2019全国各地中考数学考试真题及答案

2019最新全国各地中考数学考试真题及答案

一>函数与几何综合的压轴题

1.(2018安徽芜湖)如图①，在平面直角坐标系中，

AB.⑺都垂直于x轴，垂足分别为8、。且4?与8相

交于£点.已知:»(-2,-6),6,(1,-3)

(1)求证：E点在v轴上；

(2)如果有一抛物线经过4E,C三点，求此抛物线

方程.

(3)如果彳8位置不变，再将。C水平向右移动A(A>0)

个单位，此时4?与坟？相交于P点,如图②，求

△/PC的面积S关于"的函数解析式.

1

图①

［解］(1)(本小题介绍二种方法，供参考)

方法一：过£作J-X轴，垂足0'AB//EO'//DC

.EO'DO'EO'BO'

••~AB~~DB'~CD~~DB

又•：DO'+B0'=DB

・EO'EO'

••------1--------

ABDC

,:A即6,a?=3,:.EO'=2

又・・DO'EO'DO'=^-xDB=-x3=\

•DB一ABAB6

:.DO'=00,即O'与0重合，E在y轴上

方法二：由Z?(1,0),A(-2,-6),得。4直线方程:

*2小2①

再由8(-2,0),C(1,-3),得BC直线方程：*-

『2②

联立①②得°

)=一2

・•・£点坐标(0,-2),即E点在p轴上

(2)设抛物线的方程*af+6/c(a手0)过4(-2,-

6),C(1,-3)

2

4«-2Z?+c=-6①

E(0,-2)三点，得方程组＜a+b+c=-3②

c=-2③

解得a=-1,左0,c=-2

二.抛物线方程y=~x-2

(3)(本小题给出三种方法，供参考)

由(1)当。C水平向右平移4后，过4?与8c的交点厅

作EfF_Lx轴垂足为F。

同(1)可得：空+空汽得：E,后2

ABDC

方法一："：E'F〃ABn巴江,：.DF^-DB

ABDB3

iii2

S/^AErc~S^ADC~D(P—DC•DB—DC•DF——DC•—DB

2223

=-DC*05=08=3+A

3

S=3+k为所求函数解析式

方法二：•?BA//DC,SRBCFSXBDA

S/\AEr（FS^BDE，=；3£）.E77=g（3+Z）x2=3+&

，83+A为所求函数解析式.

证法三：S△比，c:S△西mDE':AEf;DC：彳夕1：2

同理：SRDEC•SRDE'61.2,又

,:SRDFC:SRABF—D（/:4仔=1:4

•2?1

••SMEC=§S梯形Ms=§*5（43+。£））・3£）=3+左

3

优3+A为所求函数解析式.

2.(2018广东茂名)已知：如图，在直线坐标系中,

以点M(1,0)为圆心、直径AC为2后的圆与y轴交

于A、D两点.

(1)求点A的坐标；

(2)设过点A的直线y=x+b与x轴交于点B.探究：

直线AB是否。M的切线？并对你的结论加以证明；

(3)连接BC,记AABC的外接圆面积为8、OM面积

为S2,若直，，抛物线

S24

y=ax?+bx+c经过B、M两点，且它的顶点到x轴的距

离为〃.求这条抛物线的解析式.

［解］(1)解：由已知AM=a,0M=1,

在RtZ\A0M中，AO=^AM2-OM2=1,

.•.点A的坐标为A(0,1)

(2)证：•・•直线y=x+b过点A(0,1).\1=0+b

即b=1/.y=x+1

令y=0贝Ix=-1AB(—1,0),

AB=^BCf+AO2=Vl2+12=V2

在aABM中，AB=V2,AM=V2,BM=2

AB2+AM2=(V2)2+(V2)2=4=BM2

「.△ABM是直角三角形，ZBAM=90°

4

直线AB是。M的切线

(3)解法一：由⑵得NBAC=90°,AB=V2,AC=2a,

BC=4AB1+AC2=J(扬2+(2扬2=M

•「NBAC=90°AAABC的外接圆的直径为BC,

,*=(些)2”=(埋2…耳

'222

而S2=(竿)2・兀=(2^2)2•万=2万

即，

/i=5

S24,In4'

设经过点B(—1,0)、M(1,0)的抛物线的解析式

为：

y=a(+1)(x—1),(a/0)即y=ax?—a,

a±5,••a±5

抛物线的解析式为y=5x2—5或y=—5X2+5

解法二：(接上)求得・・・h=5

由已知所求抛物线经过点B(―1,

0)、M(1、0),则抛物线的对称轴是y轴，由

题意得抛物线的顶点坐标为(0,±5)

.•.抛物线的解析式为y=a(x—0)

2±5

又B(-1,0)、M(1,0)在抛物

线上，a±5=0,a=±5

抛物线的解析式为y=5x2—5或y=—5x2+5

5

解法三：(接上)求得.・.h=5

因为抛物线的方程为y=ax?+bx+c(a手0)

a+b+c-0\a=­5a=5

解%=()

由已知得.a-b+c=O或b=O

4ac—b'「c=5c=-5

----------=±5

4a

，抛物线的解析式为y=5x2—5或y=—5x2+5.

3.(2018湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P(1,

—1)为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，抛

物线y=ax?+)x+c(a>0)过点A、B,且顶点C在。P上.

(1)求。P上劣弧AZ的长；

⑵求抛物线的解析式；

⑶在抛物线上是否存在一点D,使线段0C与炉互相平

分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，石舐明理由.

［解］(1)如图，连结PB,过P作PMJ■磁/戛亮觌

“飞产

C

在RtZSPMB中，PB=2,PM=1,

AZMPB=60°,AZAPB=120°

6

油的长=黑"2=与

A

y

(2)在RtZkPMB中,PB=2,PM=1,则MB=MA

又OM=1,AA(1-V3,0),B(1+Vr^

X

p

由抛物线及圆的对称性得知点C在直线P

则C(1,-3).c

点A、B、C在抛物线上，则

2

0=a(l+V3)+/?(l+V3)+ca=1

<O=a(l-V3)2+Z>(l-V3)+c解之得"=-2

-3=a+b-^-cc=-2

.•.抛物线解析式为y=x2-2x-2

(3)假设存在点D,使0C与PD互相平分，则四边形

OPCD为平行四边形，且PC〃OD.

又PC〃y轴，・•.点D在y轴上，.\0D=2,即D(0,一

2).

又点D(0,-2)在抛物线y=2x_2上，故存在点D

(0,-2),

使线段0C与PD互相平分.

4.(2018湖北襄樊)如图，在平面直角坐标系内，

的直角顶点C(0,73)在y轴的正半轴上，人

8是％轴上是两点，且以：08=3：1,以"、08为直

径的圆分别交4c于点£交8C于点£直线)交0c

于点Q

(1)求过4B、C三点的抛物线的解析式；

7

(2)请猜想：直线才与两圆有怎样的位置关系？并

证明你的猜想.

(3)在△40C中，设点"是4C边上的一个动点，过"

作融勿8交0c于点儿试问：在1轴上是否存在点P,

使得是一个以融为一直角边的等腰芝角三角形？

若存在，求出户点坐标；若不存在，密速明£由.

［解］(1)在RtZ\48C中，0C±AB,

:.△AOgACOB.

：.OG=OA・OB.

,：OA：08=3：1,C(0,6),

(V3)2=30B.0B.y

：,0B=\.：,0A=3.

・>(-3,0),8(1,0).

A\01Px

设抛物线的解析式为产加+》X+C./

a=

9。—3/?+c=O,~~3,

则.a+Z?+c=O,解之，得<b=-招

8

，经过小B、C三点的抛物线的解析式为

y=----X2--Y/3X+\/3.

33

(2)才与。，、。口都相切.

证明：连结OE、OF.

*：ZECF=NAEO=ZBFO=90°,

，四边形EOFC为矩形.

：,OE=00.

：.Z1=Z2.

Z3=Z4,Z2+Z4=90°,

，37与。a相切.

同理：EF理。口相切.

(3)作施_L0于只设MN=a，由题意不得MP=MN=a.

'：MN//OA,

△CMNs△CAO.

.MN_CN

**~AO~CO'

•a_y/3-a

3V3

解之，得"当士

此时，四边形”愉是正方形.

9

MN=OP=3拒-3

2

考虑到四边形ZWI/0此时为正方形，

・•.点夕在原点时仍可满足△/W是以削为一直角边的

等腰直角三角形.

故x轴上存在点户使得△%1/是一个以融为一直角边的

等腰直角三角形且p（-当±o）或mo）.

5.（2018湖北宜昌）如图，已知点A（0,1）、C（4,3）、

E（"，里），P是以AC为对角线的矩形ABCD内部（不在

48

各边上）的一个动点，点D在y轴，抛物线y=

ax+bx+］以P为顶点.

（1）说明点A、C、E在一条条直线上；

（2）能否判断抛物线y=a》+bx+1的开口方向？请说明理

由；

⑶设抛物线y=ax2+bx+-1与x轴有交点F、G（F在G的

左侧），AGAO与△FAO的面积差为3,且这条抛物线

与线段AE有两个不同的交点.这时能确定a、b的

值吗？若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、

10

b的取值范围.

(本题图形仅供分析参考用)Y]°

[解](1)由题意，A(0,1)、C(4,3)确

定的解析式为：y二g".--B

将点E的坐标E(51)代入y=Jx+1埒

左边二里右边二J.X12+1二里，

8248

•・•左边二右边,・,•点E在直线y得上,即点A、C、

E

在一条直线上.

(2)解法一：由于动点P在矩形ABCD内部，・•.点P

的纵坐标大于点A的纵坐标，而点A与点P都在抛物

线上，且P为顶点，・•.这条抛物线有最高点，抛物线

的开口向下

解法二：二,抛物线y=ax^+b/c的顶点P的纵坐标为

4a一庐，且P在矩形ABCD内部，：.]<4a~b2<3,由1

4a4。

V1一或得一匹>0,a<0,.•・抛物线的开口向下.

4a4。

(3)连接GA、FA,S—S=3.MGO-AO—1

AGA0AFAO22

F0•A0=3V0A=1,AGO—F0=6.设F(必，0)、G

(X2,0),则必、X2为方程Yf

c

ax+bx+c=0的两个根，且%V*2,D[

又TaVO,，必・用二LVO,.*.xi<

0<X2,0矛

11

G0=x-i,FO--Xy,Xi—(—X\)-6,

即先+必二6,,二先+必二一-...--=6,

aa

b=—6a,

抛物线解析式为：\j-ax—6ax+1,其顶点P的坐标为

(3,1—9a),\•顶点P在矩形ABCD内部，

1<1—9aV3,—■|VaV0.

"V=aR—]

由方程组16ax+l得：㊀K一(6a+-)

Jz\

2

2

/1

i、6aH—1

x=0或户——1二6+L

a2a

当产0时，即抛物线与线段AE交于点A,而这条抛物

线与线段AE有两个不同的交

点，则有：0V6+，W”,解得：-2WaV"——

2a4f912

综合得：-2VaV——\*b=—6a,<b<-

912‘23

6.(2018湖南长沙)已知两点0(0,0)、B(0,2),

0A过点B且与x轴分别相交于点0、C,。人被〃轴分

成段两圆弧，其弧长之比为3：1,直线/与。A切于

点0,抛物线的顶点在直线/上运动.

(1)求。A的半径；

(2)若抛物线经过0、C两点，求抛物线的解析式；

(3)过/上一点P的直线与。A交于C、EWg,且

PC=CE,求点E的坐标；!-

12

(4)若抛物线与x轴分别相交于C、F两点，其顶点P

的横坐标为勿，求△PEC的面积关于勿的函数解析式.

［解］(1)由弧长之比为3：1,可得NBA0=90。

再由AB=AO=r,且0B=2,得r=j

(2)(DA的切线/过原点，可设/为p=Ax

任取/上一点(6,k6),由/与y轴夹角为45°可得：

b=-kb氮b=kb,得k=—1或k=1,

直线/的解析式为y=—x或y=x

又由r=0,易得C(2,0)或C(-2,0)

由此可设抛物线解析式为p=ax(x—2)或p=ax(x+2)

再把顶点坐标代入/的解析式中得a=1

.,.抛物线为卜=>2—2x或p=x2+2x.......6分

(3)当/的解析式为y=-x时，由P在/上，可设

P(m,—m)(m>0)

过P作PPZ_Lx轴于P，,「.OP，=|m|,PP'=|-

m|,0P=2m2,

又由切割线定理可得：OP2=PC・PE,且PC=CE,得PC

=PE=m=PP,7分

，C与P'为同一点，即PE_Lx轴于C,，m=-2,

E(-2,2)…8分

同理，当/的解析式为y=x时，m=-2,E(-2,2)

⑷若C(2,0),此时/为尸=一(•・¥与点0、点C

不重合，且m#=2,

当mVO时，FC=2(2-m),高为即为一m,

・..S=2(2r〃)(T〃)=/_2〃

2

同理当0VmV2时，S=-m2+2m;当m>2时，S=m2

13

—2m;

•Q_\m2-2m(m<0或加>2)

••D-]7又若C(—2,0),

-m~+2m(0<m<2)

2或加>

此时/为y=x,同理可得;S=m+2m(m<-20)

-rrr-2m(-2<m<0)

7.（2018江苏连云港）如图，直线产丘+4与函数

y=F（X>0,%>0）的图像交于48两点，且与X、V轴分别

交手C、D两点、.

（1）若AC8的面积是AAO5的面积的收倍，求人与加之

间晶函数关系式；

（2）在（1）的条件下，是否存在人和〃?，使得以AB

为直径的圆经过点P（2,0）.若存在，求出及和加的值；

若不存在，请说明理由.

［解］（D设A（X［,y）,5（%2，为）（其中再<%2，必>为抖\

OpD

由SMOD=6sMOB9付S&COD=叵（SMOD-SMOD）

e

..-OCOD=y[2（-•O£>•y.--•O£>•y2）,

22122

OC=42（y]-y2）,

2

又OC=4,-y2）=8,即（必+为尸-4yly2=8,

由产里可得“生，代入"日+4可得V

xy

...必+为=4,y,-y2=-km,

r\

左根=艮口%=-■—.

••16+48,m

又方程①的判别式+,

所求的函数关系式为k=--(m>0).

m

(2)假设存在上,加，使得以43为直径的圆经过点尸(2,0).

则AP,曾，过A、区分别作工轴的垂线，垂足分别为M、

N.

•/ZMAP与NfiPN者口与NAPM互余,/.ZMAP=ZBPN.

•••RtAA^psRtAyv尸5,，烈=竺.

PNNB

•Vi2-•

••~,••（X1—2）（£-2）+,]为=0,

加-m>2

（——2）（一一2）+乃为=0,

月为

2

即m-2m（yx+必）+4yly2+（乃为尸=0②

由(1)知乃+为=4,展乃=2,代入②得病-8m+12=0,

•弋力2•［相=24；=6

••777=26,k=-----,••彳〈心一JL，

m［攵=-1K=~~3

二.存在火，机，使得以AB为直径的圆经过点尸(2,0),且

2=2或］;=6「

k=-［k=一工

15

8.(2018江苏镇江)已知抛物线y=mr2-(m-5)》-5(>0)

与X轴交于两点A(X"0)、B(X2,0)(x,<x2),与.轴交于

点C,且AF6.

(1)求抛物线和直线861的解析式.

(2)在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线8c

(3)若OP过力、B、C三点，求OP的半径.

(4)抛物线上是否存在点M,过点〃作MN_Lx轴于点

N,使被直线8C分成面积比为1:3的两部分？

若存在，请求出点"的坐标；若不存在，请说明理

由.

［解］(1)由题意得：玉+々=—~~-,%1"x=—,x-%］=6.

m2m2

.、2)m-5Y20”

(X1+/)-4%|%2=36,|----H-3o,

\m)m

解得町=1,“=-；y

经检验/7F1,，抛物线的解析式为：-

y=X2+4x-5.IIIIIIIIIII.

0_x

或：由蛆2-(加-5)尤-5=0得，x=l或尤=—

m-

m>0,

1----=6,加=1.

m-

抛物线的解析式为y=冗2+4X-5.

由d+4x-5=()得玉=-5,々=1.

16

：.A(-5,0),8(1,0),C(0,-5).

设直线BC的解析式为y=kx+b,

则p7P-5,

k+b=O.k=5.

・•・直线BC的解析式为y=5x-5.

(2)图象略.

(3)法一：在RrDAOC中，­.•OA=OC=5,ZOAC=45°.

:.NBPC=90。.

又BC=^OB2+OC2=V26,

0P的半径=正■二店.

2

法二：

由题意，圆心户在48的中垂线上，即在抛物线

y=f+4x-5的对称轴直线％=-2上，设P(—2,—h)

(h>0),

连结PB、PC,贝||依2=(1+2)2+》,2。2=(5—〃产+22,

由Pj?2=PC2,即(1+2)2+%2=(5—1)2+22,解得t2.

尸(-2,-2),QP的半径P8=7(1+2)2+22=V13.

法三：

延长C夕交OP于点F.

-.CF为。尸的直径，ZCAF=ZCOB=90°.

又ZABC=ZAFC,:.DACF~DOCB.

17

CFAC〜ACBC

：.——=——,CF=----------.

BCOCOC

又AC=6+52=50,CO=5,BC=A/52+12=V26,oo

e还等=2疝

.♦.OP的半径为标.

(4)设例交直线8C于点£点的的坐标为(f/+4—5),

则点£■的坐标为(?,5/-5).

若SDMEB-SDENB=1：3,则ME:EN=1:3.

,4

EN:MN=3:4,二产+47—5=§(57—5).

解得“I(不合题意舍去)，工,；.陪,与)

若SDMEB：SDENB=3：1,则ME:EN=3:1.

EN:MN=1:4,.♦.产+4-5=4(5/-5).

解得4=1(不合题意舍去)，%=15,.•.4(15,280).

.•・存在点以点力的坐标为佟引或(15,280).

9.如图，。的与x轴交于4、8两点，其坐标分别为

4—3,0)、8(1,0),直径COJLx轴于"，直线CE切。"于点

C,直线尸G切。"于点尸，交优于G,已知点G的横坐

标为3.

18

(1)若抛物线尸T2_2X+W经过力、B、D三点、,求

加的值及点。的坐标.

(2)求直线Z?尸的解析式.

(3)是否存在过点G的直线，使它与(1)中抛

物线的两个交点的横坐标之和等于4?若存在，请

求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明

理由.

由圆的对称性知点。为抛

物线的顶点.

〃点坐标为(-1,4).

(2)由题意知：彳成4.

•.•CZZLx轴，:.N归NB=2.・*.0沪1.

由相交弦定理得：NA•NB^ND•NG,

：.NCX4=2X2....攸，

19

.•・。点坐标为(一1,一1).

设直线DF爻比于P,连结CF,则NCa90°.

...N2+N3=N1+N4=90

♦:GC、G厂是切线，

AGC^GF.N3=N4.

.•・N1=N2.

GF^GP.

：.GC^GP.

可得CP=8.

，户点坐标为（7,7）

设直线。下的解析式为y=kx+h

k5

则—k+b=4解得8

7k+b=-\bd

8

.二直线。尸的解析式为：尸一二+

(3)假设存在过点G的直线为尸&X+4,

贝3kl+d=-1,••仇=一3攵।—1.

由方程组<）及/3"1।得i+（2+昂）兀-4-3%[=0

y=-x2-2x+3

由题意得-2-e=4,；•曷=-6.

当k[=—6曰寸,A=-40<0,

20

・•.方程无实数根，方程组无实数解.

・•.满足条件的直线不存在.

10.(2018山西)已知二次函数+公+C的图象经过

点A(—3,6),并与x轴交于点B(—1,0)和

点C,顶点为P.

(1)求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标

系中画出该二次函数的图象；

(2)设D为线段0C上的一点，满足NDPC=NBAC,

求点D的坐标；

(3)在x轴上是否存在一点M,使以M为圆心的圆

与AC、PC所在的直线及y轴都相切？如果存在，

请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

[解](1)解：,二次函数y=g%2+法+c的图象过点A

(—3,6),B(—1,0)

9(

——3b+c=6[b=-yU

得：解得「

——b+c-0[C二_

2

I.这个二次函数的解析式为：y=—x।_।1_।_1_।~L

220-

由解析式可求P(1,-2),C(3,0)二

画出二次函数的图像~

(2)解法一：易证：ZACB=ZPCD=45°

又已知：ZDPC=ZBAC.*.△DPC^ABAC

21

.DCPC

>•----------易求AC=672,PC=2A/2,BC=4

BCAC

DC=-/.OD=?>--=-

33313)

解法二：过A作AE_Lx轴，垂足为E.

设抛物线的对称轴交x轴于F.

亦可证△AEBs/^PFD、

.•.殁=空.易求：AE=6,EB=2,PF

PFFD

=2

/.FD=-/.OD^-+\=-

333U)

(3)存在.

(1°)过M作MH_LAC,MGJLPC垂足分别为H、G,

设AC交y轴于S,CP的延长线交y轴于T

•「△SCT是等腰直角三角形，M是的内切圆圆

心，

.,.MG=MH=OM

又「MC=6OM且OM+MC=OC

6OM+OM=3,得OM=3V2-3

M(3夜-3,0)

(2°)在x轴的负半轴上，存在一点M'

同理0M'+OC=M'C,OM'+OC=y/2OM'

22

得OM，=30+3，M'（-3夜-3,0）

即在X轴上存在满足条件的两个点.

11.(2018浙江绍兴)在平面直角坐标系中，A(-1,

0),B(3,0).

(1)若抛物线过A,B两点，且与y轴交于点(0,

-3),求此抛物线的顶点坐标；

(2)如图，小敏发现所有过A,B两点的抛物线如

果与y轴负半轴交于点C,M为抛物线的顶点，那么

△ACM与4ACB的面积比不变，请你求出这个比值；

23

(3)若对称轴是AB的中垂线I的抛物线与x轴交

于点E,F,与y轴交于点C,过C作CP〃x,山

交I于点P,M为此抛物线的顶点.若四丫边形

PEMF是有一个内角为60°的菱形，

求次抛物线的解析式.

A

［解］(1)y=/_2》_3,顶点坐标为(1,

-4).

(2)由题意，设y=a(x+1)(x-3),

即y=ax2—2ax—3a,

.A(-1,0),B(3,0),C(0,—3a),

M(1,—4a),

SZJMCB=；X4Xk3a|=6时,

而a>0,SAACB_6A>

作MD±x轴于D,

-

又SAACM—SAACO+SOCMD—SAAMD——,1•3aH—(3a+

22

4a)—-,2•4a=a,

2

SAACM：SAACB=1:6.

(3)①当抛物线开口向上时，设y=a(x-1)2+k,

即y=ax2—2ax+a+k,

有菱形可知|a+M=|M，a+k>0,k<0,

k=—0

2，

24

y=ax2—2ax+\EF\=41.

i己I与x轴交点为D,

若NPEM=60°,贝|]NFEM=3O°,MD=DE•tan30°

6，

.•・抛物线的解析式为y」而2二后%+逅.

336

若NPEM=120°,则NFEM=60°,MD=DE-tan60°

=娓

2，

k=——,a=76,

2

抛物线的解析式为y=V^_2Cx+逅.

2

②当抛物线开口向下时，同理可得

y=~—y[6x2+—46X-^-,y=-y/6x2+2y/6x-.

3362

12.(2018北京)已知：在平面直角坐标系xOy中，一

次函数y=Ax-44的图象与X轴交于点A,抛物线

y=ax2+fcc+c经过0、A两点0

(1)试用含a的代数式表示b;

(2)设抛物线的顶点为D,以D为圆心，DA为半径的

圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻

25

折，翻折后的劣弧落在。D内，它所在的圆恰与0D相

切，求。D半径的长及抛物线的解析式；

(3)设点B是满足(2)中条件的优弧上的一个动点,

抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P,使得

ZPOA^-ZOBA?若存在，求出点P的坐标；若不存在,

请说明理由。

［解］(1)解法"一：一'次函数y=依-4Z的图象与X轴

交于点A

・•.点A的坐标为(4,0)

•・•抛物线丁=改2+加+,经过0、A两点

c=0,16。+4/?=0

b=-4a

解法二：二•一次函数y=4%的图象与X轴交于点

A

・••点A的坐标为(4,0)

*.*抛物线y=ax2++c经过0、A两点

抛物线的对称轴为直线x=2

x=--2—a=2

b=-Aa

(2)由抛物线的对称性可知，D0=DA

.••点。在。D上，且ND0A=NDA0

26

又由（1）知抛物线的解析式为y=ax?-4ox

・•.点D的坐标为（2,-4a）

①当a>0时，

如图1,设。D被X轴分得的劣弧为它沿X

轴翻折后所得劣弧为嬴，显然£1所在的圆与。D关于

x轴对称，设它的圆心为D,

・•.点D'与点D也关于x轴对称

•・•点0在。D'上，且0D与。D'、卜丁

•・•点。为切点W-

.\D'O±ODUJ

ZD0A=ZD'0A=45°图］

AAADO为等腰直痢三角形

OD=2五

・•.点D的纵坐标为一2

/.一4。=-2

1,c

ci=-9b=-*4a=-2

2

二.抛物线的解析式为y=-x2-2x

'2

②当a<0时,

同理可得：00=272

27

抛物线的解析式为y=--22x

2X+

综上，OD半径的长为2立,抛物线的解析式为

y=_x~-2.xy=—x~+2.x

22

（3）抛物线在x轴上方的部分上存在点P,使得

4

ZPOA=-ZOBA

3

设点P的坐标为（x,y）,且y>0

①当点P在抛物线丁=工1-2%上时（如图2）

2

,/点B是。D的优弧上的一点

AOBA=-ZADO=45°

2

4

/POA=-NOBA=60°

3

过点P作PE±X轴于点E

/.tan4P0E=----

OE

—=tan60°

x

/.y=V3x

由卜F解得：卜=4+2?什,（舍去）

y=—X'-2x［必=6+4百［%二。

、2

，点P的坐标为（4+28，6+4行）

28

②当点P在抛物线—9+2］上时（如图3）

同理可得，y=V3x

由广;、解得：卜="2色，『=0（舍去）

y=——x24-2%［必=-6+46［必=0

、2

・•.点P的坐标为（4-26，-6+473）

综上，存在满足条件的点P,点

（4+273,6+4网或（4-26，-6+473；

图3

13.（2018北京丰台）在直角坐标系中，。01经过坐标

原点0,分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、Bo

（1）如图，过点A作。01的切线与y轴交于点C,点

0到直线AB的距离为

—,sinZABC=-,求直线ACAy

55

的解析式；

（2）若。0］经过点M（2,

2）,设耶OA的内切圆的直

径为d,试判断d+AB的值

是否会发生变化，如果不

变，求出其值，如果变化,

求其变化的范围。

29

［解］(1)如图1,过0作OGLAB于G,则0G=?

设QA=3k(k>0),\-ZAOB=90°,sinZABC=|

.0.AB=5k,OB=4Z

・「OA-OB=AB-OG=2sMOB，1•34x44=5x54=1

,\OA=3,08=4,AB=5

.-.A(3,0)

•••ZAOB=90°,；.AB是。01的直径

AC切。a于A,BA1AC,NBAC=90°

在Rt^ABC中

25

cosZABC=—=BC

BC54

9

OC=BC-OB=二

4

9

C(0,——)

设直线AC的解析式为y=Ax+"则

二直线AC的解析式为y—2

(2)结论：d+AB的值不会发生变化

30

设AAQ5的内切圆分别切OA、OB、AB于点P、Q、T,

如图2所示

图2

BQ=BT,AP=AT,OQ=OP=^

：.BQ=BT=OB-L,AP=AT=OA-L

22

：.AB=BT+AT=OB--+OA--=OA+OB-d

22

贝Ud+AB=d+OA+OB-d=OA+OB

在x轴上取一点N,使AN二OB,连接OM、BM、AM、

•••M(2,2),：.OM平分NAOB,.♦.OM=2叵

ZBOM=AMON=45°,.AM=BM

又NMAN=NOBM,OB=AN

：.\BOM三^ANM,：.ZBOM=ZANM=45°,AANM=4MON

OM=NM,NOMN=90°

OA+OB=OA+AN=ON=y/OM2+MN2=丘xOM=叵x272=4

.・"+AB的值不会发生变化，其值为4。

31

14.(2018福建厦门)已知：0是坐标原点，P(加，/7)

k

(勿＞0)是函数v=—(〃＞0)上的点，过点P作直

线PA_L0P于P,直线PA与x轴的正半轴交于点A

(a,0)(a＞而.设△OPA的面积为s,且s=1+

n4

(1)当〃=1时，求点A的坐标；

(2)若OP=AP,求A的值；

4

(3)设〃是小于20的整数，且女生，，求OP?的最

小值.

［解］过点P作PQ_Lx轴于Q,则PQ=〃，OQ=/77

z..i5

(1)当"=1时，s=~

,2s5

••a==~

n2

(2)解1：OP=APPA±OP

AOPA是等腰直角三角形

a

m=n=~

(n1

1+~=2•an

即/74—4/72+4=0

32

必—4%+4=0

/.k=2

解2：•・•0P=APPA±0P

.,.△OPA是等腰直角三角形

m=n

设△()「()的面积为s

则：S1=|

・，・

即：n—4/72+4=0

〃2-4«+4=0

k=2

(3)解1:PAJLOP,PQ±OA

AOPQ^AOAP

设：△OPQ的面积为8,则

色—也

1=后

33

14+6

k

2n

即：

n44

1+44(1+“2

n2

化简得：2力+2六一kn-4k=0

(4—2)(2k—rt)=0

4

:"k=2或4='(舍去)

・•.当〃是小于20的整数时，k=2.

**0P2=Z72+/W=A72+-7

n

又m>0,k=2,

〃是大于0且小于20的整数

当/7=1时，0P2=5

当n=2时，0p2=5

,,224485

当〃=3时，0P=3+^?=9+-=—

O//

当〃是大于3且小于20的整数时，

即当〃=4、5、6、…、19时，OP?得值分别是:

4?+*、5?+2、6?+*、…、192+^i

34

444

V192+^>182+^>->32+ZI>5

I/IO0

OP?的最小值是5.

解2：0p2="2+/=〃2+4

n

22