12π B.13π C. D.【题型五共斜边拼接模型】例8三棱锥中,平面平面,,,,则三棱锥的外接球的半径为______【题型精练】1.(2023·四川高三模拟)中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中,称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.如图所示的鳖臑中,面,,若,,且顶点均在球上,则球的表面积为______.2.(2023·安徽合肥市高三期末)在三棱锥中,,,.若三棱锥的体积为1,则该三棱锥外接球的表面积为()A. B. C. D.【题型六垂面模型】例9(2023·江西高三期末)在三棱锥中,是等边三角形,平面平面,,则三棱锥的外接球体积为()A. B. C. D.【题型精练】1.(2023·安徽·巢湖市第一中学高三月考)已知三棱锥中,平面平面,且,,若,则三棱锥外接球的表面积为(
)A.64π B.128π C.40π D.80π2.(2023·重庆八中高三阶段练习)在三棱锥中、平面平面,,且,则三棱维的外接球表面积是(
)A. B. C. D.【题型七二面角模型】例10(2023·全国·高三专题练习)在三棱锥中,为等腰直角三角形,,为正三角形,且二面角的平面角为,则三棱锥的外接球表面积为(
)A. B. C. D.【题型精练】1.(2023·全国·高三专题练习)四边形ABDC是菱形,,,沿对角线BC翻折后,二面角A-BD-C的余弦值为,则三棱锥D-ABC的外接球的体积为_____.2.(2023·全国·高三专题练习)两个边长为2的正三角形与,沿公共边折叠成的二面角,若点在同一球的球面上,则球的表面积为(
)A. B. C. D.【题型八内切球模型】例11(2023·江西·高三阶段练习)在正三棱锥中,,分别是,的中点,且,,则正三棱锥的内切球的表面积为(
)A. B.C. D.【题型精练】1.(2023·湖北·模拟预测)已知中,,,,以为轴旋转一周得到一个旋转体,则该旋转体的内切球的表面积为(
)A. B. C. D.2.(2023·全国·高三专题练习)如图,在三棱锥中,,,若三棱锥的内切球的表面积为,则此三棱锥的体积为(
)A. B. C. D.7.2空间几何体外接球、内切球8大模型【题型解读】【知识必备】一、正方体、长方体外接球模型1.正方体的外接球的球心为其体对角线的中点,半径为体对角线长的一半.2.长方体的外接球的球心为其体对角线的中点,半径为体对角线长的一半.3.补成长方体(1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,则可将其放入某个长方体内,如图1所示.(2)若三棱锥的四个面均是直角三角形,则此时可构造长方体,如图2所示.(3)正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长,如图3所示.(4)若三棱锥的对棱两两相等,则可将其放入某个长方体内,如图4所示二、正四面体外接球模型如图,设正四面体的的棱长为,将其放入正方体中,则正方体的棱长为,显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为,即正四面体外接球半径为.三、直棱柱外接球模型如图1,图2,图3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形)第一步:确定球心的位置,是的外心,则平面;第二步:算出小圆的半径,(也是圆柱的高);第三步:勾股定理:,解出四、直棱锥外接球如图,平面,求外接球半径.解题步骤:第一步:将画在小圆面上,为小圆直径的一个端点,作小圆的直径,连接,则必过球心;第二步:为的外心,所以平面,算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理,得),;第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:①;②.五、正棱锥与侧棱相等模型1.正棱锥外接球半径:.2.侧棱相等模型:如图,的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上,顶点点也是圆锥的顶点.解题步骤:第一步:确定球心的位置,取的外心,则三点共线;第二步:先算出小圆的半径,再算出棱锥的高(也是圆锥的高);第三步:勾股定理:,解出.六、共斜边拼接模型如图,在四面体中,,,此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的,为公共的斜边,故以“共斜边拼接模型”命名之.设点为公共斜边的中点,根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知,,即点到,,,四点的距离相等,故点就是四面体外接球的球心,公共的斜边就是外接球的一条直径.七、垂面模型如图1所示为四面体,已知平面平面,其外接球问题的步骤如下:(1)找出和的外接圆圆心,分别记为和.(2)分别过和作平面和平面的垂线,其交点为球心,记为.(3)过作的垂线,垂足记为,连接,则.(4)在四棱锥中,垂直于平面,如图2所示,底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径.八、二面角模型如图1所示为四面体,已知二面角大小为,其外接球问题的步骤如下:(1)找出和的外接圆圆心,分别记为和.(2)分别过和作平面和平面的垂线,其交点为球心,记为.(3)过作的垂线,垂足记为,连接,则.(4)在四棱锥中,垂直于平面,如图2所示,底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径.九、圆锥圆柱圆台模型1.球内接圆锥如图,设圆锥的高为,底面圆半径为,球的半径为.通常在中,由勾股定理建立方程来计算.如图,当时,球心在圆锥内部;如图,当时,球心在圆锥外部.和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同,图2和图3两种情况建立的方程是一样的,故无需提前判断.由图、图可知,或,故,所以.2.球内接圆柱如图,圆柱的底面圆半径为,高为,其外接球的半径为,三者之间满足.3.球内接圆台,其中分别为圆台的上底面、下底面、高.十、锥体内切球模型方法:等体积法,即【题型精讲】【题型一长方体、正方体模型】例1(2023·陕西安康·高三期末)长方体的长,宽,高分别为3,,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的体积为(
)A. B. C. D.答案:A分析:求出长方体外接球半径,再由球体体积公式求体积.【详解】球O的半径为,∴体积.故选:A例2(2023·海原县高三模拟)已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,且平面,,,,则球的表面积为___________.答案:【解析】平面,平面,,,又,,,,,则可将三棱锥放入如下图所示的长方体中,则长方体的外接球即为三棱锥的外接球,球的半径,球的表面积.故答案为:.【跟踪精练】1.(2023·陕西高三模拟)已知底面边长为1,侧棱长为则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为(
)A. B. C. D.答案:D【解析】由题可知,正四棱柱的体对角线即为外接球的直径,故,解得,故球的体积为:.故选:D.2.(2023·全国·高三专题练习)据《九章算术》记载,“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示,现有一个“鳖臑”,底面,,且,三棱锥外接球表面积为(
)A. B. C. D.答案:B【解析】如图,将三棱锥补形为正方体,则外接球半径.所以三棱锥外接球表面积.故选:B.【题型二直棱柱模型】例3(2023·山西·太原五中高一阶段练习)在直三棱柱中,若,则该直三棱柱外接球的表面积为(
)A. B. C. D.答案:C【解析】由题意可得三棱柱的上下底面为直角三角形,取直角三角形斜边的中点,直三棱柱的外接球的球心O为上下底面的外接圆圆心的连线的中点,连接AO,,设外接球的半径为R,下底面外接圆的半径为r,r=,则,该直三棱柱外接球的表面积为,故选:C例4(2023·河南·高三阶段练习)已知正三棱柱的外接球表面积为,则正三棱柱的所有棱长之和的最大值为______.答案:【解析】设正三棱柱上下底面中心分别为,连,取中点为正三棱柱外接球的球心,连为外接球的半径,如图,,设正三棱柱的底面边长为x,,在中,,三棱柱的所有棱长之和为.,令,解得,当时,,当时,,所以是函数在定义域内有唯一极大值点,故当时,有最大值.故答案为:.【跟踪精练】1.(2023·安徽·合肥市第六中学高一期中)设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上,,,且底面的面积为,则此直三棱柱外接球的表面积是(
)A. B. C. D.答案:C【解析】设,因为,所以,,而,所以(于是是外接圆的半径),,即,如图,设分别是和的外接圆圆心,由直棱柱的性质知的中点是三棱柱的外接球球心,,所以外接球为.于是球的表面积为.故选:C.2.(2023·全国高三模拟)在直三棱柱中,且,已知该三棱柱的体积为2,则此三棱柱外接球表面积的最小值为______.答案:【解析】设BC的中点为D,的中点为,,由题,得三棱柱外接球的球心在线段的中点O处,由三棱柱的体积为2,得,即,由题,得,所以,外接球表面积.故答案为:【题型三正棱锥与侧棱相等模型】例5(2023·江西高三模拟)正三棱锥P-ABC底面边长为2,M为AB的中点,且PM⊥PC,则三棱锥P-ABC外接球的体积为()A. B. C. D.答案:C【解析】由图,设,则,而,因为PM⊥PC,所以由勾股定理得即解得,由对称性可知:三棱锥P-ABC外接球的球心在三棱锥P-ABC的高PD上,假设为O点,则,因为,所以,又由于点D是三角形ABC的外心,且三角形ABC为等边三角形,所以,在三角形ODC中,由勾股定理得,即,解得,所以三棱锥P-ABC外接球的体积为.故选:C例6(2023·全国·高三专题练习)已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上是边长为的正三角形,则球的表面积等于(
)A. B. C. D.答案:B【解析】已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上,是边长为的正三角形,如图所示:取BC的中点D,点H为底面的中心,所以设外接球的半径为R,所以,利用勾股定理可得,解得则球的表面积为故选:B.【题型精练】1.(2023·全国·高三专题练习)在正三棱锥中,,P到平面ABC的距离为2,则该三棱锥外接球的表面积为(
)A. B. C. D.答案:A【解析】因为,由正三棱锥的性质知,PA,PB,PC两两垂直且相等.设,则.根据,得,解得.设三棱锥外接球的半径为,则,所以.故所求外接球的表面积为.故选:A.2.(2023·全国·高三专题练习)三棱锥体积为,且,则三棱锥外接球的表面积为____________.答案:【解析】三棱锥中,取BC中点D,连PD,连AD并延长至O1,使DO1=AD,连接BO1,CO1,PO1,如图:于是得四边形为平行四边形,而,是菱形,在中,,由余弦定理有,即,则,是正三角形,,于是得O1是外接圆圆心,因,D为BC中点,则PD⊥BC,又AO1⊥BC,,平面,从而有平面,,同理,而,从而得平面,由球的截面小圆性质知,三棱锥外接球球心O在直线上,又,则,解得,设球O的半径为R,则,,中,,即,解得,则球O的表面积为,所以三棱锥外接球的表面积为.故答案为:【题型四对棱相等模型】例7如图,在三棱锥中,,,,则三棱锥外接球的体积为(
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A. B. C. D.答案:C【解析】由题意,,,,将三棱锥放到长方体中,可得长方体的三条对角线分别为,2,,设长方体的长、宽、高分别为,则,,,解得,,.所以三棱锥外接球的半径.三棱锥外接球的体积.故选:C【题型精练】1.(2023·吉林·洮南市第一中学高三阶段练习)已知三棱锥中,,,平面平面ABC,则三棱锥的外接球的表面积为______.答案:【解析】取的中点,连接,,如图所示:因为,所以为的外接圆圆心,又因为,为的中点,所以.因为平面平面,所以平面,所以三棱锥的外接球球心在直线上.在上取一点,使得,即为三棱锥的外接球球心,设,,所以,.在中,,所以,解得,所以三棱锥的外接球的表面积为.故答案为:2.(2023·全国·高三专题练习)在三棱锥A-BCD中,,,二面角A-BD-C是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2,则A-BCD的外接球的表面积是(
)A.12π B.13π C. D.答案:B【解析】如图1,取中点,连接,则,,又,平面,所以平面,,所以,又,,,又由,,知为二面角的平面角,此角为钝角,所以,所以,因此四面体可以放置在一个长方体中,四面体的六条棱是长方体的六个面对角线,如图2,此长方体的外接球就是四面体的外接球,设长方体的棱长分别为,则,解得,所以外接球的直径为,,球表面积为.故选:B.【题型五共斜边拼接模型】例8三棱锥中,平面平面,,,,则三棱锥的外接球的半径为______答案:1【解析】因为,,故是公共的斜边,的中点是球心,球半径为.故答案为:1【题型精练】1.(2023·四川高三模拟)中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中,称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.如图所示的鳖臑中,面,,若,,且顶点均在球上,则球的表面积为______.答案:【解析】由题意可知:球为鳖臑的外接球,面,面,,,又,面,,面,又面,;取中点,连接,,,同理可知:,点与球的球心重合,球的半径,球的表面积.故答案为:.2.(2023·安徽合肥市高三期末)在三棱锥中,,,.若三棱锥的体积为1,则该三棱锥外接球的表面积为()A. B. C. D.答案:D【解析】因为,所以和为以为斜边的直角三角形,则的中点到各个顶点的距离都相等,则为外接球的球心.即为直径.过做平面,垂足为,连结,,则,解得:.,,,,则分别为在平面内的射影,所以有,又,为公共边,所以,则,所以在的角平分线上,,,,,所以有平面,平面,则有,因为,,所以,则,则故外接球的表面积为.故选:D.【题型六垂面模型】例9(2023·江西高三期末)在三棱锥中,是等边三角形,平面平面,,则三棱锥的外接球体积为()A. B. C. D.答案:C【解析】中,,所以,,设是中点,则是外心,又是等边三角形,所以,而平面平面,平面平面,平面,所以平面,所以的外心即中三棱锥外接球的球心,所以球半径,球体积为.故选:C.【题型精练】1.(2023·安徽·巢湖市第一中学高三月考)已知三棱锥中,平面平面,且,,若,则三棱锥外接球的表面积为(
)A.64π B.128π C.40π D.80π答案:D【解析】由题意得,平面,将三棱锥补成三棱柱,如图,则三棱柱的外接球即为所求.设外接球的球心为,则的外心为,则,又,则外接球的半径,表面积,故选:D2.(2023·重庆八中高三阶段练习)在三棱锥中、平面平面,,且,则三棱维的外接球表面积是(
)A. B. C. D.答案:C【解析】由题意,为直角三角形,故在三棱维的外接球的一个切面圆上,为该圆直径;又平面平面,故外接球的球心在所在的平面内,又,故为等腰三角形,球心O在BD边中线所在直线上,点到线段的距离为,设外接球的半径为,则,解得,则外接球的表面积为.故选:C.【题型七二面角模型】例10(2023·全国·高三专题练习)在三棱锥中,为等腰直角三角形,,为正三角形,且二面角的平面角为,则三棱锥的外接球表面积为(
)A. B. C. D.答案:C【解析】如图所示,为直角三角形,又,所以,因为为正三角形,所以,连接,为的中点,E为中点,则,所以为二面角的平面角所以.因为为直角三角形,E为中点,所以点为的外接圆的圆心,设G为的中心,则G为的外接圆圆心.过E作面的垂线,过G作面的垂线,设两垂线交于O.则O即为三棱锥的外接球球心.设与交于点H,,所以,,∴.所以,故选:C.【题型精练】
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