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第二章函数2.3.1函数的周期性与对称性(题型战法)知识梳理一函数的周期性函数满足定义域内的任一实数(其中为常数)(1),则是以为周期的周期函数;(2),则是以为周期的周期函数;(3),则是以为周期的周期函数;(4),则是以为周期的周期函数; 二函数的对称性轴对称:若则f(x)关于对称.中心对称:若则f(x)关于(,m)对称.三由对称性推周期性(1)函数满足(),=1\*GB3①若为奇函数,则函数周期为,=2\*GB3②若为偶函数,则函数周期为.(2)函数的图象关于直线和都对称,则函数是以为最小正周期的周期函数;(3)函数的图象关于两点,都对称,则函数是以为最小正周期的周期函数;(4)函数的图象关于和直线都对称,则函数是以为最小正周期的周期函数;题型战法题型战法一周期性与对称性的判断典例1.下列函数是周期函数的有(
)①
②
③A.①③ B.②③ C.①② D.①②③变式1-1.下列函数中,既是周期函数又是偶函数的是(
)A. B. C. D.变式1-2.函数与的图象(
)A.关于轴对称 B.关于轴对称C.关于原点对称 D.关于直线对称变式1-3.函数的图像(
)A.关于直线对称 B.关于轴对称C.关于原点对称 D.关于轴对称变式1-4.函数的图象关于(
)对称.A.直线 B.原点 C.轴 D.轴题型战法二由函数周期性求函数值典例2.已知函数为R上的偶函数,若对于时,都有,且当时,,则等于(
)A.1 B.-1 C. D.变式2-1.定义在R上的函数满足,当时,,则(
)A. B. C.2 D.1变式2-2.已知函数是上的偶函数,若对于,都有.且当时,,则的值为(
)A. B. C.1 D.2变式2-3.已知定义在上的偶函数,对,有成立,当时,,则(
)A. B. C. D.变式2-4.已知函数是定义在上的奇函数,(1),且,则的值为(
)A.0 B. C.2 D.5题型战法三由函数对称性求函数值典例3.如果函数对任意的实数,都有,且当时,,那么函数在上的最大值与最小值之和为(
)A.2 B.3 C.4 D.-1变式3-1.已知,若,则(
)A.-14 B.14 C.6 D.10变式3-2.已知函数的图象与指数函数的图象关于轴对称,则实数的值是A.1 B.2C.4 D.8变式3-3.设函数的图象关于直线对称,则的值为A. B. C. D.变式3-4.已知函数的图象关于直线对称,则(
)A. B. C. D.题型战法四由周期性与对称性求函数解析式典例4.设是定义在R上的周期为2的偶函数,已知时,,则x∈[-2,0]时,f(x)的解析式为f(x)=()A. B. C. D.变式4-1.已知函数满足,当时,有,则当x∈(-3,-2)时,等于(
)A. B. C. D.变式4-2.已知是定义在上周期为2的函数,当时,,那么当时(
)A. B. C. D.变式4-3.若函数与的图象关于直线对称,则(
)A. B. C. D.变式4-4.下列函数中,其图象与函数的图象关于直线对称的是(
)A. B. C. D.题型战法五由周期性与对称性比较大小典例5.定义在上的函数满足:成立且在上单调递增,设,,,则,,的大小关系是(
)A. B.C. D.变式5-1.已知定义域为的函数是奇函数,且,若在区间是减函数,则,,的大小关系是(
)A. B.C. D.变式5-2.已知函数的定义域为R,且满足下列三个条件:①对任意的,且,都有;②;③是偶函数;若,,则的大小关系正确的是(
)A. B. C. D.变式5-3.定义在R上的函数满足以下三个条件:①对于任意的实数,都有成立;②函数的图象关于y轴对称;③对任意的,,,都有成立.则,,的大小关系为(
)A. B.C. D.变式5-4.已知定义在上的函数满足,①,②为奇函数,③当时,恒成立.则、、的大小关系正确的是(
)A. B.C. D.题型战法六由抽象函数周期性与对称性求函数值典例6.已知是定义域为R的偶函数,,,.若是偶函数,则(
)A.-3 B.-2 C.2 D.3变式6-1.已知函数满足对任意恒成立,又函数的图象关于点对称,且则(
)A. B. C. D.变式6-2.若定义在实数集R上的偶函数满足,,对任意的恒成立,则(
)A.4 B.3 C.2 D.1变式6-3.已知定义在上的函数,满足,,且,则(
)A. B. C. D.变式6-4.函数定义域为R,且,若函数的图象关于对称,且,则=(
)A.3 B.-3 C.6 D.-6第二章函数2.3.1函数的周期性与对称性(题型战法)知识梳理一函数的周期性函数满足定义域内的任一实数(其中为常数)(1),则是以为周期的周期函数;(2),则是以为周期的周期函数;(3),则是以为周期的周期函数;(4),则是以为周期的周期函数; 二函数的对称性轴对称:若则f(x)关于对称.中心对称:若则f(x)关于(,m)对称.三由对称性推周期性(1)函数满足(),=1\*GB3①若为奇函数,则函数周期为,=2\*GB3②若为偶函数,则函数周期为.(2)函数的图象关于直线和都对称,则函数是以为最小正周期的周期函数;(3)函数的图象关于两点,都对称,则函数是以为最小正周期的周期函数;(4)函数的图象关于和直线都对称,则函数是以为最小正周期的周期函数;题型战法题型战法一周期性与对称性的判断典例1.下列函数是周期函数的有(
)①
②
③A.①③ B.②③ C.①② D.①②③【答案】C【解析】【分析】根据三角函数和二次函数的性质可得.【详解】易得和是周期函数,不是周期函数.故选:C.变式1-1.下列函数中,既是周期函数又是偶函数的是(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】直接利用函数性质判断即可.【详解】选项A中不是周期函数,故排除A;选项B,D中的函数均为奇函数,故排除B,D;故选:C.【点睛】本题考查基本初等函数的周期性和奇偶性,属于基础题.变式1-2.函数与的图象(
)A.关于轴对称 B.关于轴对称C.关于原点对称 D.关于直线对称【答案】B【解析】【分析】设点在函数图象上,证明关于轴对称的点在函数的图象上.【详解】解:设点在函数图象上,则,则关于轴对称的点满足,所以点在函数的图象上.故选:B变式1-3.函数的图像(
)A.关于直线对称 B.关于轴对称C.关于原点对称 D.关于轴对称【答案】B【解析】【分析】利用分离常数法化简函数式,可知函数为偶函数,进而判断对称性.【详解】解:因为,易知为偶函数,所以函数的图象关于轴对称.故选:B.变式1-4.函数的图象关于(
)对称.A.直线 B.原点 C.轴 D.轴【答案】B【解析】根据函数的奇偶性判断.【详解】因为函数的定义域为,关于原点对称,又,所以是奇函数,图象关于原点对称,故选:B题型战法二由函数周期性求函数值典例2.已知函数为R上的偶函数,若对于时,都有,且当时,,则等于(
)A.1 B.-1 C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知确定函数的周期,利用周期性和奇偶性进行求解.【详解】∵为上的偶函数,∴,又当时,,∴,当时,,∴.故选:A.变式2-1.定义在R上的函数满足,当时,,则(
)A. B. C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】由可知,函数的周期为2,利用周期性把所给的自变量转化到区间上,代入求值即可.【详解】由可知,函数的周期为2,当时,,∴.故选:B变式2-2.已知函数是上的偶函数,若对于,都有.且当时,,则的值为(
)A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】由可得函数的周期为2,再结合函数为偶函数可得,然后由已知的解析式可求得答案【详解】∵函数是上的偶函数,∴,又∵对于都有,∴,∵当时,,∴,故选:C.变式2-3.已知定义在上的偶函数,对,有成立,当时,,则(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求得的周期,结合奇偶性求得的值.【详解】依题意对,有成立,令,则,所以,故,所以是周期为的周期函数,故.故选:C变式2-4.已知函数是定义在上的奇函数,(1),且,则的值为(
)A.0 B. C.2 D.5【答案】B【解析】【分析】根据题意,分析可得,即函数是周期为8的周期函数,则有,(1),由奇函数的性质求出与(1)的值,相加即可得答案.【详解】解:根据题意,函数满足,则有,即函数是周期为8的周期函数,函数是定义在上的奇函数,则,(4),(5)(1),则(1),故选:B.【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的性质以及应用,注意分析函数的周期性,属于基础题.题型战法三由函数对称性求函数值典例3.如果函数对任意的实数,都有,且当时,,那么函数在上的最大值与最小值之和为(
)A.2 B.3 C.4 D.-1【答案】C【解析】根据,可知:关于对称,根据对称性,要求函数在上的最大值与最小值之和,即求函数在上的最大值与最小值之和,代入即可得解.【详解】根据,可知:关于对称,那么要求函数在上的最大值与最小值之和,即求函数在上的最大值与最小值之和,因为递增,所以最小值与最大值分别为:,,,故答案为:C.【点睛】本题考查了函数的对称性,考查了转化思想,计算量较小,思路要求较高,属于中档题.变式3-1.已知,若,则(
)A.-14 B.14 C.6 D.10【答案】A【解析】【分析】先计算,再代入数值得结果.【详解】,又,所以故选A【点睛】本题考查函数性质,考查基本分析求解能力,属基础题.变式3-2.已知函数的图象与指数函数的图象关于轴对称,则实数的值是A.1 B.2C.4 D.8【答案】C【解析】【分析】指数函数关于轴对称的函数为,由此得到与的关系,即可求解出的值.【详解】因为两函数的图象关于轴对称,所以与互为倒数,所以,解得.故选C.【点睛】本题考查指数函数图象对称与底数之间关系,难度较易.关于轴对称的指数函数的底数互为倒数.变式3-3.设函数的图象关于直线对称,则的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】试题分析:因为函数的图象关于直线对称,所以点与点,关于直线对称,,故选D.考点:函数的图象与性质.变式3-4.已知函数的图象关于直线对称,则(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由对称性求得,再将代入函数解析式即可求得答案.【详解】因为的图象关于直线对称,所以,即,解得,则.故选:B题型战法四由周期性与对称性求函数解析式典例4.设是定义在R上的周期为2的偶函数,已知时,,则x∈[-2,0]时,f(x)的解析式为f(x)=()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据已知中函数的奇偶性和周期性,结合时,,可得答案.【详解】解:∵是定义在R上的周期为2的偶函数,时,,∴时,,,此时,时,,,此时,综上可得:时,故选:C.【点睛】本题考查函数解析式的求法,函数的周期性,函数的奇偶性,难度中档.变式4-1.已知函数满足,当时,有,则当x∈(-3,-2)时,等于(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】令,则,根据时,f(x)=2x,可求得f(x+2)的解析式,再根据f(x+2)=f(x),即可求得f(x)解析式.【详解】令,则,∵当时,有,∴f(x+2)=2x+2,∵f(x+2)=f(x),∴f(x+2)=f(x)=2x+2,.故选:C.【点睛】本题考查函数解析式的求法,求函数解析式常见的方法有:待定系数法,换元法,凑配法,消元法等,考查学生的计算能力,属于基础题.变式4-2.已知是定义在上周期为2的函数,当时,,那么当时(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】利用周期函数的定义求解即可.【详解】设,则,由题意知,,因为函数是定义在上周期为2的函数,所以,即.故选:C【点睛】本题考查周期函数的性质;熟练掌握周期函数的定义是求解本题的关键;属于常考题.变式4-3.若函数与的图象关于直线对称,则(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先设出函数图像上任意点的坐标,再求出关于直线对称的点,代入函数的解析式即可求解.【详解】解:设函数图像上的点为,关于直线对称的点为,将点代入函数的解析式可得:,故,故选:D.变式4-4.下列函数中,其图象与函数的图象关于直线对称的是(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设所求函数图象上任意一点为,由其关于直线的对称点在函数的图象上可解得结果.【详解】设所求函数图象上任意一点为,则其关于直线的对称点在函数的图象上,所以.故选:B.题型战法五由周期性与对称性比较大小典例5.定义在上的函数满足:成立且在上单调递增,设,,,则,,的大小关系是(
)A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由,得到是周期为4的周期函数,得到,,结合在上单调递增,得到,即可求解.【详解】由题意,函数满足,即函数是周期为4的周期函数,则,又由函数在区间上单调递增,可得,即,所以.故选:D.变式5-1.已知定义域为的函数是奇函数,且,若在区间是减函数,则,,的大小关系是(
)A. B.C. D.【答案】B【解析】根据已知等式判断出函数的周期性,再根据奇函数的性质和单调性进行判断即可.【详解】,由此可知函数的周期为4,函数是奇函数,,所以有:,,因为在区间是减函数,,所以,即,故选:B变式5-2.已知函数的定义域为R,且满足下列三个条件:①对任意的,且,都有;②;③是偶函数;若,,则的大小关系正确的是(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知条件可知在上单调递增,周期为,对称轴为.则,,,再结合函数的单调性即可判断大小.【详解】解:由①知,在上单调递增;由②知,的周期为;由③知,的对称轴为;则,,,因为,由函数的单调性可知,.故选:D.【点睛】本题考查了函数的对称性,考查了函数的周期,考查了函数的单调性.本题的关键是由已知条件分析出函数的性质.变式5-3.定义在R上的函数满足以下三个条件:①对于任意的实数,都有成立;②函数的图象关于y轴对称;③对任意的,,,都有成立.则,,的大小关系为(
)A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由①②可得函数是周期为4的函数,且是奇函数,由③可得函数在上单调递增,进而可得函数在上单调递增,从而利用周期性和单调性即可求解.【详解】解:由题意,因为函数的图象关于y轴对称,所以,所以,所以函数的图象关于对称,又,所以,即,因为,所以函数是周期为4的函数,所以,,,因为,且,所以,所以函数为奇函数,又因为对任意的,,,都有成立,即,所以函数在上单调递增,所以函数在上单调递增,因为,所以,故选:B.变式5-4.已知定义在上的函数满足,①,②为奇函数,③当时,恒成立.则、、的大小关系正确的是(
)A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据单调性的定义可得在上单调递增,根据已知条件可得是周期为的奇函数,根据周期性和单调性即可求解.【详解】由可得的周期为,因为为奇函数,所以为奇函数,因为时,,所以在上单调递增,因为为奇函数,所以在上单调递增,所以在上单调递增,因为,,,所以,即.故选:C.题型战法六由抽象函数周期性与对称性求函数值典例6.已知是定义域为R的偶函数,,,.若是偶函数,则(
)A.-3 B.-2 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根据得到关于对称,得到,结合和为偶函数即可得周期为4,进而
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