广东省茂名市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版）

第第页2023—2024学年下学期期末质量监测试卷八年级数学（考试时间：120分钟，满分：120分）温馨提示：请将答案写在答题卡上，不要写在本试卷．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.下面四个图标中，属于中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．是中心对称图形，故此选项符合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．2.下列说法正确的有（）①在，，，中，共有2个无理数；②若，则，它的逆命题是真命题；③若边形的内角和是其外角和的2倍，则它是八边形．A.① B.①② C.①③ D.②③【答案】A【解析】【分析】本题考查无理数，等式的性质，互逆命题，多边形的内角和和外角，根据相关知识点，逐一进行判断即可．【详解】解：在，，，中，共有和，2个无理数；故①正确；若，则的逆命题为：若，则，为假命题，故②错误；若边形的内角和是其外角和的2倍，则：，解得：，则它是六边形；故③错误；故选A．3.已知，则下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是牢记不等式的性质，特别是在不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变．【详解】解：A、不等式两边不是同时减去相同数，不能比较大小，故这个选项不符合题意；B、不等式两边同时除以，则，故这个选项不符合题意；C、不等式两边同时乘以再加，则，故这个选项符合题意；D、当时，，故这个选项不符合题意；故选C．4.下列变形是因式分解的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义判断即可．【详解】解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，因为A，C，D选项都不是积的形式，所以不符合题意，故选：B．5.把题图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度不可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了旋转对称图形的特征，仔细观察图形求出旋转角是的整数倍是解题的关键．根据旋转对称图形的特征可得答案．【详解】解：由图形知，该图形是旋转对称图形，则旋转，，都可以与自身重合，旋转不能与自身重合．故选：B．6.如果分式的值为0，那么的值为（）A. B. C.或 D.3或0【答案】B【解析】【分析】根据分式的值为零、分式有意义的条件求解即可得．【详解】由分式的分母不能为0得：解得由题意得：整理得：解得或（舍去）综上，故选：B．【点睛】本题考查了分式的值为零、分式有意义的条件，掌握分式的分母不能为0是解题关键．7.将一个正五边形与一个正六边形按如题图所示方式放置，顶点，，，在同一条直线上，公共顶点，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了正多边形的外角和以及邻补角的性质，三角形的内角和定理等知识．根据正多边形的外角和，分别得出，，根据邻补角的性质，分别得出，的度数，据此求解即可．【详解】解：由正多边形外角和等于可得：，，，，∴．∴．故选：B．8.若函数和的图象如题图所示，则关于的不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．根据函数的图象即可写出不等式的解集．【详解】解：根据图象可得：不等式的解集是：．∴的解集是：．故选：B．9.如图，在中，，，点D，，分别在，，边上，且，．则的度数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，根据条件证明，得到，再利用三角形的外角性质即可求出答案，正确掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．【详解】解：∵∴∵∴∴，∵∴，∴故选：C．10.如图，将沿方向平移4个单位长度得到，与相交于点，，，，则图中阴影部分的面积为（）A.16 B.20 C.32 D.40【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了平移的性质．根据平移的性质可得，，，从而得到阴影部分的面积，即可求解．【详解】解：由平移的性质得：，，，∴阴影部分的面积，∵，∴，∴阴影部分的面积．故选：C二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11.因式分解：______．【答案】【解析】【分析】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式与公式法综合运用分解因式．先提公因式x，再用平方差公式分解即可．【详解】解：故答案为：．12.已知点与点关于原点对称，则______．【答案】8【解析】【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的坐标特征是解题的关键．根据关于原点对称的坐标特征：横坐标与横坐标、纵坐标与纵坐标互为相反数，构建方程组，求解得出a、b值，再代入中计算即可．【详解】解：由题意，，解得；∴，故答案为：8．13.定义运算，如：，若，则的值为______．【答案】7【解析】【分析】本题主要考查了解分式方程．根据新运算可得到关于x的方程，解出即可．【详解】解：∵，∴，解得：，检验：当时，，∴的值为7．故答案为：714.如题图，在中，，，，用尺规作图法构造的平分线，交于点，则的长为______．【答案】【解析】【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可．【详解】解：∵，，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴；故答案为：．15.如题图，为等边三角形，，分别是，边上的点，且，，是边上的一动点，以，，为顶点，为对角线构造平行四边形，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】作交于点，证明四边形是平行四边形，推出，得到，点在直线上,当时，即有最小值，据此计算即可求解．【详解】解：作交于点，连接，，∴∵为等边三角形，∴，∴∴为等边三角形，∴，∴，∴，∴，，∴为等边三角形，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∴，，∵四边形平行四边形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴点在直线上，当时，即有最小值，根据平行线间的距离相等知的最小值就是等边的高，作于点，∴，∴，∴的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分）16.（1）解方程：：（2）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来．【答案】（1）；（2），数轴见解析【解析】【分析】本题主要考查了解分式方程，解不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”原则是解答此题的关键．（1）先变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；（2）分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可．【详解】解：（1），最简公分母为，去分母，得：，，，，检验：当时，，原方程解为；（2）由①得，由②得，原不等式组的解集为，在数轴上表示如下．17.如题图，线段与相交于点，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，且，，依次连接点A，B，C，D．求证：四边形为平行四边形．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．先用证明得，．再根据得出，即可由平行四边形的判定定理得出结论．【详解】证明：，，．在与中，．，．又，．．又，四边形是平行四边形．18.如题图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．（1）画出将绕点旋转后得到的；（2）求证：与互相垂直平分．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得出点、、的对应点，顺次连接即可得答案；（2）根据旋转的性质得出与均经过点，且均被点平分，利用勾股定理逆定理得出即可得出结论．【小问1详解】解：（1）如图，为所作：【小问2详解】∵绕着点旋转得到，∴与均经过点，且均被点平分，由勾股定理得：，，，∴，∴是直角三角形，，∴，∴与互相垂直平分．【点睛】本题考查坐标与图形、作旋转图形、勾股定理及勾股定理逆定理及线段垂直平分线判定，熟练掌握相关判定定理是解题关键．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）19.笔、墨、纸、砚是中国独有的书法绘画工具，又称“文房四宝”．某校计划购买两种型号的“文房四宝”，其中每套型号的价格比每套型号的价格少元，买套A型号和套型号共用元．（1）求每套型号的“文房四宝”的价格；（2）若该校需购进两种型号的“文房四宝”共套，总费用不超过元，要求购进型号的数量不超过型号数量的倍，求购得以上工具的最低费用．【答案】（1）每套型号的价格是元，每套B型号的价格是元；（2）购得以上工具的最低费用是元．【解析】【分析】（）设每套型号价格是元，则每套型号的价格是元，由题意列出方程即可；（）设购进B型号套，则购进A型号套，列出不等式组即可；此题考查一元一次方程和一元一次不等式组应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式组．【小问1详解】设每套型号的价格是元，则每套型号的价格是元，由题意可得，解得，．答：每套型号的价格是元，每套B型号的价格是元；【小问2详解】设购进B型号套，则购进A型号套，由题意可得，解得，又∵为正整数，∴可以取，，当购进套型号“文房四宝”，套型号“文房四宝”，费用（元）当购进套型号“文房四宝”，套型号“文房四宝”，费用（元）∵，∴购得以上工具的最低费用是元．20.如图1，已知是等腰直角三角形，，点，是三角形外的两点，分别连接，，，，其中，．（1）求证：；（2）如图2，交于点，连接，是的中点，分别连接，．若求与的数量关系．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由垂线的定义可得出，结合已知条件可得出，结合已知条件利用即可证明．（2）连接，设交于点，利用全等三角形的性质可得出，对顶角相等可得出，根据三角形内角和定理可得出，结合已知条件利用三腰三角形三线合一的性质可得出，利用垂直平分线的性质可得出，再证明是的中位线．即可得出，等量代换可得出．【小问1详解】证明：，．，，．是等腰直角三角形，．在与中，【小问2详解】如图，连接，设交于点，由（1）得，．，．，．垂直平分．．，点是的中点．又点是的中点，是的中位线．．．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的判定以及性质，垂直平分线的性质，掌握这些性质是解题的关键．21.阅读下面的材料，并解答问题．把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成“部分分式”，例如：将分式表示成部分分式，，设，接下来求，的值．去分母，得，，解得．（1）若（，为常数），则______，______；（2）已知（，为常数），用材料中的解法求，的值；（3）化简：．【答案】（1）1，（2）（3）【解析】【分析】本题考查新定义，分式加减运算，理解新定义是解题的关键．（1）根据把这个分式表示成“部分分式”定义得出，从而得到，求解即可；（2）根据把这个分式表示成“部分分式”定义得出，从而得到，求解即可；（3）根据把这个分式表示成“部分分式”定义，变形为，再按分式加减法法则计算即可．【小问1详解】解：去分母，得∴，解得：．故答案为：1；．【小问2详解】解：去分母，得∴，解得：，【小问3详解】解：．五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）22.数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到．（1）请把表示图2面积的多项式因式分解：______（直接列出等式即可）；（2）若，，求的值；（3）如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，请利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形．【答案】（1）（2）（3），图形见解析【解析】【分析】本题考查因式分解的应用：（1）两种方法表示出图形的面积，即可得出结果；（2）利用（1）中结论求解即可；（3）根据多项式，由2个边长为的小正方形和7个边长为的长方形和3个边长为的正方形组合成一个矩形，进行求解即可．【小问1详解】解：由图可知：；【小问2详解】，，，．；【小问3详解】如图所示，．23.综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接．（1）【观察发现】如图1，若，，，求的长；（2）【操作探究】如图2，当