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文档简介
2.4幂函数和二次函数【题型解读】【题型一幂函数的图像与性质】1.(2023·全国·高三专题练习)幂函数在上为增函数,则实数的值为(
)A. B.0或2 C.0 D.22.(2023·浙江高三月考)若幂函数在上是减函数,则实数的值是()A.或3 B.3 C. D.03.(2023·北京高三模拟)已知定义在上的幂函数(为实数)过点,记,,,则的大小关系为()A. B. C. D.4.(2023·贵州毕节·高三期末)若幂函数在上单调递增,则(
)A.1 B.6 C.2 D.5.(2023·全国·高三专题练习)已知幂函数在上单调递减.(1)求的值并写出的解析式;(2)试判断是否存在,使得函数在上的值域为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.6.(2023·浙江高三专题练习)已知函数是幂函数,对任意,,且,满足,若,,且,则的值()A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断7.(2023·上海市第三女子中学高三月考)已知幂函数的图象关于轴对称,且在区间上是严格增函数.(1)求的值;(2)求满足不等式的实数的取值范围.8.(2023·肥东县综合高中高三月考)已知幂函数,在上单调递增.设,,,则,,的大小关系是()A. B.C. D.9.(2023·北京·高三专题练习)若,则实数m的取值范围为(
)A. B.C. D.10.(2023·山西阳泉市·高三三模)已知点在幂函数图像上,设,,,则、、的大小关系为A. B. C. D.【题型二二次函数的图像与性质】1.(2023·全国高三专题练习)函数满足下列性质:()定义域为,值域为.()图象关于对称.()对任意,,且,都有.请写出函数的一个解析式__________(只要写出一个即可).2.(2023·江西·贵溪市实验中学高三月考)若函数在上是减函数,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.3.(2023·山西运城·高三期末)已知二次函数的值域为,则的最小值为(
)A.16 B.12 C.10 D.84.(2023·全国高三专题练习)如果函数在区间上单调递减,则mn的最大值为A.16 B.18 C.25 D.5.(2023·贵州省思南中学高三一模)若函数的定义域为,值域为,则的取值范围______.【题型三含参二次函数最值讨论】1.5.(2023·广东·高三月考)已知函数.若函数在区间上的最大值为,求a的值.2.(2023·全国高三专题练习)已知函数在区间[0,2]上的最小值为3,求a的值.3.(2023·全国高三专题练习)已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,求实数a的取值范围.4.(2023·江苏南通·高三开学考试)已知二次函数满足,且不等式的解集为.(1)求的解析式;(2)若函数在时的值域为,求t的取值范围,2.4幂函数和二次函数【题型解读】【题型一幂函数的图像与性质】1.(2023·全国·高三专题练习)幂函数在上为增函数,则实数的值为(
)A. B.0或2 C.0 D.2答案:D【解析】因为是幂函数,所以,解得或,当时,在上为减函数,不符合题意,当时,在上为增函数,符合题意,所以.故选:D.2.(2023·浙江高三月考)若幂函数在上是减函数,则实数的值是()A.或3 B.3 C. D.0答案:B【解析】因为幂函数在上是减函数,所以,由,得或,当时,,所以舍去,当时,,所以,故选:B3.(2023·北京高三模拟)已知定义在上的幂函数(为实数)过点,记,,,则的大小关系为()A. B. C. D.答案:A【解析】由题得.函数是上的增函数.因为,,所以,所以,所以.故选:A4.(2023·贵州毕节·高三期末)若幂函数在上单调递增,则(
)A.1 B.6 C.2 D.答案:D【解析】∵幂函数在上单调递增,∴,解得,故选:D.5.(2023·全国·高三专题练习)已知幂函数在上单调递减.(1)求的值并写出的解析式;(2)试判断是否存在,使得函数在上的值域为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.答案:(1),;(2)存在,.【解析】(1)因为幂函数在上单调递减,所以解得:或(舍去),所以;(2)由(1)可得,,所以,假设存在,使得在上的值域为,①当时,,此时在上单调递减,不符合题意;②当时,,显然不成立;③当时,,在和上单调递增,故,解得.综上所述,存在使得在上的值域为.6.(2023·浙江高三专题练习)已知函数是幂函数,对任意,,且,满足,若,,且,则的值()A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断答案:A【解析】∵函数是幂函数,∴,解得:m=-2或m=3.∵对任意,,且,满足,∴函数为增函数,∴,∴m=3(m=-2舍去)∴为增函数.对任意,,且,则,∴∴.故选:A7.(2023·上海市第三女子中学高三月考)已知幂函数的图象关于轴对称,且在区间上是严格增函数.(1)求的值;(2)求满足不等式的实数的取值范围.答案:(1)(2)【解析】(1)解:因为幂函数在区间上是严格增函数,所以,解得,又因为,所以或或,当或时,为奇函数,图象关于原点对称(舍);当时,为偶函数,图象关于轴对称,符合题意;综上所述,.(2)解:由(1)得为偶函数,且在区间上是严格增函数,则由得,即,即,解得,8.(2023·肥东县综合高中高三月考)已知幂函数,在上单调递增.设,,,则,,的大小关系是()A. B.C. D.答案:A【解析】根据幂函数的定义可得,解得或,当时,,此时满足在上单调递增,当时,,此时在上单调递减,不合题意.所以.因为,,,且,所以,因为在上单调递增,所以,又因为为偶函数,所以,所以.故选:A9.(2023·北京·高三专题练习)若,则实数m的取值范围为(
)A. B.C. D.答案:C【解析】因为幂函数在和上都是单调递减的,所以,由可得或或解得或,即实数m的取值范围为.故选:C.10.(2023·山西阳泉市·高三三模)已知点在幂函数图像上,设,,,则、、的大小关系为A. B. C. D.答案:A【解析】因为点在幂函数图像上所以,所以即,,,即为R上的单调递增函数所以所以选A【题型二二次函数的图像与性质】1.(2023·全国高三专题练习)函数满足下列性质:()定义域为,值域为.()图象关于对称.()对任意,,且,都有.请写出函数的一个解析式__________(只要写出一个即可).答案:【解析】由二次函数的对称性、值域及单调性可得解析式,此时对称轴为,开口向上,满足(),因为对任意,,且,都有,等价于在上单调减,∴,满足(),又,满足(),故答案为.2.(2023·江西·贵溪市实验中学高三月考)若函数在上是减函数,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:B【解析】由于函数是开口向上,对称轴为,所函数的单调递减区间为,又函数在上是减函数,所以,所以,所以.故选;B.3.(2023·山西运城·高三期末)已知二次函数的值域为,则的最小值为(
)A.16 B.12 C.10 D.8答案:D【解析】由题意知,,∴且,∴,当且仅当,即,时取等号.故选:D.4.(2023·全国高三专题练习)如果函数在区间上单调递减,则mn的最大值为A.16 B.18 C.25 D.答案:B【解析】时,抛物线的对称轴为.据题意,当时,即..由且得.当时,抛物线开口向下,据题意得,即..由且得,故应舍去.要使得取得最大值,应有.所以,所以最大值为18.选B..5.(2023·贵州省思南中学高三一模)若函数的定义域为,值域为,则的取值范围______.答案:;【解析】,,又,故由二次函数图象可知:要使函数的定义域为,值域为的值最小为;最大为3.的取值范围是:.故答案:【题型三含参二次函数最值讨论】1.5.(2023·广东·高三月考)已知函数.若函数在区间上的最大值为,求a的值.答案:对称轴为,当,即时,在上单调递减,,舍去;当,即时,,解得:或(舍去);当,即时,在上单调递增,,解得:(舍去);综上:2.(2023·全国高三专题练习)已知函数在区间[0,2]上的最小值为3,求a的值.答案:或.【解析】函数的表达式可化为.①当,即时,有最小值,依题意应有,解得,这个值与相矛盾.②当,即时,是最小值,依题意应有,解得,又∵,∴.③当,即时,是最小值,依题意应有,解得,又∵,∴综上所述,或.3.(2023·全国高三专题练习)已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,求实数a的取值范围.答案:[2,3].【解析】∵f(x)的对称轴方程为x=a,且f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,∴a≥2.又x=a∈[1,a+1],且(a+1)-a≤a-1,∴f(x)max=f(1)=6-2a,f(x)min=f(a)=5-a2.∵对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,∴f(x)max-f(x)min
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