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文档简介
第八章平面解析几何8.4.1抛物线(题型战法)知识梳理一定义及标准方程定义:平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。方程:焦点在x轴上焦点在y轴上图形与方程标准方程焦点准线二简单几何性质抛物线:(1)焦半径:,;焦点弦:(2)若直线的倾斜角为,则,(3)以为直径的圆与准线相切,以为直径的圆与y轴相切(4)(5)(6)中点弦:(中点坐标和斜率的关系)题型战法题型战法一抛物线的定义及辨析典例1.若动点P到定点的距离与到直线的距离相等,则点P的轨迹是(
)A.抛物线 B.线段 C.直线 D.射线变式1-1.若点到直线的距离比它到点的距离小,则点的轨迹为(
)A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆变式1-2.在平面直角坐标系中,设抛物线的焦点为,准线为,为抛物线上一点,过点作,交准线于点,若直线的倾斜角为,则点的纵坐标为(
)A.3
B.2
C.1
D.变式1-3.抛物线上一点到焦点的距离是10,则点到轴的距离是(
)A.10 B.9 C.8 D.7变式1-4.已知抛物线:的焦点为,点在抛物线上,,则点的横坐标为(
)A.6 B.5 C.4 D.2题型战法二抛物线上的点到焦点与定点距离的和、差最值典例2.已知抛物线,,点在抛物线上,记点到直线的距离为,则的最小值是(
)A.5 B.6 C.7 D.8变式2-1.已知焦点为F的抛物线的准线是直线l,点P为抛物线C上一点,且垂足为Q,点则的最小值为(
)A. B.2 C. D.变式2-2.已知定点,为抛物线的焦点,为抛物线上的动点,则的最小值为()A.5 B.4.5 C.3.5 D.不能确定变式2-3.抛物线y2=4x的焦点为F,定点M(2,1),点P为抛物线上的一个动点,则|MP|+|PF|的最小值为(
)A.5 B.4 C.3 D.2变式2-4.已知抛物线:的准线为,点的坐标为,点在抛物线上,点到直线的距离为,则的最大值为(
)A. B. C.1 D.题型战法三抛物线的标准方程典例3.以椭圆的对称中心为顶点,椭圆的焦点为焦点的抛物线的方程是(
).A. B.或C. D.或变式3-1.已知抛物线y2=2px(p>0)经过点M(x0,2),若点M到准线l的距离为3,则该抛物线的方程为(
)A.y2=4x B.y2=2x或y2=4xC.y2=8x D.y2=4x或y2=8x变式3-2.顶点在原点,关于轴对称,并且经过点的抛物线方程为(
)A. B.C. D.变式3-3.设抛物线的焦点为,准线为,为上一点,以为圆心,为半径的圆交于,两点.若,且的面积为,则抛物线的方程为(
)A. B.C. D.变式3-4.设抛物线:的焦点为,准线为,为抛物线上一点,以为圆心的圆与准线相切,且过点,则抛物线的方程为(
)A. B. C. D.或题型战法四抛物线的轨迹方程典例4.在平面直角坐标系中,已知,动点满足,则动点的轨迹方程是A. B. C. D.变式4-1.已知是抛物线的焦点,是该抛物线上一动点,则线段的中点的轨迹方程是(
)A. B.C. D.变式4-2.设动点是抛物线上任意一点,点,存在点,使得,则的轨迹方程是(
)A. B.C. D.变式4-3.一个动圆与定圆相外切,且与直线相切,则动圆圆心的轨迹方程为(
)A. B. C. D.变式4-4.在平面直角坐标系中,已知点,点为直线:上的动点,点在线段的垂直平分线上,且,则动点的轨迹方程是(
)A.B.C. D.题型战法五抛物线的几何性质典例5.已知为抛物线的焦点,点A为上一点,点的坐标为,若,则的面积为(
)A.2 B.4 C.8 D.16变式5-1.已知抛物线的焦点为F,准线为l,点P在C上,直线PF交y轴于点Q,若,则点P到准线l的距离为(
)A.3 B.4 C.5 D.6变式5-2.已知点是抛物线上的动点,过点作圆的切线,切点为,则的最小值为(
)A. B. C. D.变式5-3.设抛物线的焦点为F,A为抛物线上一点且A在第一象限,.现将直线AF绕点F逆时针旋转,得到直线l,且直线l与抛物线交于C、D两点,则(
)A.1 B. C.2 D.4变式5-4.抛物线的焦点为F,A,B是拋物线上两点,若,若AB的中点到准线的距离为3,则AF的中点到准线的距离为(
).A.1 B.2 C.3 D.4第八章平面解析几何8.4.1抛物线(题型战法)知识梳理一定义及标准方程定义:平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。方程:焦点在x轴上焦点在y轴上图形与方程标准方程焦点准线二简单几何性质抛物线:(1)焦半径:,;焦点弦:(2)若直线的倾斜角为,则,(3)以为直径的圆与准线相切,以为直径的圆与y轴相切(4)(5)(6)中点弦:(中点坐标和斜率的关系)题型战法题型战法一抛物线的定义及辨析典例1.若动点P到定点的距离与到直线的距离相等,则点P的轨迹是(
)A.抛物线 B.线段 C.直线 D.射线【答案】A【分析】由抛物线定义可直接得到结果.【详解】动点满足抛物线定义,则其轨迹为抛物线.故选:A.变式1-1.若点到直线的距离比它到点的距离小,则点的轨迹为(
)A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆【答案】C【解析】题设条件等价于点到直线的距离等于它到点的距离,满足抛物线定义.【详解】因为点到直线的距离比它到点的距离小,所以点到直线的距离等于它到点的距离,∴点的轨迹为抛物线,故选:C.【点睛】本题考查抛物线的基本定义,考查轨迹思想,属于简单题.变式1-2.在平面直角坐标系中,设抛物线的焦点为,准线为,为抛物线上一点,过点作,交准线于点,若直线的倾斜角为,则点的纵坐标为(
)A.3
B.2
C.1
D.【答案】A【分析】求出的长,根据抛物线的定义可得.【详解】设准线与轴交于点,则,,∴,连接,则,又,所以是正三角形,∴,准线的方程是,∴点纵坐标为3.故选:A变式1-3.抛物线上一点到焦点的距离是10,则点到轴的距离是(
)A.10 B.9 C.8 D.7【答案】B【分析】由抛物线的定义即可求解.【详解】解:由题可知,抛物线的准线方程为,因为点到焦点的距离是10,故到准线的距离是10,则点到轴的距离是9.故选:B.变式1-4.已知抛物线:的焦点为,点在抛物线上,,则点的横坐标为(
)A.6 B.5 C.4 D.2【答案】C【分析】根据抛物线的标准方程,确定准线方程,根据抛物线的定义计算可得;【详解】解:设点的横坐标为,抛物线的准线方程为,点在抛物线上,,,.故选:C.题型战法二抛物线上的点到焦点与定点距离的和、差最值典例2.已知抛物线,,点在抛物线上,记点到直线的距离为,则的最小值是(
)A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【分析】先求出抛物线的焦点和准线,利用抛物线的定义将转化为的距离,即可求解.【详解】由已知得抛物线的焦点为,准线方程为,设点到准线的距离为,则,则由抛物线的定义可知.∵,当点、、三点共线时等号成立,∴,故选:.变式2-1.已知焦点为F的抛物线的准线是直线l,点P为抛物线C上一点,且垂足为Q,点则的最小值为(
)A. B.2 C. D.【答案】A【分析】连接PF,由抛物线的定义可知PF=PQ,然后结合图形可得答案【详解】连接PF,由抛物线的定义可知PF=PQ,所以,故选A.变式2-2.已知定点,为抛物线的焦点,为抛物线上的动点,则的最小值为()A.5 B.4.5 C.3.5 D.不能确定【答案】C【分析】过点作准线,垂足为,根据抛物线的定义可知,当且仅当、、三点共线时,的最小值为.【详解】如图所示,过点作准线,垂足为,则,当且仅当、、三点共线时,取得最小值.故选:C【点睛】本题考查了抛物线的定义、抛物线的标准方程,考查了基本运算能力,属于基础题.变式2-3.抛物线y2=4x的焦点为F,定点M(2,1),点P为抛物线上的一个动点,则|MP|+|PF|的最小值为(
)A.5 B.4 C.3 D.2【答案】C【分析】根据抛物线的性质可知最短距离为到准线的距离.【详解】解:易知点在抛物线的内部,其准线方程为,过作准线的垂线,垂足为,则,故而当三点共线时,|MP|+|PF|取得最小值.故选:C.【点睛】本题考查抛物线的定义和性质的应用,考查运算求解能力,考查数形结合思想,解答的关键利用是抛物线定义,体现了转化的数学思想.变式2-4.已知抛物线:的准线为,点的坐标为,点在抛物线上,点到直线的距离为,则的最大值为(
)A. B. C.1 D.【答案】A【分析】利用抛物线定义,把问题转化为抛物线上的点到点A和焦点F距离差的最大值求解.【详解】抛物线:的焦点,依题意,,则,当且仅当点P,F,A共线,即点P为抛物线顶点时取“=”,所以的最大值为.故选:A题型战法三抛物线的标准方程典例3.以椭圆的对称中心为顶点,椭圆的焦点为焦点的抛物线的方程是(
).A. B.或C. D.或【答案】D【分析】由椭圆的方程得出椭圆的焦点坐标,然后可得答案.【详解】因为椭圆的对称中心为原点,焦点为所以抛物线的方程为或故选:D变式3-1.已知抛物线y2=2px(p>0)经过点M(x0,2),若点M到准线l的距离为3,则该抛物线的方程为(
)A.y2=4x B.y2=2x或y2=4xC.y2=8x D.y2=4x或y2=8x【答案】D【分析】把M的坐标代入抛物线方程可得M的横坐标,结合点M到准线l的距离为3列式求得p,则抛物线方程可求.【详解】∵抛物线y2=2px(p>0)经过点M(x0,2),∴,可得.又点M到准线l的距离为3,∴,解得p=2或p=4.则该抛物线的方程为y2=4x或y2=8x.故选:D.变式3-2.顶点在原点,关于轴对称,并且经过点的抛物线方程为(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】根据题意,设抛物线的方程为,进而待定系数求解即可.【详解】解:由题,设抛物线的方程为,因为在抛物线上,所以,解得,即所求抛物线方程为故选:C变式3-3.设抛物线的焦点为,准线为,为上一点,以为圆心,为半径的圆交于,两点.若,且的面积为,则抛物线的方程为(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】利用圆和抛物线的定义得到是等边三角形,再面积得到的长度,进而建立关于的等式即可求解.【详解】解:∵以为圆心,为半径的圆交于,两点,,结合抛物线的定义可得:是等边三角形,.的面积为:,.又点到准线的距离为,则该抛物线的方程为.故选:B.变式3-4.设抛物线:的焦点为,准线为,为抛物线上一点,以为圆心的圆与准线相切,且过点,则抛物线的方程为(
)A. B. C. D.或【答案】D【分析】首先根据抛物线的定义得到圆经过焦点,又也在圆上,接着分类讨论当,不重合时,根据垂径定理求得;当,重合时,,最后写出抛物线的方程.【详解】由抛物线的定义知,圆经过焦点,点的横坐标为5,由题意,当,不重合时,是线段垂直平分线上的点,∴,∴,所以抛物线的方程为;当,重合时,∴,∴,所以抛物线的方程为.故选D.【点睛】抛物线方程中,字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离,等于焦点到抛物线顶点的距离.牢记它对解题非常有益.题型战法四抛物线的轨迹方程典例4.在平面直角坐标系中,已知,动点满足,则动点的轨迹方程是A. B. C. D.【答案】A【分析】设,然后表示出向量的坐标,代入已知条件,整理后得到动点的轨迹方程.【详解】设,,,因为所以整理得故选A项.【点睛】本题考查求动点的轨迹方程,属于简单题.变式4-1.已知是抛物线的焦点,是该抛物线上一动点,则线段的中点的轨迹方程是(
)A. B.C. D.【答案】A【分析】先把抛物线整理成标准方程,然后求得抛物线的焦点,设出和的坐标,然后利用和的坐标表示出的坐标,进而利用抛物线方程的关系求得和的关系及的轨迹方程.【详解】解:抛物线的标准方程是,故.设,,的中点,即,即故选:.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质和求轨迹方程的问题.解题的关键是充分挖掘题设信息整理求得和的关系.变式4-2.设动点是抛物线上任意一点,点,存在点,使得,则的轨迹方程是(
)A. B.C. D.【答案】A【分析】设,由得,代入即得解.【详解】设,则.由得又在抛物线上,,即,即,故选:A.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.变式4-3.一个动圆与定圆相外切,且与直线相切,则动圆圆心的轨迹方程为(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根据点到直线的距离与点到点之间距离的关系化简即可.【详解】定圆的圆心,半径为2,设动圆圆心P点坐标为(x,y),动圆的半径为r,d为动圆圆心到直线的距离,即r,则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得,所以,化简得:.∴动圆圆心轨迹方程为.故选:D.变式4-4.在平面直角坐标系中,已知点,点为直线:上的动点,点在线段的垂直平分线上,且,则动点的轨迹方程是(
)A. B.C. D.【答案】A【分析】由抛物线定义得动点轨迹是抛物线,由此易得方程.【详解】由题意,,所以点轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,由得,所以抛物线方程为.故选:A.题型战法五抛物线的几何性质典例5.已知为抛物线的焦点,点A为上一点,点的坐标为,若,则的面积为(
)A.2 B.4 C.8 D.16【答案】C【分析】根据抛物线的焦半径公式可求得点的横坐标,从而可求得点的纵坐标,即可求出三角形的面积.【详解】解:由题意得,则,即点A到准线的距离为4,所以点A的横坐标为2,当时,,即,所以.故选:C.变式5-1.已知抛物线的焦点为F,准线为l,点P在C上,直线PF交y轴于点Q,若,则点P到准线l的距离为(
)A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【分析】求出焦点的坐标,过点作轴的垂线,垂足为,由可得,求出,
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