高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)9.5二项式定理5大题型(精讲)(原卷版+解析)

9.5二项式定理5大题型【题型解读】【知识储备】1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2)通项公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).1项数为n＋1.2各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.3字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.2．二项式系数的性质[常用结论]若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：(1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项．(2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项．(3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项．(4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项．【题型精讲】【题型一求特定项的系数】方法技巧三项式的展开式：若令，便得到三项式展开式通项公式，其中叫三项式系数．例1(2023·华师大二附中高三练习）若，则．例2在的展开式中，的系数是．例3(2023·江西模拟）在的展开式中，含的项的系数是（）A．10 B．12 C．15 D．20【题型精练】1.(2023·河南高三月考）在的展开式中，项的系数是（）A． B． C． D．2．(2023·全国高三课时练习）展开式中二项式系数和为___________，展开式中常数项为___________.3．(2023·枣庄模拟）在的展开式中，含项的系数为（）A．-480 B．480 C．-240 D．2404.(2023·汕头模拟）的展开式中系数为有理数项的共有_______项.【题型二已知项的系数求参】例4(2023·四川模拟）已知二项式的展开式中，项的系数为40，则（）A．2 B．-2 C．2或-2 D．4例5(2023·武昌模拟）的展开式中，项的系数为-10，则实数.【题型精练】1．(2023·石家庄模拟）已知二项式的展开式中，项的系数为40，则（

）A．2 B．-2 C．2或-2 D．42.(2023·临沂二模）已知的展开式中各项系数的和为-3，则该展开式中的系数为（）A．-120 B．-40 C．40 D．120【题型三二项式定理的性质】例6(2023·唐山二模）（多选）已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则（）A．n=9 B．C．常数项是672 D．展开式中所有项的系数和是-1例7设为正整数，的展开式中二项式系数的最大值为，的展开式中的二项式系数的最大值为.若，则的值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【题型精练】1．(2023·高三课时练习）若的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等，则（）A．11 B．10 C．9 D．2.(2023·广东高三模拟）若n展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为_______．3.(2023·浙江高三模拟）在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（

）A． B． C． D．【题型四二项式系数和及系数和问题】方法技巧系数和问题，令得系数和：=1\*GB3①；令得奇数项系数和减去偶数项系数和：=2\*GB3②，联立=1\*GB3①=2\*GB3②可求得奇数项系数和与偶数项系数和．例8(2023·福建泉州科技中学月考）在的展开式中，求：（1）二项式系数的和；（2）各项系数的和；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；（4）奇数项系数和与偶数项系数和；（5）的奇次项系数和与的偶次项系数和.【题型精练】1．(2023·常州市新桥高级中学高三模拟）若，则的值为．2.(2023·济北中学高三月考）设.若，则实数，．3.(2023·上虞模拟）已知，则，.【题型五二项式定理的应用】例9(2023福建省部分名校高三联合测评）（多选）若能被13整除，则实数的值可以为（）A．0 B．11 C．12 D．25例10的计算结果精确到个位的近似值为A．106 B．107 C．108 D．109【题型精练】1.(2023·全国高三课时练习）(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.342.若，则被8整除的余数为___________.9.5二项式定理5大题型【题型解读】【知识储备】1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2)通项公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).1项数为n＋1.2各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.3字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.2．二项式系数的性质[常用结论]若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：(1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项．(2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项．(3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项．(4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项．【题型精讲】【题型一求特定项的系数】方法技巧三项式的展开式：若令，便得到三项式展开式通项公式，其中叫三项式系数．例1(2023·华师大二附中高三练习）若，则．答案：-56【解析】由题意可知，，展开式的通项公式为，由，得出求的项是.令，解得，所以.故答案为：-56.例2在的展开式中，的系数是．答案：-189【解析】由二项式定理知的展开式的通项为：，令，解得，所以的系数是，故答案为：-189.例3(2023·江西模拟）在的展开式中，含的项的系数是（）A．10 B．12 C．15 D．20答案：A【解析】因为的展开式为，的展开式为和的和，；，所以在中令，即可得到的项的系数，是，故答案为：A.【题型精练】1.(2023·河南高三月考）在的展开式中，项的系数是（）A． B． C． D．答案：C【解析】展开式中，通项．令，得，故展开式中项的系数为.故选：C.2．(2023·全国高三课时练习）展开式中二项式系数和为___________，展开式中常数项为___________.答案：64【解析】由二项式系数的性质，可得二项式展开式的二项式系数和；又由二项展开式的通项为，令，解得，所以展开式的常数项为.故答案为：，.3．(2023·枣庄模拟）在的展开式中，含项的系数为（）A．-480 B．480 C．-240 D．240答案：A【解析】看成是6个相乘，要得到.分以下情况：6个因式中，2个因式取，1个因式取，3个因式取，此时的系数，所以的系数为-480.故答案为：A4.(2023·汕头模拟）的展开式中系数为有理数项的共有_______项.答案：17【解析】的展开式的通项为：，即r既是3的倍数，又是2的倍数，则是的倍数，r=0，6，12，.......，96，共17项.故答案为：.【题型二已知项的系数求参】例4(2023·四川模拟）已知二项式的展开式中，项的系数为40，则（）A．2 B．-2 C．2或-2 D．4答案：C【解析】由，令，解得，所以项的系数为，解得．故答案为：C例5(2023·武昌模拟）的展开式中，项的系数为-10，则实数.答案：2【解析】，的展开式通项为，所以，的展开式通项为，令，可得，由题意可得，解得.故答案为：2.【题型精练】1．(2023·石家庄模拟）已知二项式的展开式中，项的系数为40，则（

）A．2 B．-2 C．2或-2 D．4答案：C【解析】由，令，解得，所以项的系数为，解得．故选：C2.(2023·临沂二模）已知的展开式中各项系数的和为-3，则该展开式中的系数为（）A．-120 B．-40 C．40 D．120答案：A【解析】在二项式中，令，可得，解得，的展开式通项为，因为，在，令，可得，在中，令，可得，因此，展开式中的系数为.故答案为：A.【题型三二项式定理的性质】例6(2023·唐山二模）（多选）已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则（）A．n=9 B．C．常数项是672 D．展开式中所有项的系数和是-1答案：A,D【解析】由，可得n=9，则A判断正确；B判断错误；的展开式的通项公式为令，则，则展开式的常数项是.C判断错误；展开式中所有项的系数和是.判断正确.故答案为：AD例7设为正整数，的展开式中二项式系数的最大值为，的展开式中的二项式系数的最大值为.若，则的值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8答案：C【解析】的展开式中二项式系数的最大值为，故，的展开式中的二项式系数的最大值为或，两者相等，不妨令，则有，解得：.故选：C【题型精练】1．(2023·高三课时练习）若的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等，则（）A．11 B．10 C．9 D．答案：C【解析】因为第5项二项式系数为，第6项的二项式系数为，由题意知，所以，即，所以，故选：C.2.(2023·广东高三模拟）若n展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为_______．答案：5376【解析】展开式的通项公式为，由题意可得，，解得，设展开式中项的系数最大，则解得，又∵，∴，故展开式中系数最大的项为.故答案为：5376.3.(2023·浙江高三模拟）在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】依题意，第五项二项式系数最大，一共是9项，所以n=8，二项式展开项的通项公式为：，，∴的系数为故选：C.【题型四二项式系数和及系数和问题】方法技巧系数和问题，令得系数和：=1\*GB3①；令得奇数项系数和减去偶数项系数和：=2\*GB3②，联立=1\*GB3①=2\*GB3②可求得奇数项系数和与偶数项系数和．例8(2023·福建泉州科技中学月考）在的展开式中，求：（1）二项式系数的和；（2）各项系数的和；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；（4）奇数项系数和与偶数项系数和；（5）的奇次项系数和与的偶次项系数和.答案：（1）；（2）1；奇数项的二项式系数和为，偶数项的二项式系数和为；奇数项的系数和为，偶数项的系数和为；（5）的奇次项系数和为，的偶次项系数和为【解析】设，各项系数和为，奇数项系数和为，偶数项系数和为，的奇次项系数和为，的偶次项系数和为（1）二项式系数的和为；（2）令，，则，所以各项系数和为1；（3）奇数项的二项式系数和为，偶数项的二项式系数和为；（4）由（2）知，①，取，，则②，所以奇数项的系数和，偶数项的系数和；（5）由（4）知，的奇次项系数和为，的偶次项系数和为.【题型精练】1．(2023·常州市新桥高级中学高三模拟）若，则的值为．答案：-32【解析】令，可得。故答案为：-32。2.(2023·济北中学高三月考）设.若，则实数，．答案：；6【解析】令x=1，则(1+2m)5+(1-1)4=a0+a1+a2+a3+a4+a5=32解得：m=.(x+1)5的第r+1项系数为Tr+1=.所以(x+1)5展开式中的x3的系数为=10，(x-1)4的第r+1项系数为Tr+1=·x4-r.(-1)r所以(x-1)4展开式中的x3的系数为-=-4；a3=10-4=6故答案为：；6.3.(2023·上虞模拟）已知，则，.答案：-3240；-1【解析】展开式的通项为：，令，可得；令得：；令得：，.故答案为：-3240；-1.【题型五二项式定理的应用】例9(2023福建省部分名校高三联合测评）（多选）若能被13整除，则实数的值可以为（）A．0 B．11 C．12 D．25答案：CD【解析】∵，又52能被13整除，∴需使能被13整除，即能被13整除，∴，，结合选项可