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文档简介
2024-2025学年清华大学附中高三第二学期综合练习(一)数学试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若复数,,其中是虚数单位,则的最大值为()A. B. C. D.2.设,则()A. B. C. D.3.函数的图象向右平移个单位得到函数的图象,并且函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,则实数的值为()A. B. C.2 D.4.二项式展开式中,项的系数为()A. B. C. D.5.在声学中,声强级(单位:)由公式给出,其中为声强(单位:).,,那么()A. B. C. D.6.给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,则这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是()A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④7.已知函数,,若存在实数,使成立,则正数的取值范围为()A. B. C. D.8.设函数,当时,,则()A. B. C.1 D.9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D.10.点为的三条中线的交点,且,,则的值为()A. B. C. D.11.已知甲、乙两人独立出行,各租用共享单车一次(假定费用只可能为、、元).甲、乙租车费用为元的概率分别是、,甲、乙租车费用为元的概率分别是、,则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为()A. B. C. D.12.已知双曲线:(,)的焦距为.点为双曲线的右顶点,若点到双曲线的渐近线的距离为,则双曲线的离心率是()A. B. C.2 D.3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,则展开式中的系数为__14.若一个正四面体的棱长为1,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为_________.15.设满足约束条件,则的取值范围为__________.16.在中,角,,的对边分别是,,,若,,则的面积的最大值为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在中,,是边上一点,且,.(1)求的长;(2)若的面积为14,求的长.18.(12分)已知.(1)解关于x的不等式:;(2)若的最小值为M,且,求证:.19.(12分)如图,四棱锥中,底面是边长为的菱形,,点分别是的中点.(1)求证:平面;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.20.(12分)如图,焦点在轴上的椭圆与焦点在轴上的椭圆都过点,中心都在坐标原点,且椭圆与的离心率均为.(Ⅰ)求椭圆与椭圆的标准方程;(Ⅱ)过点M的互相垂直的两直线分别与,交于点A,B(点A、B不同于点M),当的面积取最大值时,求两直线MA,MB斜率的比值.21.(12分)已知函数.(Ⅰ)求在点处的切线方程;(Ⅱ)已知在上恒成立,求的值.(Ⅲ)若方程有两个实数根,且,证明:.22.(10分)已知椭圆的右焦点为,直线被称作为椭圆的一条准线,点在椭圆上(异于椭圆左、右顶点),过点作直线与椭圆相切,且与直线相交于点.(1)求证:.(2)若点在轴的上方,当的面积最小时,求直线的斜率.附:多项式因式分解公式:
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
由复数的几何意义可得表示复数,对应的两点间的距离,由两点间距离公式即可求解.【详解】由复数的几何意义可得,复数对应的点为,复数对应的点为,所以,其中,故选C本题主要考查复数的几何意义,由复数的几何意义,将转化为两复数所对应点的距离求值即可,属于基础题型.2.D【解析】
结合指数函数及对数函数的单调性,可判断出,,,即可选出答案.【详解】由,即,又,即,,即,所以.故选:D.本题考查了几个数的大小比较,考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题.3.C【解析】由函数的图象向右平移个单位得到,函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,可得时,取得最大值,即,,,当时,解得,故选C.点睛:本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用,属于基础题;据平移变换“左加右减,上加下减”的规律求解出,根据函数在区间上单调递增,在区间上单调递减可得时,取得最大值,求解可得实数的值.4.D【解析】
写出二项式的通项公式,再分析的系数求解即可.【详解】二项式展开式的通项为,令,得,故项的系数为.故选:D本题主要考查了二项式定理的运算,属于基础题.5.D【解析】
由得,分别算出和的值,从而得到的值.【详解】∵,∴,∴,当时,,∴,当时,,∴,∴,故选:D.本小题主要考查对数运算,属于基础题.6.D【解析】
利用线面平行和垂直,面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择.【详解】当两个平面相交时,一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面,故①错误;由平面与平面垂直的判定可知②正确;空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面,故③错误;若两个平面垂直,只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直,故④正确.综上,真命题是②④.故选:D本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查空间想象能力,是中档题.7.A【解析】
根据实数满足的等量关系,代入后将方程变形,构造函数,并由导函数求得的最大值;由基本不等式可求得的最小值,结合存在性问题的求法,即可求得正数的取值范围.【详解】函数,,由题意得,即,令,∴,∴在上单调递增,在上单调递减,∴,而,当且仅当,即当时,等号成立,∴,∴.故选:A.本题考查了导数在求函数最值中的应用,由基本不等式求函数的最值,存在性成立问题的解法,属于中档题.8.A【解析】
由降幂公式,两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式,然后由正弦函数性质求得参数值.【详解】,时,,,∴,由题意,∴.故选:A.本题考查二倍角公式,考查两角和的正弦公式,考查正弦函数性质,掌握正弦函数性质是解题关键.9.A【解析】
利用已知条件画出几何体的直观图,然后求解几何体的体积.【详解】几何体的三视图的直观图如图所示,则该几何体的体积为:.故选:.本题考查三视图求解几何体的体积,判断几何体的形状是解题的关键.10.B【解析】
可画出图形,根据条件可得,从而可解出,然后根据,进行数量积的运算即可求出.【详解】如图:点为的三条中线的交点,由可得:,又因,,.故选:B本题考查三角形重心的定义及性质,向量加法的平行四边形法则,向量加法、减法和数乘的几何意义,向量的数乘运算及向量的数量积的运算,考查运算求解能力,属于中档题.11.B【解析】
甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元,或同为2元,或同为3元,由独立事件的概率公式计算即得.【详解】由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是,∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为.故选:B.本题考查独立性事件的概率.掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础.12.A【解析】
由点到直线距离公式建立的等式,变形后可求得离心率.【详解】由题意,一条渐近线方程为,即,∴,,即,,.故选:A.本题考查求双曲线的离心率,掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.1.【解析】
由题意求定积分得到的值,再根据乘方的意义,排列组合数的计算公式,求出展开式中的系数.【详解】∵已知,则,
它表示4个因式的乘积.
故其中有2个因式取,一个因式取,剩下的一个因式取1,可得的项.
故展开式中的系数.
故答案为:1.本题主要考查求定积分,乘方的意义,排列组合数的计算公式,属于中档题.14.【解析】
将四面体补成一个正方体,通过正方体的对角线与球的半径的关系,得到球的半径,利用球的表面积公式,即可求解.【详解】如图所示,将正四面体补形成一个正方体,则正四面体的外接球与正方体的外接球表示同一个球,因为正四面体的棱长为1,所以正方体的棱长为,设球的半径为,因为球的直径是正方体的对角线,即,解得,所以球的表面积为.本题主要考查了有关求得组合体的结构特征,以及球的表面积的计算,其中巧妙构造正方体,利用正方体的外接球的直径等于正方体的对角线长,得到球的半径是解答的关键,着重考查了空间想象能力,以及运算与求解能力,属于基础题.15.【解析】
由题意画出可行域,转化目标函数为,数形结合即可得到的最值,即可得解.【详解】由题意画出可行域,如图:转化目标函数为,通过平移直线,数形结合可知:当直线过点A时,直线截距最大,z最小;当直线过点C时,直线截距最小,z最大.由可得,由可得,当直线过点时,;当直线过点时,,所以.故答案为:.本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合思想,属于基础题.16.【解析】
化简得到,,根据余弦定理和均值不等式得到,根据面积公式计算得到答案.【详解】,即,,故.根据余弦定理:,即.当时等号成立,故.故答案为:.本题考查了三角恒等变换,余弦定理,均值不等式,面积公式,意在考查学生的综合应用能力和计算能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)1;(2)5.【解析】
(1)由同角三角函数关系求得,再由两角差的正弦公式求得,最后由正弦定理构建方程,求得答案.(2)在中,由正弦定理构建方程求得AB,再由任意三角形的面积公式构建方程求得BC,最后由余弦定理构建方程求得AC.【详解】(1)据题意,,且,所以.所以.在中,据正弦定理可知,,所以.(2)在中,据正弦定理可知,所以.因为的面积为14,所以,即,得.在中,据余弦定理可知,,所以.本题考查由正弦定理与余弦定理解三角形,还考查了由同角三角函数关系和两角差的正弦公式化简求值,属于简单题.18.(1);(2)证明见解析.【解析】
(1)分类讨论求解绝对值不等式即可;(2)由(1)中所得函数,求得最小值,再利用均值不等式即可证明.【详解】(1)当时,等价于,该不等式恒成立,当时,等价于,该不等式解集为,当时,等价于,解得,综上,或,所以不等式的解集为.(2),易得的最小值为1,即因为,,,所以,,,所以,当且仅当时等号成立.本题考查利用分类讨论求解绝对值不等式,涉及利用均值不等式证明不等式,属综合中档题.19.(1)见解析;(2).【解析】
(1)取的中点,连接,通过证明,即可证得;(2)建立空间直角坐标系,利用向量的坐标表示即可得解.【详解】(1)证明:取的中点,连接.是的中点,,又,四边形是平行四边形.,又平面平面,平面.(2),,同理可得:,又平面.连接,设,则,建立空间直角坐标系.设平面的法向量为,则,则,取.直线与平面所成角的正弦值为.此题考查证明线面平行,求线面角的大小,关键在于熟练掌握线面平行的证明方法,法向量法求线面角的基本方法,根据公式准确计算.20.(1),(2)【解析】分析:(1)根据题的条件,得到对应的椭圆的上顶点,即可以求得椭圆中相应的参数,结合椭圆的离心率的大小,求得相应的参数,从而求得椭圆的方程;(2)设出一条直线的方程,与椭圆的方程联立,消元,利用求根公式求得对应点的坐标,进一步求得向量的坐标,将S表示为关于k的函数关系,从眼角函数的角度去求最值,从而求得结果.详解:(Ⅰ)依题意得对:,,得:;同理:.(Ⅱ)设直线的斜率分别为,则MA:,与椭圆方程联立得:,得,得,,所以同理可得.所以,从而可以求得因为,所以,不妨设,所以当最大时,,此时两直线MA,MB斜率的比值.点睛:该题考查的是有关椭圆与直线的综合题,在解题的过程中,注意椭圆的对称性,以及其特殊性,与y轴的交点即为椭圆的上顶点,结合椭圆焦点所在轴,得到相应的参数的值,再者就是应用离心率的大小找参数之间的关系,在研究直线与椭圆相交的问题时,首先设出直线的方程,与椭圆的方程联立,求得结果,注意从函数的角度研究问题.21.(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)证明见解析【解析】
(Ⅰ)根据导数的几何意义求解即可.(Ⅱ)求导分析函数的单调性,并构造函数根据单调性分析可得只能在处取得最小值求解即可.(Ⅲ)根据(Ⅰ)(Ⅱ)的结论可知,在上恒成立,再分别设的解为、.再根据不等式的性质证明即可.【详解】(Ⅰ)由题,故.且.故在点处的切线方
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