高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第01讲基本立体图形(原卷版+解析)

第1讲基本立体图形知识点1空间几何体的有关概念1．空间几何体空间中的物体都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2．空间几何体的分类(1)多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．(2)旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体．封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．知识点2几种最基本的空间几何体棱柱的结构特征定义一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．从运动的观点来看，棱柱也可以看成是一个平面多边形从一个位置沿一条不与其共面的直线运动到另一位置时，其运动轨迹所形成的几何体．棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底．除底面外，其余各面叫做棱柱的侧面．相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．图形及表示①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、；②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等．结构特征①有两个面互相平行；②各侧棱都互相平行，各侧面都是平行四边形．通俗地讲，棱柱“两头一样平，上下一样粗”．注：有两个面互相平行，并不表明只有两个面互相平行，如长方体，有三组对面互相平行，其中任意一组对面都可以作为底面．分类①棱柱可以按底面的边数进行分类，底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……即棱柱的底面是几边形，这样的棱柱就叫做几棱柱．按侧棱与底面是否垂直分类，可分为斜棱柱和直棱柱．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．特别地，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．推广平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱，即平行六面体的六个面都是平行四边形．长方体：底面是矩形的直棱柱．正方体：棱长都相等的长方体．易错辨析有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱．如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱．判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱．2．棱锥的结构特征定义一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．在棱锥中，这个多边形面叫做棱锥的底面或底．有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．图形及表示①表示顶点和底面各顶点的字母表示棱锥．如图所示的四棱锥可表示为棱锥S−ABCD．②用顶点和底面多边形的一条对角线的相应字母表示棱锥（三棱锥除外）．如图所示的棱锥可记为四棱锥S−AC．结构特征(1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形．注意：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥分类按底面的边数进行分类：底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中，三棱锥又称为四面体．注意：三棱锥的所有面都是三角形，所以四个面都可以看作底．3．棱台的结构特征定义用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台.原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，除上、下底面之外的其他各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱,棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点图形及表示用表示底面各顶点的字母表示棱台．如图所示的四棱台可以表示为棱台ABCD−A′B′C′D′．结构特征(1)上底面与下底面是互相平行的相似多边形；(2)侧面都是梯形；(3)侧棱延长线必交于一点．注意：各侧面是全等的等腰梯形的是棱台称为正棱台．(由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．)分类由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……4．圆柱的结构特征定义以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．注意：圆柱与棱柱统称为柱体．图形及表示圆柱可以用表示它的轴的字母表示，上图所示的圆柱可以表示为圆柱OO′．结构特征(1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等．(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆．(3)圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴．(4)经过圆柱的轴的截面是一个矩形，其两条邻边分别是圆柱的母线和底面直径，经过圆柱的轴的截面通常叫做轴截面．(5)过任意两条母线的截面是矩形．(6)用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个与底面全等的圆面．5．圆锥的结构特征定义以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴,垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面,直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面,无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线，如上图所示，SA，SB等都是圆锥的母线．母线的交点叫做圆锥的顶点注意：圆锥与棱锥统称为锥体．图形及表示圆锥可以用表示它的轴的字母表示，如图所示的圆锥可以表示为圆锥SO．结构特征(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．(2)平行于底面的截面都是圆．注：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面．(3)过轴的截面是全等的等腰三角形．其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线．(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形．(5)圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线．6．圆台的结构特征定义用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面．上、下底面圆心的连线所在的直线叫做圆台的轴．原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面叫做圆台的侧面．原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线．注意：圆台和棱台统称为台体．图形及表示圆台可以用表示它的轴的字母表示，上图所示的圆台可以表示为圆台OO′．结构特征(1)圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点．(2)平行于底面的截面是圆．(3)过轴的截面是全等的等腰梯形．(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形．7．球的结构特征定义以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径．图形及表示可以用表示球心的字母表示球，上图所示的球可以表示为球O．结构特征(1)球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体．(2)根据球的定义，铅球是一个球，而足球、乒乓球、篮球、排球等，虽然它们的名字中有“球”字，但它们都是空心的，不符合球的定义，因而都不是球.8．简单组合体的结构特征定义由柱体、锥体、台体、球体等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．构成形式简单组合体构成的两种基本形式简单组合体eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(由简单几何体拼接而成；,由简单几何体截去或挖去一部分而成.))考点一棱柱的结构特征解题方略：棱柱结构特征问题的解题策略(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：①两个面互相平行；②其余各面是平行四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征．(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．【例1】下面多面体中，是棱柱的共有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个变式1：如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱 B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定【例2】下列说法中，正确的是()A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形变式1：下列命题正确的是（）A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱D．棱柱的侧面都是全等的平行四边形变式2：【多选】下列关于棱柱的说法正确的是()A．所有的棱柱两个底面都平行B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱D．棱柱至少有五个面变式3：【多选】下列关于棱柱的说法中不正确的是()A．棱柱的侧面是平行四边形，但它一定不是矩形B．棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高C．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面D．棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行【例3】一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为________cm.考点二棱锥、棱台的结构特征解题方略：判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点【例4】下面图形中，为棱锥的是()A．①③ B．①③④C．①②④ D．①②【例5】下列说法中，正确的是()①棱锥的各个侧面都是三角形；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；③四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面；④棱锥的各侧棱长相等．A．①② B．①③C．②③ D．②④变式1：下列说法正确的是________．①一个棱锥至少有四个面；②如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；③五棱锥只有五条棱；④用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．变式2：下列说法正确的是()A．多面体至少有3个面B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形变式3：一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是()A．三棱锥 B．四棱锥C．五棱锥 D．六棱锥【例6】下面四个几何体中，是棱台的是()变式1：下列特征不是棱台必须具有的是()A．两底面平行B．侧面都是梯形C．侧棱长都相等D．侧棱延长后相交于一点变式2：下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中说法正确的序号是________．变式3：如图所示，在三棱台A′B′C′­ABC中，截去三棱锥A′­ABC，则剩余部分是()A．三棱锥 B．四棱锥C．三棱柱 D．组合体截面问题【例7】用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是()A．四边形 B．三角形C．三角形或四边形 D．不可能为四边形考点三多面体的平面展开图问题解题方略：多面体展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．【例8】(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)()(2)如图是三个几何体的平面展开图，请问各是什么几何体？变式1：下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()变式2：水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1B．9C．快 D．乐变式3：如图所示都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是()①②③④A．①② B．②③C．③④ D．①④变式4：一个几何体的平面展开图如图所示．(1)该几何体是哪种几何体？(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？“你”字面相对的是哪个面？【例9】如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．变式1：如图，M是棱长为2cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.变式2：长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线．变式3：如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？考点四旋转体的结构特征解题方略：简单旋转体结构特征问题的解题策略(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键．(2)解题时要注意明确两点：①明确由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线．【例10】下列命题正确的是________．①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的直线；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥；⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；⑦球面上任意三点可能在一条直线上；⑧用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．变式1：下列命题：①任意平面截圆柱，截面都是圆面；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线，其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．②变式2：判断下列各命题是否正确：(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．变式3：下列叙述中，正确的个数是()①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；④圆面绕它的任一直径旋转形成的几何体是球．A．0 B．1C．2 D．3变式4：下列命题中正确的是()①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；②以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，半圆的直径叫做球的直径；③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；④球面上任意三点可能在一条直线上；⑤球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段．A．①②③ B．②③④C．②③⑤ D．①④⑤变式5：有下列四个说法，其中正确的是()A．圆柱的母线与轴垂直B．圆锥的母线长等于底面圆直径C．圆台的母线与轴平行D．球的直径必过球心变式6：用平面截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是()A．圆柱 B．圆锥C．球 D．圆台变式7：已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是()A．4 B．3C．2 D．0.5考点五圆柱、圆锥、圆台侧面展开图问题解题方略：求几何体表面上两点间的最小距离的步骤(1)将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开，画出其侧面展开图；(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；(3)结合已知条件求得结果．【例11】若圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是()【例12】圆柱的母线长为10，则其高等于()A．5 B．10C．20 D．不确定变式1：用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是()A．2 B．2πC.eq\f(2,π)或eq\f(4,π) D.eq\f(π,2)或eq\f(π,4)变式2：一个圆锥的母线长为20，母线与轴的夹角为60°，则圆锥的高为________．变式3：已知圆锥的母线长为cm，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为____cm.变式4：用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长．变式5：一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．【例12】如图所示，已知圆柱的高为80cm，底面半径为10cm，轴截面上有P，Q两点，且PA＝40cm，B1Q＝30cm，若一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？变式1：如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面圆的直径构成边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程．(结果不取近似值)变式2：如右图所示，圆台母线AB长为20cm，上、下底面半径分别为5cm和10cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳子长度的最小值．考点六简单组合体的结构特征解题方略：简单组合体的识别1．明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的，必要时也可以指出棱数、面数和顶点数．2．会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力．【例13】如图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？变式1：描述下列几何体的结构特征．变式2：正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________________．变式3：观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________(填序号)．练习一棱柱的结构特征1、棱柱的侧面一定是（

）A．菱形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形2、四棱柱有几条侧棱，几个顶点()A．四条侧棱、四个顶点B．八条侧棱、四个顶点C．四条侧棱、八个顶点D．六条侧棱、八个顶点3、下列说法中正确的是()A．所有的棱柱都有一个底面B．棱柱的顶点至少有6个C．棱柱的侧棱至少有4条D．棱柱的棱至少有4条4、以下各种情况中，是长方体的是（

）A．直平行六面体 B．侧面是矩形的四棱柱C．底面是矩形的平行六面体 D．底面是矩形的直棱柱5、【多选】有下列命题，其中错误的命题为（

）A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱D．直四棱柱是直平行六面体练习二棱锥、棱台的结构特征1、下列棱锥有6个面的是()A．三棱锥 B．四棱锥C．五棱锥 D．六棱锥2、一个棱柱至少有________个面，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．3、一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．4、下列说法错误的是()A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B．多面体至少有3个面C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形5、以下关于多面体的命题种，真命题为（

）A．所有侧面均为正三角形的四棱锥是正四棱锥B．所有侧面均为正方形的四棱柱是正四棱柱C．所有侧面均为正三角形的多面体是正四面体D．所有侧面均为正方形的多面体是正方体练习三多面体的平面展开图问题1、如图所示的各图形中，不是正方体表面展开图的是（

）A． B．C． D．2、一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，（

）A． B． C． D．3、【多选】某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上（

）A．乐、新、快 B．快、新、乐C．新、快、乐 D．乐、快、新4、如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，现有一只甲壳虫从点A出发沿长方体表面爬行到点C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值．5、如图，在正四棱锥中，侧棱长均为，且相邻两条侧棱的夹角为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．练习四旋转体的结构特征1、如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（

）A．①是棱台 B．②是圆台C．③是棱锥 D．④是棱柱2、下列命题是假命题的是（

）A．棱柱的所有侧面都是平行四边形B．将矩形绕其一边旋转一周所形成的的几何体叫做圆柱；C．正棱锥顶点在底面的投影是底面正多边形的中心；D．将直角三角形绕其一边旋转一周所形成的的几何体叫做圆锥.3、下列说法不正确的是（

）A．圆柱的侧面展开图是矩形B．球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面C．直角梯形绕它的一腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台D．圆柱､圆锥､圆台中，平行于底面的截面都是圆面4、绕着它的一边旋转一周得到的几何体可能是（

）A．圆台 B．圆台或两个圆锥的组合体C．圆锥或两个圆锥的组合体 D．圆柱5、已知等腰梯形ABCD，现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（

）A．一个圆台、两个圆锥 B．一个圆柱、两个圆锥C．两个圆台、一个圆柱 D．两个圆柱、一个圆台练习五圆柱、圆锥、圆台侧面展开图问题1、已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（

）A．1 B．2 C．3 D．42、一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是，截去小圆锥的母线长为，则圆台的母线长为（）A． B． C． D．3、圆柱的轴截面是一个边长为5cm的正方形ABCD，则从A到C在圆柱侧面上的最短距离为____.4、已知圆锥的母线与底面半径之比为3，若一只蚂蚁从该圆锥底部上的一点A绕圆锥侧面爬行一周再回到A点的最短距离为9，则该圆锥的体积为______.5、如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处．若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于_______．练习六简单组合体的结构特征1、如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（

）A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台2、指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．3、如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体4、如图，几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（

）A．B． C． D．第1讲基本立体图形知识点1空间几何体的有关概念1．空间几何体空间中的物体都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2．空间几何体的分类(1)多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．(2)旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体．封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．知识点2几种最基本的空间几何体棱柱的结构特征定义一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．从运动的观点来看，棱柱也可以看成是一个平面多边形从一个位置沿一条不与其共面的直线运动到另一位置时，其运动轨迹所形成的几何体．棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底．除底面外，其余各面叫做棱柱的侧面．相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．图形及表示①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、；②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等．结构特征①有两个面互相平行；②各侧棱都互相平行，各侧面都是平行四边形．通俗地讲，棱柱“两头一样平，上下一样粗”．注：有两个面互相平行，并不表明只有两个面互相平行，如长方体，有三组对面互相平行，其中任意一组对面都可以作为底面．分类①棱柱可以按底面的边数进行分类，底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……即棱柱的底面是几边形，这样的棱柱就叫做几棱柱．按侧棱与底面是否垂直分类，可分为斜棱柱和直棱柱．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．特别地，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．推广平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱，即平行六面体的六个面都是平行四边形．长方体：底面是矩形的直棱柱．正方体：棱长都相等的长方体．易错辨析有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱．如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱．判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱．2．棱锥的结构特征定义一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．在棱锥中，这个多边形面叫做棱锥的底面或底．有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．图形及表示①表示顶点和底面各顶点的字母表示棱锥．如图所示的四棱锥可表示为棱锥S−ABCD．②用顶点和底面多边形的一条对角线的相应字母表示棱锥（三棱锥除外）．如图所示的棱锥可记为四棱锥S−AC．结构特征(1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形．注意：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥分类按底面的边数进行分类：底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中，三棱锥又称为四面体．注意：三棱锥的所有面都是三角形，所以四个面都可以看作底．3．棱台的结构特征定义用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台.原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，除上、下底面之外的其他各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱,棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点图形及表示用表示底面各顶点的字母表示棱台．如图所示的四棱台可以表示为棱台ABCD−A′B′C′D′．结构特征(1)上底面与下底面是互相平行的相似多边形；(2)侧面都是梯形；(3)侧棱延长线必交于一点．注意：各侧面是全等的等腰梯形的是棱台称为正棱台．(由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．)分类由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……4．圆柱的结构特征定义以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线．注意：圆柱与棱柱统称为柱体．图形及表示圆柱可以用表示它的轴的字母表示，上图所示的圆柱可以表示为圆柱OO′．结构特征(1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等．(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆．(3)圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴．(4)经过圆柱的轴的截面是一个矩形，其两条邻边分别是圆柱的母线和底面直径，经过圆柱的轴的截面通常叫做轴截面．(5)过任意两条母线的截面是矩形．(6)用一个平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个与底面全等的圆面．5．圆锥的结构特征定义以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴,垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面,直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面,无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线，如上图所示，SA，SB等都是圆锥的母线．母线的交点叫做圆锥的顶点注意：圆锥与棱锥统称为锥体．图形及表示圆锥可以用表示它的轴的字母表示，如图所示的圆锥可以表示为圆锥SO．结构特征(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．(2)平行于底面的截面都是圆．注：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面．(3)过轴的截面是全等的等腰三角形．其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线．(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形．(5)圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线．6．圆台的结构特征定义用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面．上、下底面圆心的连线所在的直线叫做圆台的轴．原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面叫做圆台的侧面．原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线．注意：圆台和棱台统称为台体．图形及表示圆台可以用表示它的轴的字母表示，上图所示的圆台可以表示为圆台OO′．结构特征(1)圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点．(2)平行于底面的截面是圆．(3)过轴的截面是全等的等腰梯形．(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形．7．球的结构特征定义以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径．图形及表示可以用表示球心的字母表示球，上图所示的球可以表示为球O．结构特征(1)球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体．(2)根据球的定义，铅球是一个球，而足球、乒乓球、篮球、排球等，虽然它们的名字中有“球”字，但它们都是空心的，不符合球的定义，因而都不是球.8．简单组合体的结构特征定义由柱体、锥体、台体、球体等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．构成形式简单组合体构成的两种基本形式简单组合体eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(由简单几何体拼接而成；,由简单几何体截去或挖去一部分而成.))考点一棱柱的结构特征解题方略：棱柱结构特征问题的解题策略(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：①两个面互相平行；②其余各面是平行四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征．(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除．【例1】下面多面体中，是棱柱的共有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个【解析】根据棱柱的结构特征进行判定知，这4个图都满足．故选D.变式1：如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱 B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定【解析】如图．因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形，因此是棱柱．故选A【例2】下列说法中，正确的是()A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形【解析】A选项不符合棱柱的结构特征；B选项中，如图①，构造四棱柱ABCD­A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，如图②，底面ABCD可以是平行四边形；D选项是棱柱的结构特征．故选D.变式1：下列命题正确的是（）A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱D．棱柱的侧面都是全等的平行四边形【解析】有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体，A错；有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体如图所示，B错；棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形，D错；由棱柱的定义，C正确.故选：C.变式2：【多选】下列关于棱柱的说法正确的是()A．所有的棱柱两个底面都平行B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱D．棱柱至少有五个面【解析】选ABD对于A、B、D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．如图所示的几何体就不是棱柱，所以C错误．故选A、B、D.变式3：【多选】下列关于棱柱的说法中不正确的是()A．棱柱的侧面是平行四边形，但它一定不是矩形B．棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高C．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面D．棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行【解析】由棱柱的定义，知A不正确，例如长方体；只有直棱柱才满足选项B的条件，故B不正确；C不正确，例如正六棱柱的相对侧面互相平行；D显然正确．故选A、B、C.【例3】一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为________cm.【解析】该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12cm.考点二棱锥、棱台的结构特征解题方略：判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点【例4】下面图形中，为棱锥的是()A．①③ B．①③④C．①②④ D．①②【解析】根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.【例5】下列说法中，正确的是()①棱锥的各个侧面都是三角形；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；③四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面；④棱锥的各侧棱长相等．A．①② B．①③C．②③ D．②④【解析】由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错．故选B.变式1：下列说法正确的是________．①一个棱锥至少有四个面；②如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；③五棱锥只有五条棱；④用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．【解析】①正确．②不正确，四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等．也可以不等．③不正确，五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共10条棱．④正确．答案：①④变式2：下列说法正确的是()A．多面体至少有3个面B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形【解析】一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项A错误；选项B错误，反例如图1；选项C错误，反例如图2，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．故选D.变式3：一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是()A．三棱锥 B．四棱锥C．五棱锥 D．六棱锥【解析】由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．故选D.【例6】下面四个几何体中，是棱台的是()【解析】由棱台的结构特征知，两个底面平行且相似，侧面都是梯形．侧棱延长应交于一点．故选C.变式1：下列特征不是棱台必须具有的是()A．两底面平行B．侧面都是梯形C．侧棱长都相等D．侧棱延长后相交于一点【解析】用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台，A，B，D正确，选C.变式2：下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中说法正确的序号是________．【解析】①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．[答案]①②变式3：如图所示，在三棱台A′B′C′­ABC中，截去三棱锥A′­ABC，则剩余部分是()A．三棱锥 B．四棱锥C．三棱柱 D．组合体【解析】余下部分是四棱锥A′­BCC′B′.故选B.截面问题【例7】用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是()A．四边形 B．三角形C．三角形或四边形 D．不可能为四边形【解析】按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．①②考点三多面体的平面展开图问题解题方略：多面体展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．【例8】(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)()(2)如图是三个几何体的平面展开图，请问各是什么几何体？【解析】(1)由选项验证可知选A.(2)图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点．把平面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．[答案](1)A(2)①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台变式1：下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()【解析】A、B、C中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱．故选D.变式2：水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1B．9C．快 D．乐【解析】将图形折成正方体知选B.变式3：如图所示都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是()①②③④A．①② B．②③C．③④ D．①④【解析】在图②③中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图②③完全一样，而图①④则不同．变式4：一个几何体的平面展开图如图所示．(1)该几何体是哪种几何体？(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？“你”字面相对的是哪个面？【解析】(1)该几何体是四棱台．(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”．【例9】如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．【解析】将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝eq\r(AD2＋DD\o\al(2,1))＝eq\r(10).变式1：如图，M是棱长为2cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.【解析】由题意，若以BC为折叠线展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2cm，3cm，故两点之间的距离是eq\r(13)cm.若以BB1为折叠线展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离是eq\r(17)cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是eq\r(13)cm.答案：eq\r(13)变式2：长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线．【解析】沿长方体的一条棱剪开，使A和C1展在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：(1)若将C1D1剪开，使面AB1与面A1C1共面，可求得AC1＝eq\r(42＋5＋32)＝eq\r(80)＝4eq\r(5).(2)若将AD剪开，使面AC与面BC1共面，可求得AC1＝eq\r(32＋5＋42)＝eq\r(90)＝3eq\r(10).(3)若将CC1剪开，使面BC1与面AB1共面，可求得AC1＝eq\r(4＋32＋52)＝eq\r(74).相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为eq\r(74).变式3：如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？【解析】(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S△PEF＝eq\f(1,2)a2，S△DPF＝S△DPE＝eq\f(1,2)×2a×a＝a2，S△DEF＝eq\f(3,2)a2.考点四旋转体的结构特征解题方略：简单旋转体结构特征问题的解题策略(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键．(2)解题时要注意明确两点：①明确由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线．【例10】下列命题正确的是________．①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的直线；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥；⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；⑦球面上任意三点可能在一条直线上；⑧用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．[解析]①以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周才可以得到圆锥，故①错误；②圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的线段，且这条线段与轴平行，故②错误；③它们的底面为圆面，故③错误；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四点，则这四点就在球面上，故⑤错误；根据球的半径定义可知⑥正确；球面上任意三点一定不共线，故⑦错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故⑧正确．变式1：下列命题：①任意平面截圆柱，截面都是圆面；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线，其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．②【解析】过圆柱两母线的截面为矩形，有时斜的截面为椭圆，故①错误；圆台的母线不是上底面和下底面上任意两点的连线，③错误；由圆锥母线的定义知②正确，故选D.变式2：判断下列各命题是否正确：(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．【解析】(1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．(2)错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．(3)正确．(4)错．应为球面．变式3：下列叙述中，正确的个数是()①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；④圆面绕它的任一直径旋转形成的几何体是球．A．0 B．1C．2 D．3【解析】①应以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，故①错；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，故②错；③用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面不能得到，故③错；④正确．故选B.变式4：下列命题中正确的是()①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；②以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，半圆的直径叫做球的直径；③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；④球面上任意三点可能在一条直线上；⑤球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段．A．①②③ B．②③④C．②③⑤ D．①④⑤【解析】任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆，故①错，②正确，③正确；球面上任意三点一定不共线，故④错误；根据球的半径的定义可知⑤正确．故选C.变式5：有下列四个说法，其中正确的是()A．圆柱的母线与轴垂直B．圆锥的母线长等于底面圆直径C．圆台的母线与轴平行D．球的直径必过球心【解析】A：圆柱的母线与轴平行；B：圆锥的母线长与底面圆的直径不具有任何关系；C：圆台的母线延长线与轴相交．故选D.变式6：用平面截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是()A．圆柱 B．圆锥C．球 D．圆台【解析】由球的定义知选C.故选C.变式7：已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是()A．4 B．3C．2 D．0.5【解析】如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π，8π，∴两个截面圆的半径分别为r1＝eq\r(5)，r2＝2eq\r(2).∵球心到两个截面的距离d1＝eq\r(R2－r\o\al(2,1))，d2＝eq\r(R2－r\o\al(2,2))，∴d1－d2＝eq\r(R2－5)－eq\r(R2－8)＝1，∴R2＝9，∴R＝3.故选B.考点五圆柱、圆锥、圆台侧面展开图问题解题方略：求几何体表面上两点间的最小距离的步骤(1)将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开，画出其侧面展开图；(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；(3)结合已知条件求得结果．【例11】若圆柱体被平面截成如图所示的几何体，则它的侧面展开图是()【解析】结合几何体的实物图，从截面最低点开始高度增加缓慢，然后逐渐变快，最后增加逐渐变慢，不是均衡增加的，所以A、B、C错误．故选D.【例12】圆柱的母线长为10，则其高等于()A．5 B．10C．20 D．不确定【解析】圆柱的母线长与高相等，则其高等于10.故选B.变式1：用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是()A．2 B．2πC.eq\f(2,π)或eq\f(4,π) D.eq\f(π,2)或eq\f(π,4)【解析】如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝eq\f(4,π)；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝eq\f(2,π).故选C.变式2：一个圆锥的母线长为20，母线与轴的夹角为60°，则圆锥的高为________．【解析】h＝20cos60°＝10.变式3：已知圆锥的母线长为cm，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为____cm.【解析】设底面圆的半径为，由于侧面展开图是一个半圆，又圆锥的母线长为cm，所以该半圆的半径为cm，所以，所以（cm）.故答案为：.变式4：用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长．【解析】设圆台的母线长为lcm，截得圆台的上底面的半径为rcm.根据题意，得圆台的下底面的半径为4rcm.根据相似三角形的性质，得eq\f(3,3＋l)＝eq\f(r,4r).解得l＝9.所以圆台的母线长为9cm.变式5：一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．【解析】如图，将圆台恢复成圆锥后作其轴截面，设圆台的高为hcm，截得该圆台的圆锥的母线为xcm，由条件可得圆台上底半径r′＝2cm，下底半径r＝5cm.(1)由勾股定理得h＝eq\r(122－5－22)＝3eq\r(15)(cm)．(2)由三角形相似得：eq\f(x－12,x)＝eq\f(2,5)，解得x＝20(cm)．答：(1)圆台的高为3eq\r(15)cm；(2)截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.【例12】如图所示，已知圆柱的高为80cm，底面半径为10cm，轴截面上有P，Q两点，且PA＝40cm，B1Q＝30cm，若一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？【解析】将圆柱侧面沿母线AA1展开，得如图所示矩形．∴A1B1＝eq\f(1,2)·2πr＝πr＝10π(cm)．过点Q作QS⊥AA1于点S，在Rt△PQS中，PS＝80－40－30＝10(cm)，QS＝A1B1＝10π(cm)．∴PQ＝eq\r(PS2＋QS2)＝10eq\r(π2＋1)(cm)．即蚂蚁爬过的最短路径长是10eq\r(π2＋1)cm.变式1：如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面圆的直径构成边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程．(结果不取近似值)【解析】∵△ABC为正三角形，∴BC＝6，∴l＝2π×3＝6π，根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，得：eq\f(nπ×6,180)＝6π，故n＝180°，则∠B′AC＝90°，∴B′P＝eq\r(36＋9)＝3eq\r(5)(m)，∴小猫所经过的最短路程是3eq\r(5)m.变式2：如右图所示，圆台母线AB长为20cm，上、下底面半径分别为5cm和10cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳子长度的最小值．【解析】如右图所示，作出圆台的侧面展开图及其所在的圆锥．连接MB′，在圆台的轴截面中，∵Rt△OPA∽Rt△OQB，∴eq\f(OA,OA＋AB)＝eq\f(PA,QB)，∴eq\f(OA,OA＋AB)＝eq\f(5,10).∴OA＝20(cm)．设∠BOB′＝α，由扇形弧eq\x\to(BB)′的长与底面圆Q的周长相等，得2×10×π＝2×OB×π×eq\f(α,360°)，即20π＝2×(20＋20)π×eq\f(α,360°)，∴α＝90°.∴在Rt△B′OM中，B′M＝eq\r(OM2＋OB′2)＝eq\r(302＋402)＝50(cm)．即所求绳长的最小值为50cm.考点六简单组合体的结构特征解题方略：简单组合体的识别1．明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的，必要时也可以指出棱数、面数和顶点数．2．会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力．【例13】如图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？【解析】旋转后的图形如图所示．其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的．变式1：描述下列几何体的结构特征．【解析】图(1)所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图(2)所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图(3)所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.变式2：正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________________．【解析】由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体．答案：两个同底的圆锥组合体变式3：观察下列四个几何体，其中可看作是由两个棱柱拼接而成的是________(填序号)．【解析】①可看作由一个四棱柱和一个三棱柱组合而成，④可看作由两个四棱柱组合而成．答案：①④练习一棱柱的结构特征1、棱柱的侧面一定是（

）A．菱形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形【解析】棱柱的侧面一定是平行四边形，所以C选项正确.故选：C2、四棱柱有几条侧棱，几个顶点()A．四条侧棱、四个顶点B．八条侧棱、四个顶点C．四条侧棱、八个顶点D．六条侧棱、八个顶点【解析】四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得)．故选C.3、下列说法中正确的是()A．所有的棱柱都有一个底面B．棱柱的顶点至少有6个C．棱柱的侧棱至少有4条D．棱柱的棱至少有4条【解析】棱柱有两个底面，所以A项不正确；棱柱底面的边数至少是3，则在棱柱中，三棱柱的顶点数是6，三棱柱的侧棱数是3，三棱柱的棱数是9，所以C、D项不正确，B项正确．故选B.4、以下各种情况中，是长方体的是（

）A．直平行六面体 B．侧面是矩形的四棱柱C．底面是矩形的平行六面体 D．底面是矩形的直棱柱【解析】由长方体的底面是矩形且侧棱与底面垂直可知，长方体是底面是矩形的直棱柱.故选：D.5、【多选】有下列命题，其中错误的命题为（

）A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱D．直四棱柱是直平行六面体【解析】A选项，它的每相邻两个四边形的公共边不一定互相平行，错，B选项，也是它的每相邻两个四边形的公共边不一定平行，错，C选项，它符合棱柱的定义，对，D选项，直四棱柱的底面不一定是平行四边形，错，故选：ABD.练习二棱锥、棱台的结构特征1、下列棱锥有6个面的是()A．三棱锥 B．四棱锥C．五棱锥 D．六棱锥【解析】由棱锥的结构特征可知，五棱锥有6个面．故选C.2、一个棱柱至少有________个面，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．【解析】面最少的棱柱是三棱柱，它有5个面；顶点最少的棱台是三棱台，它有3条侧棱．答案：533、一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．【解析】面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．答案：5694、下列说法错误的是()A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B．多面体至少有3个面C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形【解析】选项A错误，反例如图①；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误；选项C错误，反例如图②，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．①②5、以下关于多面体的命题种，真命题为（

）A．所有侧面均为正三角形的四棱锥是正四棱锥B．所有侧面均为正方形的四棱柱是正四棱柱C．所有侧面均为正三角形的多面体是正四面体D．所有侧面均为正方形的多面体是正方体【解析】对于A：所有侧面均为正三角形的四棱锥是正四棱锥，故A正确；对于B：所有侧面均为正方形的四棱柱不一定是正四棱柱，底面不一定为正方形，故B错误；对于C：所有侧面均为正三角形的多面体是正四面体，也可能为正四棱锥，故C错误；对于D：所有侧面均为正方形的多面体是直棱柱，故D错误．故选：A．练习三多面体的平面展开图问题1、如图所示的各图形中，不是正方体表面展开图的是（

）A． B．C． D．【解析】通过分析可知，A、C、D选项都是正方体表面展开图；B选项不是正方体表面展开图，因为有一个面会重合.故选：B2、一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，（

）A． B． C． D．【解析】由题意，把无盖的正方体盒子展开后的平面图还原成正方体，如图所示，由此得到是等边三角形，所以.故选：A.3、【多选】某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转