高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.2圆的方程(精练)(原卷版+解析)

8.2圆的方程【题型解读】【题型一求圆的方程】1.(2023·全国·高三专题练习已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为()A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝12.(2023·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习）在平面直角坐标系Oxy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为()A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝163.(2023·青岛高三月考）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．(x－3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝14.(2023·济南高三期末）过点（7，-2）且与直线相切的半径最小的圆方程是（

）A． B．C． D．5.过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（）A． B．C． D．6.圆心在直线y＝－2x上，并且经过点，与直线x＋y＝1相切的圆C的方程是______．【题型二与圆有关的轨迹问题】1.(2023·青岛高三模拟）已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．2.(2023·山东日照高三模拟）已知点，，动点满足，则点P的轨迹为___________．3.当点P在圆x2＋y2＝1上运动时，连接它与定点Q(3,0)，则线段PQ的中点M的轨迹方程是()A．(x＋3)2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝14.(2023·全国高三模拟）已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（）A． B．C． D．5.(2023·浙江高三模拟）（多选题）在平面直角坐标系内，已知，，是平面内一动点，则下列条件中使得点的轨迹为圆的有（

）A． B．C． D．6.直线与圆相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程．【题型三与圆有关的最值问题】1.(2023·全国高三专题练习）已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A．7B．6C．5D．42.(2023·广东深圳市·高三二模）已知A(－2,0)，B(2,0)，点P是圆C：(x－3)2＋(y－eq\r(7))2＝1上的动点，则|AP|2＋|BP|2的最小值为()A．9B．14C．16D．263．(2023·全国·高三专题练习）已知x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则eq\f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值为()A．2B.eq\f(17,4)C.eq\f(29,5)D.eq\f(13\r(13),4)4.等边△ABC的面积为9eq\r(3)，且△ABC的内心为M，若平面内的点N满足|MN|＝1，则eq\o(NA,\s\up6(→))·eq\o(NB,\s\up6(→))的最小值为()A．－5－2eq\r(3) B．－5－4eq\r(3)C．－6－2eq\r(3) D．－6－4eq\r(3)【题型四点与圆】1.(2023·全国高三专题练习）圆的圆心在轴上，并且经过点，，若在圆内，则的范围为________.2.(2023·全国·高三专题练习）为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系（）A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交3.已知点在圆的内部，则（

）A． B．C． D．4.(2023·山东青岛高三月考）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个不同的交点．经过这三个交点的圆记为．（I）求实数的取值范围；（II）求圆的一般方程；（III）圆是否经过某个定点（其坐标与无关）？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．8.2圆的方程【题型解读】【题型一求圆的方程】1.(2023·全国·高三专题练习已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为()A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1答案：C【解析】到两直线3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＋5＝0，,y＝－x－4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1.))又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.2.(2023·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习）在平面直角坐标系Oxy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为()A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16答案：B【解析】由直线x－by＋2b＋1＝0可得该直线过定点A(－1,2)，设圆心为B(0,1)，由题意可知要使所求圆的半径最大，则rmax＝|AB|＝eq\r(－1－02＋2－12)＝eq\r(2)，所以半径最大的圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2.3.(2023·青岛高三月考）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．(x－3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝1答案：B【解析】设圆心坐标为(a，b)(a>0，b>0)，由圆与直线4x－3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝eq\f(|4a－3b|,5)＝r＝1，化简得|4a－3b|＝5，①又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝－1(舍去)，把b＝1代入①得4a－3＝5或4a－3＝－5，解得a＝2或a＝－eq\f(1,2)(舍去)，所以圆心坐标为(2,1)，则圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.4.(2023·济南高三期末）过点（7，-2）且与直线相切的半径最小的圆方程是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】过点作直线的垂线，垂足为，则以为直径的圆为直线相切的半径最小的圆，其中，设，则，解得：，故的中点，即圆心为，即，故该圆为故选：B5.过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（）A． B．C． D．答案：A【解析】因为过点与，所以线段AB的中点坐标为，，所以线段AB的中垂线的斜率为，所以线段AB的中垂线的方程为，又因为圆心在直线上，所以，解得，所以圆心为，所以圆的方程为．故选：A6.圆心在直线y＝－2x上，并且经过点，与直线x＋y＝1相切的圆C的方程是______．答案：【解析】因为所求圆的圆心在直线y＝－2x上，所以可设圆心为，半径为，由题意知，，又圆C与直线x＋y＝1相切，由点到直线的距离公式可得，，所以，解得，，所以所求圆C的方程为．故答案为：【题型二与圆有关的轨迹问题】1.(2023·青岛高三模拟）已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．【解析】(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知点P坐标为(2x－2,2y)．因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.2.(2023·山东日照高三模拟）已知点，，动点满足，则点P的轨迹为___________．答案：【解析】，，化简得：，所以，点P的轨迹为圆：故答案为：3.当点P在圆x2＋y2＝1上运动时，连接它与定点Q(3,0)，则线段PQ的中点M的轨迹方程是()A．(x＋3)2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1答案：C【解析】设M(x，y)，P(x0，y0)，因为PQ的中点为M，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋3,2)，,y＝\f(y0＋0,2)，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－3，,y0＝2y，))又因为P在圆x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋4y2＝1，所以M的轨迹方程即为(2x－3)2＋4y2＝1.4.(2023·全国高三模拟）已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（）A． B．C． D．答案：B【解析】圆即，半径因为，所以又是的中点，所以所以点的轨迹方程为故选：B5.(2023·浙江高三模拟）（多选题）在平面直角坐标系内，已知，，是平面内一动点，则下列条件中使得点的轨迹为圆的有（

）A． B．C． D．答案：BCD【解析】设点C的坐标为则对于A：由得，即，故A错误；对于B：由得，整理得，即，故B正确；对于C：由得，即，故C正确；对于D：由得，即，故D正确；故选：BCD6.直线与圆相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程．【解析】设，易知直线恒过定点，再由，得，∴，整理得．∵点M应在圆内且不在x轴上，∴所求的轨迹为圆内的部分且不在x轴上．解方程组得两曲线交点的横坐标为，故所求轨迹方程为．【题型三与圆有关的最值问题】1.(2023·全国高三专题练习）已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A．7B．6C．5D．4答案：B【解析】∵在Rt△APB中，原点O为斜边中点，|AB|＝2m(m>0)，∴|OC|－r≤m＝|OP|≤|OC|＋r，又C(3,4)，r＝1，∴4≤|OP|≤6，即4≤m≤6.2.(2023·广东深圳市·高三二模）已知A(－2,0)，B(2,0)，点P是圆C：(x－3)2＋(y－eq\r(7))2＝1上的动点，则|AP|2＋|BP|2的最小值为()A．9B．14C．16D．26答案：D【解析】设O为坐标原点，P(x，y)，则|AP|2＋|BP|2＝(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝2(x2＋y2)＋8＝2|PO|2＋8.圆C的圆心为C(3，eq\r(7))，半径为r＝1，OC＝4，所以|PO|2的最小值为(OC－r)2＝(4－1)2＝9，所以|AP|2＋|BP|2的最小值为26.3．(2023·全国·高三专题练习）已知x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则eq\f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值为()A．2B.eq\f(17,4)C.eq\f(29,5)D.eq\f(13\r(13),4)答案：B【解析】由x2＋y2－4x－2y－4＝0得(x－2)2＋(y－1)2＝9.eq\f(2x＋3y＋3,x＋3)＝2＋3×eq\f(y－1,x＋3)＝2＋3kPA，其中A(－3,1)为定点，点P(x，y)为圆上一点．设过定点A的直线l：y－1＝k(x＋3)与圆相切，则eq\f(|5k|,\r(1＋k2))＝3，解得k＝±eq\f(3,4)，所以－eq\f(3,4)≤kPA≤eq\f(3,4)，所以eq\f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值为2＋3×eq\f(3,4)＝eq\f(17,4).4.等边△ABC的面积为9eq\r(3)，且△ABC的内心为M，若平面内的点N满足|MN|＝1，则eq\o(NA,\s\up6(→))·eq\o(NB,\s\up6(→))的最小值为()A．－5－2eq\r(3) B．－5－4eq\r(3)C．－6－2eq\r(3) D．－6－4eq\r(3)答案：A【解析】设等边△ABC的边长为a，则面积S＝eq\f(\r(3),4)a2＝9eq\r(3)，解得a＝6.以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．由M为△ABC的内心，则M在OC上，且OM＝eq\f(1,3)OC，则A(－3,0)，B(3,0)，C(0,3eq\r(3))，M(0，eq\r(3))，由|MN|＝1，则点N在以M为圆心，1为半径的圆上．设N(x，y)，则x2＋(y－eq\r(3))2＝1，即x2＋y2－2eq\r(3)y＋2＝0，且eq\r(3)－1≤y≤1＋eq\r(3)，又eq\o(NA,\s\up6(→))＝(－3－x，－y)，eq\o(NB,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，所以eq\o(NA,