高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)2.4幂函数和二次函数(精练)(原卷版+解析)

2.4幂函数和二次函数【题型解读】【题型一幂函数的图像与性质】1.(2023·全国·高三专题练习）幂函数在上为增函数，则实数的值为（

）A． B．0或2 C．0 D．22.(2023·浙江高三月考）若幂函数在上是减函数，则实数的值是（）A．或3 B．3 C． D．03.(2023·北京高三模拟）已知定义在上的幂函数（为实数）过点，记，，，则的大小关系为（）A． B． C． D．4.(2023·贵州毕节·高三期末）若幂函数在上单调递增，则（

）A．1 B．6 C．2 D．5.(2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递减.（1）求的值并写出的解析式；（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.6.(2023·浙江高三专题练习）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断7.(2023·上海市第三女子中学高三月考）已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数．(1)求的值；(2)求满足不等式的实数的取值范围．8.(2023·肥东县综合高中高三月考）已知幂函数，在上单调递增.设，，，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．9.(2023·北京·高三专题练习）若，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．10.(2023·山西阳泉市·高三三模）已知点在幂函数图像上，设，，，则、、的大小关系为A． B． C． D．【题型二二次函数的图像与性质】1.(2023·全国高三专题练习）函数满足下列性质：（）定义域为，值域为．（）图象关于对称．（）对任意，，且，都有．请写出函数的一个解析式__________（只要写出一个即可）．2.(2023·江西·贵溪市实验中学高三月考）若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3.(2023·山西运城·高三期末）已知二次函数的值域为，则的最小值为（

）A．16 B．12 C．10 D．84.(2023·全国高三专题练习）如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为A．16 B．18 C．25 D．5.(2023·贵州省思南中学高三一模）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围______.【题型三含参二次函数最值讨论】1.5.(2023·广东·高三月考）已知函数．若函数在区间上的最大值为，求a的值．2.(2023·全国高三专题练习）已知函数在区间[0,2]上的最小值为3，求a的值．3.(2023·全国高三专题练习）已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1)．若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．4.(2023·江苏南通·高三开学考试）已知二次函数满足，且不等式的解集为．(1)求的解析式；(2)若函数在时的值域为，求t的取值范围，2.4幂函数和二次函数【题型解读】【题型一幂函数的图像与性质】1.(2023·全国·高三专题练习）幂函数在上为增函数，则实数的值为（

）A． B．0或2 C．0 D．2答案：D【解析】因为是幂函数，所以，解得或，当时，在上为减函数，不符合题意，当时，在上为增函数，符合题意，所以.故选：D.2.(2023·浙江高三月考）若幂函数在上是减函数，则实数的值是（）A．或3 B．3 C． D．0答案：B【解析】因为幂函数在上是减函数，所以，由，得或，当时，，所以舍去，当时，，所以，故选：B3.(2023·北京高三模拟）已知定义在上的幂函数（为实数）过点，记，，，则的大小关系为（）A． B． C． D．答案：A【解析】由题得.函数是上的增函数.因为，，所以，所以，所以.故选：A4.(2023·贵州毕节·高三期末）若幂函数在上单调递增，则（

）A．1 B．6 C．2 D．答案：D【解析】∵幂函数在上单调递增，∴，解得，故选：D．5.(2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递减.（1）求的值并写出的解析式；（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.答案：（1），；（2）存在，.【解析】（1）因为幂函数在上单调递减，所以解得：或(舍去)，所以；（2）由（1）可得，，所以，假设存在，使得在上的值域为，①当时，，此时在上单调递减，不符合题意；②当时，，显然不成立；③当时，，在和上单调递增，故，解得.综上所述，存在使得在上的值域为.6.(2023·浙江高三专题练习）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断答案：A【解析】∵函数是幂函数，∴，解得：m=-2或m=3．∵对任意，，且，满足，∴函数为增函数，∴，∴m=3（m=-2舍去）∴为增函数．对任意，，且，则，∴∴．故选：A7.(2023·上海市第三女子中学高三月考）已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数．(1)求的值；(2)求满足不等式的实数的取值范围．答案：(1)(2)【解析】(1)解：因为幂函数在区间上是严格增函数，所以，解得，又因为，所以或或，当或时，为奇函数，图象关于原点对称（舍）；当时，为偶函数，图象关于轴对称，符合题意；综上所述，.(2)解：由（1）得为偶函数，且在区间上是严格增函数，则由得，即，即，解得，8.(2023·肥东县综合高中高三月考）已知幂函数，在上单调递增.设，，，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．答案：A【解析】根据幂函数的定义可得，解得或，当时，，此时满足在上单调递增，当时，，此时在上单调递减，不合题意.所以.因为，，，且，所以，因为在上单调递增，所以，又因为为偶函数，所以，所以.故选：A9.(2023·北京·高三专题练习）若，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．答案：C【解析】因为幂函数在和上都是单调递减的，所以，由可得或或解得或，即实数m的取值范围为.故选：C.10.(2023·山西阳泉市·高三三模）已知点在幂函数图像上，设，，，则、、的大小关系为A． B． C． D．答案：A【解析】因为点在幂函数图像上所以，所以即，，，即为R上的单调递增函数所以所以选A【题型二二次函数的图像与性质】1.(2023·全国高三专题练习）函数满足下列性质：（）定义域为，值域为．（）图象关于对称．（）对任意，，且，都有．请写出函数的一个解析式__________（只要写出一个即可）．答案：【解析】由二次函数的对称性、值域及单调性可得解析式，此时对称轴为，开口向上，满足（），因为对任意，，且，都有，等价于在上单调减，∴，满足（），又，满足（），故答案为．2.(2023·江西·贵溪市实验中学高三月考）若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由于函数是开口向上，对称轴为，所函数的单调递减区间为，又函数在上是减函数，所以，所以，所以.故选;B.3.(2023·山西运城·高三期末）已知二次函数的值域为，则的最小值为（

）A．16 B．12 C．10 D．8答案：D【解析】由题意知，，∴且，∴，当且仅当，即，时取等号.故选：D.4.(2023·全国高三专题练习）如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为A．16 B．18 C．25 D．答案：B【解析】时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，即..由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即..由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.选B..5.(2023·贵州省思南中学高三一模）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围______.答案：；【解析】，，又，故由二次函数图象可知：要使函数的定义域为，值域为的值最小为；最大为3．的取值范围是：．故答案：【题型三含参二次函数最值讨论】1.5.(2023·广东·高三月考）已知函数．若函数在区间上的最大值为，求a的值．答案：对称轴为，当，即时，在上单调递减，，舍去；当，即时，，解得：或（舍去）；当，即时，在上单调递增，，解得：（舍去）；综上：2.(2023·全国高三专题练习）已知函数在区间[0,2]上的最小值为3，求a的值．答案：或．【解析】函数的表达式可化为．①当，即时，有最小值，依题意应有，解得，这个值与相矛盾．②当，即时，是最小值，依题意应有，解得，又∵，∴．③当，即时，是最小值，依题意应有，解得，又∵，∴综上所述，或．3.(2023·全国高三专题练习）已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1)．若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．答案：[2，3]．【解析】∵f(x)的对称轴方程为x＝a，且f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，∴a≥2．又x＝a∈[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1，∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2．∵对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，∴f(x)max－f(x)min