2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-1 . 3 直线的方程

2023北师大版新教材高中数学选择性必修第一册

1.3直线的方程

基础过关练

题组一直线方程的点斜式与斜截式

1.（2020黑龙江哈尔滨三十二中期末）把直线方程y-4=3（xT）化为斜截式是

A.y=3x-3B.y=-3x+l

C.y=3x+lD.y=-3x+4

2.侈选）（2020江苏泰州期末）关于直线l:y=gx-1,下列说法正确的是（）

A.过点（V3,-2）

B.斜率为g

C.倾斜角为60°

D.在y轴上的截距为1

3.（2020黑龙江哈尔滨第二中学期中）直线y-ax+b（a+b=0,ab#0）的图形可能是

下图中的（）

4.已知直线1的倾斜角为30°.

⑴若直线1过点P⑶-4）,求直线1的方程；

⑵若直线1在y轴上的截距为3,求直线1的方程.

题组二直线方程的两点式与截距式

5.(2021湖北部分重点中学联考)已知直线1在x轴上的截距是-5,在y轴上的截

距是6,则直线1的方程是()

A.6x-5y+30=0B.6x+5y-30=0

C.6x-5y-30=0D.6x+5y+30=0

6.通过第一象限某定点(a,b)的所有直线中，无法用直线方程的截距式表示的有

()

A.1条B.2条

C.3条D.无数条

7.(2022四川德阳重点高中月考)已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-

3),C(0,2),则BC边上的中线所在直线的方程为()

A.5x+3y-6=0

B.3x-5y+15=0

C.x+13y+5=0

D.3x+8y+15=0

8.(2022辽宁营口第二高级中学月考)已知直线1:三+十=1.

m4-m

(1)若直线1的斜率是2,求m的值；

(2)当直线1与两坐标轴的正半轴所围成三角形的面积最大时,求此直线的方程.

9.某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李,如果超过规定,

则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李质量x(千克)的关系如图.试求:

(1)直线AB的方程;

(2)旅客最多可免费携带的行李质量.

06080%

10.(2021黑龙江双鸭山第一中学月考)已知直线1过点p(4,1).

(1)若直线1过点Q(T,6),求直线1的方程；

(2)若直线1在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求直线1的方程.

题组三直线方程的一般式与点法式

11.(2022江西吉安期中)在平面直角坐标系中，直线x-y+V3=0的倾斜角是(

12.已知ab<0,bc<0,则直线ax+by=c经过（

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限

13.(多选)直线1经过点P(2,3),且一个方向向量是d=(3,1),则直线1方程的点

法式是()

A.3(x-2)+(y-3)=0

B.-(x-2)+3(y-3)=0

C.|(x-2)-(y-3)=0

D.-(x-2)+-(y-3)=0

14.若直线1经过点(-3,5),且直线1的一个法向量为(-2,1),则直线1方程的一

般式为.

15.(2020浙江温州期末)已知直线1:(m2+l)x-2y+l=0(m为常数)，若直线1的斜

率为5贝Im=,若m=-l,贝IJ直线1在y轴上的截距为.

16.(2022安徽宿州泗县一中开学考试)已知直线l:5ax-5y-a+3=0.

(1)求证:无论a为何值,直线1恒过第一象限；

(2)若直线1不经过第二象限,求a的取值范围.

能力提升练

题组直线方程的应用

L（2022黑龙江鹤岗一中月考）直线1中小+四田。）和直线12：迸=1在同一坐

标系中的图形可能是（）

2.直线吟沪中，ae{1,3,5,7},be{2,4,6,8}.若1与坐标轴围成的三角形的

面积不小于10,则这样的直线的条数为（）

A.6B.7

C.8D.16

3.（多选）（2021山东枣庄期中）若直线1:y=-ax+2+a在x轴和y轴上的截距相等,

则实数a的值可以是（）

A.0B.1C.-2D.-1

4.（2021四川宜宾第四中学开学考试）设A,B是x轴上的两点，点P的横坐标为3,

且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+l=0,则直线PB的方程是（）

A.x+y+5=0B.2x-y-l=0

C.x-2y+4=0D.x+y-7=0

5.已知直线ax+by-l=0在y轴上的截距为-1,且它的倾斜角是直线Bx-y-B=0

的倾斜角的2倍,则a,b的值分别为()

A.~y/3,-1B.V3,-1

C.-V3,1D.V3,1

6.若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴上的截距之和的

最小值为()

A.1B.2C.4D.8

7.已知直线aix+biy+l=0和直线a2x+b2y+l=0都过点A(2,1),则过点Pi(abbj和点

P2(a2,b。的直线方程是()

A.2x+y+l=0B.2x-y+l=0

C.2x+y-l=0D.x+2y+l=0

8.(2022吉林通化重点高中月考)瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理:三

角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧

拉线”.已知在平面直角坐标系中，AABC各顶点的坐标分别为

A(0,0),B(8,0),C(0,6),则其“欧拉线”的方程为.(结果写成直线的

一般式方程)

9.(2020湖南长沙一中期中)如图，为了绿化城市,拟在矩形区域ABCD内建一个矩

形草坪,另外4AEF内部有一文物保护区域,不能占用，经过测量,AB=100m,BC=80

m,AE=30m,AF=20m,应该如何设计才能使草坪面积最大?

Z).\C

Fk

AF3

答案与分层梯度式解析

基础过关练

1.C

2.BC对于A,将x=g代入y=V3x-l,得y=2#-2,故A不正确；

易知B正确；

对于C,由k=V3,可得直线的倾斜角为60°,故C正确；

对于D,由y=V3x-l,知直线在y轴上的截距为-1,故D不正确.故选BC.

3.D当a>0时，Ya+bR,「.bVO,

根据直线的斜率为a及y轴上的截距为b,可知直线经过第一、三、四象限，选项

D符合；

当a<0时，Va+b=0,.*.b>0,

根据直线的斜率为a及y轴上的截距为b,可知直线经过第一、二、四象限，选项

中无符合条件的图形.故选D.

4.解析由题意得直线1的斜率为tan300《

⑴•.•直线1过点P⑶-4),.•.该直线方程的点斜式为y+4号(x-3),化简,得库-

3y-3V3-12=0.

⑵...直线1在y轴上的截距为3,••.该直线方程的斜截式为y==x+3,化简,得

V3x-3y+9=0.

5.A由题意得直线1的方程为三+'1,即6x-5y+30=0.故选A.

-56

6.C当直线的倾斜角为0或全或直线过原点时，均无法用直线方程的截距式表

示.故选C.

7.C7B⑶-3),C(0,2),

线段BC的中点坐标为

又•「BC边上的中线所在直线过点A(-5,0),

ABC边上的中线所在直线的斜率k=^=-^,.\BC边上的中线所在直线的方程

-5—13

2

为y=W(x+5),即x+13y+5=0.故选C.

8.解析(1)由题意得直线1过点(m,0),(0,4-m),

则产也2,解得m=-4.

O-m

(2)由题意得m>0,4-m>0,解得0<m<4,

贝ljsm(4-m)-(ni-2)2+4

当m=2时,S有最大值，

故直线1的方程为挡=1,即x+y-2=0.

9.信息提取①确定A,B两点的坐标,进而求直线AB的方程;②根据费用为0确

定可以免费携带的行李质量.

数学建模将现实生活中旅客携带行李问题,通过建立直线模型得以数学化.利

用A,B两点的坐标得出x与y之间的关系，再结合y=0时x的值,可以求出最多

可免费携带的行李质量.

解析(1)由题图知点A(60,6),B(80,10).

故直线AB的方程是善「芸化简得x-5y-30=0.

10-680-60

⑵结合(1),令y=0,解得x=30.即旅客最多可免费携带30千克的行李.

10.解析⑴解法一:直线1的方程为长二三，化简，得x+y-5=0.

6—1-1-4

解法二:直线1的斜率为k月=-1,

-1-4

所以直线1的方程为y-l=-(x-4),即x+y-5=0.

⑵由题意知直线1的斜率存在且不为零.

设直线1的方程为y-l=k(x-4),

则直线1在y轴上的截距为「4k,在x轴上的截距为4-i

k

故1-4k=2(4-0,解得k=［或k=-2,

所以直线1的方程为x-4y=0或2x+y-9=0.

11.B将直线方程x-y+V3=0化为斜截式得y=x+V3,知直线的斜率为1.又直线

倾斜角的取值范围为［0,几)，所以直线的倾斜角为？

12.Cax+by=c等价于尸沁云由题意得->0,加，故直线ax+by=c经过第一、

三、四象限.故选C.

13.BC由题意得直线的法向量可以是(T,3)或《广1)，所以直线1方程的点法式

可以是-(x-2)+3(y-3)=0或］(x-2)-(y-3)=0.故选BC.

14.答案2x-y+ll=0

解析由已知得直线1方程的点法式为-2(x+3)+(y-5)=0,即2x-y+ll=0.

15.答案0号

解析⑴由题意得哼号,,,•m=0.

⑵若m=-l,则直线1的方程为2x-2y+l=0,可变形为y=x+|,所以直线1在y轴上

的截距为点

16.解析⑴证明:将直线1的方程变形为y-|=a（%-》,所以直线1的斜率为a,

且过定点&|）,

而点Q,|）在第一象限,所以无论a为何值,直线1恒过第一象限.

⑵将直线1的方程化为斜截式:y=ax-?.

要使直线1不经过第二象限，

ra>0,

则［a'3々n解得a23.

卜,0,

能力提升练

l.DA选项中，由I可得k>0且b〈0,由L可得k〈0且b〈0,矛盾.

B选项中，由L可得k>0且b〈0,由b可得k>0且b>0,矛盾.

C选项中，由11可得k〈0且b〈0,由L可得k>0且b〈0,矛盾.

D选项中，由I1、L均可得到k>0且b>0.

故选D.

2.B因为a>0,b>0,所以直线1与坐标轴围成的三角形的面积S=|ab,于是

3b210oab220.当a=l时，没有这样的b满足条件；当a=3时,b=8;当a=5

时,b£{4,6,8};当a=7时,b£{4,6,8},所以这样的直线的条数为7.故选B.

3.BC显然a#0.当直线1经过原点时,其在x轴和y轴上的截距相等,则2+a=0,

解得a=-2;当直线1不经过原点时,直线1的方程可化为七+六=1,则

----2+a

a

织=2+aW0,所以a=l.

a

4.D因为点P在直线PA上，所以3-y+l=0,解得y=4,即点P的坐标为⑶4).

由题意知PA与x轴的交点为A,所以点A的坐标为又|PA|=|PB|,点B在

x轴上,所以点A,B关于直线x=3对称,所以点B的坐标为(7,O),kPB=^-l,所以

直线PB的方程为y-0=-(x-7),即x+y-7=0.故选D.

5.A,IM^V3x-y-V3=0的斜率k=V3,

J直线遥x-y-遍=0的倾斜角a满足tana=73(0°<a<180°)，得a=60°,

由此可得直线ax+by-l=0的倾斜角0=2a=120°,...直线ax+by-l=0的斜率

k'=tan120°=—\/3.

•.,直线ax+by-l=0在y轴上的截距为-1,

，直线ax+by—1=0方程的斜截式为y=~\/3x-l,化简得一gx—y—1=0,b=-

1,故选A.

6.C易知直线在x轴、y轴上的截距之和为a+b.

由题意得a+b=ab,即工+J=1,

.,.a+b=(a+b)(-+1)=2+-+-^2+2I-•-=4,当且仅当也士,即a=b=2时取等号，

\abjabyabab

•二直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4