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文档简介
6.1等差数列6大题型【题型解读】【知识储备】1.等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示,定义表达式为an-an-1=d(常数)(n≥2,n∈N*)或an+1-an=d(常数)(n∈N*).(2)等差中项若三个数,a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且有A=eq\f(a+b,2).2.等差数列的有关公式(1)通项公式:an=a1+(n-1)d.(2)前n项和公式:Sn=na1+eq\f(n(n-1),2)d或Sn=eq\f(n(a1+an),2).3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.(5)S2n-1=(2n-1)an.(6)等差数列{an}的前n项和为Sn,eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列.【题型精讲】【题型一等差数列基本量的运算】必备技巧等差数列中的基本计算等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1,d,n,an和Sn,这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组,解出a1和d,便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.例1(2023·四川遂宁市高三期末)已知等差数列满足,则它的前8项的和()A.70 B. C. D.105例2(2023·全国高三模拟)已知等差数列的前项和为,若,则的通项公式为_____________例3(2023·江西高三模拟)设等差数列的前项和为,,则(
)A.56 B.63 C.67 D.72例4(2023·山东高三模拟)在数列{an}中,若a1=-2,且对任意的n∈N*有2an+1=1+2an,则数列{an}前10项的和为()A.2B.10C.eq\f(5,2)D.eq\f(5,4)【题型精练】1.(2023·广东潮州·高三期末)等差数列的前n项和,若的值为()A.1 B.2 C.3 D.42.(2023·江苏苏州·高三期末)记为等差数列的前项和,若,则()A. B. C. D.3.(2023·河南高三模拟)已知等差数列的前项和为,若,,则的公差为()A.4 B.3 C.2 D.14.(2023·广东汕头市·高三二模)已知数列中各项为非负数,,,若数列为等差数列,则()A.169 B.144 C.12 D.13【题型二等差数列的性质及应用】必备技巧等差数列的性质1.在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.2.若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列,且公差为eq\f(d,2).3.设等差数列{an}的公差为d,Sn为其前n项和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍构成等差数列,且公差为m2d.4.若等差数列{an}的项数为2n,则S2n=n(an+an+1),S偶-S奇=nd,eq\f(S偶,S奇)=eq\f(an+1,an).5.若等差数列{an}的项数为2n+1,则S2n+1=(2n+1)·an+1,S偶-S奇=-an+1,eq\f(S偶,S奇)=eq\f(n,n+1).例5(2023·黑龙江哈尔滨市模拟)是等差数列的前项和,,,则()A.9 B.16 C.20 D.27例6(2023·全国·高三专题练习)已知等差数列的前n项和为,若,则(
)A.8 B.12 C.14 D.20例7(2023·全国·高三专题练习)等差数列的前项和为,若且,则(
)A. B.C. D.例8(2023·全国·高三专题练习)已知,分别是等差数列,的前n项和,且,则______.【题型精练】1.(2023·山西临汾市一模)设等差数列的前项和为,若,则()A.28 B.34 C.40 D.442.(2023·江苏高三专题练习)已知等差数列的前项和为,等差数列的前项和为.若,则()A. B. C. D.3.(2023·全国·高三专题练习)设等差数列与等差数列的前n项和分别为,,若对任意自然数n都有,则的值为(
)A. B. C. D.4.(2023·全国·高三专题练习)设等差数列的前项和为,若,则数列公差为___________.【题型三等差数列的判定与证明】必备技巧判断等差数列的方法(1)定义法an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,n∈N*)⇔数列{an}是等差数列.(2)等差中项法2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列.(3)通项公式法数列{an}的通项公式形如an=pn+q(p,q为常数)⇔数列{an}为等差数列.例9(2023·黑龙江大庆市)在数列中,,是1与的等差中项,求证:数列是等差数列,并求的通项公式;[题型精练]1.(2023·湖北荆州·高三期末)在数列{an}中,a1=2,an是1与anan+1的等差中项.(1)求证:数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an-1)))是等差数列,并求eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通项公式;(2)求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,n2an)))的前n项和Sn.2.(2023·江苏南通市)已知数列的前项和为,且满足,数列满足且,求证:数列成等差数列,并求和的通项公式;3.(2023·河北路南·唐山一中月考)已知数列{an}满足:a1=2,an+1=3an+3n+1-2n,设bn=eq\f(an-2n,3n),求证:数列{bn}为等差数列,并求{an}的通项公式.【题型四等差数列的前n项和及其最值】必备技巧等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中,当a1>0,d<0时,Sn有最大值,使Sn取得最值的n可由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0,,an+1≤0))确定;当a1<0,d>0时,Sn有最小值,使Sn取到最值的n可由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0,,an+1≥0))确定.(2)Sn=eq\f(d,2)n2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1-\f(d,2)))n,若d≠0,则从二次函数的角度看:当d>0时,Sn有最小值;当d<0时,Sn有最大值.当n取最接近对称轴的正整数时,Sn取到最值.例10(2023·北京模拟)设等差数列的前n项和为,若,,则当取最大值n等于(
)A.4 B.5 C.6 D.7例11(2023·江西赣州·二模)已知等差数列的前项和为,若,,则使得前项和取得最大值时的值为(
)A.2022 B.2021 C.1012 D.1011【题型精练】1.(2023·陕西省洛南中学高三月考)已知数列中,则数列的前项和最大时,的值为()A.8 B.7或8 C.8或9 D.92.(2023·全国·高三专题练习(理))已知等差数列的前项和为,且,,则下面结论错误的是()A. B. C. D.与均为的最小值3.(2023·浙江省浦江中学高三期末)设等差数列的公差为d,其前n项和为,且,,则使得的正整数n的最小值为(
)A.16 B.17 C.18 D.19【题型五含绝对值的求和问题】必备技巧含绝对值的求和问题已知等差数列{an},求绝对值数列{|an|}的有关问题是一种常见的题型,解决此类问题的核心便是去掉绝对值,此时应从其通项公式入手,分析哪些项是正的,哪些项是负的,即找出正、负项的“分界点”.例12(2023·河南淇滨·鹤壁高中高三月考)已知两个等差数列、,其中,,,记前项和为,.(1)求数列与的通项公式;(2)记,设,求.[题型精练]1.(2023·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校高三三模)已知等差数列前三项的和为,前三项的积为,(1)求等差数列的通项公式;(2)若公差,求数列的前项和.2.(2023·山西大同·高三月考)若等差数列的前项和为,已知,且,则________.【题型六等差数列的应用】例13(2023·全国·高二单元测试)数学著作《孙子算经》中有这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二(除以3余2),五五数之剩三(除以5余3),问物几何?”现将同时满足“三三数之剩二,五五数之剩三”的正整数按从小到大的顺序排成一列,构成数列,则满足的正整数的最小值为(
)A.132 B.135 C.136 D.138例14(2023·广东江门模拟)(多选)已知数列的前n项和为,则下列说法正确的是(
)A.是递增数列 B.C.当,或17时,取得最大值 D.[题型精练]1.(2023·福建·莆田华侨中学模拟预测)2022年4月26日下午,神州十三号载人飞船返回舱在京完成开舱.据科学计算,运载“神十三”的“长征二号”遥十三运载火箭,在点火第一秒钟通过的路程为2千米,以后每秒钟通过的路程都增加2千米,在达到离地面380千米的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程需要的时间大约是(
)A.10秒 B.13秒 C.15秒 D.19秒2.(2023·全国·高三专题练习)(多选)设等差数列的前项和为,公差为.已知,,,则(
)A.数列的最小项为第项 B.C. D.时,的最大值为6.1等差数列6大题型【题型解读】【知识储备】1.等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示,定义表达式为an-an-1=d(常数)(n≥2,n∈N*)或an+1-an=d(常数)(n∈N*).(2)等差中项若三个数,a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且有A=eq\f(a+b,2).2.等差数列的有关公式(1)通项公式:an=a1+(n-1)d.(2)前n项和公式:Sn=na1+eq\f(n(n-1),2)d或Sn=eq\f(n(a1+an),2).3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.(5)S2n-1=(2n-1)an.(6)等差数列{an}的前n项和为Sn,eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列.【题型精讲】【题型一等差数列基本量的运算】必备技巧等差数列中的基本计算等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1,d,n,an和Sn,这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组,解出a1和d,便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.例1(2023·四川遂宁市高三期末)已知等差数列满足,则它的前8项的和()A.70 B. C. D.105答案:C【解析】设等差数列的首项为,公差为.由,得,解得,.所以.故选:.例2(2023·全国高三模拟)已知等差数列的前项和为,若,则的通项公式为_____________答案:【解析】设等差数列的公差为,因为,所以,解得,所以,故答案为:例3(2023·江西高三模拟)设等差数列的前项和为,,则(
)A.56 B.63 C.67 D.72答案:B【解析】设的公差为,则,所以,所以.故选:B例4(2023·山东高三模拟)在数列{an}中,若a1=-2,且对任意的n∈N*有2an+1=1+2an,则数列{an}前10项的和为()A.2B.10C.eq\f(5,2)D.eq\f(5,4)答案:C【解析】由2an+1=1+2an得an+1-an=eq\f(1,2),所以数列{an}是首项为-2,公差为eq\f(1,2)的等差数列,所以S10=10×(-2)+eq\f(10×10-1,2)×eq\f(1,2)=eq\f(5,2).【题型精练】1.(2023·广东潮州·高三期末)等差数列的前n项和,若的值为()A.1 B.2 C.3 D.4答案:B分析:根据,即可得出答案.【解析】解:因为,所以.故选:B.2.(2023·江苏苏州·高三期末)记为等差数列的前项和,若,则()A. B. C. D.答案:C分析:利用等差数列的前项和公式,将进行化简,可得,然后利用通项公式将展开,并将代入,化简可得答案.【详解】,则,故选:C.3.(2023·河南高三模拟)已知等差数列的前项和为,若,,则的公差为()A.4 B.3 C.2 D.1答案:B【解析】由,得.又,所以.故选:B4.(2023·广东汕头市·高三二模)已知数列中各项为非负数,,,若数列为等差数列,则()A.169 B.144 C.12 D.13答案:B【解析】由题意,,又因为数列是等差数列,所以,且满足各项为非负数,则有,可得故选:B【题型二等差数列的性质及应用】必备技巧等差数列的性质1.在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.2.若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差数列,且公差为eq\f(d,2).3.设等差数列{an}的公差为d,Sn为其前n项和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍构成等差数列,且公差为m2d.4.若等差数列{an}的项数为2n,则S2n=n(an+an+1),S偶-S奇=nd,eq\f(S偶,S奇)=eq\f(an+1,an).5.若等差数列{an}的项数为2n+1,则S2n+1=(2n+1)·an+1,S偶-S奇=-an+1,eq\f(S偶,S奇)=eq\f(n,n+1).例5(2023·黑龙江哈尔滨市模拟)是等差数列的前项和,,,则()A.9 B.16 C.20 D.27答案:D【解析】由得,则,由得,则,所以故选:D例6(2023·全国·高三专题练习)已知等差数列的前n项和为,若,则(
)A.8 B.12 C.14 D.20答案:D【解析】等差数列的前n项和为,,则,,,构成首项为2,公差为2的等差数列则+()+()+()=2+4+6+8=20故选:D例7(2023·全国·高三专题练习)等差数列的前项和为,若且,则(
)A. B.C. D.答案:A【解析】设的公差为d,∵∴,即{}为等差数列,公差为,由知,故故选:A﹒例8(2023·全国·高三专题练习)已知,分别是等差数列,的前n项和,且,则______.答案:【解析】因为为等差数列,所以,所以.故答案为:【题型精练】1.(2023·山西临汾市一模)设等差数列的前项和为,若,则()A.28 B.34 C.40 D.44答案:D【解析】因为,所以由,可得所以,所以,故选:D2.(2023·江苏高三专题练习)已知等差数列的前项和为,等差数列的前项和为.若,则()A. B. C. D.答案:B【解析】∵是等差数列的前项和,∴,即,∵是等差数列的前项和,∴,即,∴,故选:B.3.(2023·全国·高三专题练习)设等差数列与等差数列的前n项和分别为,,若对任意自然数n都有,则的值为(
)A. B. C. D.答案:C【解析】由题意,.故选:C.4.(2023·全国·高三专题练习)设等差数列的前项和为,若,则数列公差为___________.答案:4【解析】由等差数列性质可知,又,∴,解得,故答案为:4【题型三等差数列的判定与证明】必备技巧判断等差数列的方法(1)定义法an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,n∈N*)⇔数列{an}是等差数列.(2)等差中项法2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列.(3)通项公式法数列{an}的通项公式形如an=pn+q(p,q为常数)⇔数列{an}为等差数列.例9(2023·黑龙江大庆市)在数列中,,是1与的等差中项,求证:数列是等差数列,并求的通项公式;答案:证明见解析,;【解析】由题意知是1与的等差中项,可得,可得,则,可得,又由,可得,所以数列是首项和公差均为1的等差数列,可得,解得,即的通项公式.[题型精练]1.(2023·湖北荆州·高三期末)在数列{an}中,a1=2,an是1与anan+1的等差中项.(1)求证:数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an-1)))是等差数列,并求eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的通项公式;(2)求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,n2an)))的前n项和Sn.【解析】(1)∵an是1与anan+1的等差中项,∴2an=1+anan+1,∴an+1=eq\f(2an-1,an),∴an+1-1=eq\f(2an-1,an)-1=eq\f(an-1,an),∴eq\f(1,an+1-1)=eq\f(an,an-1)=1+eq\f(1,an-1),∵eq\f(1,a1-1)=1,∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an-1)))是首项为1,公差为1的等差数列,∴eq\f(1,an-1)=1+(n-1)=n,∴an=eq\f(n+1,n).(2)由(1)得eq\f(1,n2an)=eq\f(1,nn+1)=eq\f(1,n)-eq\f(1,n+1),∴Sn=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,2)))+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)-\f(1,3)))+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)-\f(1,4)))+…+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)-\f(1,n+1)))=1-eq\f(1,n+1)=eq\f(n,n+1).2.(2023·江苏南通市)已知数列的前项和为,且满足,数列满足且,求证:数列成等差数列,并求和的通项公式;答案:(1)证明见解析,,【解析】因,则,所以为首项为1,公差为2的等差数列,有,;又,则时,,相减得,,则有,而,即,即为首项为-1,公比为2的等比数列,所以.3.(2023·河北路南·唐山一中月考)已知数列{an}满足:a1=2,an+1=3an+3n+1-2n,设bn=eq\f(an-2n,3n),求证:数列{bn}为等差数列,并求{an}的通项公式.【解析】因为bn+1-bn=eq\f(an+1-2n+1,3n+1)-eq\f(an-2n,3n)=eq\f(3an+3n+1-2n-2n+1,3n+1)-eq\f(3an-3·2n,3n+1)=1,所以{bn}为等差数列,又b1=eq\f(a1-2,3)=0,所以bn=n-1,所以an=(n-1)·3n+2n.【题型四等差数列的前n项和及其最值】必备技巧等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中,当a1>0,d<0时,Sn有最大值,使Sn取得最值的n可由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0,,an+1≤0))确定;当a1<0,d>0时,Sn有最小值,使Sn取到最值的n可由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0,,an+1≥0))确定.(2)Sn=eq\f(d,2)n2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1-\f(d,2)))n,若d≠0,则从二次函数的角度看:当d>0时,Sn有最小值;当d<0时,Sn有最大值.当n取最接近对称轴的正整数时,Sn取到最值.例10(2023·北京模拟)设等差数列的前n项和为,若,,则当取最大值n等于(
)A.4 B.5 C.6 D.7答案:B【解析】设公差为则,因此,所以当时,取最大值故选:B例11(2023·江西赣州·二模)已知等差数列的前项和为,若,,则使得前项和取得最大值时的值为(
)A.2022 B.2021 C.1012 D.1011答案:D【解析】因为等差数列的前项和为,,,所以,所以,,所以,,即等差数列的公差,所以,时,;时,,所以,使得前项和取得最大值时的值为.故选:D【题型精练】1.(2023·陕西省洛南中学高三月考)已知数列中,则数列的前项和最大时,的值为()A.8 B.7或8 C.8或9 D.9答案:C【解析】,数列是等差数列,并且公差为,,对称轴是,,所以当或时,取得最大值.故选:C2.(2023·全国·高三专题练习(理))已知等差数列的前项和为,且,,则下面结论错误的是()A. B. C. D.与均为的最小值答案:C【解析】对于A选项,由可得,A选项正确;对于C选项,由可得,∴,C选项错误;对于D选项,由可得,且,,,所以,当且时,,且,则与均为的最小值,D选项正确;对于B选项,∵,,当时,,所以,,B选项正确.故选:C.3.(2023·浙江省浦江中学高三期末)设等差数列的公差为d,其前n项和为,且,,则使得的正整数n的最小值为(
)A.16 B.17 C.18 D.19答案:D【解析】由,得,因为是等差数列,所以,,,,,,所以,使得的正整数n的最小值为.故选:D.【题型五含绝对值的求和问题】必备技巧含绝对值的求和问题已知等差数列{an},求绝对值数列{|an|}的有关问题是一种常见的题型,解决此类问题的核心便是去掉绝对值,此时应从其通项公式入手,分析哪些项是正的,哪些项是负的,即找出正、负项的“分界点”.例12(2023·河南淇滨·鹤壁高中高三月考)已知两个等差数列、,其中,,,记前项和为,.(1)求数列与的通项公式;(2)记,设,求.答案:(1),;(2).【解析】(1),当时,,满足,.设等差数列的公差为,则,;(2)由(1)知,,.当时,;当时,.综上所述,.[题型精练]1.(2023·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校高三三模)已知等差数列前三项的和为,前三项的积为,(1)求等差数列的通项公式;(2)若公差,求数列的前项和.答案:(1)或(2)【解析】(1)设等差数
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