《应用概率统计（第2版）》全套教学课件

第1章概率论的基本概念第2章随机变量及其分布第3章2维随机变量及其分布第4章随机变量的数字特征第5章数理统计的基本概念第6章参数估计第7章假设检验全套可编辑PPT课件第1章概率论的基本概念1.1随机事件及其运算1.21.31.4事件的概率条件概率独立性与贝努利试验1.1随机事件及其运算1.1.1随机试验在标准大气压下,水加热到100℃就会沸腾;异性电荷相互吸引;向空中抛一物体必然会落回地面.这类现象称为确定性现象.在大量重复试验中,其结果却呈现出某种规律性的现象,称为随机现象.随机现象的这种规律性称为统计规律性.为了研究随机现象的统计规律性,我们给出随机试验或试验的说法.这里的试验是一个很广泛的术语,它包括各种各样的科学试验,也包括对某些现象进行观测和记录等.下面给出几个试验的例子.1.1.1随机试验E1:投掷一枚骰子,观察出现的点数.E2:将一枚硬币连续抛三次,观察出现正、反面的情况.E3:从一批产品中抽取n件,观察出现次品的数量.E4:从一批电视机中任意抽取一台,测试其寿命(单位:小时).E5:向一个直径为50cm的圆形靶子射击,假设每次都能中靶,观察弹着点在靶子上的位置.E6:在城市的某一交通路口,观测在指定的一小时内汽车的流量.满足下面三个条件的试验,称为随机试验:(1)试验可以在相同条件下重复进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,但事先能知道试验的所有可能结果;(3)每次试验前不能确定哪一个结果会出现.定义1-11.1.2样本空间定义1-2随机试验E的所有可能结果组成的集合称为样本空间,记作Ω.样本空间的元素,即E的每个结果,称为样本点.【例1-1】写出上述随机试验Ek(k=1,2,3,4,5,6)对应的样本空间Ωk.解Ω1=1,2,3,4,5,6;Ω2={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)};Ω3=0,1,2,…,n;Ω4=t|t≥0;Ω5=(x,y)x2+y2<252;Ω6=0,1,2,….1.1.3随机事件定义1-3一般地,我们称随机试验E的样本空间Ω的子集为随机事件,简称事件,一般用A,B,C,…表示.特殊地,由一个样本点所构成的单点集,称为基本事件.样本空间Ω包含所有的样本点,在一次随机试验中必然发生,称为必然事件.空集⌀作为样本空间Ω的一个子集,也是一个事件,⌀不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,称为不可能事件.1.1.4事件之间的关系与运算包含关系和事件积事件差事件对立事件互不相容关系【例1-2】设有三个人各购买了一注福利彩票,以A表示“第一个人中奖”,B表示“第二个人中奖”,C表示“第三个人中奖”.试用A,B,C表示下列事件:(1)至少有一个人中奖;(2)恰有一个人中奖;(3)至多有一个人中奖.解(1)A∪B∪C;(2)恰有一个人中奖是指其中有一个人中奖而另外两个人没中奖,即(3)至多有一个人中奖是指没有人中奖或恰有一个人中奖,即1.2事件的概率1.2.1概率的统计定义在概率论中,事件A在随机试验E中出现的可能性的大小,是否也可以用数来度量呢?如果可以,我们就称这个用以描述事件A出现可能性大小的数为事件A发生的概率,记作P(A).为给出概率的定义,首先引入频率,进而用“频率”来表征概率.1.2.2古典概型古典概型是一类常见的随机现象,如掷骰子、掷硬币、抽扑克牌、抽签等都属于古典概型.观察这些试验,发现它们有以下两个特征:(1)试验的所有可能结果只有有限个,即样本空间Ω只包含有限个基本事件,如“掷骰子”的试验中只含6个结果,即出现的点数为1,2,3,4,5,6;(2)每一个基本事件发生的可能性相同,如“抛硬币”试验中出现“正面”和出现“反面”的可能性都是0.5.满足这些条件的试验称为古典概型试验.根据古典概型的特点,可以定义随机事件A发生的概率.定义1-4若古典概型的样本空间Ω包含的基本事件总数为n,事件A包含的基本事件数为k,则事件A发生的概率为1.2.2古典概型【例1-4】从0,1,2,…,9十个数字中任取一个,求取得奇数的概率.解样本空间Ω所含基本事件的个数n=10,记事件Α={取得奇数},A所含基本事件的个数k=5,于是取得奇数的概率【例1-5】盒内有10只球,其中6只白球,4只黑球,从中任取2只球.求:(1)取到2只白球的概率;(2)取到2只黑球的概率;(3)取到一黑一白的概率.解1.2.2古典概型1.2.3几何概型古典概型要求试验结果的个数是有限的,但在现实中存在这样一类问题:试验结果的个数是无限的,但每个结果出现的可能性相等,这类问题尽管不属于古典概型,但处理方法与古典概型非常类似,通常称其为几何概型.设有二维平面区域Ω,区域A为Ω的一部分,向Ω上等可能地投掷一点,显然,该点落在区域A上的概率p可用下面公式计算:这一结论可以推广到一维数轴上和三维空间中.在数轴上的区间[a,b]上等可能地投掷一点,则该点落在其子区间[c,d]内的概率p为1.2.3几何概型在三维立体Ω内等可能地取一点,则该点属于Ω内的一个小立体D的概率p为【例1-10】(会面问题)两人定于7点到8点之间在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时就离去.如果每人在指定的一小时内的任一时刻到达是等可能的,求两人能会面的概率.解

设两人到达指定地点的时刻分别为7点x分和7点y分,则有0≤x≤60,0≤y≤60,两人能会面的充要条件为｜x-y｜≤20,由此作图1-7.令A={两人能够会面},则两人到达时间的一切可能结果落在边长为60的正方形内,两人能会面的时间如图中阴影部分所示.于是1.2.3几何概型【例1-11】某公共汽车站从上午7时起,每隔15分钟来一趟车,一乘客在7:00到7:30之间随机到达该车站,求:(1)该乘客等候不到5分钟就上车的概率;(2)该乘客等候超过10分钟才上车的概率.解设该乘客到达车站的时刻为7点T分,则样本空间Ω={T｜0≤T≤30}.(1)令A={乘客等候不到5分钟即上车},则1.2.3几何概型【例1-12】

解设事件A={随机点落在曲线y=x2上方}.“该点落在Ω内任一子区域的概率与其面积成正比”,说明该试验满足几何概型特点.1.2.4概率的公理化定义定义1-5设E是随机试验,Ω是它的样本空间,对于E的每一个事件A,赋予一个实数P(A)与之相对应,且满足如下条件:(1)非负性P(A)≥0;(2)归一性P(Ω)=1;性质1-1证明1.2.4概率的公理化定义性质1-2证明性质1-3(加法公式)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).证明特殊地,若AB=⌀,则P(A∪B)=P(A)+P(B).加法公式可以推广到多个事件的情形,如P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC).1.2.4概率的公理化定义【例1-13】已知P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B-A)=0.2,求P(A∪B).解由P(B-A)=P(B)-P(AB)得P(AB)=P(B)-P(B-A)=0.6-0.2=0.4,则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.6-0.4=0.7【例1-14】解1.3条件概率1.3.1条件概率的定义【例1-17】设有两个口袋,第一个口袋装有5只黑球,3只白球;第二个口袋装有4只黑球,2只白球.今从第一个口袋任取一球放到第二个口袋,再从第二个口袋中任取一球,在已知第一个口袋中取出的是白球的条件下,求从第二个口袋中取出白球的概率.解令A={从第二个口袋中取出白球},B={从第一个口袋中取出白球},由于事件B已经发生,则现在第二个口袋中有4只黑球,3只白球.由古典概型,在事件B发生条件下事件A发生的概率(记作P(AB))为1.3.1条件概率的定义下面从另一个角度来讨论这个问题.从第一个口袋中任取一球,有8种取法,将取到的球放到第二个口袋,现在第二个口袋中有7个球,再从中任取一球,有7种取法.由乘法原理,该试验的样本空间中包含8×7个样本点.从第一个口袋中取出白球,有3种取法.由古典概型,1.3.1条件概率的定义【例1-18】设一对夫妻有两个孩子(不考虑双胞胎),已知其中一个为女孩,求他们有男孩的概率.解样本空间为Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}.设事件A={有男孩},事件B={其中一个为女孩},则A={(男,男),(男,女),(女,男)},B={(女,女)(男,女),(女,男)}.由于事件B已经发生,B的可能结果只有3种,而事件A在这3种结果中占2种,由古典概型的定义,在事件B发生条件下事件A发生的概率(记作P(AB))为1.3.1条件概率的定义定义1-6设A,B为两个事件,且P(B)>0,称为已知事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.1.3.1条件概率的定义容易验证,条件概率仍满足概率的三条性质:(1)非负性对每一事件A,有P(A|B)≥0;(2)归一性P(Ω|B)=1;(3)可加性设A1,A2,…,An是互不相容的一列事件,则有【例1-19】解1.3.1条件概率的定义【例1-21】掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率.解令事件A={两颗骰子点数之和为7},B={其中有一颗为1点},则所求概率为P(B|A).事件A出现的可能情况有6种,即A={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}.在事件A发生后,A为“缩减的样本空间”,此时事件B={(1,6),(6,1)},则所求概率为1.3.2乘法公式设P(A)>0,P(B)>0,则由条件概率的定义立即得到P(AB)=P(B)P(A｜B)或P(AB)=P(A)P(B｜A).上面两式均称为概率的乘法公式.乘法公式可推广到多个事件.若事件A1,A2,…,An满足P(A1A2…An-1)>0,则有P(A1A2…An)=P(A1)P(A2｜A1)P(A3｜A1A2)…P(An｜A1A2…An-1).1.3.2乘法公式【例1-22】已知在10只晶体管中有2只次品,现从中取两次,每次取一只,作不放回抽样.求下列事件的概率:(1)两只都是正品;(2)两只都是次品;(3)一只是正品,一只是次品;(4)第二次取出的是次品.解设Ai={第i次取出的是正品},Bi={第i次取出的是次品}(i=1,2).1.3.3全概率公式与贝叶斯公式定义1-7设Ω为一样本空间,A1,A2,…,An为Ω的一组事件,若(1)A1,A2,…,An两两互不相容,则称事件组A1,A2,…,An为Ω的一个划分或完备事件组.定理1-1(全概率公式)设A1,A2,…,An为Ω的一个划分,且P(Ai)>0(i=1,2,…,n),则对任何事件B有式(1-1)称为全概率公式.1.3.3全概率公式与贝叶斯公式证明由于A1,A2,…,An为Ω的一个划分(图1-9),所以且A1B,A2B,…,AnB两两互不相容,所以由概率的可加性知,1.3.3全概率公式与贝叶斯公式【例1-24】在数字通信中发报机分别以0.7和0.3的概率发送信号0和1.由于系统受到各种干扰,当发出信号0时,接收机不一定能收到0,而是以0.8和0.2的概率收到0和1;同样,当发报机发出信号1时,接收机以0.9和0.1的概率收到信号1和0.试求接收机收到0的概率有多大.解设事件H0={发出信号0},H1={发出信号1},A={收到信号0},则由条件知P(A|H0)=0.8,P(A|H1)=0.1,P(H0)=0.7,P(H1)=0.3,故由全概率公式可得P(A)=P(AH0∪AH1)=P(H0)P(A|H0)+P(H1)P(A|H1)

=0.7×0.8+0.3×0.1=0.59.1.3.3全概率公式与贝叶斯公式【例1-25】设某一工厂有A,B,C三个车间,它们生产同一种螺钉,每个车间的产量分别占该厂生产螺钉总量的25%,35%,40%,每个车间成品中次品的螺钉占该车间生产总量的百分比分别为5%,4%,2%.现从全厂总产品中抽取一件产品.(1)求抽中次品的概率;(2)若已知取到一件次品,求该次品是由A车间加工的概率.解令A={产品由A车间生产},B={产品由B车间生产},C={产品由C车间生产},D={取到的是次品},则(1)由全概率公式P(D)=P(AD∪BD∪CD)

=P(A)P(D|A)+P(B)P(DB)+P(C)P(D|C)

=0.25×0.05+0.35×0.04+0.40×0.02

=0.0125+0.014+0.008

=0.0345.1.3.3全概率公式与贝叶斯公式(2)由条件概率在第(2)问中,求得的P(A|D)与P(A)是不同的,概率P(A)=0.25是由以往数据得到的,叫作先验概率.而P(A|D)=0.36是在抽取的螺钉是次品之后,再重新加以修正的概率,叫作后验概率.这种计算后验概率的方法经常与全概率公式结合起来使用.一般地,有如下结果(贝叶斯公式)设A1,A2,…,An为Ω的一个划分,B为Ω的一个事件,且P(Ai)>0,P(B)>0,由条件概率的定义和全概率公式有式(1-2)称为贝叶斯公式.定理1-21.4独立性与贝努利试验1.4.1独立性定义1-8性质1-4设A与B为两个事件,如果等式P(AB)=P(A)P(B)成立,则称A与B相互独立.P(A)>0,P(B)>0,且事件A与B相互独立,则AB≠⌀.性质1-5证明1.4.1独立性【例1-27】玩打兔子电子游戏时,甲、乙两人独立地射击一次,若甲射中的概率为0.9,乙射中的概率为0.8,求兔子被射中的概率.解令A={甲射中兔子},B={乙射中兔子},C={兔子被射中},显然有C=A∪B,则P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

=0.9+0.8-0.9×0.8=0.98.我们还可以将两个事件独立性的定义推广至任意n个事件A1,A2,…,An.1.4.1独立性定义1-9设A1,A2,…,An为n个事件,从中任取的k(2≤k≤n)个事件Ai1,Ai2,…,Aik都满足P(Ai1Ai2…Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik),则称事件A1,A2,…,An相互独立.如果A1,A2,…,An中任何两个事件都相互独立,即P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)(i,j=1,2,…,n;i≠j),则称A1,A2,…,An两两相互独立.【例1-28】袋中有1个红球、1个白球、1个黑球和1个染有红白黑三色的球.现从袋中任取1个球,记A={取出的球染有红色},B={取出的球染有白色},C={取出的球染有黑色},1.4.1独立性P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C),P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).1.4.1独立性【例1-29】加工某一零件共需要三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为2%,3%,5%.假定各道工序互不影响,问加工出来的零件为次品的概率是多少?解法1令A={加工出的零件是次品},Ai={第i道工序出次品}(i=1,2,3),于是A=A1∪A2∪A3,由A1,A2,A3的相互独立性得到

P(A)=P(A1∪A2∪A3)

=P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)

=0.02+0.03+0.05-0.02×0.03-0.02×0.05-0.03×0.05+0.02×0.03×0.05

=0.09693.解法21.4.2贝努利试验定义1-10将试验E独立地重复进行n次,称其为n重贝努利试验.【例1-30】一名射手向目标连续射击5次,已知每次命中的概率均为p(0<p<1),且每次命中与否相互独立,求恰好命中3次的概率.解1.4.2贝努利试验【例1-31】从次品率为p=0.2的一批产品中,有放回抽取5次,每次取一件,分别求抽到的5件中恰好有3件次品以及至多有3件次品这两个事件的概率.解

令事件Ak={恰好有k件次品}(k=0,1,…,5),A={恰好有3件次品},B={至多有3件次品},则第2章随机变量及其分布2.1随机变量的定义2.22.32.4离散型随机变量分布函数连续型随机变量2.5随机变量函数的分布2.1随机变量的定义2.1随机变量的定义

【例2-1】从一批产品中抽出100个作质量检验.在此试验中,我们主要关心废品数,它是随机的.如果用X表示废品数,那么X的可能取值依赖于试验结果(样本点),不是唯一的,其可能取值为0,1,2,…,100.

【例2-2】从一批灯泡中任取一个做寿命试验,假设灯泡寿命最高不超过一万小时.此时的样本空间Ω={ω0≤ω≤10000},即区间[0,10000]上的每个点都是一个样本点.如果用X表示寿命,那么X的取值是不确定的,它的所有可能取值组成区间[0,10000].设Ω为一个样本空间,如果对于每一个样本点ω∈Ω,都有一个实数X(ω)与之对应,我们就称Xω为一个随机变量,并简记为X.一般地,随机变量用大写字母X,Y,Z,…表示.定义2-12.2离散型随机变量2.2.1离散型随机变量的定义从分布律中,可以清晰地看出离散型随机变量的取值规律.易知,离散型随机变量的分布律必满足下述性质:(1)非负性,pi≥0(i=1,2,…);定义2-2如果随机变量X的所有可能取值为一列离散的点(可以编号):x1,x2,…,xi,…,则称X为一个离散型随机变量,并称概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…)为X的分布律(或分布列).分布律通常可以表示成下列表格的形式:2.2.1离散型随机变量的定义【例2-4】设在五件产品中有两件次品.从其中任意取出两件,以X表示取出的两件产品中的次品数,求X的分布律.解X的可能取值为0,1,2.因此,所求的分布律为2.2.2常见的离散型随机变量1.(0-1)分布(或两点分布)定义2-3设X为一个离散型随机变量,如果X的分布律为P(X=0)=q,P(X=1)=p,也可以写成下表形式其中,0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为p的(0-1)分布.2.2.2常见的离散型随机变量2.二项分布定义2-4设X为一个离散型随机变量,若X的分布律为其中,0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n与p的二项分布,记为X~B(n,p).2.2.2常见的离散型随机变量【例2-5】设一个盒子中有50个编号分别为1,2,…,50的乒乓球,5名同学依次有放回地从盒中任取一个乒乓球.如果取到的乒乓球的编号可以被5整除,这名同学就中奖.以X表示5名同学中中奖的人数,求:(1)X的分布律;(2)恰有两名同学中奖的概率;(3)中奖人数不超过一名的概率;(4)至少有两名同学中奖的概率.解(1)5名同学有放回地取乒乓球相当于做了5次相互独立试验,每次试验中,同学抽到中奖号码的概率都是2.2.2常见的离散型随机变量2.2.2常见的离散型随机变量3.泊松(Possion)分布定义2-5设X为一个离散型随机变量,若X的分布律为其中,λ>0,则称X服从参数为λ的泊松分布,记为X~P(λ).2.2.2常见的离散型随机变量【例2-8】已知某地区每年发生特大洪水的次数是一个随机变量X,且每年发生特大洪水与否相互独立.假设X服从参数为0.01的泊松分布,求在10年中至少发生一次特大洪水的概率p.解先求10年中一次特大洪水都不发生的概率q.q=[P(X=0)]10=e-0.1≈0.9048,于是10年中至少发生一次特大洪水的概率为p=1-q≈1-0.9048=0.0952.2.2.2常见的离散型随机变量(泊松逼近定理)设Xn~B(n,pn),常数λ>0，定理1-2证明2.2.2常见的离散型随机变量【例2-9】设某工厂产品的次品率为0.02,从该厂生产的一大批产品中随机抽取100件进行检测,求:

(1)恰有2件次品的概率;

(2)次品数不超过2件的概率.解由于产品非常多,无论是有放回抽样还是不放回抽样,都可以作为有放回抽样来处理.若以X表示100件产品中的次品数,那么X服从二项分布B(100,0.02).故得2.3分布函数2.3分布函数定义2-6设X为一个随机变量,x为任意实数,称函数F(x)=P(X≤x)为随机变量X的分布函数.性质2-1P(x1<X≤x2)=F(x2)-F(x1);性质2-1F(x)为x的单调不减函数;性质2-1性质2-10≤F(x)≤1,且2.3分布函数证明下面给出性质2-1和性质2-3的证明,性质2-2的证明超出本书的范围.P(x1<X≤x2)=P(X≤x2)-P(X≤x1)=F(x2)-F(x1),即性质2-1成立.对于性质2-3,若x1<x2,则F(x2)-F(x1)=P(X≤x2)-P(X≤x1)=P(x1<X≤x2)≥0.这表明函数F(x)单调不减.【例2-10】掷一枚均匀硬币三次,以X表示出现正面的次数,求X的分布律与分布函数.解掷一枚均匀硬币三次,相当于做了3次相互独立试验,每次试验中,出现正面的2.3分布函数由此得X的分布律为下面求X的分布函数F(x).当x<0时,F(x)=P(X≤x)=P(⌀)=0,当0≤x<1时,F(x)=P(X≤x)=P(X=0)=18,当1≤x<2时,F(x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1)2.3分布函数当2≤x<3时,F(x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)显然,当x≥3时,F(x)=P(X≤x)=1.所以X的分布函数为2.4连续型随机变量2.4.1连续型随机变量的定义定义2-7设X为一个随机变量,如果存在一个非负函数f(x),使得X的分布函数F(x)满足则称X为一个连续型随机变量,并称f(x)为X的概率密度函数,简称密度函数(或概率密度).容易看出,密度函数f(x)具有以下性质:(1)非负性f(x)≥0;由归一性知,介于曲线y=f(x)与x轴之间的图形的面积为1.(3)在密度函数f(x)的连续点x0处有F'(x0)=f(x0),即密度函数为分布函数的导数;(4)如果X为连续型随机变量,那么2.4.1连续型随机变量的定义证明P(a<X≤b)=P(X≤b)-P(X≤a)=F(b)-F(a)【例2-12】设连续型随机变量X的分布函数为求:(1)常数A,B的值;(2)密度函数f(x)的表达式.解2.4.1连续型随机变量的定义2.4.2常见的连续型随机变量1.均匀分布若一个随机变量等可能地取值于区间(a,b)上的每一个值,而不可能取到其他实数值,则称X在区间(a,b)上服从均匀分布.定义2-8若随机变量X的密度函数为则称X在区间(a,b)上服从均匀分布,记为X~U(a,b).2.4.2常见的连续型随机变量【例2-14】随机地向区间(-1,1)上投掷一点,X为其坐标值,现有方程t2-3Xt+1=0,求方程有实根的概率.解据题意知X在区间(-1,1)上服从均匀分布,其密度函数为2.4.2常见的连续型随机变量2.指数分布指数分布是较常见的一种连续型分布,在系统工程和可靠性理论中应用较广,通常用它描述电子元件的寿命及等待时间等指标.定义2-9若随机变量X的密度函数为其中,参数λ>0,则称X服从参数为λ的指数分布,记为X~e(λ).易得到X的分布函数为密度函数和分布函数的图像如图2-3所示.2.4.2常见的连续型随机变量

解2.4.2常见的连续型随机变量

3.正态分布

正态分布是概率论和数理统计中最常见、也是最重要的分布之一.我们生活中的很多指标,如身高、体重、学生成绩等都可以用它来描述.定义2-10若连续型随机变量X的密度函数为2.4.2常见的连续型随机变量密度函数y=f(x)的图像称为正态曲线,如图2-4所示.2.4.2常见的连续型随机变量我们将μ=0,σ2=1时的正态分布N(0,1)称为标准正态分布.记它的密度函数为2.4.2常见的连续型随机变量标准正态分布的密度函数和分布函数的图像如图2-5所示.2.4.2常见的连续型随机变量

【例2-17】假设随机变量X~N(0,1),试求:

(1)P(X≤1.5);(2)P(X>2.36);(3)P(X≤-2.1);(4)P(-0.5<X≤0.8).

解(1)P(X≤1.5)=Φ(1.5)=0.9332.

(2)P(X>2.36)=1-Φ(2.36)=1-0.9909=0.0091.

(3)P(X≤-2.1)=Φ(-2.1)=1-Φ(2.1)=1-0.9821=0.0179.

(4)P(-0.5<X≤0.8)=Φ(0.8)-Φ(-0.5)

=Φ(0.8)-[1-Φ(0.5)]

=0.7881-1+0.6915

=0.4796.2.4.2常见的连续型随机变量定理2-2证明2.4.2常见的连续型随机变量2.4.2常见的连续型随机变量【例2-19】假设随机变量X~N(1,4),试求:(1)P(X≤2.5);(2)P(0.5<X≤2.4);(3)P(X>1).解2.4.2常见的连续型随机变量按照上面的方法,我们还可以得到下面的结论:P(X-μ|<σ)=2Φ(1)-1=0.6826,P(X-μ|<2σ)=2Φ(2)-1=0.9544,P(X-μ|<3σ)=2Φ(3)-1=0.9974.这组数值说明,服从正态分布的随机变量的取值范围虽然很广,是整个实数域,但又比较集中,落在以μ为中心,3σ为半径的区间以外的概率不足0.3%,几乎可以以零计,这就是著名的“3σ原则”(图2-6).2.4.2常见的连续型随机变量

【例2-20】某单位招聘155人,按考试成绩录用,共有526人报名.假设报名者的考试成绩X~N(μ,σ2),已知90分以上的12人,60分以下的83人.若从高分到低分依次录用,某人成绩为78分,问此人能否被录用?

解需先根据题设,求出参数μ和σ.由题设知于是2.4.2常见的连续型随机变量2.5随机变量函数的分布2.5.1离散型随机变量函数的分布若X是离散型随机变量,其分布律为Y=g(X),显然Y也是离散型随机变量,则Y的分布律为2.5.1离散型随机变量函数的分布

【例2-21】已知X的分布律为求:(1)Y=2X+1,(2)Y=X2的分布律.

解由X的分布律可列出下表:2.5.1离散型随机变量函数的分布2.5.2连续型随机变量函数的分布若X为连续型随机变量,已知X的密度函数为f(x),Y=g(X),若Y也为连续型随机变量,则求Y的密度函数的一般步骤如下:(1)由X的取值范围,根据Y=g(X),确定Y的取值范围D.(2)在D内求Y的分布函数FY(y),此分布函数是一个积分函数的形式.(3)对Y的分布函数FY(y)求导,即得Y的密度函数.

【例2-22】设连续型随机变量X的密度函数为求随机变量Y=2X-1的密度函数.2.5.2连续型随机变量函数的分布

解Y的分布函数为2.5.2连续型随机变量函数的分布定理1-2设连续型随机变量X的密度函数为fX(x),y=g(x)是一单调函数,具有一阶连续导数,x=h(y)是y=g(x)的反函数,则Y=g(X)的密度函数为fY(y)=fX(h(y))|h'(y)|.

证明当g(x)为单调递增函数时,可得h'(y)>0,且对y求导,得Y的密度函数为fY(y)=fX(h(y))h'(y).当g(x)为单调递减函数时,可得h'(y)<0,且对y求导,得Y的密度函数为fY(y)=fX(h(y))(-h'(y)).2.5.2连续型随机变量函数的分布

【例2-24】设随机变量X~N(μ,σ2),Y=aX+b(a≠0).证明:Y~N(aμ+b,(aσ)2).

证明y=ax+b为一个单调函数,且具有一阶连续导数,解得由定理2-3得因此Y~N(aμ+b,(aσ)2).第3章二维随机变量及其分布3.1二维随机变量的联合分布3.23.33.4二维随机变量的边缘分布随机变量的独立性二维随机变量函数的分布3.1二维随机变量的联合分布3.1.1二维随机变量的分布函数及其性质设X和Y为两个随机变量,则称有序数组(X,Y)为二维随机变量.二维随机变量的研究与一维随机变量非常类似,重点仍然是研究它的分布函数.设二维随机变量(X,Y),对任意实数x,y,称二元函数F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)为(X,Y)的联合分布函数,简称分布函数.其中(X≤x,Y≤y)为事件{X≤x}∩{Y≤y}的简写.定义3-1从几何上看,(X,Y)表示平面直角坐标系中随机点的坐标,设(x,y)表示坐标系中的任一点,那么分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值表示随机点落在以(x,y)为顶点的左下方无穷矩形域上的概率(图3-1).3.1.1二维随机变量的分布函数及其性质由分布函数的几何意义可以得出,对任何x1≤x2,y1≤y2,有P(x1<X≤x2,y1<Y≤y2)=F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)它表示随机点落在区域D内的概率(图3-2)3.1.1二维随机变量的分布函数及其性质可以证明分布函数具有以下的性质:F(x,y)对x或y都是不减函数,即对任意y,若x1≤x2,则F(x1,y)≤F(x2,y);对任意x,若y1≤y2,则F(x,y1)≤F(x,y2).对任意的x,y,F(-∞,y)=0,F(x,-∞)=0,F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1.F(x,y)分别关于x,y右连续,即有F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y).(矩形法则)对任何x1≤x2,y1≤y2,有F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)≥03.1.1二维随机变量的分布函数及其性质

【例3-1】已知F(x,y)=A(B+arctanx)(C+arctany)(x,y∈R)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数.求常数A,B,C.3.1.1二维随机变量的分布函数及其性质3.1.2二维离散型随机变量的联合分布律定义3-2设(X,Y)为二维离散型随机变量,其所有可能的取值为(xi,yj)(i,j=1,2,…),称P(X=xi,Y=yj)=pij(i,j=1,2,…)为二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律.根据概率的性质,pij具有以下性质:(1)非负性pij≥0(i,j=1,2,…);

【例3-2】一口袋中有三个球,它们依次标有数字1,2,2.从袋中任取一球后,不再放回袋中,再从袋中任取一球.设每次取球时,袋中各个球被取到的可能性相同.以X,Y分别记第一次、第二次取得的球上标有的数字.求:(1)(X,Y)的联合分布律;(2)P(X≥Y);(3)P(X+Y≤3);(4)P(X=2).3.1.2二维离散型随机变量的联合分布律

解(1)(X,Y)可能取的数组为(1,2),(2,1)和(2,2).下面先算出随机变量取每组值的概率.3.1.2二维离散型随机变量的联合分布律3.1.2二维离散型随机变量的联合分布律3.1.3二维连续型随机变量的联合密度函数定义3-3设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数,若存在非负函数f(x,y),使得对于任意的x,y∈R,有则称(X,Y)为二维连续型随机变量,并称f(x,y)为(X,Y)的联合密度函数,简称联合密度(或概率密度).联合密度f(x,y)具有以下性质:(1)非负性f(x,y)≥0(x,y∈R);3.1.3二维连续型随机变量的联合密度函数由联合密度函数的定义还可以得到如下性质:(1)F(x,y)是二元连续函数;3.1.3二维连续型随机变量的联合密度函数

【例3-4】设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为求:(1)常数c;(2)P(X≥Y).3.1.3二维连续型随机变量的联合密度函数3.1.3二维连续型随机变量的联合密度函数3.1.3二维连续型随机变量的联合密度函数

1.二维均匀分布设D为平面有界闭区域,其面积为SD,若密度函数为则称二维随机变量(X,Y)服从D上的均匀分布.若G为D的子区域,面积为SG,则由二维随机变量求概率的公式得3.1.3二维连续型随机变量的联合密度函数

2.二维正态分布若随机变量(X,Y)的联合密度函数为则称(X,Y)服从参数为μ1,μ2,σ1,σ2,ρ的二维正态分布(其中μ1,μ2,σ1,σ2,ρ为常数,且有σ1>0,σ2>0,|ρ|<1).记为特殊地,当μ1=μ2=0,σ1=σ2=1时更特殊地,当ρ=0时,则有3.2二维随机变量的边缘分布3.2.1边缘分布函数定义3-4设F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数,则称P(X≤x)=P(X≤x,Y<+∞)(-∞<x<+∞)为(X,Y)关于X的边缘分布函数,记为FX(x).同理称P(Y≤y)=P(X<+∞,Y≤y)(-∞<y<+∞)为(X,Y)关于Y的边缘分布函数,记为FY(y).根据边缘分布函数的定义,可以得到3.2.1边缘分布函数这里FX(x),FY(y)正是随机变量X,Y各自的分布函数.FX(x)=P(X≤x)的几何意义是随机点落在图3-6(a)中阴影区域的概率.FY(y)=P(Y≤y)的几何意义是随机点落在图3-6(b)中阴影区域的概率.3.2.1边缘分布函数

【例3-6】在例3-1中二维随机变量(X,Y)的分布函数为3.2.2离散型随机变量的边缘分布定义3-5设(X,Y)为二维离散型随机变量,其联合分布律为P(X=xi,Y=yj)=pij(i,j=1,2,…),则称P(X=xi)=P(X=xi,Y<+∞)(i=1,2,…)为(X,Y)关于X的边缘分布律,记作pi·,或用表格表示:同理,称P(Y=yj)=P(X<+∞,Y=yj)(j=1,2,…)为(X,Y)关于Y的边缘分布律,记作p·j,或用表格表示:3.2.2离散型随机变量的边缘分布可见将(X,Y)的联合分布律的表格形式中的第i行各数相加,即得pi·,将第j列各数相加,即得p·j,见下表:3.2.2离散型随机变量的边缘分布

【例3-7】一批产品共有5件,其中3件正品,2件次品,从中任取一件后,再从中任取一件.设每次抽取时,每件产品被取到的概率相同,分别以X与Y表示两次取到的正品个数.试分别在有放回和不放回两种情况下,求(X,Y)的联合分布律和边缘分布律.3.2.2离散型随机变量的边缘分布3.2.2离散型随机变量的边缘分布(X,Y)的边缘分布律分别为3.2.3连续型随机变量的边缘分布3.2.3连续型随机变量的边缘分布

【例3-8】已知随机变量(X,Y)概率密度函数为求边缘密度函数fX(x),fY(y).3.3随机变量的独立性3.3随机变量的独立性定义3-6设F(x,y)及FX(x),FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数和边缘分布函数,若对于所有的x,y有P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x)·P(Y≤y),即F(x,y)=FX(x)·FY(y),则称随机变量X和Y相互独立.对于随机变量X和Y的独立性,有下面的重要结论:对于二维离散型随机变量(X,Y),设pij是联合分布律,pi·,p·j是边缘分布律,则X和Y相互独立的充分必要条件是对所有的i,j,有pij=pi··p·j(i,j=1,2,…),即P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)·P(Y=yj).对于二维连续型随机变量(X,Y),设f(x,y)是联合密度函数,fX(x),fY(y)是边缘密度函数,则X和Y相互独立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)·fY(y).3.3随机变量的独立性【例3-10】设随机变量X,Y的分布函数为3.4二维随机变量函数的分布3.4.1二维离散型随机变量函数的分布设(X,Y)为二维离散型随机变量,则函数Z=g(X,Y)仍然是离散型随机变量.如果(X,Y)的分布律为P(X=xi,Y=yj)=pij(i,j=1,2,…),则随机变量Z的分布律为P[Z=g(xi,yj)]=pij(i,j=1,2,…).需要注意的是,取相同g(xi,yj)值所对应的概率要合并相加.

【例3-14】设(X,Y)的联合分布律为求:(1)X+Y的分布律;(2)XY的分布律;(3)max{X,Y}的分布律.3.4.1二维离散型随机变量函数的分布

解(X,Y)的所有可能取值为(-1,-1),(-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,1),(1,2),通过表格计算Z的取值.从而得到X+Y,XY,max{X,Y}的分布律分别为3.4.2二维连续型随机变量函数的分布设(X,Y)为二维连续型随机变量,其联合密度函数为f(x,y),g(x,y)是一个已知的连续函数,由此得到的二维随机变量的函数Z=g(X,Y)仍是连续型随机变量.为求其密度函数fZ(z),可先求Z的分布函数FZ(z),对FZ(z)求导,则得到随机变量Z的密度函数fZ(z)=F'Z(z).由分布函数的定义知,随机变量Z的密度函数fZ(z)=F'Z(z).3.4.2二维连续型随机变量函数的分布

【例3-16】电子系统的联结与寿命电子元件的联结方式分为串联、并联和备用三种方式.在串联电路中通过各个电器的电流都相等.如果有某一处断开,整个电路就成为断路,而不能正常工作.在并联电路中电流有一条以上的独立通路,即使有一个支路断开也不会影响整个系统的运行.在备用电路中,利用一个切换开关,设定某一分支为优先,当优先分支发生故障时,利用开关控制备用分支开始工作.不难发现,电路的不同联结方式,决定了该系统的使用寿命.如一个电路系统L由两个子系统L1,L2联结而成,联结的方式分别为:(1)串联;(2)并联;(3)备用(开关完全可靠,子系统L2在储备期内不失效,当L1损坏时,L2开始工作),如图3-8所示.3.4.2二维连续型随机变量函数的分布(1)串联时,如图3-8(a)所示,系统L的寿命Z=min{X,Y},有FZ(z)=P(Z≤z)=P[min(X,Y)≤z]=1-P[min(X,Y)>z]=1-P(X>z,Y>z)=1-P(X>z)·P(Y>z)=1-[1-P(X≤z)]·[1-P(Y≤z)]=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-e-2z·e-3z=1-e-5z(z>0),3.4.2二维连续型随机变量函数的分布(2)并联时,如图3-8(b)所示,系统L的寿命Z=max{X,Y},有FZ(z)=P(Z≤z)=P[max(X,Y)≤z]=P(X≤z)·P(Y≤z)=FX(z)·FY(z)=(1-e-2z)·(1-e-3z)(z>0),则Z的分布函数为3.4.2二维连续型随机变量函数的分布3.4.2二维连续型随机变量函数的分布第4章随机变量的数字特征4.1随机变量的数学期望4.24.34.4随机变量的方差协方差和相关系数切比雪夫不等式及大数定律4.5中心极限定理4.1随机变量的数学期望4.1.1数学期望的定义设离散型随机变量X的分布律为PX=xk=pk,k=1,2,…,定义4-14.1.1数学期望的定义

【例4-1】某商店在年末大甩卖中进行有奖销售,摇奖时从摇箱中摇出的球的可能颜色为红、黄、蓝、白、黑五种,其对应的奖金分别为10000元、1000元、100元、10元和1元.假定摇箱内装有很多球,其中红、黄、蓝、白、黑的比例分别为0.01%、0.15%、1.34%、10%、88.5%,求每次摇奖摇出的奖金额X的数学期望.

解每次摇奖摇出的奖金额X是一个随机变量,易知它的分布律如下所示:因此E(X)=10000×0.0001+1000×0.0015+100×0.0134+10×0.1+1×0.885=5.725.可见,平均起来每次摇奖的奖金不足6元.这个值对商店作计划预算很重要.4.1.1数学期望的定义定义4-24.1.1数学期望的定义【例4-4】设X服从均匀分布U(a,b),求数学期望E(X).解由题设可知,X的概率密度函数为4.1.2随机变量函数的数学期望设Y是随机变量X的函数,即Y=g(X)(g(x)是连续函数).定理4-1特别地,称随机变量X的k次方的数学期望E(Xk)为X的k阶原点矩,称X-E(X)的k次方的期望E{[X-E(X)]k}为X的k阶中心矩.4.1.2随机变量函数的数学期望【例4-7】已知随机变量X的分布律为解4.1.3数学期望的性质性质1E(c)=c,其中c为常数.性质2E(cX)=cE(X).证明不妨设X为连续型随机变量,密度函数为f(x),cX为随机变量X的函数,所以性质3E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).证明不妨设(X1,X2)为二维连续型随机变量,联合密度函数为f(x,y),所以推论设X1,X2,…,Xn为n个随机变量(n≥2)4.1.3数学期望的性质性质4若随机变量X与Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y).证明不妨设(X,Y)为二维连续型随机变量,由于X和Y相互独立,所以(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)=fX(x)fY(y).则性质4可以推广为:若X和Y相互独立,g(X)与h(Y)分别为X和Y的函数,则E[g(X)h(Y)]=E[g(X)]·E[h(Y)].4.1.3数学期望的性质【例4-12】设随机变量X和Y相互独立,且分别服从参数为2和4的指数分布,求E(X+Y)和E(XY).解因为X服从参数为2的指数分布,Y服从参数为4的指数分布,因此4.2随机变量的方差4.2.1方差的定义定义4-3设X为随机变量,若E{[X-E(X)]2}存在,则称E{[X-E(X)]2}为X的方差,记作D(X),即D(X)=E{[X-E(X)]2}.称D(X)为X的标准差(或均方差),记作σX,方差D(X)是随机变量X的取值相对于均值偏离程度的一种度量.由定义4-3知方差实际上是随机变量X的函数g(X)=[X-E(X)]2的数学期望.在实际计算中,用定义计算方差不是很方便,而是常用下面的方法:D(X)=E{[X-E(X)]2}=E{X2-2X·E(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2E(X)·E(X)+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2,即D(X)=E(X2)-[E(X)]2.4.2.1方差的定义【例4-14】随机变量X的分布律如下:求E(X),E(X2),E(2X-3),D(X).4.2.2方差的性质由于方差是用数学期望定义的,故由数学期望的性质很容易推得方差的一些重要性质.设随机变量X与Y的方差存在,则有(1)若c为常数,则D(c)=0.(2)若a,b为常数,则D(aΧ+b)=a2D(Χ).特别地,D(cΧ)=c2D(Χ).(3)若随机变量X和Y相互独立,则D(X+Y)=D(X)+D(Y).4.2.2方差的性质

证明(2)D(aX+b)=E{[aX+b-E(aX+b)]2}=E{[aX-aE(X)]2}

=a2E{[X-E(X)]2}

=a2D(X).

(3)由于X与Y相互独立,可知E(XY)=E(X)·E(Y),所以

D(X+Y)=E[(X+Y)2]-[E(X+Y)]2

=E(X2+2XY+Y2)-{[E(X)]2+2E(X)E(Y)+[E(Y)]2}

=D(X)+D(Y)+2E(XY)-2E(X)E(Y)

=D(X)+D(Y).

注意到D(-Y)=(-1)2D(Y)=D(Y),易知D(X-Y)=D(X)+D(-Y)=D(X)+D(Y)也成立.4.2.3常见分布的数学期望与方差

1.(0-1)分布

设X服从(0-1)分布,则它的分布律为

由于E(X)=p,E(X2)=02×(1-p)+12×p=p,因此D(X)=E(X2)-E(X)2=p-p2=p(1-p).

2.二项分布

设X服从参数为n,p的二项分布B(n,p),由例4-13知,E(X)=np.由X1,X2,…,Xn相互独立,且均服从参数为p的(0-1)分布,故4.2.3常见分布的数学期望与方差

3.泊松分布

设X服从参数为λ的泊松分布,由例4-2知E(X)=λ,又4.2.3常见分布的数学期望与方差

4.均匀分布

5.指数分布

4.2.3常见分布的数学期望与方差

6.正态分布

4.2.3常见分布的数学期望与方差

【例4-16】

设随机变量X和Y相互独立,且X~N(1,2),Y~N(0,1),试求Z=2X-Y+3的期望和方差.

解

由已知有E(X)=1,DX=2,E(Y)=0,DY=1;X和Y相互独立,因此E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9由此可知Z~N(5,9).4.3协方差和相关系数4.3.1协方差定义4-4设(X,Y)为二维随机变量,若E[(X-E(X))(Y-E(Y))]存在,则称其为随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y).即Cov(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))].在实际计算协方差时,常用下面的计算公式:Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).下面介绍协方差的基本性质.(1)对称性:Cov(X,Y)=Cov(Y,X).(2)Cov(X,X)=D(X).(3)若a,b为常数,则Cov(aX,bY)=abCov(X,Y).(4)若X与Y相互独立,则Cov(X,Y)=0.(5)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y).(6)随机变量和的方差与协方差的关系为D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)+2abCov(X,Y).4.3.1协方差证明(5)Cov(X1+X2,Y)=E[(X1+X2)Y]-E(X1+X2)E(Y)

=E(X1Y)+E(X2Y)-E(X1)E(Y)-E(X2)E(Y)

=[E(X1Y)-E(X1)E(Y)]+[E(X2Y)-E(X2)E(Y)]

=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y).(6)利用协方差的性质得D(aX+bY)=Cov(aX+bY,aX+bY)=Cov(aX,aX)+Cov(aX,bY)+Cov(bY,aX)+Cov(bY,bY)

=a2D(X)+b2D(Y)+2abCov(X,Y).4.3.1协方差【例4-17】设(X,Y)的联合分布律为求E(X),E(Y),D(X),D(Y)和Cov(X,Y).4.3.2相关系数定义4-5设X,Y为二维随机变量,且D(X)>0,D(Y)>0,则称为随机变量X和Y的相关系数.关于相关系数,有如下重要性质:(1)|ρXY|≤1.(2)当ρXY=1时,则存在正常数a与实数b,使Y=aX+b.证明(1)对任意实数λ,D(λX+Y)=λ2D(X)+2λCov(X,Y)+D(Y)≥0.这是关于λ的一元二次函数,由于其恒大于等于零,故其判别式应小于等于0,即4Cov2(X,Y)-4D(X)D(Y)≤0,故有|ρX,Y|≤1.4.3.2相关系数4.3.2相关系数当ρXY=1时,称X和Y正线性相关,即存在常数a>0与实数b,使Y=aX+b.同理,当ρXY=-1时,称X和Y负线性相关,即存在常数a<0与实数b,使Y=aX+b.特别地,如果ρXY=0,则称X和Y不相关.4.3.2相关系数

【例4-19】设二维正态随机变量(X,Y)~N(μ1,μ2,σ1,σ2,ρ),求协方差Cov(X,Y)和相关系数ρXY.4.3.2相关系数4.3.2相关系数设(X,Y)为二维正态随机变量,则X与Y相互独立的充要条件为X与Y不相关.定理4-2【例4-20】设X为连续型随机变量,密度函数为变量Y=X2.(1)求E(X),D(X).(2)求Cov(X,Y),X与Y是否相关?(3)X与Y是否相互独立,为什么?解(1)因为4.3.2相关系数4.4切比雪夫不等式及大数定律4.4.1切比雪夫不等式设随机变量X具有期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2,则对于任意的正数ε,有定理1-2证明设X为连续型随机变量,密度函数为f(x),则切比雪夫不等式说明,X的方差越小,则事件{|X-μ|<ε}发生的概率就越大,即X的取值越集中于它的期望μ附近.4.4.1切比雪夫不等式

【例4-21】设电站供电网有10000盏电灯,夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7,而假定开、关时间彼此独立,估计夜晚同时开着的灯数在6800盏与7200盏之间的概率.

解设X表示在夜晚同时开着的灯的数目,它服从参数为n=10000,p=0.7的二项分布,若要准确计算,则4.4.2大数定律定义4-6设X1,X2,…,Xn,…是一个随机变量序列,a是一个常数,若对于任意正4.4.2大数定律定理4-4(贝努利大数定律)设nA是n重贝努利试验中事件A出现的次数,p(0<p<1)是事件A在每次试验中出现的概率,则对任意的正数ε>0,有证明令4.4.2大数定律4.4.2大数定律定理4-5(切比雪夫大数定律)设X1,X2,…,Xn,…是相互独立的随机变量序列,若存在常数C>0,使D(Xi)≤C(i=1,2,…),则对任意的ε>0,有4.4.2大数定律定理4-6(辛钦大数定律)设X1,X2,…,Xn,…为一列独立同分布的随机变量,且E(Xi)=μ(i=1,2,…),则对任意正数ε>0,有4.5中心极限定理4.5中心极限定理(独立同分布的中心极限定理)设X1,X2,…,Xn,…是相互独立同分布的随机变量序列,且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2<+∞(i=1,2,…),则有定理4-74.5中心极限定理4.5中心极限定理

【例4-23】某餐厅每天接待400名顾客,设每位顾客的消费额(元)服从(20,100)上的均匀分布,且顾客的消费额是相互独立的,求:(1)该餐厅每天的平均营业额;(2)该餐厅每天的营业额在平均营业额±760元内的概率.4.5中心极限定理(棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理)设随机变量X表示n重贝努利试验中事件A发生的次数,p(0<p<1)是事件A在每次试验中出现的概率,则对任意实数x,有定理4-8证明随机变量X可以看作是n个相互独立且服从同一参数p的(0-1)分布的随机变量X1,X2,…,Xn之和,其中Xi(i=1,2,…,n)表示n重贝努利试验中事件A在第i次试验中出现的次数.由于E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p),由定理4-7可知,4.5中心极限定理4.5中心极限定理

【例4-25】某公司的200名员工参加一种资格证书考试,按往年经验,该考试通过率为0.8,试计算这200名员工至少有150人考试通过的概率.

解令X=“200名员工中通过考试的人数”.则X~B(200,0.8).由题意知np=200×0.8=160,np(1-p)=32.依定理4-8有第5章数理统计的基本概念5.1总体、样本、统计量5.25.3常用统计量的分布与分位点正态总体的六大抽样分布5.1总体、样本、统计量5.1总体、样本、统计量最常用的抽样方法为“简单随机抽样”,它应满足:(1)代表性.总体中每个个体都有同等机会被抽入样本,即认为样本X1,X2,…,Xn中的每个Xi(i=1,2,…,n)都与总体X有相同的分布.(2)独立性.样本中每个个体的取值并不影响其他个体的取值,这意味着X1,X2,…,Xn相互独立.定义5-1设X1,X2,…,Xn是总体X的一个样本,若T=T(X1,X2,…,Xn)是样本的函数,且不含任何未知参数,则称T为一个统计量.若x1,x2,…,xn是样本观测值,则称T(x1,x2,…,xn)是T的观测值.5.1总体、样本、统计量定义5-2X1,X2,…,Xn是从总体X中抽取的样本,称统计量为样本均值;为样本方差;为样本标准差;为样本k阶原点矩.5.1总体、样本、统计量【例5-1】某一样本的观测值如下:解由题目知样本容量n=50.样本均值为5.2常用统计量的分布与分位点5.2常用统计量的分布与分位点1.标准正态分布定义5-3设Z~N(0,1),若zα满足P(Z>zα)=α,α∈(0,1),则称点zα为标准正态分布的上α分位点(图5-1).由于标准正态分布的密度函数为偶函数,可知z1-α=-zα.【例5-2】给定α=0.05,查表求zα和z1-α的值.解反查正态分布表(附录4),得z0.05=1.645,z0.95=-z0.05=-1.645.设X1,X2,…,Xn相互独立,且均服从标准正态分布N(0,1),则称2.χ2-分布定义5-45.2常用统计量的分布与分位点定义5-4χ2-分布的密度函数为其中Γ函数(读作Gamma函数)Γ(x)通过积分来定义,此积分在x>0时有意义.f(x)的图形如图5-2所示.

5.2常用统计量的分布与分位点χ2-分布有如下性质:(1)若X~χ2(n),Y~χ2(m),且X与Y相互独立,则X+Y~χ2(n+m).这一性质称为χ2-分布的可加性.(2)若X~χ2(n),则有E[χ2(n)]=n,D[χ2(n)]=2n.5.2常用统计量的分布与分位点5.2常用统计量的分布与分位点【例5-3】解3.t-分布定义5-5设X~N(0,1),Y~χ2(n),且X与Y相互独立,则称服从自由度为n的t-分布,记为t~t(n).其密度函数为5.2常用统计量的分布与分位点密度函数图形如图5-4所示.当t~t(n)时,其上α分位点记为tα(n),即P(t>tα(n))=α,α∈(0,1).显然有t1-α(n)=-tα(n).5.2常用统计量的分布与分位点t-分布的上α分位点如图5-5所示.【例5-4】给定α=0.01,查表求tα(12)和t1-α(12)的值.解由t-分布表(附录6)可得t0.01(12)=2.681,t0.99(12)=-2.681.5.2常用统计量的分布与分位点4.F-分布定义1-1设X~χ2(n),Y~χ2(m),且X与Y相互独立,则称服从自由度为n,m的F-分布,记为F~F(n,m).其密度函数为5.2常用统计量的分布与分位点密度函数图形如图5-6所示5.2常用统计量的分布与分位点F-分布有如下性质:(2)若t~t(n),则t2~F(1,n).若F~F(n1,n2),其上α分位点记为Fα(n1,n2),即P(F>Fα(n1,n2))=α,α∈(0,1).F-分布的上α分位点如图5-7所示.利用F-分布的性质,容易证明5.2常用统计量的分布与分位点【例5-5】给定α=0.01,查表求Fα(10,8)和F1-α(10,8)的值.解查F-分布表(附录7)可知,F0.01(10,8)=5.81,但对F0.99(10,8)的情况,附录7中查不到,即只能查到右侧尾部的分位点值.由于5.2常用统计量的分布与分位点5.3正态总体的六大抽样分布5.3正态总体的六大抽样分布定理5-1(单正态总体的抽样分布定理)5.3正态总体的六大抽样分布5.3正态总体的六大抽样分布定理5-2(双正态总体的抽样分布定理)第6章参数估计6.1点估计6.26.3点估计优良性的评定标准区间估计6.1点估计6.1.1矩估计法设总体X的分布为F(x;θ),θ为待估参数,X1,X2,…,Xn为来自总体的一个样本.如果总体X的数学期望E(X)存在,那么一般来说E(X)应为θ的函数h(θ).由于X1,X2,…,Xn相互独立且与总体同分布,则由大数定律知,当n→∞时,6.1.1矩估计法【例6-2】一公交车起点站候车人数X服从泊松分布P(λ),其中λ未知.观察30趟车的候车人数,得到数据如下:求λ的矩估计值.解先求λ的矩估计量.由于X~P(λ),故E(X)=λ,令6.1.1矩估计法【例6-6】设总体为X,总体均值E(X)=μ和总体方差D(X)=σ2存在.X1,X2,…,Xn为来自总体X的一个样本,求μ和σ2的矩估计量.求λ的矩估计值.解

6.1.1矩估计法6.1.2极大似然估计法1.离散型总体设离散型总体X的分布律为P(X=xi)=p(xi;θ),其中θ为未知参数.X1,X2,…,Xn为来自总体X的一个样本,x1,x2,…,xn为样本观测值.则概率随θ的取值而变化,它是θ的函数,称为似然函数,记为L(θ),即6.1.2极大似然估计法【例6-8】设总体X~P(λ),λ>0为未知参数,X1,X2,…,Xn为取自总体的一个样本,求λ的极大似然估计量.解由于X~P(λ),则6.1.2极大似然估计法【例6-8】设总体X~P(λ),λ>0为未知参数,X1,X2,…,Xn为取自总体的一个样本,求λ的极大似然估计量.解

6.1.2极大似然估计法2.连续型总体设连续型总体X的概率密度函数为f(x;θ),其中θ为未知参数,X1,X2,…,Xn是来自总体的一个样本,x1,x2,…,xn为样本观测值,则似然函数定义如下:【例6-10】设总体X~N(μ,σ2),其中X1,X2,…,Xn为来自总体的一个样本,求未知参数μ和σ2的极大似然估计量.解总体X的概率密度函数6.1.2极大似然估计法【例6-10】设总体X~N(μ,σ2),其中X1,X2,…,Xn