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9.5二项式定理5大题型【题型解读】【知识储备】1.二项式定理(1)二项式定理:(a+b)n=Ceq\o\al(0,n)an+Ceq\o\al(1,n)an-1b+…+Ceq\o\al(k,n)an-kbk+…+Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*);(2)通项公式:Tk+1=Ceq\o\al(k,n)an-kbk,它表示第k+1项;(3)二项式系数:二项展开式中各项的系数为Ceq\o\al(0,n),Ceq\o\al(1,n),…,Ceq\o\al(n,n).1项数为n+1.2各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.3字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.2.二项式系数的性质[常用结论]若二项展开式的通项为Tr+1=g(r)·xh(r)(r=0,1,2,…,n),g(r)≠0,则有以下常见结论:(1)h(r)=0⇔Tr+1是常数项.(2)h(r)是非负整数⇔Tr+1是整式项.(3)h(r)是负整数⇔Tr+1是分式项.(4)h(r)是整数⇔Tr+1是有理项.【题型精讲】【题型一求特定项的系数】方法技巧三项式的展开式:若令,便得到三项式展开式通项公式,其中叫三项式系数.例1(2023·华师大二附中高三练习)若,则.例2在的展开式中,的系数是.例3(2023·江西模拟)在的展开式中,含的项的系数是()A.10 B.12 C.15 D.20【题型精练】1.(2023·河南高三月考)在的展开式中,项的系数是()A. B. C. D.2.(2023·全国高三课时练习)展开式中二项式系数和为___________,展开式中常数项为___________.3.(2023·枣庄模拟)在的展开式中,含项的系数为()A.-480 B.480 C.-240 D.2404.(2023·汕头模拟)的展开式中系数为有理数项的共有_______项.【题型二已知项的系数求参】例4(2023·四川模拟)已知二项式的展开式中,项的系数为40,则()A.2 B.-2 C.2或-2 D.4例5(2023·武昌模拟)的展开式中,项的系数为-10,则实数.【题型精练】1.(2023·石家庄模拟)已知二项式的展开式中,项的系数为40,则(
)A.2 B.-2 C.2或-2 D.42.(2023·临沂二模)已知的展开式中各项系数的和为-3,则该展开式中的系数为()A.-120 B.-40 C.40 D.120【题型三二项式定理的性质】例6(2023·唐山二模)(多选)已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等,则()A.n=9 B.C.常数项是672 D.展开式中所有项的系数和是-1例7设为正整数,的展开式中二项式系数的最大值为,的展开式中的二项式系数的最大值为.若,则的值为(
)A.5 B.6 C.7 D.8【题型精练】1.(2023·高三课时练习)若的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等,则()A.11 B.10 C.9 D.2.(2023·广东高三模拟)若n展开式中前三项的系数和为163,则展开式中系数最大的项为_______.3.(2023·浙江高三模拟)在的展开式中,只有第五项的二项式系数最大,则展开式中的系数为(
)A. B. C. D.【题型四二项式系数和及系数和问题】方法技巧系数和问题,令得系数和:=1\*GB3①;令得奇数项系数和减去偶数项系数和:=2\*GB3②,联立=1\*GB3①=2\*GB3②可求得奇数项系数和与偶数项系数和.例8(2023·福建泉州科技中学月考)在的展开式中,求:(1)二项式系数的和;(2)各项系数的和;(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;(4)奇数项系数和与偶数项系数和;(5)的奇次项系数和与的偶次项系数和.【题型精练】1.(2023·常州市新桥高级中学高三模拟)若,则的值为.2.(2023·济北中学高三月考)设.若,则实数,.3.(2023·上虞模拟)已知,则,.【题型五二项式定理的应用】例9(2023福建省部分名校高三联合测评)(多选)若能被13整除,则实数的值可以为()A.0 B.11 C.12 D.25例10的计算结果精确到个位的近似值为A.106 B.107 C.108 D.109【题型精练】1.(2023·全国高三课时练习)(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.342.若,则被8整除的余数为___________.9.5二项式定理5大题型【题型解读】【知识储备】1.二项式定理(1)二项式定理:(a+b)n=Ceq\o\al(0,n)an+Ceq\o\al(1,n)an-1b+…+Ceq\o\al(k,n)an-kbk+…+Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*);(2)通项公式:Tk+1=Ceq\o\al(k,n)an-kbk,它表示第k+1项;(3)二项式系数:二项展开式中各项的系数为Ceq\o\al(0,n),Ceq\o\al(1,n),…,Ceq\o\al(n,n).1项数为n+1.2各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.3字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.2.二项式系数的性质[常用结论]若二项展开式的通项为Tr+1=g(r)·xh(r)(r=0,1,2,…,n),g(r)≠0,则有以下常见结论:(1)h(r)=0⇔Tr+1是常数项.(2)h(r)是非负整数⇔Tr+1是整式项.(3)h(r)是负整数⇔Tr+1是分式项.(4)h(r)是整数⇔Tr+1是有理项.【题型精讲】【题型一求特定项的系数】方法技巧三项式的展开式:若令,便得到三项式展开式通项公式,其中叫三项式系数.例1(2023·华师大二附中高三练习)若,则.答案:-56【解析】由题意可知,,展开式的通项公式为,由,得出求的项是.令,解得,所以.故答案为:-56.例2在的展开式中,的系数是.答案:-189【解析】由二项式定理知的展开式的通项为:,令,解得,所以的系数是,故答案为:-189.例3(2023·江西模拟)在的展开式中,含的项的系数是()A.10 B.12 C.15 D.20答案:A【解析】因为的展开式为,的展开式为和的和,;,所以在中令,即可得到的项的系数,是,故答案为:A.【题型精练】1.(2023·河南高三月考)在的展开式中,项的系数是()A. B. C. D.答案:C【解析】展开式中,通项.令,得,故展开式中项的系数为.故选:C.2.(2023·全国高三课时练习)展开式中二项式系数和为___________,展开式中常数项为___________.答案:64【解析】由二项式系数的性质,可得二项式展开式的二项式系数和;又由二项展开式的通项为,令,解得,所以展开式的常数项为.故答案为:,.3.(2023·枣庄模拟)在的展开式中,含项的系数为()A.-480 B.480 C.-240 D.240答案:A【解析】看成是6个相乘,要得到.分以下情况:6个因式中,2个因式取,1个因式取,3个因式取,此时的系数,所以的系数为-480.故答案为:A4.(2023·汕头模拟)的展开式中系数为有理数项的共有_______项.答案:17【解析】的展开式的通项为:,即r既是3的倍数,又是2的倍数,则是的倍数,r=0,6,12,.......,96,共17项.故答案为:.【题型二已知项的系数求参】例4(2023·四川模拟)已知二项式的展开式中,项的系数为40,则()A.2 B.-2 C.2或-2 D.4答案:C【解析】由,令,解得,所以项的系数为,解得.故答案为:C例5(2023·武昌模拟)的展开式中,项的系数为-10,则实数.答案:2【解析】,的展开式通项为,所以,的展开式通项为,令,可得,由题意可得,解得.故答案为:2.【题型精练】1.(2023·石家庄模拟)已知二项式的展开式中,项的系数为40,则(
)A.2 B.-2 C.2或-2 D.4答案:C【解析】由,令,解得,所以项的系数为,解得.故选:C2.(2023·临沂二模)已知的展开式中各项系数的和为-3,则该展开式中的系数为()A.-120 B.-40 C.40 D.120答案:A【解析】在二项式中,令,可得,解得,的展开式通项为,因为,在,令,可得,在中,令,可得,因此,展开式中的系数为.故答案为:A.【题型三二项式定理的性质】例6(2023·唐山二模)(多选)已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等,则()A.n=9 B.C.常数项是672 D.展开式中所有项的系数和是-1答案:A,D【解析】由,可得n=9,则A判断正确;B判断错误;的展开式的通项公式为令,则,则展开式的常数项是.C判断错误;展开式中所有项的系数和是.判断正确.故答案为:AD例7设为正整数,的展开式中二项式系数的最大值为,的展开式中的二项式系数的最大值为.若,则的值为(
)A.5 B.6 C.7 D.8答案:C【解析】的展开式中二项式系数的最大值为,故,的展开式中的二项式系数的最大值为或,两者相等,不妨令,则有,解得:.故选:C【题型精练】1.(2023·高三课时练习)若的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等,则()A.11 B.10 C.9 D.答案:C【解析】因为第5项二项式系数为,第6项的二项式系数为,由题意知,所以,即,所以,故选:C.2.(2023·广东高三模拟)若n展开式中前三项的系数和为163,则展开式中系数最大的项为_______.答案:5376【解析】展开式的通项公式为,由题意可得,,解得,设展开式中项的系数最大,则解得,又∵,∴,故展开式中系数最大的项为.故答案为:5376.3.(2023·浙江高三模拟)在的展开式中,只有第五项的二项式系数最大,则展开式中的系数为(
)A. B. C. D.答案:C【解析】依题意,第五项二项式系数最大,一共是9项,所以n=8,二项式展开项的通项公式为:,,∴的系数为故选:C.【题型四二项式系数和及系数和问题】方法技巧系数和问题,令得系数和:=1\*GB3①;令得奇数项系数和减去偶数项系数和:=2\*GB3②,联立=1\*GB3①=2\*GB3②可求得奇数项系数和与偶数项系数和.例8(2023·福建泉州科技中学月考)在的展开式中,求:(1)二项式系数的和;(2)各项系数的和;(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;(4)奇数项系数和与偶数项系数和;(5)的奇次项系数和与的偶次项系数和.答案:(1);(2)1;奇数项的二项式系数和为,偶数项的二项式系数和为;奇数项的系数和为,偶数项的系数和为;(5)的奇次项系数和为,的偶次项系数和为【解析】设,各项系数和为,奇数项系数和为,偶数项系数和为,的奇次项系数和为,的偶次项系数和为(1)二项式系数的和为;(2)令,,则,所以各项系数和为1;(3)奇数项的二项式系数和为,偶数项的二项式系数和为;(4)由(2)知,①,取,,则②,所以奇数项的系数和,偶数项的系数和;(5)由(4)知,的奇次项系数和为,的偶次项系数和为.【题型精练】1.(2023·常州市新桥高级中学高三模拟)若,则的值为.答案:-32【解析】令,可得。故答案为:-32。2.(2023·济北中学高三月考)设.若,则实数,.答案:;6【解析】令x=1,则(1+2m)5+(1-1)4=a0+a1+a2+a3+a4+a5=32解得:m=.(x+1)5的第r+1项系数为Tr+1=.所以(x+1)5展开式中的x3的系数为=10,(x-1)4的第r+1项系数为Tr+1=·x4-r.(-1)r所以(x-1)4展开式中的x3的系数为-=-4;a3=10-4=6故答案为:;6.3.(2023·上虞模拟)已知,则,.答案:-3240;-1【解析】展开式的通项为:,令,可得;令得:;令得:,.故答案为:-3240;-1.【题型五二项式定理的应用】例9(2023福建省部分名校高三联合测评)(多选)若能被13整除,则实数的值可以为()A.0 B.11 C.12 D.25答案:CD【解析】∵,又52能被13整除,∴需使能被13整除,即能被13整除,∴,,结合选项可
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