高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)8.4.1抛物线(题型战法)(原卷版+解析)

第八章平面解析几何8.4.1抛物线（题型战法）知识梳理一定义及标准方程定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。方程：焦点在x轴上焦点在y轴上图形与方程标准方程焦点准线二简单几何性质抛物线：(1)焦半径：，；焦点弦：(2)若直线的倾斜角为，则，(3)以为直径的圆与准线相切，以为直径的圆与y轴相切(4)(5)(6)中点弦：（中点坐标和斜率的关系）题型战法题型战法一抛物线的定义及辨析典例1．若动点P到定点的距离与到直线的距离相等，则点P的轨迹是（

）A．抛物线 B．线段 C．直线 D．射线变式1-1．若点到直线的距离比它到点的距离小，则点的轨迹为（

）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆变式1-2．在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为（

）A．3

B．2

C．1

D．变式1-3．抛物线上一点到焦点的距离是10，则点到轴的距离是（

）A．10 B．9 C．8 D．7变式1-4．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，，则点的横坐标为（

）A．6 B．5 C．4 D．2题型战法二抛物线上的点到焦点与定点距离的和、差最值典例2．已知抛物线，，点在抛物线上，记点到直线的距离为，则的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8变式2-1．已知焦点为F的抛物线的准线是直线l，点P为抛物线C上一点，且垂足为Q，点则的最小值为（

）A． B．2 C． D．变式2-2．已知定点，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，则的最小值为（）A．5 B．4.5 C．3.5 D．不能确定变式2-3．抛物线y2＝4x的焦点为F，定点M(2,1)，点P为抛物线上的一个动点，则|MP|＋|PF|的最小值为（

）A．5 B．4 C．3 D．2变式2-4．已知抛物线：的准线为，点的坐标为，点在抛物线上，点到直线的距离为，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．题型战法三抛物线的标准方程典例3．以椭圆的对称中心为顶点，椭圆的焦点为焦点的抛物线的方程是（

）．A． B．或C． D．或变式3-1．已知抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M（x0，2），若点M到准线l的距离为3，则该抛物线的方程为（

）A．y2＝4x B．y2＝2x或y2＝4xC．y2＝8x D．y2＝4x或y2＝8x变式3-2．顶点在原点，关于轴对称，并且经过点的抛物线方程为（

）A． B．C． D．变式3-3．设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点．若，且的面积为，则抛物线的方程为（

）A． B．C． D．变式3-4．设抛物线：的焦点为，准线为，为抛物线上一点，以为圆心的圆与准线相切，且过点，则抛物线的方程为（

）A． B． C． D．或题型战法四抛物线的轨迹方程典例4．在平面直角坐标系中，已知，动点满足，则动点的轨迹方程是A． B． C． D．变式4-1．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上一动点，则线段的中点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．变式4-2．设动点是抛物线上任意一点，点，存在点，使得，则的轨迹方程是（

）A． B．C． D．变式4-3．一个动圆与定圆相外切，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B． C． D．变式4-4．在平面直角坐标系中，已知点，点为直线：上的动点，点在线段的垂直平分线上，且，则动点的轨迹方程是（

）A．B．C． D．题型战法五抛物线的几何性质典例5．已知为抛物线的焦点，点A为上一点，点的坐标为，若，则的面积为（

）A．2 B．4 C．8 D．16变式5-1．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则点P到准线l的距离为（

）A．3 B．4 C．5 D．6变式5-2．已知点是抛物线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（

）A． B． C． D．变式5-3．设抛物线的焦点为F，A为抛物线上一点且A在第一象限，.现将直线AF绕点F逆时针旋转，得到直线l，且直线l与抛物线交于C､D两点，则(

)A．1 B． C．2 D．4变式5-4．抛物线的焦点为F，A，B是拋物线上两点，若，若AB的中点到准线的距离为3，则AF的中点到准线的距离为（

）．A．1 B．2 C．3 D．4第八章平面解析几何8.4.1抛物线（题型战法）知识梳理一定义及标准方程定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。方程：焦点在x轴上焦点在y轴上图形与方程标准方程焦点准线二简单几何性质抛物线：(1)焦半径：，；焦点弦：(2)若直线的倾斜角为，则，(3)以为直径的圆与准线相切，以为直径的圆与y轴相切(4)(5)(6)中点弦：（中点坐标和斜率的关系）题型战法题型战法一抛物线的定义及辨析典例1．若动点P到定点的距离与到直线的距离相等，则点P的轨迹是（

）A．抛物线 B．线段 C．直线 D．射线【答案】A【分析】由抛物线定义可直接得到结果.【详解】动点满足抛物线定义，则其轨迹为抛物线.故选：A.变式1-1．若点到直线的距离比它到点的距离小，则点的轨迹为（

）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆【答案】C【解析】题设条件等价于点到直线的距离等于它到点的距离,满足抛物线定义.【详解】因为点到直线的距离比它到点的距离小,所以点到直线的距离等于它到点的距离,∴点的轨迹为抛物线,故选:C.【点睛】本题考查抛物线的基本定义,考查轨迹思想,属于简单题.变式1-2．在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为（

）A．3

B．2

C．1

D．【答案】A【分析】求出的长，根据抛物线的定义可得．【详解】设准线与轴交于点，则，，∴，连接，则，又，所以是正三角形，∴，准线的方程是，∴点纵坐标为3.故选：A变式1-3．抛物线上一点到焦点的距离是10，则点到轴的距离是（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】由抛物线的定义即可求解.【详解】解：由题可知，抛物线的准线方程为，因为点到焦点的距离是10，故到准线的距离是10，则点到轴的距离是9.故选：B.变式1-4．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，，则点的横坐标为（

）A．6 B．5 C．4 D．2【答案】C【分析】根据抛物线的标准方程，确定准线方程，根据抛物线的定义计算可得；【详解】解：设点的横坐标为，抛物线的准线方程为，点在抛物线上，，，．故选：C．题型战法二抛物线上的点到焦点与定点距离的和、差最值典例2．已知抛物线，，点在抛物线上，记点到直线的距离为，则的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】先求出抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义将转化为的距离，即可求解.【详解】由已知得抛物线的焦点为，准线方程为，设点到准线的距离为，则，则由抛物线的定义可知．∵，当点、、三点共线时等号成立，∴，故选：.变式2-1．已知焦点为F的抛物线的准线是直线l，点P为抛物线C上一点，且垂足为Q，点则的最小值为（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】连接PF，由抛物线的定义可知PF=PQ，然后结合图形可得答案【详解】连接PF，由抛物线的定义可知PF=PQ，所以，故选A.变式2-2．已知定点，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，则的最小值为（）A．5 B．4.5 C．3.5 D．不能确定【答案】C【分析】过点作准线，垂足为，根据抛物线的定义可知，当且仅当、、三点共线时，的最小值为.【详解】如图所示，过点作准线，垂足为，则，当且仅当、、三点共线时，取得最小值.故选：C【点睛】本题考查了抛物线的定义、抛物线的标准方程，考查了基本运算能力，属于基础题.变式2-3．抛物线y2＝4x的焦点为F，定点M(2,1)，点P为抛物线上的一个动点，则|MP|＋|PF|的最小值为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】根据抛物线的性质可知最短距离为到准线的距离.【详解】解：易知点在抛物线的内部，其准线方程为，过作准线的垂线，垂足为，则，故而当三点共线时，|MP|＋|PF|取得最小值.故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义和性质的应用，考查运算求解能力，考查数形结合思想，解答的关键利用是抛物线定义，体现了转化的数学思想.变式2-4．已知抛物线：的准线为，点的坐标为，点在抛物线上，点到直线的距离为，则的最大值为（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】利用抛物线定义，把问题转化为抛物线上的点到点A和焦点F距离差的最大值求解.【详解】抛物线：的焦点，依题意，，则，当且仅当点P，F，A共线，即点P为抛物线顶点时取“=”，所以的最大值为.故选：A题型战法三抛物线的标准方程典例3．以椭圆的对称中心为顶点，椭圆的焦点为焦点的抛物线的方程是（

）．A． B．或C． D．或【答案】D【分析】由椭圆的方程得出椭圆的焦点坐标，然后可得答案.【详解】因为椭圆的对称中心为原点，焦点为所以抛物线的方程为或故选：D变式3-1．已知抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M（x0，2），若点M到准线l的距离为3，则该抛物线的方程为（

）A．y2＝4x B．y2＝2x或y2＝4xC．y2＝8x D．y2＝4x或y2＝8x【答案】D【分析】把M的坐标代入抛物线方程可得M的横坐标，结合点M到准线l的距离为3列式求得p，则抛物线方程可求.【详解】∵抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M（x0，2），∴，可得.又点M到准线l的距离为3，∴，解得p＝2或p＝4.则该抛物线的方程为y2＝4x或y2＝8x.故选：D.变式3-2．顶点在原点，关于轴对称，并且经过点的抛物线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，设抛物线的方程为，进而待定系数求解即可.【详解】解：由题，设抛物线的方程为，因为在抛物线上，所以，解得，即所求抛物线方程为故选：C变式3-3．设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点．若，且的面积为，则抛物线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用圆和抛物线的定义得到是等边三角形，再面积得到的长度，进而建立关于的等式即可求解.【详解】解：∵以为圆心，为半径的圆交于，两点，，结合抛物线的定义可得：是等边三角形，．的面积为：，．又点到准线的距离为，则该抛物线的方程为．故选：B．变式3-4．设抛物线：的焦点为，准线为，为抛物线上一点，以为圆心的圆与准线相切，且过点，则抛物线的方程为（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】首先根据抛物线的定义得到圆经过焦点，又也在圆上，接着分类讨论当，不重合时，根据垂径定理求得；当，重合时，，最后写出抛物线的方程.【详解】由抛物线的定义知，圆经过焦点，点的横坐标为5，由题意，当，不重合时，是线段垂直平分线上的点，∴，∴，所以抛物线的方程为；当，重合时，∴，∴，所以抛物线的方程为．故选D．【点睛】抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．题型战法四抛物线的轨迹方程典例4．在平面直角坐标系中，已知，动点满足，则动点的轨迹方程是A． B． C． D．【答案】A【分析】设，然后表示出向量的坐标，代入已知条件，整理后得到动点的轨迹方程.【详解】设，，，因为所以整理得故选A项.【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，属于简单题.变式4-1．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上一动点，则线段的中点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先把抛物线整理成标准方程，然后求得抛物线的焦点，设出和的坐标，然后利用和的坐标表示出的坐标，进而利用抛物线方程的关系求得和的关系及的轨迹方程．【详解】解：抛物线的标准方程是，故．设，，的中点，即，即故选：．【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质和求轨迹方程的问题．解题的关键是充分挖掘题设信息整理求得和的关系．变式4-2．设动点是抛物线上任意一点，点，存在点，使得，则的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设，由得，代入即得解.【详解】设，则．由得又在抛物线上，，即，即，故选：A．【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.变式4-3．一个动圆与定圆相外切，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据点到直线的距离与点到点之间距离的关系化简即可.【详解】定圆的圆心，半径为2，设动圆圆心P点坐标为（x，y），动圆的半径为r，d为动圆圆心到直线的距离，即r，则根据两圆相外切及直线与圆相切的性质可得，所以，化简得：．∴动圆圆心轨迹方程为．故选：D．变式4-4．在平面直角坐标系中，已知点，点为直线：上的动点，点在线段的垂直平分线上，且，则动点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由抛物线定义得动点轨迹是抛物线，由此易得方程．【详解】由题意，，所以点轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，由得，所以抛物线方程为．故选：A．题型战法五抛物线的几何性质典例5．已知为抛物线的焦点，点A为上一点，点的坐标为，若，则的面积为（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】根据抛物线的焦半径公式可求得点的横坐标，从而可求得点的纵坐标，即可求出三角形的面积.【详解】解：由题意得，则，即点A到准线的距离为4，所以点A的横坐标为2，当时，，即，所以.故选：C.变式5-1．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则点P到准线l的距离为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】求出焦点的坐标，过点作轴的垂线，垂足为，由可得，求出，