高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.6空间几何体中垂直的判定与性质(精练)(原卷版+解析)

7.6空间几何体中垂直的判定和性质【题型解读】【题型一线面垂直的判定】1.(2023·陕西安康·高三期末）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F分别是线段AD，PB的中点，.证明：(1)平面PDC；(2)PB⊥平面DEF.2.(2023·江苏南通市高三模拟）在平行四边形中过点作的垂线交的延长线于点，.连接交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置.如图2.证明：直线平面.3.(2023·陕西高三模拟）如图，在直三棱柱中，为的中点，证明：平面4.(2023·海原县高三模拟）如图，在三棱台中，侧棱平面点在棱上，证明：平面5.(2023·山西·太原五中高一阶段练习）如图，点是以为直径的圆上的动点（异于，），已知，，平面，四边形为平行四边形，求证：平面【题型二面面垂直的判定】1.(2023·全国高三模拟）如图，正方形ABED的边长为1，AC＝BC，平面ABED⊥平面ABC，直线CE与平面ABC所成角的正切值为．(1)若G，F分别是EC，BD的中点，求证：平面ABC；(2)求证：平面BCD⊥平面ACD．2.(2023·河北衡水中学高三模拟）在四棱锥中，底面是正方形，若，证明：平面平面3.(2023·安徽·合肥市第六中学高一期中）如图，正三棱柱中，，，，分别是棱，的中点，在侧棱上，且，求证：平面平面；4.(2023·全国高三模拟）已知正三角形的边长为，点、分别是边、上的点，且满足（如图1），将沿折起到的位置（如图2），且使与底面成角，连接，，求证：平面⊥平面【题型三线线垂直的判定】1.(2023·江西高三模拟）如图，是边长为的等边三角形，E，F分别是的中点，G是的重心，将沿折起，使点A到达点P的位置，点P在平面的射影为点G．证明：2.(2023·重庆八中高三阶段练习）在四棱锥中，底面．证明：3．(2023·全国·高三专题练习）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，，是线段的中点，是线段靠近点的四等分点，点在线段上，求证：4.(2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，，，四边形是菱形，，，点是中点，点是上靠近点的三等分点.证明：；【题型四垂直中的探究性问题】1.(2023·山东·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，点分别为和的中点.，）棱上是否存在点使得平面平面？若存在，写出的长并证明你的结论；若不存在，请说明理由2.(2023·福建·三明一中模拟预测）如图，在长方体中，分别为的中点，是上一个动点，且.（1）当时，求证：平面平面；（2）是否存在，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.3.(2023·广东佛山市高三模拟）如图，在棱长为的正方体中，、分别为棱和的中点，交于，试在棱上找一点，使平面，并证明你的结论；4.(2023·云南昆明市高三模拟）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的鳖臑中，平面，，，，为中点，为内的动点（含边界），且.①当在上时，______；②点的轨迹的长度为______.7.6空间几何体中垂直的判定和性质【题型解读】【题型一线面垂直的判定】1.(2023·陕西安康·高三期末）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F分别是线段AD，PB的中点，.证明：(1)平面PDC；(2)PB⊥平面DEF.答案：(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)取PC的中点M，连接DM，MF.∵M，F分别是PC，PB的中点，∴，.∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，∴，，∴，，∴四边形DEFM为平行四边形.∴，∵平面PDC，平面PDC.∴平面PDC.(2)∵四边形ABCD为正方形，∴.又平面ABCD⊥平面PAB，平面平面，平面ABCD，∴AD⊥平面PAB.∵平面PAB，∴.连接AF，∵，F为PB中点，∴.又，AD，平面DEF，∴PB⊥平面DEF.2.(2023·江苏南通市高三模拟）在平行四边形中过点作的垂线交的延长线于点，.连接交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置.如图2.证明：直线平面.答案：证明见解析【解析】证明：图1中，在中，所以.所以也是直角三角形，，在图2中，所以平面.3.(2023·陕西高三模拟）如图，在直三棱柱中，为的中点，证明：平面答案：证明见解析【解析】∵为的中点，∴，∵直三棱柱中，面面，面，面面，∴面，又面，即，由题设易知：，故，又，∴，则，又，∴平面.4.(2023·海原县高三模拟）如图，在三棱台中，侧棱平面点在棱上，证明：平面答案：证明见解析【解析】因为，所以，又因为平面，平面，所以，又，所以平面，所以，又因为，，所以，所以，又，所以平面；5.(2023·山西·太原五中高一阶段练习）如图，点是以为直径的圆上的动点（异于，），已知，，平面，四边形为平行四边形，求证：平面答案：证明见解析【解析】因为四边形为平行四边形，所以．因为平面，所以平面，所以．因为是以为直径的圆上的圆周角，所以，因为，，平面，所以平面．【题型二面面垂直的判定】1.(2023·全国高三模拟）如图，正方形ABED的边长为1，AC＝BC，平面ABED⊥平面ABC，直线CE与平面ABC所成角的正切值为．(1)若G，F分别是EC，BD的中点，求证：平面ABC；(2)求证：平面BCD⊥平面ACD．答案：(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】（1）如图，连接AE，因F是正方形ABED对角线BD的中点，则F是AE的中点，而G是CE的中点，则，又平面，平面，所以平面.（2）在正方形中，，因平面ABED⊥平面ABC，平面平面，平面，则平面，即是与平面所成的角，有，解得，即有，则，即，而，则有平面，又平面，于是得，因，平面，则平面，平面，所以平面平面.2.(2023·河北衡水中学高三模拟）在四棱锥中，底面是正方形，若，证明：平面平面答案：证明见解析【解析】取的中点为，连接.因为，，则，而，故.在正方形中，因为，故，故，因为，故，故为直角三角形且，因为，故平面，因为平面，故平面平面.3.(2023·安徽·合肥市第六中学高一期中）如图，正三棱柱中，，，，分别是棱，的中点，在侧棱上，且，求证：平面平面；答案：证明见解析【解析】∵在正三棱柱中，平面，平面，∴.∵是棱的中点，为正三角形，∴.∵，∴平面.∵平面∴.又∵，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴.又∵，∴平面，∵平面，∴平面平面.4.(2023·全国高三模拟）已知正三角形的边长为，点、分别是边、上的点，且满足（如图1），将沿折起到的位置（如图2），且使与底面成角，连接，，求证：平面⊥平面答案：证明见解析【解析】折叠前，在图1中，，，，由余弦定理可得，所以，，则，折叠后，在图2中，对应地有，，，平面，平面，因此，平面⊥平面；【题型三线线垂直的判定】1.(2023·江西高三模拟）如图，是边长为的等边三角形，E，F分别是的中点，G是的重心，将沿折起，使点A到达点P的位置，点P在平面的射影为点G．证明：答案：证明见解析；【解析】连接，因是等边三角形，是的中点，是的重心，所以在上，，又点在平面的射影为点，即平面，平面，所以，又，所以平面，又平面，所以.2.(2023·重庆八中高三阶段练习）在四棱锥中，底面．证明：答案：证明见解析；【解析】证明：在四边形中，作于，于，因为，所以四边形为等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因为平面，所以；3．(2023·全国·高三专题练习）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，，是线段的中点，是线段靠近点的四等分点，点在线段上，求证：答案：证明见解析【解析】由题意，在直三棱柱中，，不妨设，则，由余弦定理可得，因为，可得，又由是线段的中点，所以，且，因为平面，平面，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以,在直角中，，因为是线段靠近点的四等分点，可得，所以,可得，又由且平面，所以平面，因为平面，所以.4.(2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，，，四边形是菱形，，，点是中点，点是上靠近点的三等分点.证明：；答案：证明见解析【详解】证明：取中点，连结，在中，，，∴，在菱形中，由可知为等边三角形，∴，又∵，，，∴，，∴.【题型四垂直中的探究性问题】1.(2023·山东·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，点分别为和的中点.，）棱上是否存在点使得平面平面？若存在，写出的长并证明你的结论；若不存在，请说明理由答案：存在点满足题意，且，证明详见解析【解析】存在点满足题意，且.证明如下：取的中点为，连接.则，所以平面.因为是的中点，所以.在直三棱柱中，平面平面，且交线为，所以平面，所以.在平面内，，，所以，从而可得.又因为，所以平面.因为平面，所以平面平面.2.(2023·福建·三明一中模拟预测）如图，在长方体中，分别为的中点，是上一个动点，且.（1）当时，求证：平面平面；（2）是否存在，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.答案：(1)证明见解析；(2)答案见解析.【解析】(1)当时，为中点，因为是的中点，所以,则四边形是平行四边形，所以.又平面平面，所以平面.因为分别是中点，所以.因为平面平面，所以平面.因为平面平面，所以平面平面.(2)如图，连接与,因为平面平面，所以.若又平面，且，所以平面.因为平面，所以.在矩形中，由，得,所以.又，所以,则，即.3.(2023·广东佛山市高三模拟）如图，在棱长为的正方体中，、分别为棱和的中点，交于，试在棱上找一点，使平面，并证明你的结论；答案：中点；见解析【解析】在棱上取中点，连、．平面，以．在正方形中，因为、分别为、的中点，又因为平面，所以，所以，平面4.(2023·云南昆明市高三