高考数学二轮复习资料09 圆锥曲线教学案

【2013考纲解读】

1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质；理解数形结合的思想；了解圆锥曲

线的简单应用.

2.了解双曲线的定义、几何性质，掌握双曲线的标准方程,会利用定义、标准方程和几何

性质解决一些简单的问题.

3.了解抛物线的定义、几何性质，掌握抛物线的标准方程,会利用定义、标准方程和几

何性质解决一些简单的问题.

4.了解圆锥曲线的简单应用，理解直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系.

【知识网络构建】

l*线L

与

曲

线

曲线与方程位

置

圆锥曲线的应用关

系

【重点知识整合】

1.惭圆

(1)桶圆的定义；

(2)两种标准方程：2+。=1(3＞方＞0),焦点在x轴上；4+3=l(a＞方＞。)，焦点在■轴

abab

上；

(3)桶圆方程的一般形式：一+步=1(属＞0,zr＞0,,其焦点位置有加下规律，当

水n时，焦点在x轴上；当JUXD时，焦点在尸轴上；

(4)佛圆的简单几何性质.

2.双曲线

(1)双曲线的定义；

2222

⑵两种标准方程：之一£=l(a＞0,b＞0),焦点在x轴上；当一E=l(a＞。，力。)，焦点

abab

在y轴上；

(3)双曲线方程的一般形式：W+/7y=lW0),其焦点位置有如下规律：当加0,水0

时，焦点在x轴上；当水0,〃＞0时，焦点在y轴上；

(4)双曲线的简单几何性质.

3.抛物线

(1)抛物线的定义；

(2)抛物线的标准方程；

(3)抛物线方程的一般形式：焦点在x轴上的抛物线方程可以用/=4x(4W0)表示；

焦点在y轴上的抛物线标准方程可以用/="(iwo)表示；

(4)抛物线的简单几何性质.

【高频考点突破】

考点一椭圆

1.定义式：|阳|+|阳|=2a(2a>出网).

X22V

标准方程：焦点在轴上：F+R=1Q>6>0)；

2.xab

V2X2

焦点在轴上：F+R=1(。>；

yab6>0)

焦点不确定：mx+/?y=l(^>0,7?>0).

3.离心率：e=~=A/l--2<1.

a\la

过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为

4.a

22

例1、过点以0,1)的椭圆当+V=l(a>6>0)的离心率为乎.椭圆与x轴交于两点

ab2

4(a,0)、6(—a,0).过点C的直线/与椭圆交于另一点〃并与x轴交于点N直线AC与直

线初交于点Q.

(1)当直线,过椭圆右焦点时，求线段缪的长；

(2)当点户异于点6时，求证：op•OQ为定值.

解：⑴由已知得$=1，解得a=2,

所以桶圆方程为？+F=L

椭圆的右焦点为(3,0)，

此时直线/的方程为T=-^.v+l,

代入桶圆方程化简得7x-sV3x=0.

解得为=0,x尸半

代入直线/的方程得仙=1,^=-|,

所.以D点坐标为(§芈，—.

,,,,/8\[3a.1916

故|切=y2+-y-2=—.

(2)当直线I与、轴垂直时与题意不符.

设直线/的方程为y=kx+1(笈0且上g.

代入帏圆方程化简得(4F+l)x:+8fcv=0.

解得为=0,处=/；二；「

代入直线『的方程得『1=1,上=品三，

所以D点坐标为(志•，"言).

4h+14£-+1

又直线乂。的方程为9b=1,

联立解得一二二:二

［丁——1.

因此。点坐标为(一粒2升1).

又P点坐标为(一1，0).

所以。POQ=(—50),(-4*:2*r4-1)=4.

故万而为定值.

22-J

【变式探究】若椭圆当+£=1的焦点在X轴上，过点(1,R作圆/+/=1的切线，切

点分别为4B,直线加恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是.

解析：由题可设斜率存在的切线的方程为丁一1=&x-l)优为切线的斜率)，即26一23

一1a

—2什1=0.由一：=三^==1,解得三一j.所以圆?W+F=l的一条切线方程为3x+电,-5=0,

44区+44

求得切点.4(1，3,易知另一切点3(1,0),则直线.二的方程为j=-2x+2.

令v=0得右焦点为(10),令x=。得上顶点为Q2).

.•.£=松+/=5.故得所求桶圆方程为5+?=1.

答案：5+彳=1

【方法技巧】

1.涉及椭圆基本量运算时要注意以下几个问题

(1)求椭圆标准方程或离心率要注意a、b、c三者之间关系；

⑵要善于借助于图形分析问题；

(3)对于焦点三角形问题要注意定义与正弦定理余弦定理的综合应用，尤其是配方法的

使用.

2.直线与椭圆的位置关系问题

(1)判断方法：利用/〉0,4=0,/〈0可解决;

(2)弦长问题：|AB\=yj—+?—XLE-

(3)中点弦问题：用点差法较简单.

考点二双曲线

1.定义式：||"IT必||=2a(2a〈出网)

2.标准方程：

X2V2

焦点在X轴上：/一7=1(a0,Z?>0),

22

焦点在P轴上：5—£=1(乃>0,8>0),

焦点不明确：mx+ny=l(mn<0).

3.离心率与渐近线问题：

(1)焦点到渐近线的距离为6.

(2)e=~=A/1+-2>1,

aMa

注意：若a〉b〉0,则〈镜，

若a=b>0,则e=书,

若母a>0,则e>y[2.

b

焦点在轴上，渐近线的斜率“=土一，

(3)xa

焦点在y轴上，渐近线的斜率"=±弓.

b

X2V2X2V2

(4)与F一方=1共渐近线的双曲线方程可设为F—£=a(A=0).

abab

22

例2、已知双曲线刍一£=l(a>0,垃0)的一条渐近线方程是它的一个焦点在

abv

抛物线/=24x的准线上，则双曲线的方程为()

A——————1R———=1

36108927

/yxy

r----------=1n--------i

10836279=

解析：由双曲线1一三=go,匕>0)的一条渐近线方程是产小，则①，抛物

Cr"DCL

线F=24x的准线方程为x=-6,知一c=—6,c=6,3二+栈=6②,由①②得a=3,b=

3亚则双曲线的方程为5一4=1.

答案：B

【变式探究】设直线/过双曲线。的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，/与C交于4B

两点，\AB\

为C的实轴长的2倍，则。的离心率为()

A.4B.十

C.2D.3

解析：设双曲线C的方程为，U=1，焦点尸(一c,0),将x=-c代入H=1可得

*b-寸加

V*=~

*Or

承

所以=2'彳=2*2<1

...襁=2£.c2=£+b：=3£..\e=；=Vi

答案:B

【方法技巧】

1.使用双曲线定义时注意点在双曲线的哪一个分支上.

2.对于双曲线的离心率与渐近线的关系.若已知渐近线而不明确焦点位置，那么离心

率一定有两解.

3.直线与双曲线的交点比椭圆复杂，要注意结合图形分析.尤其是直线与双曲线有且

只有一个交点0/=0或，平行于渐近线.

考点三抛物线

1.定义式：|用|=d

2.根据焦点及开口确定标准方程.注意0〉0时才有几何意义，即焦点到准线的距离.

3.直线/过抛物线V=2px(p>0)的焦点凡交抛物线于46两点，则有：

(1)通径的长为2P.

(2)焦点弦公式：\AB\=xi-\-x2+p=g.

(3)xiXz=~tyiy2=­p-

(4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.

(5)

例3、如图，直线/：y=x+6与抛物线C：丁=4/相切于点4

(1)求实数力的值；

(2)求以点/为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.

~ji=x+b,g

解：⑴由二得必一以一46=0,(*)

Lx-=4y

因为直线/与抛物线。相切，

所以J=(-4)--一4&)=0.

解得b=-\.

⑵由①可知b=~l,故方程［*)为必一4x+4=Q.

解得x=2,代入C=4y,得丁=1,

故点4(2,1).

因为圆.4与抛物线C的准线相切，

所以圆X的半径〃就等于圆心X到抛物线的准线丁=-1的距离.

即r=1—(—1)=2.

所以圆工的方程为(x-2):+(j—1>=4.

【变式探究】已知户是抛物线/=矛的焦点，A,8是该抛物线上的两点，|/川+|即|=3,

则线段45的中点到y轴的距离为()

3

A.-B.1

57

C1D-4

解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段中点到y轴的距离为：

1315

4--2--4--4-

答案：C

【方法技巧】

1.求抛物线的标准方程常采用待定系数法.利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准

线的距离。的值.注意定义转化.

2.直线与抛物线有且只有一个交点时，不一定有4=0,还有可能直线平行于抛物线

的对称轴.

3.研'究抛物线的几何性质时要注意结合图形进行分析.

【难点探究】

难点一圆锥曲线的定义与标准方程

/廿

例1、已知双曲线F—0=1（a>0,6>0）的两条渐近线均和圆C：/+/—6x+5=0相切,

ab

且双曲线的右焦点为圆。的圆心，则该双曲线的方程为（）

【答案】A

【解析】圆方程化为标准方程为（l3）；+y=4,所以圆心C（3,O）,r=2,所以双曲

线焦点F（3,O）,即产3,渐近线为到±加=0,由圆心到渐近线的距离为2得隼里=2,

又一+方；=9,所以|方|=2,即方=4,』=廿一方=9-4=5,所以所求双曲线方程为千一

04

1.

22

【变式探究】（1）已知点尸为双曲线正X一V套=1右支上一点，鼻、K分别为双曲线的左、右焦

1b9

点，/为△掰K的内心，若S=S△此+成立，贝U4的值为（）

5443

A标B-i%D.-

A（2

⑵在平面直角坐标系X0中，椭圆。的中心为原点，焦点F\,E在X轴上，离心率为为

过人的直线/交。于48两点，且△版的周长为16,那么。的方程为.

22

【答案】⑴B（2）-Y+^-V=1

168

【解析】（1）根据三角形面积公式把SNPF\=SNPFH

AS△如K转化为焦点三角形边之间的关系.根据SXIPF\=SX

1P&+ASZFFz,得|阳|=|阳|+A出网，即2a=24c,贝!I

a4

4注意内心是三角形内切圆的圆心，到三角形各边的距

c5

曷相等.

22

(2)设椭圆方程为FX+，V=1(a>»0).

ab

因为离心.率为当，所以好=、八工,

zZ'a

8

-1

得

解2-2-

之即a=2t).

又XABF?的周长为|"|+|■|+|跖』|■|+|%|+|砒|+1|=(|/|+

IZ否I)+(I仍I+I班I)=2a+2a=4劣所以4a=16,3=4,所以6=2隹，

所以椭圆方程为正x+gy=L

lb8

难点二圆锥曲线的几何性质

222

例2、已知椭圆G：2+刍=1(石>6>0)与双曲线C：V一千=1有公共的焦点，C的一条

ab4

渐近线与以G的长轴为直径的圆相交于尔少两点.若G恰好将线段28三等分，贝卜)

2132

A.a=~B.a=13

C.D.B=2

【答案】C

【解析】由双曲线x:-^=l知渐近线方程为尸土2x,又...楠圆与双曲线有公共焦点,

二桶圆方程可化为b^+(y+5)y=a：+5)b\

联立直线与椭圆方程消了得，才=义工2「

OP-rJU

又•••£将线段四三等分，

二后乂2玳离聋,

解之得y=|.

X2V2

【变式探究】已知双曲线F—£=1左、右焦点分别为R、应过点用作与X轴垂直的直线

ab

与双曲线一个交点为产，且/

JI

PF\FZ=F，则双曲线的渐近线方程为

b

【答案】y=±g

【解析】根据已知|杼;|=2•2且|依|=2故2•2一包=22所以与=2,­=y[2.

aaaaaa、

难点三直线与圆锥曲线的位置关系

例3、设椭圆的对称中心为坐标原点，其中一个顶点为4(0,2),右焦点尸与点6(/,/)

的距离为2.

(1)求椭圆的方程;

⑵是否存在经过点(0,—2)的直线，，使直线/与椭圆相交于不同的两点〃,"满足|说

=1加？若存在，求直线，的倾斜角若不存在，请说明理由.

TT

【解答】(1)依题意，设桶圆方程为二+1=1(&>3>0),

则其右焦点坐标为广go),c=F谆.

由|网|=2,得A/L/：十0一侦：=2,

即(l忠)：+2=4,故c=2也

又•.F=2,.•./=12,从而可得佛圆方程为J4=l.

124

(2)由题意可设直线1的方程为y=kx-2(20),由|加=|Z加知点A在线段妍的垂直平

y=kx-2,

分线上，由彳f/消去y得/+3(履-2y=12,即可得方程(1+3玲12加=

—+——1

124

0,(*)

由AW0得方程(*)的/=(—12«)2=1442〉0,即方程(*)有两个不相等的实数根.

设〃(xi,yi),N(X2,现)，线段仞V的中点尸(xo,为)，则xi,至是方程(*)的两个不等的

实根，故有xi+x2=Lj_2.

6A之一+3A-2-2

xi+x26k

从而有苞=2=1+32片"XL2==1+3?-

于是，可得线段廨的中点户的坐标为

一2

1+3A2-2-2-+3A2

又由于AW0,因此直线4户的斜率为4=6k=6k

1+3?

—9—+3必

由APVMN,得-------赢-------XQT,即2+2+6妙=6,解得k=即tana

Ji5Jiji

又°Wa〈”,故或°=丁.综上可知存在直线‘满足题意,其倾斜角为0=不或

5兀

a=~'

【点评】本题属于圆锥曲线与方程的经典类试题，首先求出圆锥曲线方程，然后再研

究直线与圆锥曲线的位置关系.在直线与圆锥曲线位置关系的问题中，等价转化和设而不求

是解决问题的一个重要指导思想，本题解答中使用的是等价转化的方法，实际上也可以根据

两点间距离公式得到点四”的坐标满足的关系式，即用+5—2）2=焉+（»—2）2,即（升十

xz）（为一苞）+（乃+乃一4）（为一再）=0,由于点瓶“在直线上，yi=kx、-2,yi=kxz-2,代

入（xi+xz）（为一用）+（K+刃―4）（k一万）=0,得（xi+xz）（荀一生）+（左¥1+左勤一8）（kx、一kxj

=0,直线斜率存在，贝UxiW如所以（E+XZ）+"[A（XI+X2）-8]=0,然后根据韦达定理整

体代入即可求出“值.

【变式探究】如图所示，设户是圆/+/=25上的动点，点，是户在x轴上的投影，M

4

为加上一点，SL\MD\=~\PD\.

0

（1）当户在圆上运动时，求点〃的轨迹C的方程；

4-

（2）求过点⑶0）且斜率为三的直线被C所截线段的长度.

【解答】（1）设"的坐标为（x，E，尸的坐标为（4万），

由已知得「5•产在圆上，.'.父+-y*=25>

卜=产—

即C的方程为5+1=1.

Nb1O

44

⑵过点⑸0）且斜率为的直线方程为尸》L3）,

设直线与C的交点为皿"：,#）,加如无），

将直线方程尸幺L3）代入C的方程，得

□

••・线段州的长度为

|x^|=^x-x；+y—j^=A/1+—,xt—JC：=?\/~x41=—.

【规律技巧】

1.离心率的范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的不等式，再根据a,6,c的

关系消掉6得到关于a,c的不等式，由这个不等式确定a,c的关系.

2.抛物线/=2px（p〉0）的过焦点,，0）的弦若力（小，y.）,8（刘，乃），则为为=?

yiY2=-p,弦长|相|=司+为+0.同样可得抛物线/=-2px,x=2py,*=-2〃类似的

性质.

3.解决直线与圆锥曲线相交时的弦长问题方法是：设而不求，根据韦达定理，进行整体代

入.即当直线与圆锥曲线交于点力（xi,yi）,8（期女）时，।明=-1+后与一可|=q1+.

M一乃I，而M—知=#:+苞2—4x倍等,根据将直线方程与圆锥曲线方程联立消元后

的一元二次方程，利用韦达定理进行整体代入.

【历届高考真题】

【2012年高考试题】

22

1.12012IWJ考真题浙江理8】如图，Fi,F2分别是双曲线C：--—斗~=1（a,b>0）的

ab

左、右焦点，B是虚轴的端点，直线FB与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂

(第8题图)

直平分线与x轴交与点M,若|MF?|=|FIF2],则C的，离心率是

B。2C及D.73

【答案】B

y--x+b.

bJc

【解析】由题意知直线43的方程为：y=-x+b,联立方程组,得点

c%y八

0(^^,—),联立方程组<得点P(-上一)，所以PQ的中点坐标为

c-ac-a

瑞,]，所以PQ的垂直平分线方程为：y-y=-|(x-^),令y=O,得

x=c(l+2),所以c(l+会)=3c,所以4=2>2=2C2—2/,即3a2=2°2,所以

e=。故选B

2

2.[2012高考真题新课标理81等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，。与抛

物线/=16x的准线交于A,B两点，|A@=4G；则C的实轴长为()

(A)0(B)20(C)4

(D)8

【答案】c

【解析】设等轴双曲线方程为x：-]二=w(w>0),抛物线的准线为》=-4,由

|^5|=4、6冽卜J=2内,把坐标(T2g)代入双曲线方程得

w=x*—v*=16—12=4,所以双曲线方程为广-丁=4,——--=11所以

■•44

a，=4：a=2,所以实轴长2a=4,选C.

3.12012高考真题新课标理4】设EB是椭圆石：工+二=1(。〉6〉0)的左、右焦点，P

ab~

为直线1=加上一点,

△工尸工是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为()

2

173

(A)-(B)-(C)一

234

4

(D)-

【答案】C

【解析】因为公工尸片是底角为30的等腰三角形，则有

P

MI=M，号°,因为NP片工=30°,所以

-I1Q-1

ZPF2D=60°,ZDPF2=30°,所以怩。|=万归用=万闺可，即当一c=]x2c=c,

所以网=2c,即£=』，所以椭圆的离心率为e=3,选c.

2a44

4.[2012高考真题四川理8]已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点。，并

且经过点用(2,%)。若点M到该抛物线焦点的距离为一3,贝||OM|=()

A、2-\/2B、273C、4D、2A/5

【答案】B

t解析】设抛物线方程为y=2*,则点"Q±2j5）Q焦点与0:，点口到该抛

物线焦点的距离为3,二£；+4尸=9,解得p=2,所以ai/=j4+4x2

2

X5■=1（。〉6〉0）的离心学率为半.双曲

5.12012高考真题山东理10】已知椭圆C：一+

a

线必一J?=1的渐近线与椭圆。有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,

则椭圆C的方程为

,2,2.2,2.2,2.2、,2

（A）?p(B)n+i=1(D)f5+T=1

【答案】D

【解析】因为椭圆的离心率为逅所以e，c2=-a2

2a24

=a2-b2,所以。2=：/,即4=482,双曲线的渐近线为y=±x,代入椭

c2=-a2

4

1*,2丫,22丫,22,22S丫,22A2

圆得＞+=L即kH审=L所以/堂2'一b,/=-&2

ab5

2

y=土忑b,则第一象限的交点坐标为,所以四边形的面积为

4x,〃x]A22

b=—b-=16,所以〃=5,所以椭圆方程为土+〕二=1,选D.

V55205

6.12012高考真题湖南理5】已知双曲线C：k9-1的焦距为10,点P（2,1）

在C的渐近线上，则C的方程为

y,2x2y,，2x2y2X2,2

A.—--=1B.---=1C.——--=1D.---=1

20552080202080

【答案】A

【解析】设双曲线C：三-二=1的半焦距为c,则2c=10,c=5.

a*b'

又•“的渐近线为y=±±x,点P(2,1)在C的渐近线上，,1=々2,即a=26.

aa

又c2=a：+b\/.a=l^b=y/5,二C的方程为京-：-=L

22

7.【2012高考真题福建理8】已知双曲线土-斗=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，

4片

则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于

A.J?B.4A/2C.3D.5

【答案】A.

【解析】由抛物线方程/=12x易知其焦点坐标为(3,0),又根据双曲线的几何性质

可知4+Z^=32,所以6=石，从而可得渐进线方程为y=±等x,即土行x—2y=0,

cc.,|+V5x3—2x01rz

所以d=-------==——、-=朋,故选A.

V5+4

8.[2012高考真题安徽理9]过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,3两点，

点。是原点，若|A月=3,则AAQB的面积为()

⑷字(B)41(C)哼(D)272

【答案】C

【解析】设乙1&=6(0<6<丁)及忸尸|二%则点M到准线/:x=-l的距离为3,

123

得：3=2+3cos8=cos8=—Xw=2+wcos(^-0w=-------=—,

3l+cos82

S.4OB的面积为S=gx|0下卜口3ksin6=gx1x(3+：)x里=芈.

9.12012高考真题全国卷理3】椭圆的中心在原点，焦距为4一条准线为x=-4,则该椭

圆的方程为

A——+—=1B——+—=1C——+—=1D——+—=1

161212884124

【答案】C

【解析】椭圆的焦距为4,所以2c=4,c=2因为准线为无=T,所以椭圆的焦点在x

2

轴上，且—二=—4,所以M=4C=8,b2=a2-c2=8-4=4,所以椭圆的方程为

C

22

土+二=1,选C.

84

10.12012高考真题全国卷理8】已知储、Fz为双曲线C：x?-y2=2的左、右焦点，点P

在C上，PFi|=12PF21,贝ijcos/FiPF*

1334

(A)-(B)-(0-(D)-

4545

【答案】C

【解析】双曲线的方程为三一^=1，所以4=6=户工=2,因为|PF：|=|2PF；|,

所以点P在双曲线的右支上，则有|PF」-1PF；|=2a=20,所以解得|PF；|=2,|PF」=4,

所以根据余弦定理得cosF[PF、=二y)二二=3,选仁

2x272x4724

11.[2012高考真题北京理12]在直角坐标系xOy中，直线1过抛物线y2=4x的焦点F.且与

该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线1的倾斜角为60°.则AOAF的面积

为一_______________

【答案】73

【解析】由/=4x可求得焦点坐标F(l,0),因为帧斜角为60。，所以直线的斜率为

左=团60。=、6，利用点斜式，直线方程为j=,将直线和曲线联立

国2的

12出,因此Sq1f■=5、。尸x],'=彳'lx2、6=.

sq,一——)一-

22

12.12012高考真题四川理15】椭圆工+匕=1的左焦点为/，直线尤=加与椭圆相交于

43

点A、B,当的周长最大时，AE43的面积是。

【答案】3

【解析】当直线x=过右焦点时AE4B的周长最大，，加=1；

将x=l带入解得'=±35；所以5旷"=；1义2x33=3.

13.12012高考真题陕西理13】右图是抛物线形拱桥，当水面在/时，拱顶离水面2米,

水面宽4米，水位下降1米后，水面宽一米

【答案】2n.

【解析】设水面与桥的一个交点为A,如图建立直角坐标系则,

A的坐标为（2,-2）.设抛物线方程为x?=-2pj,带入点A得p=L设水位下降1米后

水面与桥的交点坐标为（如-3）,则/=-2、-3'=士次，所以水面宽度为2行.

14.［2012高考真题重庆理14］过抛物线V=2x的焦点尸作直线交抛物线于A,3两点,

若|4回=上25,|4司〈忸司，则

12

【答案】-

6

【解析】抛物线j：=2x的焦点坐标为（［（J）,准线方程为x=-g,设&B的坐标分

别为的（4用）＜W6）,贝IJ巧三=弓-=（,设以尸］=见忸尸|=〃，则

11（物-Wx〃-5）=；55

巧=加一,"？=万一不，所以有一”“，解得m=—或九=一，所以

——2-64

w+w=——

I12

叫•

15.12012高考真题辽宁理15】已知产，。为抛物线必=2〉上两点，点尸，0的横坐标分别

为4,-2,过只。分别作抛物线的切线，两切线交于4则点力的纵坐标为。

【答案】-4

1解析】因为点尸，。的横坐标分别为4,-2,代人抛物线方程得巴。的纵坐标分别

为8,2.

由/=2;则y==所以过点产，。的抛物线的切线的斜率分别为4,-2,

所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为卜=依-&］，=-2乂-2,联立方程组解得

x=Ly=-4:故点A的纵坐标为一4

16.12012高考真题江西理13】椭圆「+二=1(。〉6〉0)的左、右顶点分别是A,B,左、

ab

右焦点分别是Fi,F2O若|4同，阳闾，阳用成等比数列，则此椭圆的离心率为

【答案】李

【解析】椭圆的顶点A(-«,O),B(A,O)，焦点坐标为耳(-c,0),居(c,0),所以

仙闵=。—G阳目=a+c,阳闾=2c,又因为卜耳，阳闾，阳可成等比数列，所以有

4c2=(a—c)(a+c)—a2—c2,即5c2=a2,所以a=-y/5c,离心率为e=—=.

a5

22

17.12012高考江苏8】(5分)在平面直角坐标系xOy中.，若双曲线^-----—=1的

mm+4

离心率为逐，则比的值为▲.

【答案】2.

［解析］由三■一'——=］得a=-Jm,b=JM：—4»c=^m-m2-4.

?n7〃-4

e=—=——X--=V5»艮口7”2-4加一4=0,解得比=2。

ay/m

22

18.［2012高考江苏19］(16分)如图,在平面直角坐标系wy中，椭圆三+当=l(a>6>0)

ab

的左、右焦点分别为£(-c,0),F2(C,0).已知(1,e)和e,都在椭圆上，其中e为椭圆

的离心率.

(1)求椭圆的方程；

(2)设4,3是椭圆上位于无轴上方的两点，且直线4耳与直线2工平行，A心与34交

于点P.

(i)若A耳一36=手，求直线Af；的斜率；

(ii)求证：2耳+P居是定值.

耳O

【答案】解：⑴由题设知，a2=b2+c2,e=-,由点(l,e)在椭圆上,得

2222222222

—，+—7z=1=>—i+99-1=>b+c=ab=^>a=ab=^>Z?=1,c=a—1o

在椭圆上，得

3