新高考数学一轮复习讲义第7章　§7.8　空间距离及立体几何中的探索问题（原卷版）

§7.8空间距离及立体几何中的探索问题考试要求1.会求空间中点到直线以及点到平面的距离.2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件．知识梳理1．点到直线的距离如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，则向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2).2．点到平面的距离如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq\o(QP,\s\up6(→))的长度，因此PQ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AP,\s\up6(→))·n,|n|)))＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.()(2)点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线的长度．()(3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等．()(4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.()教材改编题1．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为()A.eq\r(2)B．2C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(3\r(2),2)2．已知直线l经过点A(2,3,1)且向量n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0，\f(\r(2),2)))为l的一个单位方向向量，则点P(4,3,2)到l的距离为________．3．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．题型一空间距离例1(1)空间中有三点P(1，－2，－2)，M(2，－3,1)，N(3，－2,2)，则点P到直线MN的距离为()A．2eq\r(2)B．2eq\r(3)C．3D．2eq\r(5)(2)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥平面BCC1B1，BC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)AA1＝2，BC1＝2eq\r(3)，M为线段AB上的动点．①证明：BC1⊥CM；②若E为A1C1的中点，求点A1到平面BCE的距离．思维升华(1)点到直线的距离．①设过点P的直线l的单位方向向量为n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离d＝eq\r(\o(\s\up7(),\s\do5())|\o(PA,\s\up6(→))|2－\o(PA,\s\up6(→))·n2)；②若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离．(2)求点面距一般有以下三种方法．①作点到面的垂线，求点到垂足的距离；②等体积法；③向量法.跟踪训练1(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则△D1GF的面积为________．(2)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．①证明：D1E⊥A1D；②当E为AB的中点时，求点E到平面ACD1的距离．题型二立体几何中的探索性问题例2如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是等边三角形，平面ABB1A1⊥平面ABC，A1B⊥AB，AC＝2，∠A1AB＝60°，O为AC的中点．(1)求证：AC⊥平面A1BO；(2)试问线段CC1上是否存在点P，使得平面POB与平面A1OB夹角的余弦值为eq\f(2\r(7),7)，若存在，请计算eq\f(CP,CC1)的值；若不存在，请说明理由．思维升华(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．跟踪训练2如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的eq\r(2)倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面DAC夹角的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，请说明理由．课时精练1.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点．(1)求点N到直线AB的距离；(2)求点C1到平面ABN的距离．2．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，M为线段A1C1上一点．(1)求证：BM⊥AB1；(2)若直线AB1与平面BCM所成的角为eq\f(π,4)，求点A1到平面BCM的距离．3.已知空间几何体ABCDE中，△ABC，△ECD是全等的正三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面ECD⊥平面BCD.(1)若BD＝eq\r(2)BC，求证：BC⊥ED；(2)探索A，B，D，E四点是否共面？若共面，请给出证明；若不共面，请说明理由．4.如图所示，在三棱锥P－ABC中，底面是边长为4的正三角形，PA＝2，PA⊥底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点．(1)求证：平面BEF⊥平面PAC；(2)在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成角的正弦值为eq\f(\r(15),5)？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由．5.(2022·北京模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD.△PBC是等腰三角形，且PB＝PC＝3.在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝5，AD＝4，DC＝3.(1)求证：AB∥平面PCD；(2)求平面APB与平面PBC夹角的余弦值；(3)棱BC上是否存在点Q到平面PBA的距离为eq\f(\r(10),10)，若存在，求出eq\f(CQ,CB)的值；若不存在，说明理