平面向量及其应用试题及答案

一、多选题1．正方形的边长为，记，，，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．2．设，，是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（）A．B．与不垂直C．D．3．在△ABC中，点E，F分别是边BC和AC上的中点，P是AE与BF的交点，则有（）A． B．C． D．4．在中，，，，则角的可能取值为（）A． B． C． D．5．已知向量(2，1)，(1，﹣1)，(m﹣2，﹣n)，其中m，n均为正数，且()∥，下列说法正确的是（）A．a与b的夹角为钝角B．向量a在b方向上的投影为C．2m+n=4D．mn的最大值为26．在中，若，，，则C的值可以是（）A．30° B．60° C．120° D．150°7．在中，角，，所对各边分别为，，，若，，，则（）A． B． C． D．8．下列命题中，正确的是（）A．在中，，B．在锐角中，不等式恒成立C．在中，若，则必是等腰直角三角形D．在中，若，，则必是等边三角形9．设、是两个非零向量，则下列描述正确的有（）A．若，则存在实数使得B．若，则C．若，则在方向上的投影向量为D．若存在实数使得，则10．（多选）若，是平面内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（）A．可以表示平面内的所有向量B．对于平面中的任一向量，使的实数，有无数多对C．，，，均为实数，且向量与共线，则有且只有一个实数，使D．若存在实数，，使，则11．下列说法中错误的是()A．向量与是共线向量,则A，B，C，D四点必在一条直线上B．零向量与零向量共线C．若，则D．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量12．已知为非零向量,则下列命题中正确的是()A．若,则与方向相同B．若,则与方向相反C．若,则与有相等的模D．若,则与方向相同13．化简以下各式,结果为的有()A． B．C． D．14．如果是平面内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是()A．可以表示平面内的所有向量B．对于平面内任一向量,使的实数对有无穷多个C．若向量与共线,则有且只有一个实数,使得D．若存在实数使得,则15．下列命题中正确的是()A．对于实数m和向量,恒有B．对于实数和向量,恒有C．若,则有D．若,则二、平面向量及其应用选择题16．中，，，则此三角形的外接圆半径是（）A．4 B． C． D．17．已知非零向量与满足且，则的形状是（）A．三边均不相等的三角形 B．等腰直角三角形C．等边三角形 D．以上均有可能18．已知所在平面内的一点满足，则（）A．1∶2∶3 B．1∶2∶1 C．2∶1∶1 D．1∶1∶219．在中，，，分别是角，，所对的边，若，且，则的形状是（）A．等边三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形20．若为所在平面内任意一点，且满足，则一定为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形21．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.若，的面积为，则（）A．5 B． C．4 D．1622．下列说法中说法正确的有（）①零向量与任一向量平行；②若，则；③④；⑤若，则，，为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；A．①④ B．①②④ C．①②⑤ D．③⑥23．设为两个非零向量的夹角，已知对任意实数t，的最小值为1，则（）A．若确定，则唯一确定 B．若确定，则唯一确定C．若确定，则唯一确定 D．若确定，则唯一确定24．若点是的重心，分别是，，的对边，且.则等于（）A．90° B．60° C．45° D．30°25．在中，则的值等于（）A． B． C． D．26．题目文件丢失！27．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=A． B． C．2 D．328．中，，则一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形29．如图所示，设为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于（）A． B． C． D．30．如图，在中，，，和相交于点，则向量等于（）A． B．C． D．31．奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（）A．B．C．D．32．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则等于（）A． B． C． D．33．已知中，，则等于（）A．60° B．120° C．30°或150° D．60°或120°34．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进50m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ等于（）A． B． C． D．35．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是△的外心、垂心，且为中点，则（）A． B．C． D．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题1．ABC【分析】作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A、B选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D选项的正误.【详解解析：ABC【分析】作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A、B选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D选项的正误.【详解】如下图所示：对于A选项，四边形为正方形，则，，，A选项正确；对于B选项，，则，B选项正确；对于C选项，，则，则，C选项正确；对于D选项，，，D选项错误.故选：ABC.【点睛】本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.2．ACD【分析】A，由平面向量数量积的运算律可判断；B，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C，由与不共线，可分两类考虑：①若，则显然成立；②若，由、、构成三角形的三边可进行判断；D，由平解析：ACD【分析】A，由平面向量数量积的运算律可判断；B，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C，由与不共线，可分两类考虑：①若，则显然成立；②若，由、、构成三角形的三边可进行判断；D，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解.【详解】选项A，由平面向量数量积的运算律，可知A正确；选项B，，∴与垂直，即B错误；选项C，∵与不共线，∴若，则显然成立；若，由平面向量的减法法则可作出如下图形：由三角形两边之差小于第三边，可得.故C正确；选项D，，即D正确.故选：ACD【点睛】本小题主要考查向量运算，属于中档题.3．AC【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可.【详解】如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知，,A是正确的；因为EF是中位线，所以B是正确的；根据三角形重心解析：AC【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可.【详解】如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知，,A是正确的；因为EF是中位线，所以B是正确的；根据三角形重心性质知，CP=2PG，所以，所以C是正确的，D错误.故选：AC【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，熟记一些基本结论是求解问题的关键，属于中档题.4．AD【分析】由余弦定理得，解得或，分别讨论即可.【详解】由余弦定理，得，即，解得或.当时，此时为等腰三角形，，所以；当时，，此时为直角三角形，所以.故选：AD【点睛】本题考查余弦解析：AD【分析】由余弦定理得，解得或，分别讨论即可.【详解】由余弦定理，得，即，解得或.当时，此时为等腰三角形，，所以；当时，，此时为直角三角形，所以.故选：AD【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.5．CD【分析】对于A，利用平面向量的数量积运算判断；对于B，利用平面向量的投影定义判断；对于C，利用()∥判断；对于D，利用C的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断.【详解】对于A，向量(解析：CD【分析】对于A，利用平面向量的数量积运算判断；对于B，利用平面向量的投影定义判断；对于C，利用()∥判断；对于D，利用C的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断.【详解】对于A，向量(2，1)，(1，﹣1)，则，则的夹角为锐角，错误；对于B，向量(2，1)，(1，﹣1)，则向量在方向上的投影为，错误；对于C，向量(2，1)，(1，﹣1)，则(1，2)，若()∥，则(﹣n)=2(m﹣2)，变形可得2m+n=4，正确；对于D，由C的结论，2m+n=4，而m，n均为正数，则有mn(2m•n)()2=2，即mn的最大值为2，正确；故选：CD.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.6．BC【分析】由题意结合正弦定理可得，再由即可得解.【详解】由正弦定理可得，所以，又，所以，所以或.故选：BC.【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.解析：BC【分析】由题意结合正弦定理可得，再由即可得解.【详解】由正弦定理可得，所以，又，所以，所以或.故选：BC.【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.7．BC【分析】用正弦定理求得的值，由此得出正确选项.【详解】解：根据正弦定理得：，由于，所以或.故选：BC.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.解析：BC【分析】用正弦定理求得的值，由此得出正确选项.【详解】解：根据正弦定理得：，由于，所以或.故选：BC.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.8．ABD【分析】对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得解析：ABD【分析】对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得：，代入已知可得，又，即可得到的形状，即可判断出正误.【详解】对于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正确；对于，在锐角中，，，，，，因此不等式恒成立，正确；对于，在中，由，利用正弦定理可得：，，，，或，或，是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误.对于，由于，，由余弦定理可得：，可得，解得，可得，故正确.故选：.【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.9．AB【分析】根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A、C、D选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B选项的正误.综合可得出结论.【详解】当时，则、方向相反且，则存在负实数解析：AB【分析】根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A、C、D选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B选项的正误.综合可得出结论.【详解】当时，则、方向相反且，则存在负实数，使得，A选项正确，D选项错误；若，则、方向相同，在方向上的投影向量为，C选项错误；若，则以、为邻边的平行四边形为矩形，且和是这个矩形的两条对角线长，则，B选项正确.故选：AB.【点睛】本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.10．BC【分析】由平面向量基本定理可判断出A、B、D正确与否，由向量共线定理可判断出C正确与否.【详解】由平面向量基本定理，可知A，D说法正确，B说法不正确，对于C，当时，这样的有无数个，故C解析：BC【分析】由平面向量基本定理可判断出A、B、D正确与否，由向量共线定理可判断出C正确与否.【详解】由平面向量基本定理，可知A，D说法正确，B说法不正确，对于C，当时，这样的有无数个，故C说法不正确.故选：BC【点睛】若，是平面内两个不共线的向量，则对于平面中的任一向量，使的实数，存在且唯一.11．AD【分析】利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】向量与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，故A错误；零向量与任一向量共线，故B解析：AD【分析】利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】向量与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，故A错误；零向量与任一向量共线，故B正确；若，则，故C正确；温度是数量，只有正负，没有方向，故D错误.故选：AD【点睛】本题考查零向量、单位向量的定义，平行向量和共线向量的定义，属于基础题.12．ABD【分析】根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可.【详解】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有.当同向时解析：ABD【分析】根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可.【详解】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有.当同向时有,.当反向时有,故选：ABD【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算与三角不等式,属于基础题型.13．ABCD【分析】根据向量的线性运算逐个选项求解即可.【详解】;;;.故选：ABCD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.解析：ABCD【分析】根据向量的线性运算逐个选项求解即可.【详解】;;;.故选：ABCD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.14．AD【分析】根据平面向量基本定理可知,A､D是正确的，选项B不正确；对于选项C，当两个向量均为时，有无数个,故不正确.【详解】由平面向量基本定理可知,A､D是正确的.对于B,由平面向量基本解析：AD【分析】根据平面向量基本定理可知,A､D是正确的，选项B不正确；对于选项C，当两个向量均为时，有无数个,故不正确.【详解】由平面向量基本定理可知,A､D是正确的.对于B,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所以不正确；对于C,当两向量的系数均为零,即时,这样的有无数个，所以不正确.故选:AD.【点睛】本题考查平面向量基本定理的辨析，熟记并理解定理内容是关键，解题中要注意特殊值的应用，属于基础题.15．ABD【详解】解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故正确．对于：若，当时，无法得到，故不正确．对解析：ABD【详解】解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故正确．对于：若，当时，无法得到，故不正确．对于：若，则成立，故正确．故选：．【点睛】本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．二、平面向量及其应用选择题16．C【分析】在中，根据，，由余弦定理求得，再由平方关系得到，然后由正弦定理求解.【详解】在中，，，由余弦定理得：，所以，由正弦定理得：，所以，此三角形的外接圆半径是故选：C【点睛】本题主要考查余弦定理，正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17．C【分析】和分别表示向量和向量方向上的单位向量，表示平分线所在的直线与垂直，可知为等腰三角形，再由可求出，即得三角形形状。【详解】由题的，∵，∴平分线所在的直线与垂直，∴为等腰三角形.又，∴，∴，故为等边三角形.故选：C【点睛】本题考查向量的几何意义和三角形角平分线的性质，以及求两个向量的夹角，是一道中档难度的综合题。18．B【分析】延长至，可得出点是的重心，再根据重心的性质可得出结论。【详解】延长至，使得，于是有，即点是的重心，依据重心的性质，有.由是的中点，得.故选：B【点睛】本题考查了三角形重心和向量的关系，主要是用向量表达重心的数量关系。另外本题是奔驰定理直接推导得出。19．C【分析】化简条件可得，由正弦定理化边为角，整理，即可求解.【详解】，.，.由正弦定理，得，，化简得.，，则，∴是等腰直角三角形.故选：C.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题.20．C【分析】由向量的线性运算可知，所以，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得，进而可得，即可得出答案.【详解】由题意，，所以，取的中点，连结，并延长到，使得，连结，，则四边形为平行四边形，所以.所以，即，故，是等腰三角形.故选：C.【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.21．C【分析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得,再根据面积公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【详解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故选：C【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.22．A【分析】直接利用向量的基础知识的应用求出结果.【详解】对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；对于②：若，则，必须有，故②错误；对于③：，与不共线，故③错误；对于④：，根据三角不等式的应用，故④正确；对于⑤：若，则为一个三角形的三个顶点，也可为，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误.综上：①④正确.故选：A.【点睛】本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．23．B【分析】，令，易得时，，即，结合选项即可得到答案.【详解】，令，因为，所以当时，，又的最小值为1，所以的最小值也为1，即，，所以，所以，故若确定，则唯一确定.故选：B【点睛】本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题.24．D【分析】由点是的重心可得,即,代入中可得,由不共线可得,即可求得的关系,进而利用余弦定理求解即可【详解】因为点是的重心,所以,所以,代入可得,因为不共线,所以,即,所以,故,故选:D【点睛】本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角25．A【解析】分析：先利用三角形的面积公式求得的值，进而利用余弦定理求得，再利用正弦定理求解即可.详解：由题意，在中，利用三角形的面积公式可得，解得，又由余弦定理得，解得，由正弦定理得，故选A.点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.26．无27．D【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！28．D【分析】由已知，利用正弦定理及同角的三角函数的基本关系对式子进行化简，然后结合三角函数的性质再进行化简即可判断．【详解】∵，由正弦定理可得，，∵，∴，∴即，∵，∴或，∴或，即三角形为等腰或直角三角形，故选D．【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及正弦定理的应用，利用正弦定理进行代数式变形是解题的关键和难点．29．D【分析】由题，延长AP交BC于点D，利用共线定理，以及向量的运算求得向量的关系，可得与的比值，再利用面积中底面相同可得结果.【详解】延长AP交BC于点D，因为A、P、D三点共线，所以，设代入可得即又因为，即，且解得所以可得因为与有相同的底边，所以面积之比就等于与之比所以与的面积之比