高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)9.3计数原理(精练)(原卷版+解析)

9.3计数原理【题型解读】【题型一分类加法计数原理】1.(2023·甘肃省会宁县第二中学高三期中）将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（）A．16种 B．12种 C．9种 D．6种2.(2023·全国高三课时练习）算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字，梁下五珠，上拨一珠记作数字（如图2中算盘表示整数）．如果拨动图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（）A． B． C． D．3．(2023·博兴县第三中学高三月考）若一位三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”.例如：232，114等，则不超过200的“单重数”中，从小到大排列第22个“单重数”是（）A．166 B．171 C．181 D．1884．(2023·四川乐山高三期末）从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地到丙地的走法种数（）A．8 B．6 C．5 D．25.(2023·山东济南高三期末）如图所示，在，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现，之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有（）A．9种 B．11种 C．13种 D．15种【题型二分步乘法计数原理】1.(2023·全国高三课时练习）一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有（）A．6种 B．8种C．36种 D．48种2.(2023·湖南省长沙县第九中学高三期末）从集合中任取两个互不相等的数a，b组成复数，其中虚数有（）A．10个 B．12个 C．16个 D．20个3.(2023·陕西高三模拟）有6位同学报名参加三个数学课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有（）A． B． C． D．4.(2023·浙江高三模拟）现有6名选手参加才艺比赛，其中男、女选手各3名，且3名男选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术，3名女选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术，若要求相邻出场的选手性别不同且表演的节目不同，则不同的出场方式的种数为（）A．6 B．12 C．18 D．24【题型三数字问题】1.(2023·江西横峰中学月考）由数字1，2，3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为（）A．15 B．12 C．10 D．52.(2023·广东高三模拟）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的（1）密码箱的四位密码；（2）比2000大的四位偶数.3.(2023·青岛二中高三课时练习）用0,1,2,3,4五个数字．（1）可以排成多少个三位数字的电话号码？（2）可以排成多少个三位数？（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？【题型四涂色问题】1．(2023·南宁市银海三美学校高三月考）如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有多少种（）A．280 B．180 C．96 D．602.(2023·湖北车城高中高三期中）现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A．150种 B．180种 C．240种 D．120种3.(2023·广东高三期中）如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A．24 B．48C．72 D．964.(2023·全国高三课时练习）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有________种.5．(2023·浙江高三模拟）现用4种不同的颜色对如图所示的正方形的6个区域进行涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方案有______种.6．(2023·全国高二课时练习）如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种．(用数字作答)【题型五几何体问题】1.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A．40 B．16C．13 D．102．(2023·济南中学高三月考）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有多少对？9.3计数原理【题型解读】【题型一分类加法计数原理】1.(2023·甘肃省会宁县第二中学高三期中）将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（）A．16种 B．12种 C．9种 D．6种答案：B【解析】由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如下情况时，放球方法有：当1与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当1与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；^当1与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当2与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当2与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；当3与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；因此，不同的放球方法有12种，故选B.2.(2023·全国高三课时练习）算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字，梁下五珠，上拨一珠记作数字（如图2中算盘表示整数）．如果拨动图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（）A． B． C． D．答案：C【解析】由题意，拨动三枚算珠，有种拨法：①个位拨动三枚，有种结果：、；②十位拨动一枚，个位拨动两枚，有种结果：、、、；③十位拨动两枚，个位拨动一枚，有种结果：、、、；④十位拨动三枚，有种结果：、．综上，拨动题图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为．故选：C.3．(2023·博兴县第三中学高三月考）若一位三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”.例如：232，114等，则不超过200的“单重数”中，从小到大排列第22个“单重数”是（）A．166 B．171 C．181 D．188答案：B【解析】由题意可得：不超过200的数，两个数字一样同为0时，有100，200有2个，两个数字一样同为1时，有110，101，112，121，113，131，一直到191，119，共18个，两个数字一样同为2时，有122，有1个同理，两个数字一样同为3，4，5，6，7，8，9时各1个，综上，不超过200的“单重数”共有，其中最大的是200，较小的依次为199，191，188，181，177，171，故第22个“单重数”为171，故选：B.4．(2023·四川乐山高三期末）从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地到丙地的走法种数（）A．8 B．6 C．5 D．2答案：A【解析】由题意分两种情况讨论：一是从甲地经过乙地到丙地，因为从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，所以从甲地到丙地的走法有种，二是从甲地不经过乙地到丙地，因为从甲地不经过乙地到丙地有2条所以从甲地到丙地的走法有2种，故从甲地到丙地的走法共有种，故选：A5.(2023·山东济南高三期末）如图所示，在，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现，之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有（）A．9种 B．11种 C．13种 D．15种答案：C【解析】按焊接点脱落的个数分成4类：脱落1个，有1，4，共2种；脱落2个，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种；脱落3个，有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，3，4)，(2，3，4)，共4种；脱落4个，有(1，2，3，4)，共1种，由分类加法计数原理，焊接点脱落的情况共有种．故选：C【题型二分步乘法计数原理】1.(2023·全国高三课时练习）一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有（）A．6种 B．8种C．36种 D．48种答案：D【解析】如图所示，由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，选定一个区域后可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种结果，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种结果，参观完第二个区域，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48(种)不同的参观路线．故选：D2.(2023·湖南省长沙县第九中学高三期末）从集合中任取两个互不相等的数a，b组成复数，其中虚数有（）A．10个 B．12个 C．16个 D．20个答案：C【解析】∵a，b互不相等且为虚数，∴所有b只能从{1，2，3，4}中选一个有4种，a从剩余的4个选一个有4种，∴根据分步计数原理知虚数有4×4＝16（个）．故选：C．3.(2023·陕西高三模拟）有6位同学报名参加三个数学课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有（）A． B． C． D．答案：A【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，第一个同学有3种报法，第二个同学有3种报法，后面的四个同学都有三种报法，根据分步计数原理知共有种结果，故选：．4.(2023·浙江高三模拟）现有6名选手参加才艺比赛，其中男、女选手各3名，且3名男选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术，3名女选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术，若要求相邻出场的选手性别不同且表演的节目不同，则不同的出场方式的种数为（）A．6 B．12 C．18 D．24答案：B【解析】设3名男选手分别为,,,他们分别表演歌唱,舞蹈和魔术,3名女选手分别为,,,她们分别表演歌唱,舞蹈和魔术,若第一个出场的是,则第二个出场的只能是或,若第二个出场的是,则接下来的出场顺序只能是,,,,同理,若第二个出场的是,则接下来的出场顺序只能是,,,,所以若第一个出场,则不同的出场方式有2种,故不同的出场方式共有（种）,故选:B【题型三数字问题】1.(2023·江西横峰中学月考）由数字1，2，3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为（）A．15 B．12 C．10 D．5答案：D【解析】分三类，第一类组成一位整数，偶数有2，共1个；第二类组成两位整数，其中偶数有12和32，共2个；第三类组成三位整数，其中偶数有132和312，共2个．由分类加法计数原理知共有偶数5个．故选：D2.(2023·广东高三模拟）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的（1）密码箱的四位密码；（2）比2000大的四位偶数.答案：（1）360；（2）120【解析】解：（1）分步解决.第一步：选取第一个位置上的数字，有6种选取方法；第二步：选取第二个位置上的数字，有5种选取方法；第三步：选取第三个位置上的数字，有4种选取方法；第四步：选取第四个位置上的数字，有3种选取方法.由分步乘法计数原理知，可组成无重复数字的四位密码共有.（2）按个位是0，2，4分为三类.第一类：个位是0的有个；第二类：个位是2的有个；第三类：个位是4的有个.故由分类加法计数原理得比2000大的四位偶数有个.3.(2023·青岛二中高三课时练习）用0,1,2,3,4五个数字．（1）可以排成多少个三位数字的电话号码？（2）可以排成多少个三位数？（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？答案：（1）125个；（2）100个；（3）30个.【解析】（1）三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(个)．（2）三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(个)．（3）被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法．因而有12＋18＝30(种)排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．【题型四涂色问题】1．(2023·南宁市银海三美学校高三月考）如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有多少种（）A．280 B．180 C．96 D．60答案：B【解析】按区域分四步：第1步，A区域有5种颜色可选；第2步，B区域有4种颜色可选；第3步，C区域有3种颜色可选；第4步，D区域也有3种颜色可选.由分步乘法计数原理，共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案.选选：B.2.(2023·湖北车城高中高三期中）现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A．150种 B．180种 C．240种 D．120种答案：B【解析】分步涂色，第一步对涂色有5种方法，第二步对涂色有4种方法，第三步对涂色有3种方法，第四步对涂色有3种方法，∴总的方法数为．故选：B．3.(2023·广东高三期中）如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A．24 B．48C．72 D．96答案：C【解析】分两种情况：①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D各有1种，有4×3×2＝24种涂法．②A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48种涂色．故共有24＋48＝72种涂色方法．4.(2023·全国高三课时练习）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有________种.答案：72【解析】下面分两种情况，即C，A同色与C，A不同色来讨论.（1）P的着色方法有4种，A的着色方法有3种，B的着色方法有2种，C，A同色时，C的着色方法为1种，D的着色方法有2种.（2）P的着色方法有4种，A的着色方法有3种，B的着色方法有2种.C与A不同色时C的着色方法有1种，D的着色方法有1种，综上，两类共有4×3×2×1×2＋4×3×2×1×1＝48＋24＝72(种).5．(2023·浙江高三模拟）现用4种不同的颜色对如图所示的正方形的6个区域进行涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方案有______种.答案：144【解析】第一步，对区域1进行涂色，有4种颜色可供选择，即有4种不同的涂色方法；第二步，对区域2进行涂色，区域2与区域1相邻，有3种颜色可供选择，即有3种不同的涂色方法；第三步，对区域3进行涂色，区域3与区域1、区域2相邻，有2种颜色可供选择，即有2种不