高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)6.1等差数列6大题型(精讲)(原卷版+解析)

6.1等差数列6大题型【题型解读】【知识储备】1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．(2)等差中项若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝eq\f(a＋b,2).2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq\f(n(n－1),2)d或Sn＝eq\f(n(a1＋an),2).3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列．【题型精讲】【题型一等差数列基本量的运算】必备技巧等差数列中的基本计算等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．例1(2023·四川遂宁市高三期末）已知等差数列满足，则它的前8项的和（）A．70 B． C． D．105例2(2023·全国高三模拟）已知等差数列的前项和为，若，则的通项公式为_____________例3(2023·江西高三模拟）设等差数列的前项和为，，则（

）A．56 B．63 C．67 D．72例4(2023·山东高三模拟）在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为()A．2B．10C.eq\f(5,2)D.eq\f(5,4)【题型精练】1.(2023·广东潮州·高三期末）等差数列的前n项和，若的值为（）A．1 B．2 C．3 D．42.(2023·江苏苏州·高三期末）记为等差数列的前项和，若，则（）A． B． C． D．3.(2023·河南高三模拟）已知等差数列的前项和为，若，，则的公差为（）A．4 B．3 C．2 D．14.(2023·广东汕头市·高三二模）已知数列中各项为非负数，，，若数列为等差数列，则（）A．169 B．144 C．12 D．13【题型二等差数列的性质及应用】必备技巧等差数列的性质1.在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列，且公差为eq\f(d,2).3．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.4．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(an＋1,an).5．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(n,n＋1).例5(2023·黑龙江哈尔滨市模拟）是等差数列的前项和，，，则（）A．9 B．16 C．20 D．27例6(2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，则（

）A．8 B．12 C．14 D．20例7(2023·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，若且，则(

)A． B．C． D．例8(2023·全国·高三专题练习）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则______．【题型精练】1．(2023·山西临汾市一模）设等差数列的前项和为，若，则（）A．28 B．34 C．40 D．442.(2023·江苏高三专题练习）已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为．若，则（）A． B． C． D．3.(2023·全国·高三专题练习）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（

）A． B． C． D．4.(2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，则数列公差为___________.【题型三等差数列的判定与证明】必备技巧判断等差数列的方法(1)定义法an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列.(2)等差中项法2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列．(3)通项公式法数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列．例9(2023·黑龙江大庆市）在数列中，，是1与的等差中项，求证：数列是等差数列，并求的通项公式；[题型精练]1．(2023·湖北荆州·高三期末）在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项．(1)求证：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－1)))是等差数列，并求eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通项公式；(2)求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,n2an)))的前n项和Sn.2.(2023·江苏南通市）已知数列的前项和为，且满足，数列满足且，求证：数列成等差数列，并求和的通项公式；3.(2023·河北路南·唐山一中月考）已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝3an＋3n＋1－2n，设bn＝eq\f(an－2n,3n)，求证：数列{bn}为等差数列，并求{an}的通项公式．【题型四等差数列的前n项和及其最值】必备技巧等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))确定；当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))确定．(2)Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．例10(2023·北京模拟）设等差数列的前n项和为，若，，则当取最大值n等于（

）A．4 B．5 C．6 D．7例11(2023·江西赣州·二模）已知等差数列的前项和为，若，，则使得前项和取得最大值时的值为（

）A．2022 B．2021 C．1012 D．1011【题型精练】1.(2023·陕西省洛南中学高三月考）已知数列中，则数列的前项和最大时，的值为（）A．8 B．7或8 C．8或9 D．92.(2023·全国·高三专题练习（理））已知等差数列的前项和为，且，，则下面结论错误的是（）A． B． C． D．与均为的最小值3.(2023·浙江省浦江中学高三期末）设等差数列的公差为d，其前n项和为，且，，则使得的正整数n的最小值为（

）A．16 B．17 C．18 D．19【题型五含绝对值的求和问题】必备技巧含绝对值的求和问题已知等差数列{an}，求绝对值数列{|an|}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．例12(2023·河南淇滨·鹤壁高中高三月考）已知两个等差数列、，其中，，，记前项和为，．（1）求数列与的通项公式；（2）记，设，求．[题型精练]1．(2023·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校高三三模）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为，（1）求等差数列的通项公式；（2）若公差，求数列的前项和.2．(2023·山西大同·高三月考）若等差数列的前项和为，已知，且，则________.【题型六等差数列的应用】例13（2023·全国·高二单元测试）数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的正整数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则满足的正整数的最小值为（

）A．132 B．135 C．136 D．138例14(2023·广东江门模拟）（多选）已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（

）A．是递增数列 B．C．当，或17时，取得最大值 D．[题型精练]1．(2023·福建·莆田华侨中学模拟预测）2022年4月26日下午，神州十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（

）A．10秒 B．13秒 C．15秒 D．19秒2．(2023·全国·高三专题练习）（多选）设等差数列的前项和为，公差为.已知，，，则（

）A．数列的最小项为第项 B．C． D．时，的最大值为6.1等差数列6大题型【题型解读】【知识储备】1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．(2)等差中项若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝eq\f(a＋b,2).2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq\f(n(n－1),2)d或Sn＝eq\f(n(a1＋an),2).3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列．【题型精讲】【题型一等差数列基本量的运算】必备技巧等差数列中的基本计算等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．例1(2023·四川遂宁市高三期末）已知等差数列满足，则它的前8项的和（）A．70 B． C． D．105答案：C【解析】设等差数列的首项为，公差为．由，得，解得，．所以．故选：．例2(2023·全国高三模拟）已知等差数列的前项和为，若，则的通项公式为_____________答案：【解析】设等差数列的公差为，因为，所以，解得，所以，故答案为：例3(2023·江西高三模拟）设等差数列的前项和为，，则（

）A．56 B．63 C．67 D．72答案：B【解析】设的公差为，则，所以，所以.故选：B例4(2023·山东高三模拟）在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为()A．2B．10C.eq\f(5,2)D.eq\f(5,4)答案：C【解析】由2an＋1＝1＋2an得an＋1－an＝eq\f(1,2)，所以数列{an}是首项为－2，公差为eq\f(1,2)的等差数列，所以S10＝10×(－2)＋eq\f(10×10－1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).【题型精练】1.(2023·广东潮州·高三期末）等差数列的前n项和，若的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4答案：B分析：根据，即可得出答案.【解析】解：因为，所以.故选：B.2.(2023·江苏苏州·高三期末）记为等差数列的前项和，若，则（）A． B． C． D．答案：C分析：利用等差数列的前项和公式，将进行化简,可得，然后利用通项公式将展开，并将代入，化简可得答案.【详解】，则，故选：C．3.(2023·河南高三模拟）已知等差数列的前项和为，若，，则的公差为（）A．4 B．3 C．2 D．1答案：B【解析】由，得.又，所以.故选：B4.(2023·广东汕头市·高三二模）已知数列中各项为非负数，，，若数列为等差数列，则（）A．169 B．144 C．12 D．13答案：B【解析】由题意，，又因为数列是等差数列，所以，且满足各项为非负数，则有，可得故选：B【题型二等差数列的性质及应用】必备技巧等差数列的性质1.在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列，且公差为eq\f(d,2).3．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.4．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(an＋1,an).5．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(n,n＋1).例5(2023·黑龙江哈尔滨市模拟）是等差数列的前项和，，，则（）A．9 B．16 C．20 D．27答案：D【解析】由得，则，由得，则，所以故选：D例6(2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，则（

）A．8 B．12 C．14 D．20答案：D【解析】等差数列的前n项和为，，则，，，构成首项为2，公差为2的等差数列则+()+()+()=2+4+6+8=20故选：D例7(2023·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，若且，则(

)A． B．C． D．答案：A【解析】设的公差为d，∵∴，即{}为等差数列，公差为，由知，故故选：A﹒例8(2023·全国·高三专题练习）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则______．答案：【解析】因为为等差数列，所以，所以.故答案为：【题型精练】1．(2023·山西临汾市一模）设等差数列的前项和为，若，则（）A．28 B．34 C．40 D．44答案：D【解析】因为，所以由，可得所以，所以，故选：D2.(2023·江苏高三专题练习）已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为．若，则（）A． B． C． D．答案：B【解析】∵是等差数列的前项和，∴，即，∵是等差数列的前项和，∴，即，∴，故选：B.3.(2023·全国·高三专题练习）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由题意，.故选：C.4.(2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，则数列公差为___________.答案：4【解析】由等差数列性质可知，又，∴,解得，故答案为：4【题型三等差数列的判定与证明】必备技巧判断等差数列的方法(1)定义法an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列.(2)等差中项法2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列．(3)通项公式法数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列．例9(2023·黑龙江大庆市）在数列中，，是1与的等差中项，求证：数列是等差数列，并求的通项公式；答案：证明见解析，；【解析】由题意知是1与的等差中项，可得，可得，则，可得，又由，可得，所以数列是首项和公差均为1的等差数列，可得，解得，即的通项公式.[题型精练]1．(2023·湖北荆州·高三期末）在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项．(1)求证：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－1)))是等差数列，并求eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通项公式；(2)求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,n2an)))的前n项和Sn.【解析】(1)∵an是1与anan＋1的等差中项，∴2an＝1＋anan＋1，∴an＋1＝eq\f(2an－1,an)，∴an＋1－1＝eq\f(2an－1,an)－1＝eq\f(an－1,an)，∴eq\f(1,an＋1－1)＝eq\f(an,an－1)＝1＋eq\f(1,an－1)，∵eq\f(1,a1－1)＝1，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－1)))是首项为1，公差为1的等差数列，∴eq\f(1,an－1)＝1＋(n－1)＝n，∴an＝eq\f(n＋1,n).(2)由(1)得eq\f(1,n2an)＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，∴Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).2.(2023·江苏南通市）已知数列的前项和为，且满足，数列满足且，求证：数列成等差数列，并求和的通项公式；答案：（1）证明见解析，，【解析】因，则，所以为首项为1，公差为2的等差数列，有，；又，则时，，相减得，，则有，而，即，即为首项为-1，公比为2的等比数列，所以.3.(2023·河北路南·唐山一中月考）已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝3an＋3n＋1－2n，设bn＝eq\f(an－2n,3n)，求证：数列{bn}为等差数列，并求{an}的通项公式．【解析】因为bn＋1－bn＝eq\f(an＋1－2n＋1,3n＋1)－eq\f(an－2n,3n)＝eq\f(3an＋3n＋1－2n－2n＋1,3n＋1)－eq\f(3an－3·2n,3n＋1)＝1，所以{bn}为等差数列，又b1＝eq\f(a1－2,3)＝0，所以bn＝n－1，所以an＝(n－1)·3n＋2n.【题型四等差数列的前n项和及其最值】必备技巧等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))确定；当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))确定．(2)Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．例10(2023·北京模拟）设等差数列的前n项和为，若，，则当取最大值n等于（

）A．4 B．5 C．6 D．7答案：B【解析】设公差为则，因此，所以当时，取最大值故选：B例11(2023·江西赣州·二模）已知等差数列的前项和为，若，，则使得前项和取得最大值时的值为（

）A．2022 B．2021 C．1012 D．1011答案：D【解析】因为等差数列的前项和为，，，所以，所以，，所以，，即等差数列的公差，所以，时，；时，，所以，使得前项和取得最大值时的值为.故选：D【题型精练】1.(2023·陕西省洛南中学高三月考）已知数列中，则数列的前项和最大时，的值为（）A．8 B．7或8 C．8或9 D．9答案：C【解析】，数列是等差数列，并且公差为，，对称轴是，，所以当或时，取得最大值.故选：C2.(2023·全国·高三专题练习（理））已知等差数列的前项和为，且，，则下面结论错误的是（）A． B． C． D．与均为的最小值答案：C【解析】对于A选项，由可得，A选项正确；对于C选项，由可得，∴，C选项错误；对于D选项，由可得，且，，，所以，当且时，，且，则与均为的最小值，D选项正确；对于B选项，∵，，当时，，所以，，B选项正确．故选：C．3.(2023·浙江省浦江中学高三期末）设等差数列的公差为d，其前n项和为，且，，则使得的正整数n的最小值为（

）A．16 B．17 C．18 D．19答案：D【解析】由，得，因为是等差数列，所以，，，，，，所以，使得的正整数n的最小值为.故选:D.【题型五含绝对值的求和问题】必备技巧含绝对值的求和问题已知等差数列{an}，求绝对值数列{|an|}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．例12(2023·河南淇滨·鹤壁高中高三月考）已知两个等差数列、，其中，，，记前项和为，．（1）求数列与的通项公式；（2）记，设，求．答案：（1），；（2）.【解析】（1），当时，，满足，.设等差数列的公差为，则，；（2）由（1）知，，．当时，；当时，．综上所述，.[题型精练]1．(2023·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校高三三模）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为，（1）求等差数列的通项公式；（2）若公差，求数列的前项和.答案：（1）或（2）【解析】（1）设等差数