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9.3计数原理【题型解读】【题型一分类加法计数原理】1.(2023·甘肃省会宁县第二中学高三期中)将编号1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3的盒子中,要求不允许有空盒子,且球与盒子的号不能相同,则不同的放球方法有()A.16种 B.12种 C.9种 D.6种2.(2023·全国高三课时练习)算盘是中国古代的一项重要发明.现有一种算盘(如图1),共两档,自右向左分别表示个位和十位,档中横以梁,梁上一珠拨下,记作数字,梁下五珠,上拨一珠记作数字(如图2中算盘表示整数).如果拨动图1算盘中的三枚算珠,可以表示不同整数的个数为()A. B. C. D.3.(2023·博兴县第三中学高三月考)若一位三位数的自然数各位数字中,有且仅有两个数字一样,我们就把这样的三位数定义为“单重数”.例如:232,114等,则不超过200的“单重数”中,从小到大排列第22个“单重数”是()A.166 B.171 C.181 D.1884.(2023·四川乐山高三期末)从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地到丙地的走法种数()A.8 B.6 C.5 D.25.(2023·山东济南高三期末)如图所示,在,间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通.今发现,之间电路不通,则焊接点脱落的不同情况有()A.9种 B.11种 C.13种 D.15种【题型二分步乘法计数原理】1.(2023·全国高三课时练习)一植物园的参观路径如图所示,若要全部参观并且路线不重复,则不同的参观路线共有()A.6种 B.8种C.36种 D.48种2.(2023·湖南省长沙县第九中学高三期末)从集合中任取两个互不相等的数a,b组成复数,其中虚数有()A.10个 B.12个 C.16个 D.20个3.(2023·陕西高三模拟)有6位同学报名参加三个数学课外活动小组,每位同学限报其中一个小组,则不同的报名方法共有()A. B. C. D.4.(2023·浙江高三模拟)现有6名选手参加才艺比赛,其中男、女选手各3名,且3名男选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术,3名女选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术,若要求相邻出场的选手性别不同且表演的节目不同,则不同的出场方式的种数为()A.6 B.12 C.18 D.24【题型三数字问题】1.(2023·江西横峰中学月考)由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中,偶数的个数为()A.15 B.12 C.10 D.52.(2023·广东高三模拟)用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的(1)密码箱的四位密码;(2)比2000大的四位偶数.3.(2023·青岛二中高三课时练习)用0,1,2,3,4五个数字.(1)可以排成多少个三位数字的电话号码?(2)可以排成多少个三位数?(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数?【题型四涂色问题】1.(2023·南宁市银海三美学校高三月考)如图,用五种不同的颜色分别给A,B,C,D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有多少种()A.280 B.180 C.96 D.602.(2023·湖北车城高中高三期中)现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有()A.150种 B.180种 C.240种 D.120种3.(2023·广东高三期中)如图所示的五个区域中,现有四种颜色可供选择,要求每一个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为()A.24 B.48C.72 D.964.(2023·全国高三课时练习)如图,将一个四棱锥的每一个顶点染一种颜色,并使同一条棱上的两端点异色,如果只有4种颜色可供使用,则不同的染色方法有________种.5.(2023·浙江高三模拟)现用4种不同的颜色对如图所示的正方形的6个区域进行涂色,要求相邻的区域不能涂同一种颜色,则不同的涂色方案有______种.6.(2023·全国高二课时练习)如图所示,用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求相邻的两个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有________种.(用数字作答)【题型五几何体问题】1.已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点,则这13个点可以确定不同的平面个数为()A.40 B.16C.13 D.102.(2023·济南中学高三月考)过三棱柱任意两个顶点的直线共15条,其中异面直线有多少对?9.3计数原理【题型解读】【题型一分类加法计数原理】1.(2023·甘肃省会宁县第二中学高三期中)将编号1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3的盒子中,要求不允许有空盒子,且球与盒子的号不能相同,则不同的放球方法有()A.16种 B.12种 C.9种 D.6种答案:B【解析】由题意可知,这四个小球有两个小球放在一个盒子中,当四个小球分组为如下情况时,放球方法有:当1与2号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;当1与3号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;^当1与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;当2与3号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;当2与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;当3与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;因此,不同的放球方法有12种,故选B.2.(2023·全国高三课时练习)算盘是中国古代的一项重要发明.现有一种算盘(如图1),共两档,自右向左分别表示个位和十位,档中横以梁,梁上一珠拨下,记作数字,梁下五珠,上拨一珠记作数字(如图2中算盘表示整数).如果拨动图1算盘中的三枚算珠,可以表示不同整数的个数为()A. B. C. D.答案:C【解析】由题意,拨动三枚算珠,有种拨法:①个位拨动三枚,有种结果:、;②十位拨动一枚,个位拨动两枚,有种结果:、、、;③十位拨动两枚,个位拨动一枚,有种结果:、、、;④十位拨动三枚,有种结果:、.综上,拨动题图1算盘中的三枚算珠,可以表示不同整数的个数为.故选:C.3.(2023·博兴县第三中学高三月考)若一位三位数的自然数各位数字中,有且仅有两个数字一样,我们就把这样的三位数定义为“单重数”.例如:232,114等,则不超过200的“单重数”中,从小到大排列第22个“单重数”是()A.166 B.171 C.181 D.188答案:B【解析】由题意可得:不超过200的数,两个数字一样同为0时,有100,200有2个,两个数字一样同为1时,有110,101,112,121,113,131,一直到191,119,共18个,两个数字一样同为2时,有122,有1个同理,两个数字一样同为3,4,5,6,7,8,9时各1个,综上,不超过200的“单重数”共有,其中最大的是200,较小的依次为199,191,188,181,177,171,故第22个“单重数”为171,故选:B.4.(2023·四川乐山高三期末)从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地到丙地的走法种数()A.8 B.6 C.5 D.2答案:A【解析】由题意分两种情况讨论:一是从甲地经过乙地到丙地,因为从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,所以从甲地到丙地的走法有种,二是从甲地不经过乙地到丙地,因为从甲地不经过乙地到丙地有2条所以从甲地到丙地的走法有2种,故从甲地到丙地的走法共有种,故选:A5.(2023·山东济南高三期末)如图所示,在,间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通.今发现,之间电路不通,则焊接点脱落的不同情况有()A.9种 B.11种 C.13种 D.15种答案:C【解析】按焊接点脱落的个数分成4类:脱落1个,有1,4,共2种;脱落2个,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种;脱落3个,有(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4),共4种;脱落4个,有(1,2,3,4),共1种,由分类加法计数原理,焊接点脱落的情况共有种.故选:C【题型二分步乘法计数原理】1.(2023·全国高三课时练习)一植物园的参观路径如图所示,若要全部参观并且路线不重复,则不同的参观路线共有()A.6种 B.8种C.36种 D.48种答案:D【解析】如图所示,由题意知在A点可先参观区域1,也可先参观区域2或3,选定一个区域后可以按逆时针参观,也可以按顺时针参观,所以第一步可以从6个路口任选一个,有6种结果,参观完第一个区域后,选择下一步走法,有4种结果,参观完第二个区域,只剩下最后一个区域,有2种走法,根据分步乘法计数原理,共有6×4×2=48(种)不同的参观路线.故选:D2.(2023·湖南省长沙县第九中学高三期末)从集合中任取两个互不相等的数a,b组成复数,其中虚数有()A.10个 B.12个 C.16个 D.20个答案:C【解析】∵a,b互不相等且为虚数,∴所有b只能从{1,2,3,4}中选一个有4种,a从剩余的4个选一个有4种,∴根据分步计数原理知虚数有4×4=16(个).故选:C.3.(2023·陕西高三模拟)有6位同学报名参加三个数学课外活动小组,每位同学限报其中一个小组,则不同的报名方法共有()A. B. C. D.答案:A【解析】由题意知本题是一个分步计数问题,第一个同学有3种报法,第二个同学有3种报法,后面的四个同学都有三种报法,根据分步计数原理知共有种结果,故选:.4.(2023·浙江高三模拟)现有6名选手参加才艺比赛,其中男、女选手各3名,且3名男选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术,3名女选手分别表演歌唱、舞蹈和魔术,若要求相邻出场的选手性别不同且表演的节目不同,则不同的出场方式的种数为()A.6 B.12 C.18 D.24答案:B【解析】设3名男选手分别为,,,他们分别表演歌唱,舞蹈和魔术,3名女选手分别为,,,她们分别表演歌唱,舞蹈和魔术,若第一个出场的是,则第二个出场的只能是或,若第二个出场的是,则接下来的出场顺序只能是,,,,同理,若第二个出场的是,则接下来的出场顺序只能是,,,,所以若第一个出场,则不同的出场方式有2种,故不同的出场方式共有(种),故选:B【题型三数字问题】1.(2023·江西横峰中学月考)由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中,偶数的个数为()A.15 B.12 C.10 D.5答案:D【解析】分三类,第一类组成一位整数,偶数有2,共1个;第二类组成两位整数,其中偶数有12和32,共2个;第三类组成三位整数,其中偶数有132和312,共2个.由分类加法计数原理知共有偶数5个.故选:D2.(2023·广东高三模拟)用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的(1)密码箱的四位密码;(2)比2000大的四位偶数.答案:(1)360;(2)120【解析】解:(1)分步解决.第一步:选取第一个位置上的数字,有6种选取方法;第二步:选取第二个位置上的数字,有5种选取方法;第三步:选取第三个位置上的数字,有4种选取方法;第四步:选取第四个位置上的数字,有3种选取方法.由分步乘法计数原理知,可组成无重复数字的四位密码共有.(2)按个位是0,2,4分为三类.第一类:个位是0的有个;第二类:个位是2的有个;第三类:个位是4的有个.故由分类加法计数原理得比2000大的四位偶数有个.3.(2023·青岛二中高三课时练习)用0,1,2,3,4五个数字.(1)可以排成多少个三位数字的电话号码?(2)可以排成多少个三位数?(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数?答案:(1)125个;(2)100个;(3)30个.【解析】(1)三位数字的电话号码,首位可以是0,数字也可以重复,每个位置都有5种排法,共有5×5×5=53=125(个).(2)三位数的首位不能为0,但可以有重复数字,首先考虑首位的排法,除0外共有4种方法,第二、三位可以排0,因此,共有4×5×5=100(个).(3)被2整除的数即偶数,末位数字可取0,2,4,因此,可以分两类,一类是末位数字是0,则有4×3=12(种)排法;一类是末位数字不是0,则末位有2种排法,即2或4,再排首位,因0不能在首位,所以有3种排法,十位有3种排法,因此有2×3×3=18(种)排法.因而有12+18=30(种)排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.【题型四涂色问题】1.(2023·南宁市银海三美学校高三月考)如图,用五种不同的颜色分别给A,B,C,D四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有多少种()A.280 B.180 C.96 D.60答案:B【解析】按区域分四步:第1步,A区域有5种颜色可选;第2步,B区域有4种颜色可选;第3步,C区域有3种颜色可选;第4步,D区域也有3种颜色可选.由分步乘法计数原理,共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案.选选:B.2.(2023·湖北车城高中高三期中)现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有()A.150种 B.180种 C.240种 D.120种答案:B【解析】分步涂色,第一步对涂色有5种方法,第二步对涂色有4种方法,第三步对涂色有3种方法,第四步对涂色有3种方法,∴总的方法数为.故选:B.3.(2023·广东高三期中)如图所示的五个区域中,现有四种颜色可供选择,要求每一个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为()A.24 B.48C.72 D.96答案:C【解析】分两种情况:①A,C不同色,先涂A有4种,C有3种,E有2种,B,D各有1种,有4×3×2=24种涂法.②A,C同色,先涂A有4种,E有3种,C有1种,B,D各有2种,有4×3×2×2=48种涂色.故共有24+48=72种涂色方法.4.(2023·全国高三课时练习)如图,将一个四棱锥的每一个顶点染一种颜色,并使同一条棱上的两端点异色,如果只有4种颜色可供使用,则不同的染色方法有________种.答案:72【解析】下面分两种情况,即C,A同色与C,A不同色来讨论.(1)P的着色方法有4种,A的着色方法有3种,B的着色方法有2种,C,A同色时,C的着色方法为1种,D的着色方法有2种.(2)P的着色方法有4种,A的着色方法有3种,B的着色方法有2种.C与A不同色时C的着色方法有1种,D的着色方法有1种,综上,两类共有4×3×2×1×2+4×3×2×1×1=48+24=72(种).5.(2023·浙江高三模拟)现用4种不同的颜色对如图所示的正方形的6个区域进行涂色,要求相邻的区域不能涂同一种颜色,则不同的涂色方案有______种.答案:144【解析】第一步,对区域1进行涂色,有4种颜色可供选择,即有4种不同的涂色方法;第二步,对区域2进行涂色,区域2与区域1相邻,有3种颜色可供选择,即有3种不同的涂色方法;第三步,对区域3进行涂色,区域3与区域1、区域2相邻,有2种颜色可供选择,即有2种不
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