高等数学(下册)期末考试试卷参考答案1

高等数学(下册)考试试卷(一)参考答案

一、1、当0＜。＜1时，0＜x2+y2〈l；当。＞1时，X2+/21；

2、负号；3、Jg£力广dx;%；4、痴“⑴+’2⑴力;

D

.y

5、180%；6^sin—=Cx；

x

xx

7、y=C}cosV2x+C2sin+C3e^+C4e~^；8、1；

二、1、D；2、D；3、C；4、B；5、D；6、B；7、A；8、C；

三、1、望=/；+W；；-=xg'(x+xy)i

oxdy

2、--f+f(x-t)；—=/(x+Z)4-/(x-0?

dxdt

四、]、£dx^e~y2dy=£e~ydx=£ye~yrfy=-^(1-e4)；

柱面坐标,2尸广应f2飞.2江212w14

2、/=\d0\dr\r3dz+[dO\^dr\{rdz=一TC；

JoJoJlJoJV2J-r23

dPy2-x2dQ

q_,0=xni

五、令尸=则,一、2二金—(0,0)；

x24-y2x2+y2

dp丝在D内连续。所以由Green

于是①当L所围成的区域D中不含O(0,0)时，—

办dx

公式得：1=0；②当心所围成的区域D中含O(0,0)时，丝，丝在D内除O(0,0)

dydx

外都连续，此时作曲线〃为F+y2=£2(。＜£＜1),逆时针方向，并假设为及

厂所围成区域，则

+)dxdy+勺

L1£-+4G-e〃公式21

x2+y-2=£'

六、由所给条件易得:

/(0)=，叱=/(0)=0

/(x)+/(Ax)

-fM

l-/(x)/(Ax)

又/(x)=lim=lim

AA->0AxAs。AX

(0)=/'(0)[l+/2(x)]

Ax

即，'(？=f'(0)

1+/2U)

arctan/(x)=/，(())•x+c即/(x)=tan"，(O)x+c]

又/(0)=0即,=左肛AwZ.•./(x)=tan(/'(O)x)

七、令x-2=f,考虑级数Z（—1）"七访

.•.当『<1即卜|<1时，亦即l<x<3时所给级数绝对收敛:

当M<1即x>3或x<l时，原级数发散;

OC1

当"一1即X=1时，级数、（T严万亍7收敛;

当"1即x=3时，级数£s（—1）"一1^收敛;

占2〃+1

级数的半径为R=l,收敛区间为[1,3]o

高等数学（下册）考试试卷（二）参考答案

-1/6；3、J(x,y)dx+J(x,y)dx；4、■|/'(0)；

—"\1、1;2、

5、一8万；6^2(x+y+z)；7、y"+y'-2y=0；8、0；

—、1>C；2、B；3、A；4、D；5^C；6、D；7>B；8、C；

三、1、函数，，=ln(x+在点A(1,0,1)处可微，且

du

A=/22|(1.0J)=1/2

dxx++z

包_1___________yI=n

而「x+VTR'后；

包1Z|_1/9

♦..。22],*.

而/=AB=(2,-2,1),所以/=(1—1,§),故在A点沿/=A6方向导数为:

duduIduI万I

——,•cosa+—-cosB+——.-cosy

dx'dy'4dz'

L2+o.

---=1/2.

2323

[f；=2xy(4-x-y)+xy(-l)=0

2、由.八得D内的驻点为M°(2,l),且/(2,1)=4

[fy=x(4-X—2y)=0

又〃0,y)=0J(x,0)=0

而当尤+y=6,xN0,y20时，/(x,y)=2x3-12x2(0<x<6)

令(2x3—I2x~)'=0得X]—0,x,—4

于是相应％=6,8=2且/(0,6)=0J(4,2)=-64.

f\x,y)在D上的最大值为/(2,1)=4,最小值为/(4,2)=-64.

0<%<1

四、1、。的联立不等式组为Q:r04y4x—l

0<z<1-x-y

plpl-xfl-x-ydz

所以——-~~r--]dy

(l++x+y+z)32JoJo(1+x+y)24-

13-x

)dx=-ln2--

x+1~T~216

2、在柱面坐标系中

F(r)=jdO[z2+/(/)]rdz=2TV^[hf(r2)r^h3r]dr

所以也=2万[妙(产)f+工/?34=2^t[f(t2)+-h2]

dt33

五、1、连接&,由Gwe〃公式得：

/\L+K^L+OAJOA

Gree“公式1

=]]("cosy~/cosy+m)dxdy+0=-mm2

x2+y2^ax,y^0

fz=〃

2、作辅助曲面％,上侧，则由Gauss公式得:

[x92+y92<a92

MJ

ZZiS|E+4Z|

=jjj2(x+y+z)dxdydz-^a2dxdy

x2+y2<z2,0<z<ax2+y2<a2

=2(dz^zdxdy-naA=2£7rz3dz-TOI4=^u4

0J+J.o2

八、由题意得：3夕'(》)-2夕(了)+M2*=p"(x)

即(p\x)-3(p'[x}+2夕(x)=xe2x

特征方程产—3r+2=0,特征根八=1,々=2

2A

对应齐次方程的通解为：+c2e

又因为4=2是特征根。故其特解可设为：y*=x(Ax+B)e2x

代入方程并整理得：A=-,B=—l

2

2x

即y*=-x(x-2)e

x2v2x

故所求函数为：(p(x)c,e+c2e+^x(x-2)e

高等数学（下册）考试试卷（三）参考答案

—•、1、yey~i2-xex^2；2、亚;3、'f(x,y,z)dz；

4、7(0,0);5、2加3；6、jjj(—++—)dv=可尸dydz+Qdzdx+Rdxdy

私办&盛

2

Go〃ss公式；7、AxBx+C8、P<0o

二、1、C；2、B；3、A；4、C；5、A；6、D；7、B；8、B

三、由于dy=£'（苞，）公+工'（羽。力，F；dx+F；dy+F：dt=4

由上两式消去…得：务借着

四、设（x,y）为椭圆一+4），=4上任一点，则该点到直线2x+3y—6=0的距离为

|6-2x-3y|

令L=(6-2x-3y)2+4(/+4>2—4),于是山:

V13

Lx=-4(6-2x-3y)+2/U=0

<Ly=-6(6-2x-3y)+8Ay=0

2

LA=x+4/-4=0

QOQQQOQO

得条件驻点：

|6-2x-3y\

少即为所求。

依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中4出

V13%13

五、曲线卜=^厂+）"在yoz面上的

[x2+y2=2y

z?=2y（0<y<z）

投影为）i一）一）

x=0

于是所割下部分在yoz面上的投影域为:

JO<y<2

Dyz[0<z<^^

由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍o

墙±21M意尸

六、将E分为上半部分Z1:Z=a_炉_丫2和下半部分％:z=-71-x2-y2,

22

S,,Z2在面xoy上的投影域都为：Z）（V:x+y<l,x>0,y>0,

于是：^xyzdxdy=JJJl--—y2dxdy

极坐标

sinOcosO-yj\-p2-pdp=1

15

^xyzdxdy=^xy(-y]l-x2-y2)(-dxdy)=1

15

工2%

七、因为，(c°sx)=i=sin?x,即/'(cosx)=1+sin2x

d(cosx)

所以fr(x)=2-x2f(x)=2x—+c

八、,//(x)=ln[(l+x)(l+x2)]=ln(l+x)+ln(l+x2)

又ln(l+〃)=un册G(-1,1]

9/_1\M_l工/_1\W-l

Vxn(l+xH),XG(-1,1]

M几

高等数学（下册）考试试卷（四）参考答案

153

-\1、dx-yp2cly；2、x+2y+3z=6；3、；4、32万；5、,TI；

2

6、§加3；7、y=2(2+x)e~v；

1”-\/21r^r

8、%=一/(x)coskxdxk=l,2,・••〃,••・

71

11,

bk=—\f(x)sinkxdxk=1,2,

71JF

1、C；2、C；3、A；4、D；5、A；6、B；7、A；8、C

•.俘=/Y)+gd)-4心

三、

oxyxxx

普=!/〃心—Mg，g)+vgd)+qg“(2)

oxyyxxxxxx

1}=一为/心+与'心-与'(上)-Wg”A)

dxdyyyxxxxxx

..d~ud~u八

故x-r+y——=0

dx2dxdy

四、设M（Xo，yo，Zo）是曲面尸=盯2一，3=0上的任意点，则XOMJZO=/,

在该点处的法向量为:

3

/、_ecc\_3.iii.

〃=（久，耳K）IMUoZo,Zo/，工0丁0)=(­，—，一)=c(—，—，一)

X。打Zo%>0Zo

H_|

于是曲面在A/点处的切平面方程为：—（x—x0）—（y—y（））—（z—z（））=o

X。?0

即w+上+工=1

3x03yo3z0

因而该切平面与三坐标面所围成的立体的体枳为:

igo

v=7|3x（）I•|3y0|•佐01=弓ko>0Zo|=8c3

oZ2

这是一个定值，故命题得证。

五、由于介于抛物面Z=4+x2+y2,柱面（》一1）2+y2=1及平面z=（）之间的立体体积为

定值，所以只要介于切平面万，柱面（x—1产+丁=1及平面z=0之间的立体体积丫为

最大即可。

设%与z=4+x?+/切于点P（x（）,yo，Zo）,则乃的法向量为〃=（2工0,2%,一1）,且

z0=4+x0+y0,切平面方程为:2x0（x-x0）+2y0（y-y0）-（z-z0）=0

即z=2xox+2yoy+4-x；-y；

n

于是丫=JJzdv极坐标J.Q(2x0pcos/9+2y0x?sin6>+4-xJ-y\)dp

(x-l)2+y2<l2

-%(2x0+4-x；-y：)

av

=;r(2—2x0)=0

则由，得驻点（1,0）,且耳a。）=5万,z()=5.

=-2^o

00

由于实际问题有解，而驻点唯一，所以当切点为（1,0,5）时，题中所求体积为最小。

此时的切平面力为：z=2x+3

六、联接84,并设由L及区4所围成的区域为D,则

/=|+j_-j_--J:Green公式-JJ(e*cosy-1-e*cosy-1)加dy-0

“D

=2--7r-22=4〃

2

七、令y=z(y),则了=z包，于是原方程可化为：Z—+—?=0

dydyl-y

即在+二一=o,其通解为Z=GJJk"=C,()>—1)2

dy1-y

.=0(y—l)2即42=G"x，故原方程通解为:>=1———

dx(y-1)CjX+c2

八、易求得该嘉级数的收敛区间为（-1,1）.

00〃xncoi

Vxe(-l,l),令S(x)=Z—，则5'(幻=工(一)'=2>"-'==

注意到S(0)=0,;.S(x)=[S'(x)dx=[@-=—ln(l—x)

J()Jo1—X

高等数学(下册)考试试卷(五)参考答案

,dx+(\+xez~y~x)dy汽xTy-1z-1一.，

一、1、------------------；2、-----=-----=-----；3、2万；4、|ef(x)(a-x)dx；

l+xez~y~x169-1

5、对任意闭曲线/,<^Pdx+Qdy=O或言=畀或3M(X,y),使得du=Pdx+Qdy；

6、2+；7、y^ce-^+Le^.8、发散

•5

一、1、C；2、B；3、A；4^C；5、C；6、B；7、D；8A

一i5u；_jdu：_]du；.

二、1、一=yzxyy；—=xyzzlnx；——二y"zx)yInx-lny

dxdydz

2、...曳,包“二」包=_=月

oxydyyz&z

,du.du.du.1/x1.，、]y,

•・du=-6/x4-—rfy+—=—fxdx+(----fx+—f2)办—yf2dze

dxdydzyyzz

四、1、因为积分域D关于y=x对称，所以

jf+bf(y)「附(V)+bf(x)

i=-------------a(j=-----—二---acx

iJfW+f(y)g/(y)+/(x)

故,小吃篙二卯+丽多+萩

2、/=JJJ(x2+y2+z2)dV+2jjjx(y+z+\)dV+2JJJyz^V

Q.CC

+2肝小+2肝村+川村

ccc

因为Q关于三个坐标轴都对称，而2xy,2yz,2犷,2x,2y,2z都（至少）关于某个变量

为奇函数，故以这些项为被积函数的三重积分都等于0。于是:

1=附+V+z?)dV+川dV=3肝2”+9

QCQ'

=61dzJJz2dMy+±成=3成弋+废)。

x2+y2<R2-z233

五、令尸=2盯(/+>2)。0=—》2(》4+>2/

42A22A

则—=2x(x+y)+4Ajcy(x4+y)~',

丝=-2x(/+》2尸_4—(匕+♦严

dx

由已知条件得丝="，即有(/+?2)(4+1)=(),所以力=一1

dxdy

所求的一个原函数为：

22

/、「(x,y)2xy,x,产「x.

〃(苍V)=----/一一j----dy=IOJx-I-----Jy=-arctan

Jor

J(i,o)x+yx+yx4-y

、曰/1+x2-(1—x)21

六、易知------r=--——=--------

(1-x)3(1-x)3(1-x)3?(1-X)2

又一1^=£8>"11三

(―1<X<1)=(—"T

1-X七(1-X)2

11

)'=(〃-1)尤"2=>(〃+

（1一幻2

(If“=2”=1

1+X=£(〃+一£鹿炉"£aC〃2-

其中（―1<X<1）

3

(1-x)M=1?l=l”=1

七、方程的特征方程为：〃_6r+9=0,其特征根为八=弓=3,

3x

故方程的通解为：y=（Q+c2x）e

高等数学（下册）考试试卷（六）参考答案

Y(l-y)T

2、6i+3/+()•%；3>j,1/(x,y)dx+

yf(x,y)dx-.

i+yJ12.In

4^-a2b2c2；5、Jl+z'2(x,y)+(x,y)dxdy；6^-471abe；

8

7、C](H—%)+°2(>2-%)+%；8、Z^7i-x2",忖<2

n=04

二、1、B；2、D；3、A；4、C；5^D：6、C；7C；8、A。

三、令G=F(±a,匕2),则

Z-CZ-C

G：=LF：,G；=，耳，G；=--^-—[Fll'-(x-a)+F；-(y-b)]

z-cz-c(z-c)

于是过任意点P(公，打〃。)处的切平面方程是：

加(XT。)+型D(y-y。)--二^(%-必:阴+a-匕闺⑺依-。心。

z()-cz0-c(z()-c)-

^Lx=a,y=b,z=c,上式被满足，即切平面过定点(a,b,c)

f/；=2(x-l)=0

四、:、，0、c得/(x,y)在D内的驻点”(1,2)，

fy=2(y-2)=0

222

令L=(X—1)2+(y-2)+1+Z(x+y-20)

/

-2/!\+=X

aL-<x--1z

axy--V2

2/+2/LX

aL-=I+y

解方程组、22此（一2,—4）

5y20

aL

瓦22

=X一=

、

于是由/（"）=1,/（知。=6,/（朋2）=46得所求的最大值为46,最小值为1«

l<x<2

五、如图。：，

y<x<y2

所以/啜加

=-^-（2+万）。

TC'

六、令丫=J/+y2+,p-JL.。=々，R=三

广厂r

r3-7rr2—

则丝=•」_£,同理吆='.£;理」.至

dxr6r3r5dyr3r5及r3r5

工曰dPdQdR/

J是----1-----Ft——0n（r工0m）

dxdydz

作辅助曲面说：/+/+[2=£2,内侧£使得Z,位于Z的内部，以Q表示由z与Zg

所围成的立体域，。,表示2,所围成的立体域，则

/=□+〕—TJ

xdydz+ydzdx+zdxdy

GS公式!!底+导第”-y

+ydzdx+zdxdyGauss公式-

,arctanx1

七、因为hm--------=1所以被积函数连续。

xrOx

又（arctanx）j—^=£（—1）”•一，|%|<1

1+X〃=o

「dx（7）〃丫2〃+1

arctanxZ（T）1Hdx=ZI#1

2

J°1+xn=0/i=02九+1

oo(-1)"

于是/（x）=「史位dxx2n)dx

JO=庇

xw=02n+1

I#1

^=-2^1n^,这是齐次方程。

八、方程变形得:

dxxx

dydudx

令〃=上得:u+x—,代入方程得:

Xdxdxw(21nw+1)x

由原方程知x>O,y>0,因此〃>0,对上式积分，得:gln|21n〃+1]=-1由国

1

即21n±y+l21n—+1=,c=±c；

22

xCjXXex

故方程的通解为：y=xe2（康f

高等数学（下册）考试试卷（七）参考答案

1TT->

j+2k)；2、yf+(p\x+y)+y(p\x+y)；

111、

3、1位d4/(—+-7)4、12a；5、；6、（-2,4）；

4a'b~

—，X)X

7、y=(x+c)cosx；8、y=cxe+c2e

1、C；2、B：3、A；4、D；5^B；6、C；7D；8、A

22(x2+y2)(l+71+x2+y2)

x+y22

三、1、;=-(1+71+x+y)

1-l+x2+y2

x2+y2

dz_yf'(x2-y2)-2x_2xyf'

2、

dx/V-/)2

次一f(x2-y2)-yfXx2-y2)-(-2y)_2y2f1

n------

dy/2(x2-/)f2

四、1、如图，积分域。在极坐标中

-sec30'^=-(272-1)

9°9

2、设4（Xo，yo，Zo）为抛物面［=1+%2+/上的任意一点，则点不处的切平面方程为:

Z-Zo=2%0（%-/）+2打（》一》0），月4=l+x；+y；

Z=2xx+2yyW+]

该切平面与曲面Z=x?+y2的交线为：＜00

z=x^2+V2

消去Z得：（X—/产+⑶―％）2=1,故所求体积为:

V22

=1J[2x°x+2yQy-x^-yl+l-(x+y)]da

22

(x-.r0)+(.y-y0)<l

22

|j[l-(x-x0)-(y-y0)]^o-

22

(x-^)+(y-y0)^l

,—广2%flTC

令X-Xo=pcosd,y_%=°sin6得：V=Jdd\a-p~0)pdp^-,

即体积为定值。

五、令尸=2x）J+%+2,Q=lx2y-y2+3

则竺=4孙，丝=4孙，所以竺=义，V（x,y）€/?2

dydxdydx

因而Pdx+Qdy是某二元函数〃（x,y）的全微分。

又Pdx+Qdy=(2xy2+x+2)dx+(2x2y-y2+3)dy

=d(x2y2+g/+21-J"+3y+c)

3

所以〃(x,y)=12y2+—彳2+2x——y+3y+c,因而/=〃(％,,)器)=_6-

236

z=0

六、设之：，，取上侧，则

x2+y92<4

，=”+〕—TJ

S£|ZjS+S|Z|

GQVSS公式-jj13(x2+y2)dV-^y2zdxdy

c4

=一3『4。J；刖「""•/x/z-0=-6%J："(4_"=—32n

七、由题设条件，易得/(0)=l

因为W/(IJx?+y2)db极坐标『de］：f(g)pdp=2兀，：pf(g)dp

xz+y<4t~

所以/«)=e而+2万「。母奶

因而/'⑺=8次田+8对(。，即/'⑺-8W(r)=8mee

这是一个关于小⑺的一阶线性方程

故/(f)=e卜成"(c+卜加”一•e卜""力)=e4m'(c+4^r2)

又/(0)=1,即l=c,故/Q)=e"Xi+4加2)

高等数学(下册)考试试卷(八)参考答案

一、1、^(1,-2,1)；2、h-：3、,“上；4、(1-sin1)；

5、4质；6、-；7、a“二严(。)；8、R=Z

3"〃！3

二、1、B;2、C;3、C;4、D;5、C;6、A;7、D;8、D

三、对应齐次方程的特征方程为矛-72+12=0,特征根为4=3,4=4.

4r

于是对应齐次方程的通解为y=+c2e

又％=0不是特征根，所以特解可设为y=Ax+B

代入微分方程可得A=±1,B=—7二

12144

+—x+—^―,又y(0)=—^―，y，(0)=—

故原方程的通解为y=。避3、+ce4v

212144'’144'，12

c1+c2=0

则《1，解得G=—

3G+4c,=—22

122

故初值问题的解为y=；(eix-e3x)+^x+高

-Mv"M

四、1、由题设得/=/工=，/——一二-------------

f22,2/,2,,2,,2f2,22

(｛叭+t匕f，+t匕t匕+匕+匕4匕+t匕+t匕f)

所吟

2、对所给方程组两端求微分得:

udx+dy=-xdu

dx-vdy-ydv

“…i>v-4^/日"»工口?xvJw-ydv7uydv+xdu

解以dx,dy为未知量的方程组得：dx=—?<，dy=-----「

-(MV+1)-\UV+1)

dx_xvdy__uy

dul+uvdv1+uv

五、设切点为(x,y),由隐函数求导得y'=-史£,故切线方程为y-y=-型£(x-x)

x+3yx+3y

令X=0得y=y+X(3"+y)；令丫=0得乂='+y(x+3y)

x+3y3x+y

注意到切点在曲线上，即3x2+2xy+3y2=1

x(3x+y))’(x+3y)1

则得三角形面积为:5=—y+x+

2x+3y3x+y2(x+3yX3x+y)

要求S的最小值，只要求(x+3y)(3x+y)的最大值，而

(x+3yX3x+y)=3x?+10xy+3y2=1+8盯

令T7=盯+2(3x2+2xy+3>,2-1)

F；=y+6Ax+2Ay=0

V2

由vZ7；=x+2AJC+6/ly=0，得x=y

4

F；=3x2+2xy+3y之-1=0

..…-(4242}\

驻点唯一，而由实际问题知最小面积存在。故最小面积为S1—4,—4J=—4

QpQQ

六、令尸二"siny+y+肛Q=e'cosy-工，得——=excosy+1,——=excosy-1

dydx

连接BX,记L及8■所围区域为D,则由Green公式得:

H+。+>=>2bcr+J71dx=-2•,32,7i+6万=-3乃

LBAAB1

D2

z=0

七、作辅助曲面,取上侧

J[x2+y2<1

由Zi，Z所围成的立体域记为。，则山Gauss公式得：

M+b人耳-jj九%)收=3^x2dxdydz-0

zX,z,X,c

球面坐标3/46J；d(pj*p2(cos6)2(sin(p)2p2sincpdp=—TT

=o5o5

(-乃

八、令〃“二空工in后，则四防金察,〃；2=9

所以原级数收敛且是绝对收敛的。

高等数学（下册）考试试卷（九）参考答案

_]-3ev'sin(zx)-2ysec2(xy2)

2、启2(X。,y0)-f^Go，y^fyy(xo,yo)<o

3exy'cos(xz)

2

3、2万；4、p'sm(pd3d(pdp；5、2+V2；6、-成27、；

\—X

8、y=y+y：+y；

二、1、(C)；2、(B)；3、(B)；4、(A)；5、(D)；6、(D)；7、(A)；8、(B)

-1一4<x<0

三、先把/(x)延拓为g(x)=，O

x=O

0<X<7T

再把g（x）延拓成以2万为周期的函数G（x）,并且

G（X）=g（x）=/（x）-1（0<x<）

因为G（X）满足收敛定理的条件，所以G（X）的Fourier级数在G（X）的连续点

x（0<x〈万）处收敛于G（X）=/（x）=l,在G（X）的不连续点处收敛于

G(x-O)+G(x+O)

------o---------------o------=0,X。=0,尤0=乃

又因为G(X)在(-肛乃)上是奇函数，于是

«„=0(n=0,1,2,........)

/?„=—Tsinnxdx=—[1-(-1)"]

7171

-------k-1,2,・•・

=<(2k-\)7i

0

g