高中数学数列知识点总结

高中数学数列知识点总结

1.等差数列的有关概念：

(1)等差数列的判断方法：定义法=d(d为常数)或(〃之2)。

(2)等差数列的通项：4=4+(〃-l)d或=4+(〃-m)d。

如等差数列｛%｝中，％o=3O,%o=5O，则通项%=;

(3)等差数列的前几项和：.=Sn=nai+^^-da

(4)等差中项：若a,Ab成等差数列，则A叫做。与b的等差中项，且4="。

2

提醒：(1)等差数列的通项公式及前〃和公式中，涉及到5个元素：％、d、…"及S”,

其中4、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知

3求2。

(2)为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，

a-2d,a-d,a,a+d,a+2d…(公差为d)；偶数个数成等差，可设为…，

a-3d,a-d,a+d,a+3d,(公差为2d)

2.等差数列的性质：

(1)当公差d#0时，等差数列的通项公式=4+(〃-1)〃=1〃+4-d是关于"的一■次函

数，且斜率为公差d；前〃项和"=M1+"2[=弓“2+a—；|)“是关于〃的二次函数且常

数项为0.

(2)若公差d>0,则为递增等差数列，若公差d<0,则为递减等差数列，若公差d=0,

则为常数列。

(3)当=时，贝U有%,+%=%+4,特别地，当m+〃=2p时，则有

=2%-

(4)若是等差数列,则其应“-S〃名-S?”，…也成等差数列

如等差数列的前〃项和为25,前2〃项和为100,则它的前3〃和为

A

(5)若等差数列｛叫、｛优｝的前九项和分别为4、B“,且

%;(2〃-1)%_&“_]

/(2n-D.

bn-(2n-l)bn-

如设｛%｝与｛2｝是两个等差数列，它们的前〃项和分别为S”和7"，若鼠=)二，那么

Tn4«-3

%

b”

(6)“首正”的递减等差数列中，前〃项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增

等差数列中，前〃项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组(或［确

U+1<o^U+1>oj

定出前多少项为非负(或非正)；法二：因等差数列前〃项是关于〃的二次函数，故可转化为

求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性“eN*。上述两种方法是运用了哪种数学思想？

(函数思想)，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？

如已知数列｛aj满足a】=33,a"『「an=-2,则数列｛aj的前多少项和最大,最大值为多

少?

3.等比数列的有关概念：

(1)等比数列的判断方法：定义法刍包=刎为常数)，其中尸0或­=&(〃22)。

anana,I

nm

(2)等比数列的通项：%=a0i或%=amq-。

如设等比数列｛q｝中，%+。“=66,44-1=128,前〃项和S“=126,求〃和公比

_ax-anq

(3)等比数列的前"项和：当q=l时，S〃=叫；当“71时，Sn=

"q1-(/

特别提醒：等比数列前〃项和公式有两种形式，为此在求等比数列前〃项和时，首先要

判断公比q是否为1,再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比“是否为1时，要

对q分q=l和qwl两种情形讨论求解。

(4)等比中项：若a,A/成等比数列，那么A叫做。与b的等比中项。

4.等比数列的性质：

(1)当=p+q时，则有a,”•4=4,•4,特别地，当根+〃=2p时，则有a,“・a”=aj.

如①在等比数列｛%,｝中，%+/=124,%%=-512,公比q是整数，则。io=;

②各项均为正数的等比数列｛an｝中，若%y=9,则log3al+log3a2++1og3aio=。

(2)若｛%｝是等比数列,则数列5"应"-$2",…也是等比数歹！］。

如在等比数列｛%｝中，S”为其前n项和，若邑°nBSmHo+Sso=140，则的值为;

(3)若4〉0国〉1,则侬｝为递增数列；若.<0应>1,则｛%｝为递减数列;若

弓〉0,0<4<1,则｛%｝为递减数列；若q<O,O<q<l,则｛%｝为递增数列；若q<0,则｛%｝

为摆动数列；若4=1,则｛4｝为常数列.

(4)如果数列｛〃,｝既成等差数列又成等比数列，那么数列｛%｝是非零常数数列，故常数数

列｛七｝仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

5.数列的通项公式的求法：

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

如已知数列3±5工,7',92,…试写出其一个通项公式：；

481632

⑵已知S.(即%+/++a“=/5))求应,用作差法：/=性D

如①已知｛“〃｝的前”项和满足log2(S〃+1)=〃+1,求％;

②数列｛a”｝1两足54+了_3++亍74"=2〃+5,求乐

/■⑴,5=1)

⑶已知a。的…求%,用作商法：an=

如数列｛a"｝中，见=1,对所有的"22都有2a3，则。3+%=

⑷若q+i求a”用累加法：an=(a„-an_x)+｛an_x-an_2)++(a2-at)

+ax(n>2)o

如已知数列｛a“｝满足q=1,an-a,-=~^=-r(〃22),贝Uan=__________

J"+1+J"

⑸已知嗅=/(〃)求4,用累乘法：a“=S-^-a,(n>2)o

an-\an-2ai

如已知数列｛6｝中,4=2,前〃项和S”，若5“=/%,求知

⑹已知递推关系求％,用构造法(构造等差、等比数列)。特别地,

n

(1)形如O"=S7T+6、an^kan_l+b(k,b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为

公比为左的等比数列后，再求凡。

如已知％=1,an=34T+2，求；

(2)形如的递推数列都可以用倒数法求通项。

kan_x+b

如已知q=1,an=———,求；

X-1+1

注意：(1)用%=S,,-S“T求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？

(n>2>当”=1时，％=S])；

(2)一般地当已知条件中含有a“与S”的混合关系时，常需运用关系式与=S“-S"T，

先将已知条件转化为只含%或S“的关系式，然后再求解。

如数列｛«„)满足q=4,S“+S〃+i=ga“+i,求％;

6.数列求和的常用方法：

(1)公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，

特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；

③常用公式：1+2+3++"=!〃(〃+1),I2+22++/=!〃(〃+1)(2〃+1),

2o

13+23+33++4=[硬*了.

2

如等比数列｛2｝的前〃项和Sn=2n—1,则a；+a；+a；+…+a；=；

（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并

在一起，再运用公式法求和.

如求和Sn=l・n+2・（nT）+3*（n-2）+,••+n•1.

（3）并项求和法：

如求和：S=l-2+3-4+-+（-1）n+1n.

如：1002-992+982-972+-+22-12

（4）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相

关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前〃和公式的

推导方法）.

Y2111

如已知/⑴则〃1)+〃2)+/(3)+〃4)+勺)+飞)+%)=

X

设外幻二二4」，利用倒序相加法（课本中推导等差数列前n项和的方法），可求得八1焉穴2焉）3小焉）十…六20装14）的值为

4以22015201520152015

（5）错位相减法