高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)6.2.1等比数列(题型战法)(原卷版+解析)

第六章数列6.2.1等比数列（题型战法）知识梳理一等比数列的通项公式二等比数列的求和公式三等比数列的性质(1)在等比数列中，若，则(2)在等比数列中，若，则(3)若与是等比数列，则，，和()仍是等比数列.(4)若数列是等比数列，是其前项的和，，，分别为的前项和，前项和，前项和，则，，成等比数列(是偶数，时不成立)题型战法题型战法一等比数列通项公式的基本量计算典例1．在等比数列中，已知，，则（

）A．20 B．12 C．8 D．4变式1-1．已知数列是等比数列，满足，，则（

）A． B． C． D．变式1-2．已知等比数列中，，则的值为（

）A．2 B．4 C．8 D．16变式1-3．已知在递减等比数列中，，，若，则（

）A．6 B．7 C．8 D．9变式1-4．在等比数列中，，，则的值为（

）A． B． C．或 D．或题型战法二等比数列求和公式的基本量计算典例2．已知等比数列的前项和为，且，，则（

）A．64 B．42 C．32 D．22变式2-1．等比数列中，已知，，则（

）A．31 B．32 C．63 D．127变式2-2．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，，则（

）A．255 B．127 C．63 D．31变式2-3．等比数列的前项和为，若，，则公比的值为（

）A． B．1 C．或1 D．或1变式2-4．已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（

）A． B． C． D．题型战法三等比中项的应用典例3．在等比数列中，，则的值为（

）A．6 B．9 C．12 D．18变式3-1．已知等比数列中，，则公比（

）A． B．2 C．3 D．2或变式3-2．在等差数列中，，且构成等比数列，则公差等于(

)A． B．0 C．3 D．0或3变式3-3．已知为公差不为0等差数列前n项和.若，，，成等比数列，则（

）A．11 B．13 C．23 D．24变式3-4．已知是公差为的等差数列，为数列的前n项和，若成等比数列，则（

）A． B．14 C．12 D．16题型战法四等比数列片段和的性质及应用典例4．记等比数列的前项和为，若，则（

）A．24 B．28 C．48 D．84变式4-1．等比数列的前项和，若，，则（

）A．72 B．81 C．90 D．99变式4-2．已知等比数列的前n项和为.且，，则（

）A．16B．19C．28 D．36变式4-3．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则A．60B．45C．30 D．15变式4-4．等比数列的前n项和为，若，，则（

）A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或12题型战法五等差数列的简单应用典例5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是：有一个人要走378里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完．则此人第一天走的路程是（

）A．86里 B．172里 C．96里 D．192里变式5-1．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截取一半剩下尺，第二天被截取剩下的一半剩下尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下尺，则（

）A．18 B．20 C．22 D．24变式5-2．有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五两，今三十日屠讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？"在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为（

）A．35 B．75 C．155 D．315变式5-3．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为（

）A．5 B．4 C．3 D．2变式5-4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（

）A．5盏 B．4盏 C．3盏 D．2盏题型战法六由递推关系证明等差数列典例6．在数列中，，，．（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式．变式6-1．已知数列，且，，.（1）证明：数列是等比数列；（2）求的通项公式.变式6-2．已知数列满足，.(1)求证：是等比数列.(2)求.变式6-3．已知数列满足，且点在函数的图象上，求证：是等比数列，并求的通项公式：变式6-4．已知数列满足，，，成等差数列，证明:数列是等比数列，并求的通项公式.第六章数列6.2.1等比数列（题型战法）知识梳理一等比数列的通项公式二等比数列的求和公式三等比数列的性质(1)在等比数列中，若，则(2)在等比数列中，若，则(3)若与是等比数列，则，，和()仍是等比数列.(4)若数列是等比数列，是其前项的和，，，分别为的前项和，前项和，前项和，则，，成等比数列(是偶数，时不成立)题型战法题型战法一等比数列通项公式的基本量计算典例1．在等比数列中，已知，，则（

）A．20 B．12 C．8 D．4【答案】C【分析】设的公比为q，由条件可列出关于q的方程，求得q，即可求得答案.【详解】设的公比为q，则，解得，所以，故选：C．变式1-1．已知数列是等比数列，满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程，求出这两个量的值，可求得的值，再利用等比数列的基本性质可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，则，解得，所以，，因此，.故选：B.变式1-2．已知等比数列中，，则的值为（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】A【分析】根据已知条件求得，由此确定正确选项.【详解】依题意，.故选：A变式1-3．已知在递减等比数列中，，，若，则（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】根据等比数列的计算可求，进而可得公比，即可求解.【详解】由，且可解得，因此可得等比数列的公比为，所以故选：A变式1-4．在等比数列中，，，则的值为（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】由题得，求出，再求出，再由等比数列的性质求得结果.【详解】由题意得，解得或，故或，故，或故选：C.题型战法二等比数列求和公式的基本量计算典例2．已知等比数列的前项和为，且，，则（

）A．64 B．42 C．32 D．22【答案】D【分析】设数列的公比为，依题意得到方程组，解得、，再根据等比数列求和公式计算可得.【详解】解：设数列的公比为，依题意可得，解得，所以.故选：D变式2-1．等比数列中，已知，，则（

）A．31 B．32 C．63 D．127【答案】A【分析】根据已知条件，求出公比及首项，从而由等比数列的求和公式即可求解.【详解】解：因为等比数列中，已知，，设等比数列公比为，所以，解得，所以，解得，所以，故选：A.变式2-2．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，，则（

）A．255 B．127 C．63 D．31【答案】A【分析】基本量列方程即可求解【详解】因为，，公比，所以，，解得，，则故选：A变式2-3．等比数列的前项和为，若，，则公比的值为（

）A． B．1 C．或1 D．或1【答案】C【分析】由已知可得、，即可求公比.【详解】由题设知：，又，故，∴，而，即，解得：为或1.故选：C变式2-4．已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可得出关于、的值，可求得、的值，再利用等比数列的求和公式可求得.【详解】由等比数列的性质可知，因为，则，由已知可得，可得，，则，因此，.故选：B.题型战法三等比中项的应用典例3．在等比数列中，，则的值为（

）A．6 B．9 C．12 D．18【答案】B【分析】本题可根据等比中项的性质求出的值，然后根据即可得出结果.【详解】因为数列是等比数列，所以，解得，因为，所以.故选：B.变式3-1．已知等比数列中，，则公比（

）A． B．2 C．3 D．2或【答案】B【分析】由，可得，解得，再由可得，根据求解即可.【详解】解：因为数列为等比数列，，所以，解得，又因为，即，解得.故选：B.变式3-2．在等差数列中，，且构成等比数列，则公差等于(

)A． B．0 C．3 D．0或3【答案】D【分析】根据等比中项和等差数列通项公式即可求解.【详解】设等差数列的公差为d，∵，构成等比数列，∴，解得d＝0或3.故选：D.变式3-3．已知为公差不为0等差数列前n项和.若，，，成等比数列，则（

）A．11 B．13 C．23 D．24【答案】C【分析】设出公差，利用，，成等比数列，列出方程，求出公差，求出答案.【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，所以，化简得（舍去）或，所以.故选：C变式3-4．已知是公差为的等差数列，为数列的前n项和，若成等比数列，则（

）A． B．14 C．12 D．16【答案】B【分析】由成等比数列，可得，再利用等差数列的通项公式化简可得，,再利用等差数列前项和公式即可得.【详解】解设数列的公差为，由题意，由成等比数列,所以，整理得，故，所以.故选:B【点睛】本题主要考查了等比中项的性质，等差数列的通项公式和前项和公式，属于基础题.题型战法四等比数列片段和的性质及应用典例4．记等比数列的前项和为，若，则（

）A．24 B．28 C．48 D．84【答案】D【解析】等比数列的性质，得到成等比数列，列出方程，即可求解.【详解】由等比数列的性质，可得成等比数列，所以，即，解得.故选：D.变式4-1．等比数列的前项和，若，，则（

）A．72 B．81 C．90 D．99【答案】B【解析】由等比数列的性质，得到成等比数列，即可求解.【详解】，由等比数列的性质，可得成等比数列，则，即，解得，即.故选：B.变式4-2．已知等比数列的前n项和为.且，，则（

）A．16 B．19C．28 D．36【答案】C【分析】利用，，成等比数列求解.【详解】因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，，故.故选：C.【点睛】本题考查等比数列前n项性质，熟记性质是关键，是基础题.变式4-3．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则A．60 B．45C．30 D．15【答案】B【详解】由等比数列的性质可得成等比数列，所以，即，解得或（舍去）．所以数列即为，所以．选B．变式4-4．等比数列的前n项和为，若，，则（

）A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或12【答案】A【分析】根据等比数列片段和性质得到方程，求出，再检验即可；【详解】解：因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，解得或，因为，所以，则．故选：A题型战法五等差数列的简单应用典例5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是：有一个人要走378里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完．则此人第一天走的路程是（

）A．86里 B．172里 C．96里 D．192里【答案】D【分析】根据题意可知，此人每天走的路程形成等比数列，公比为，再根据等比数列的前项和公式即可解出．【详解】设此人第天走的路程为，，所以此人每天走的路程可形成等比数列，依题可知，公比为，所以，解得，．故选：D．变式5-1．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截取一半剩下尺，第二天被截取剩下的一半剩下尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下尺，则（

）A．18 B．20 C．22 D．24【答案】D【解析】根据题意,成等比数列，求出即可求解.【详解】设这根木棰总长为1,每天截取其一半,剩下的部分记为,则{}构成,公比的等比数列,所以所以故选:D.【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换．变式5-2．有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五两，今三十日屠讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？"在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为（

）A．35 B．75 C．155 D．315【答案】C【分析】构造等比数列模型，利用等比数列的前项和公式计算可得结果.【详解】由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列，记首项为，公比为，前项和为，所以，，因此前5天所屠肉的总两数为.故选：C.【点睛】本题考查了等比数列模型，考查了等比数列的前项和公式，属于基础题.变式5-3．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【解析】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，再分别求和构造等式求出的值.【详解】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，所以.设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，所以.所以，即，化简得解得：或(舍)故选：C变式5-4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（

）A．5盏 B．4盏 C．3盏 D．2盏【答案】C【分析】先设塔的顶层共有灯a盏，根据题意则各层的灯数从上到下构成一个以2为公比的等比数列，再由等比数列前n项和公式求解.【详解】设塔的顶层共有灯a盏，则各层的灯数从上到下构成一个以2为公比的等比数列，由得故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和公式，还考查了抽象概括和运算求解的能力，属于基础题.题型战法六由递推关系证明等差数列典例6．在数列中，，，．（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式．【