压电有关理论和公式

1、压电有关理论和公式1 弹性1.1 应力Tij = Tji，应力矩阵只有6个独立分量。某个方向n上的应力：Tn = Tn1.2 应变正应变：线段的相对伸长或缩短称为正应变。，切应变：方向的变化。，Sij = Sji，应变矩阵只有6个独立分量。应变各分量带有位移梯度的意思，因此，应变矩阵又称为位移梯度矩阵。1.3 下标缩写4.p24由于应力，应变等的矩阵9个分量只有6个是独立的，可以讲33矩阵缩写为一个6个分量的列向量，坐标缩减方式为：双下标xx(11)yy(22)zz(33)yz,zy(23,32)zx,xz(31,13)xy,yx(12,21)单下标123456对于应变还要引入因子1/2，有：

2、Syz=S4，Szx=S5，Sxy=S6，对于应力没有此因子。1.4 胡克定律和弹性常数4.p25应力与应变之间的线性关系可用胡克定律表示：T = cS，S=sT其中，c为弹性刚度常数，s为弹性柔顺常数。81个弹性常数分量中，只有21个独立参数，且有：展开求和形式为：Tmn=cmnpqSpq，Smn=smnpqTpq(i,j,p,q = 13)缩减下标形式：Ti=cijSj，Si=sijTj(i,j = 16)其中：sij = smnpqi,j = 13sij = 2smnpqi or j = 46sij = 4smnpqi,j = 46对于应力没有此因子。弹性刚度系数与弹性柔顺系数互为逆矩阵

3、：s= c-11.5 坐标变换1.5.1 坐标基矢量的表示设变换前的坐标系o-xyz坐标基矢量为：我们可以把此坐标系下的向量用一个列向量来表示，比如：，1.5.2 向量在坐标系中的表示对于笛卡尔坐标系（O-xyz）中的任意向量矢量R=OR，其在三个坐标轴上的分量为其可以用其在三个坐标轴的截距OA、OB、OC表示，记做R1、R2、R3，则：R = R1 + R2 + R3 =R1i + R2j+Rr3 k其中，i、j、k分别是三个坐标轴方向的基矢量，其矩阵形式为：，或设矢量R的长度为R，R与三个坐标轴的夹角分别为1，1，1，则矢量R在三个坐标轴上的投影（三个坐标分量，实际上也就是R点的坐标）分别

4、为：R1 = Rx = Rcos1，R2 = Ry = Rcos1，R3 = Rz = Rcos1将矢量R表示为矩阵形式：其中，a1 = cos1，a2 = cos1，a3 = cos1，为矢量R与坐标轴夹角的余弦。1.5.3 二维平面旋转坐标系二维平面的直角坐标系O-xyz绕z轴旋转角度之后，平面上P点在新旧坐标系中的左边满足：矩阵形式为：上式中的各个角度分别代表新坐标的x，y轴与原坐标的x，y轴的夹角。设1，1分别为新坐标系中x坐标轴基矢i与原坐标系中x，y坐标轴的夹角，2，2分别为新坐标系中y基矢与原坐标系x，y轴夹角，则有：令：有：其中，矩阵A可以看做是一个新旧坐标之间的变换矩阵。空间

5、中的一个点P在新坐标系中的坐标可以通过该变换矩阵与原坐标中的坐标计算得出。1.5.4 二维平面旋转坐标系新坐标在原坐标系中的表示对于二维平面中的笛卡尔坐标系O-xy，经过坐标旋转后，变成新的坐标系O-xy，根据上面的二维平面中的矢量坐标变换参数定义，x轴、y轴的基矢量、在原坐标系中坐标为：从原坐标到新坐标的坐标变换矩阵即可看做由以上基矢量的行矩阵组成。由于原坐标和新坐标是对称的，就是说，哪一个坐标都可以看做是原坐标。如果我们认为坐标系O-xy为原坐标系，O-xy为新坐标系，经过坐标旋转后，上式可以转化为由于两个向量夹角与向量标注的前后顺序无关，（1，2）与（2，1）的夹角实际上是一个，因此，相

6、应的系数也是一样的， 。于是，上式可以变为：可以看出，矩阵A与B互为转置矩阵。以上的结论可以推广到三维坐标变换。如果考虑左侧的列向量为新坐标系的基矢量，其在新坐标系中可以表示为在原坐标系中的坐标为1.5.5 新坐标在原坐标系中的表示对于坐标变换A，设变换后的坐标系为O-xyz，在新坐标系中的基矢为。设1，1，1分别为新坐标系中x坐标轴基矢i与原坐标系中x，y，z坐标轴的夹角，2，2，2分别为新坐标系中y基矢与原坐标系x，y，z轴夹角，3，3，3分别为新坐标系中z基矢与原坐标系x，y，z轴夹角；a11，a12，a13为新坐标系中x基矢与原坐标系x，y，z轴夹角的方向余弦；a21，a22，a23为

7、新坐标系中y基矢与原坐标系x，y，z轴夹角的方向余弦；a31，a32，a33为新坐标系中z基矢与原坐标系x，y，z轴夹角的方向余弦；即：，则坐标系o-xyz坐标基矢量为：1.6 变换矩阵1.6.1 向量变换矩阵对于向量R，设其在新坐标系o-xyz中的表示为：由于在坐标变换过程中，向量本身并没有发生变化，只是参照坐标系发生了旋转，则有：将新坐标系在原坐标系中的表示代入，有：设变换矩阵为A，对于上述变换有：R = AR，可见，所以有：R = AR T-1R，即得A = T-1。我们可以证明，T为一个正交矩阵，则变换矩阵为A：同理，如果我们知道了坐标变换矩阵，也可以反向表示成新坐标系基矢在原坐标中的

8、表示。1.6.2 不同切型的向量变换矩阵不同切型的晶片可以按绕x、y、z轴旋转不同的角度达到，用IRE切型切型符号法(YXwlt)表示，包括一组字母和角度；前两个字母为xyz坐标的两个，依次代表旋转前晶片的厚度和长度方向，比如，yz切型表示晶片厚度为y方向，长度为z方向；其他字母表示晶片旋转的棱边方向，分别为t，l，w，代表旋转轴为厚度、长度和宽度方向；再后面是旋转的角度。例如，（yzw）-50表示晶片原始厚度，长度分别平行y、z轴，晶片沿宽度轴（x）逆时针旋转-50，即顺时针旋转50。可以通过坐标变换矩阵确定该切型在晶体中的方向余弦。根据晶体点群不同，确定晶体原始坐标系原始坐标为o-xyz，

9、晶体绕x轴旋转角后形成的新坐标系为O-xyz，（旋转切型形成的是切割刀具的坐标系4p89-92 ），根据上面的坐标变换法则，有，此处，将变换矩阵记作Cx，有同理，有对于两次旋转，比如先绕x后绕y旋转，则变换矩阵C为：坐标变换公式为：1.6.3 二阶张量变换矩阵考虑空间矢量R，r，有关系R = Kr，K为联系两个一阶张量的二阶张量。如，电位移矢量D与电场强度E的关系：D=E在新坐标系中的关系为：RKr对于上述坐标变换A，有：R = AR，r = Ar变换矩阵A为正交矩阵，其逆矩阵等于其转置矩阵At，A-1= At将向量之间的关系代入，有：R = AR = AKr = AKA-1r = Kr则有：

10、K = AKA-1=AKAt这就是二阶张量在坐标变换关系。1.6.4 二阶张量缩写下标形式的矩阵在旋转坐标下的变换下面以应力为例研究二阶张量缩写下标形式的矩阵在旋转坐标下的变换。根据二阶张量的坐标变换关系：K =AKAt可以得到应力张量的变换关系为：T=ATAt设二阶应力张量的缩写坐标形式的变换矩阵为M则有：T=MT同理，对于二阶应变张量S有变换关系：S=ASAt设二阶应力张量的缩写坐标形式的变换矩阵为N则有：S=NS1.7 常用的常数的坐标变换1.7.1 弹性常数矩阵的坐标变换形式原坐标系中的胡克定律：S=sTT=cS新坐标系中的胡克定律：S=sTT=cS将变换公式T=MT与 S=NS代入，

11、有：S=NS=NsT=NsM1TT=MT=McS=McN-1S则可以得到：s=NsM-1c=McN-1而M和N之间有关系：M-1=NtN-1=Mt这样，可以得到：s=NsNtc=McMt1.7.2 压电常数矩阵的坐标变换形式第一类压电方程：S=sET + dtED=dT + TE电场为0的情况下，有：D=dT新坐标下有：D=dT电位移矢量、应力张量在新坐标下为：D=ADT=MT则有：D=AD=AdT=AdM-1T=dT所以，d = AdM-1=AdNt1.7.3 介电常数矩阵的坐标变换形式根据二阶张量的坐标变换关系：K = AKA-1=AKAt介电常数矩阵的在新坐标中的形式为：=AAt1.7.

12、4 压电方程的坐标变换形式第一类压电方程：S=sET + dtED=dT + TE在新坐标下压电方程：S=sET + dtED=dT + TE1.8 坐标变换应用示例1.8.1 压电常数1.8.1.1 计算公式根据上面的关系式，压电应变常数的坐标变换公式为：d = AdM-1 = AdNt其中，对于（yxwl）0/48.5切，原始位置为晶片长度、厚度和宽度分别沿晶体坐标系的x、y、z方向，旋转顺序为：先沿着厚度方向旋转0（实际上没有操作），然后再沿旋转后的长度旋转48.5。根据其操作过程，此切型可以简化为（yxl)48.5切。如下所示：a：原始位置b：（yxw）0切c：（yxwl）0/48.5

13、切1.8.1.2 变换矩阵（yxl)48.5切的晶片，令=48.5，设1，1，1分别为新坐标系中x坐标轴基矢i与原坐标系中x，y，z坐标轴的夹角，2，2，2分别为新坐标系中y基矢与原坐标系x，y，z轴夹角，3，3，3分别为新坐标系中z基矢与原坐标系x，y，z轴夹角；对应的旋转坐标变换矩阵中，各个夹角见下表所示：夹角()111222333表示090909090-9090-如下形式更为明显：10/2/22/2/23/2/2带入=48.5，有1.8.1.3 压电常数数据根据文献，LGS的压电常数矩阵（pC/N）为：另外的数据：王增梅毕业论文王曾梅文献18王曾梅文献19王增梅2004d11(10-12

14、C/N)2.2-6.150.2-6.165.59d14(10-12C/N)-1.1-6.010.75.36-5.011.8.1.4 计算程序1）压电应变常数数据%data_d.m%压电应变常数数据%压电应变常数,(10(-12)C/N)%d_1数据取自王增梅毕业论文d11_1=2.2;d14_1=-1.1;d_1=d11_1-d11_10d14_100;0 000-d14_1-2*d11_1;0 00000;%d_2数据取自王增梅毕业论文文献18d11_2=6.15;d14_2=-6.01;d_2=d11_2-d11_20d14_200;0 000 -d14_2-2*d11_2;0 000 0

15、 0;%d_3数据取自王增梅毕业论文文献19d11_3=6.16;d14_3=-5.39;d_3=d11_3-d11_30d14_300;0 000 -d14_3-2*d11_3;0 000 0 0;%d_4数据取自王增梅毕业论文最新测试数据d11_4=5.59;d14_4=-5.01;d_4=d11_4-d11_40d14_400;0 000 -d14_4-2*d11_4;0 000 0 0;%d_5数据取自尹鑫，王继扬等La3Ga5SiO14单晶电弹常数的测量压电与声光,2003年1月,Vol.25d11_5=6.63;d14_5=-5.4;d_5=d11_5-d11_50d14_500;

16、0 000 -d14_5-2*d11_5;0 000 0 0;%2）变换矩阵%myAMN_degree.mfunction A,M,N=myAMN_degree(a,b,c)%计算IRE切型(YXwlt)的变换矩阵A、M、N%变换矩阵%对于IRE切型(YXwlt)，输入的角度对应关系为：Za，Xb，Yc%Cx为绕X轴旋转角度（对应于输入角度b）的变换矩阵Cx=cosd(0 90 90; 90 b 90-b; 90 90+b 90);%Cy为绕X轴旋转角度（对应于输入角度c）的变换矩阵Cy= cosd(c 90 90+c; 90 0 90; 90-c90 c);%Cx为绕X轴旋转角度（对应于输入

17、角度a）的变换矩阵Cz= cosd(a 90-a 90; 90+a a 90; 90 90 0);%切型的总的变换矩阵A为A = Cy*Cx*Cz%变换矩阵的各个矩阵元a11=A(1,1); a12=A(1,2); a13=A(1,3);a21=A(2,1); a22=A(2,2); a23=A(2,3);a31=A(3,1); a32=A(3,2); a33=A(3,3);%张量变换矩阵M，NM=a112 a122 a132 2*a12*a13 2*a11*a13 2*a11*a12; a212 a222 a232 2*a22*a23 2*a21*a23 2*a21*a22 ; a312 a

18、322 a332 2*a32*a33 2*a31*a33 2*a31*a32 ; a21*a31 a22*a32 a23*a33 (a22*a33+a32*a23) (a23*a31+a33*a21) (a21*a32+a31*a22) ; a31*a11 a32*a12 a33*a13 (a32*a13+a12*a33) (a33*a11+a13*a31) (a31*a12+a11*a32) ; a11*a21 a12*a22 a13*a23 (a12*a23+a22*a13) (a13*a21+a23*a11) (a11*a22+a21*a12) N=a112 a122 a132 a12*

19、a13 a11*a13 a11*a12; a212 a222 a232 a22*a23 a21*a23 a21*a22 ; a312 a322 a332 a32*a33 a31*a33 a31*a32 ; 2*a21*a31 2*a22*a32 2*a23*a33 (a22*a33+a32*a23) (a23*a31+a33*a21) (a21*a32+a31*a22) ; 2*a31*a11 2*a32*a12 2*a33*a13 (a32*a13+a12*a33) (a33*a11+a13*a31) (a31*a12+a11*a32) ; 2*a11*a21 2*a12*a22 2*a13

20、*a23 (a12*a23+a22*a13) (a13*a21+a23*a11) (a11*a22+a21*a12) 3）计算坐标变换后的压电应变常数%myCalcRotatedD.mfunction myCalcRotatedD(a,b,c)%计算坐标变换后的压电应变常数%载入压电应变常数,(10(-12)C/N)data_d;%计算IRE切型(YXwlt)的变换矩阵A、M、NA,M,N=myAMN_degree(a,b,c);%变换公式为：d = A*d*M(-1) = A*d*Ntd_1_r = A*d_1*N;d_2_r = A*d_2*N;d_3_r = A*d_3*N;d_4_r

21、= A*d_4*N;d_5_r = A*d_5*N;%显示结果digits(4);vpa(A),vpa(M),vpa(N)vpa(d_1),vpa(d_1_r)vpa(d_2),vpa(d_2_r)vpa(d_3),vpa(d_3_r)vpa(d_4),vpa(d_4_r)vpa(d_5),vpa(d_5_r)4）计算结果A = 1., 0., 0. 0., .6626, .7490 0., -.7490, .6626M = 1., 0., 0., 0., 0., 0. 0., .4391, .5609, .9925, 0., 0. 0., .5609, .4391, -.9925, 0.,

22、0. 0., -.4963, .4963, -.1219, 0., 0. 0., 0., 0., 0., .6626, -.7490 0., 0., 0., 0., .7490, .6626N = 1., 0., 0., 0., 0., 0. 0., .4391, .5609, .4963, 0., 0. 0., .5609, .4391, -.4963, 0., 0. 0., -.9925, .9925, -.1219, 0., 0. 0., 0., 0., 0., .6626, -.7490 0., 0., 0., 0., .7490, .6626D_1 = 2.200, -2.200,

23、0., -1.100, 0., 0. 0., 0., 0., 0., 1.100, -4.400 0., 0., 0., 0., 0., 0.D_1_r = 2.200, -1.512, -.6882, 2.318, 0., 0. 0., 0., 0., 0., 2.667, -1.386 0., 0., 0., 0., -3.014, 1.567D_2 = 6.150, -6.150, 0., -6.010, 0., 0. 0., 0., 0., 0., 6.010, -12.30 0., 0., 0., 0., 0., 0.D_2_r = 6.150, -5.683, -.4671, 6.

24、837, 0., 0. 0., 0., 0., 0., 8.743, -2.418 0., 0., 0., 0., -9.882, 2.733D_3 = 6.160, -6.160, 0., -5.390, 0., 0. 0., 0., 0., 0., 5.390, -12.32 0., 0., 0., 0., 0., 0.D_3_r = 6.160, -5.380, -.7804, 6.771, 0., 0. 0., 0., 0., 0., 8.481, -2.734 0., 0., 0., 0., -9.586, 3.091D_4 = 5.590, -5.590, 0., -5.010,

25、0., 0. 0., 0., 0., 0., 5.010, -11.18 0., 0., 0., 0., 0., 0.D_4_r = 5.590, -4.941, -.6493, 6.159, 0., 0. 0., 0., 0., 0., 7.748, -2.422 0., 0., 0., 0., -8.758, 2.738D_5 = 6.630, -6.630, 0., -5.400, 0., 0. 0., 0., 0., 0., 5.400, -13.26 0., 0., 0., 0., 0., 0.D_5_r = 6.630, -5.591, -1.039, 7.239, 0., 0.

26、0., 0., 0., 0., 8.952, -3.142 0., 0., 0., 0., -10.12, 3.5521.8.2 介电常数1.8.2.1 计算公式根据二阶张量的坐标变换关系：K = AKA-1=AKAt介电常数矩阵的在新坐标中的形式为：=AAt1.8.2.2 变换矩阵1.8.2.3 介电常数数据介电常数矩阵（王增梅毕业论文数据）：（1KHz），（10KHz）1.8.2.4 计算程序1）数据%data_epsilon.m%相对介电常数,(0=8.85410(-12)F/m);数据取自王增梅毕业论文epT11=21.8; epT33=55.4;epS11=21.2; epS33=5

27、4.8;epT =epT1100;0epT110;00epT33epS =epS1100;0epS110;00epS332）计算%myCalcRotatedEpsilon_VPA.mfunction myCalcRotatedEpsilon_VPA(a,b,c)%计算坐标变换后的介电常数%载入介电常数data_epsilon;%计算IRE切型(YXwlt)的变换矩阵A、M、NA,M,N=myAMN_degree(a,b,c);%计算坐标变换后的介电常数%变换公式为：=AAtepT_r = A*epT*A;epS_r = A*epS*A;%显示结果digits(4);vpa(A),vpa(M),

28、vpa(N)vpa(epT),vpa(epT_r)vpa(epS),vpa(epS_r)1.8.2.5 计算结果A = 1., 0., 0. 0., .6626, .7490 0., -.7490, .6626T= 21.80, 0., 0. 0., 21.80, 0. 0., 0., 55.40T_r= 21.80,0., 0. 0., 40.65, 16.67 0.,16.67, 36.55S= 21.20, 0., 0. 0., 21.20, 0. 0., 0., 54.80S_r= 21.20, 0., 0. 0., 40.05,16.67 0., 16.67,35.952 介电性3

29、压电性3.1 压电方程4-48第一类压电方程：分量式：第二类压电方程：分量式：第三类压电方程：分量式：第四类压电方程：分量式：3.2 压电常数压电应变常数压电电压常数压电应力常数压电电刚度常数3.3 压电常数变换关系根据特征函数的定义，四种压电常数之间的关系为：3.4 压电常数缩减下标单下标与双下标的关系为：双下标xx(11)yy(22)zz(33)yz,zy(23,32)zx,xz(31,13)xy,yx(12,21)单下标123456由于应变的下标变换时引入了因子2，因此，压电常数d, g缩减下标时也要引入因子2。dmi = dmnpgmi = gmnp(m = 1,2,3)(i = 1,

30、2,3)dmi = 2dmnpgmi = 2gmnp(m = 1,2,3)(i = 4,5,6)4 切型4.1 IRE切型4.1.1 切型符号14-p145IRE标准的符号表示：包括一组字母和角度，符号的前两个字母为xyz坐标的两个，依次代表旋转前晶片的厚度和长度方向，比如，yz切型表示晶片厚度为y方向，长度为z方向。符号的其他字母表示晶片旋转的棱边方向，分别为t，l，w，代表旋转轴为厚度、长度和宽度方向。再后面是旋转的角度。例如，（yzw）-50表示晶片原始厚度，长度分别平行y、z轴，晶片沿宽度轴（x）逆时针旋转-50，即顺时针旋转50。xyz表示的是晶体坐标系。旋转切型形成的是切割刀具的坐

31、标系4p89-92 。切型(yxl)35表示在原始位置晶片厚度方向与Y 轴重合，长度方向与X 轴重合，然后坐标绕X 轴旋转35得到最后的晶片的取向，如图所示：IRE标准定义的（YXl）35切型如果存在两次旋转，则需要4个字母表示，后面跟两个角度，之间用斜线分开。如，（yzlt）40/50表示晶片原始厚度平行y轴，长度平行z轴，晶片第一次旋转围绕长度轴（z）逆时针旋转40，第二次旋转围绕厚度轴（y）旋转50。如果存在三次旋转，则需要5个字母表示，后跟3个角度。如（yztwt）30/40/15表示晶片原始厚度平行y轴，长度平行z轴，晶片第一次围绕厚度轴逆时针旋转30，第二次围绕宽度轴旋转50，第三

32、次再围绕新的厚度轴逆时针旋转15。按照IRE标准表示声表面波切型及传播形如(YXwlt)，先用二次旋转(首先绕Z轴旋转，然后绕X轴旋转确定基片的切向，然后再在晶片绕法线方向旋转确定声表面波的传播方向，如图所示4.1.2 常见切型l 旋转y切族表示为（yxl），是晶片沿x轴（长度）旋转的切型。晶片法向为y方向。对于石英，(yxl)30和(yxl)49切型是厚度切变振动模式的谐振频率零温度系数切型；(yxl)38和(yxl)51切型是面切变振动模式的谐振频率零温度系数切型；(yxl)42.75切型是声表面波延迟温度系数为0的切型。l x切族表示为（xyt），是晶片沿x轴（厚度）旋转的切型。晶片法向

33、为x方向。对于石英，(xyt)5切型既是长度伸缩振动模式的谐振频率零温度系数切型，又是厚度弯曲振动模式的谐振频率零温度系数切型。l 双转角切族必须注意弹性耦合作用的影响。4.2 欧拉角表示为了描述绕定点运动的刚体在空间的方位，过定点O 建立一固定坐标系Oxyz 和一个固结于刚体上的动系Oxyz，称为结体系，如下图所示（刚体未画出）。其中 ：ON为xy 平面与xy 平面之交线，称为节线。结体系（即刚体）的方位由下列三个角确定：进动角、章动角、自转角。，称为欧拉角。欧拉角的形成过程如下图所示，表示欧拉角的形成步骤：l 初始时结体系与定系重合，记为x0y0z0l 绕 z 轴转过角x1y1z； 此时x

34、、x1（即ON）、y和y1共面。l 再绕x1轴（即节线ON）转过角x1y2z ；此时Ox1y1平面转到Ox1y2，两平面之交线表为ON，称为节线；y1，y2，z和z 四轴共面，且与ON正交；l 再绕z 轴转过 角xyz，形成如上图所示之欧拉角。此时N ，x，y2，y 四轴共面，且与Oz 正交。4.3 欧拉角与IRE切型之间的关系欧拉角表征声波在晶体中的传播，晶体为固定系，声波为结体系。在声表面波坐标系(x1,x2,x3 )中，x1轴与波的传播方向平行，x2轴平行于波的波阵面，x3轴为基片的法线方向。从晶轴坐标系(X,Y,Z)到声表面波坐标系(x1,x2,x3 )需要经过三个连续地坐标旋转：l

35、首先绕Z轴旋转得到新坐标系(X,Y,Z )；l 然后绕X 轴旋转确定了基片的切向，坐标变为(X,Y,Z )；l 最后绕Z 轴旋转得到声表面波坐标系。三个旋转角(，)称为欧拉角，它确定了基片的切向和波的传播方向。切型符号法表征的是晶体为固定坐标系，切割刀具的方向。切型符号法和欧拉角法表示的切向和传播方向的含义是不同的。设欧拉角法旋转角度为(，)，切型符号法(YXwlt)旋转角度为(，)，根据坐标转换可以建立两种表示法之间的联系为：例如，对石英晶体的ST 切（(yxl)4246）X 传播，用切型符号法表示其角度为(0,42.75,0)，用欧拉角表示其角度为(0,132.75,0)。4.4 切型的选

36、择选择依据：单频性好，压电活性高，温度系数小。单频性主要决定于晶片的弹性常数。例如，弹性柔顺常数s，sij当ij时称为交叉弹性常数，表示两种应变之间的弹性耦合性质。为了获得单一的振动模式，要求交叉弹性常数等于或接近于0。大的压电常数可提供大的压电活性并抑制不希望的耦合效应。4.4.1 频率温度特性压电晶片的温度频率特性方程为：f=f0(1 + a0( 0) + b0( 0)2 + c0( 0)3或f/f0 = (f f0)/f0 = a0( 0) + b0( 0)2 + c0( 0)3其中，0为参考温度，f0为参考温度下的频率，a0、b0、c0分别为时的一级、二级和三级温度系数。频率温度系数T

37、CF：其中，a0、b0、c0分别为0时f的一级、二级和三级温度系数：由频率温度系数TCF公式，0时TCFa0，因此，只有a00才有TCF0，所以，使TCF0的切角称为零温度系数切角。谐振频率f与温度和各级温度系数（a0、b0、c0）有关，而f又取决于晶片的弹性常数，密度，尺寸和切角，其中，弹性常数，密度和尺寸都是温度的函数，所以a0、b0、c0与晶体的弹性温度系数，密度温度系数以及线膨胀等有关。弹性柔顺常数温度特性方程为：密度温度特性方程为：线膨胀方程为：4.4.2 长度伸缩振动一级频率温度系数长度伸缩振动的基频谐振频率为：其中，l为沿i方向，的长度，为密度，sii为沿I方向的弹性柔顺系数。由

38、可得，sii可以通过旋转坐标系的矩阵变换表示称为sij的组合的形式，从而可以得到其温度系数。同样可以分析线膨胀系数。5 声波与声表面波3,4,5,6,7,8,11,124.1 各向同性弹性介质中的体声波声纵波（声膨胀波）：发生体积形变，波速Vl =(c11/)1/2声横波（声切变波）：不发生体积形变，波速Vt =(c11- c12)/2)1/2声平面波的形式：u=u0sin(t-x/v)= u0sin(t-kr)指数形式：u=u0exp(it-kr)4.2 各向同性弹性介质中的声表面波声表面波对于（tlw）为（zxy）的半无限大自由表面基片，如果能够存在声表面波且沿x方向传播（各物理量与y方向

39、无关），x，z方向的振动可以写为：u=Aexp(it-kr)exp(-z)w=Bexp(it-kr) exp(-z)其中，、分别为u，w在z方向的衰减常数。瑞利波对于非压电各向同性介质，瑞利波波速VR由以下方程确定13：r6-8r4+8r2(3-2S2)-16(1-S2)=0式中，r=VR/VS，S= VS/VL=(1-2)/2(1-)1/2，00.5，一般，r在0.870.96之间。声表面波（瑞利波）速度与声横波速度的近似关系为11：其中，为材料泊松比，由上式可以看出，瑞利波有以下特点：l 瑞利波速度VR和介质的参数有关，而和角频率无关，因此瑞利波是非色散的。l 对于不同材料，当在00.5之

40、间变化时，VR在0.87Vt0.96Vt之间变化。l 瑞利波是一个椭圆偏振的声波，椭圆长轴垂直表面。l 瑞利波能量集中在表面层，沿深度方向迅速衰减，在12各波长之后，基本消失。对于各向同性介质，任何方向都可以传播一种声纵波和两种声横波的体波；声纵波位移方向与传播方向严格平行，声横波位移方向与传播方向严格垂直；两种波分别称为纯纵波和纯横波。而瑞利波也可以看成纯纵波与纯横波线性组合的椭圆偏振的声表面波。4.3 晶体中的声波对于晶体，任何方向也可以传播一种声纵波和两种声横波的体波，但是质点位移既不与传播方向平行，又不与传播方向垂直；两种波可以被称为准纵波和准横波。纯声波只能在特殊方向传播，这些方向称

41、为纯模式方向或纯波方向。对于声表面波，质点一般有三个位移分量，每个分量振幅随深入体内而指数振荡衰减。这种声表面波称为广义瑞利波，其三个位移分量不是两两正交，其传播速度与传播方向有关，但是和频率无关，因此，广义瑞利波也是非色散的。广义瑞利波速度与同方向上声横波速度的近似关系为：晶体中的纯模式方向：l 对称轴方向是纯模式方向，如石英的x方向；l 垂直偶对称轴的平面内传播的声波一定有一位移分量在偶对称轴方向偏振，因此该平面内也可以传播纯横波；l 对称面内传播的声波必定有一位移垂直对称面，因此，在该平面也可以传播纯横波，该平面是纯模式方向；l 其他一些非对称方向的纯模式方向n 六角晶系：ctg2=(C

42、11-2C44-C13)/（C33-2C44-C13）确定的方向；n 三角晶系（32，3m）：(C33-2C44-C13) ctg33C14 ctg3-(C11-2C44-C13) ctg-C14=0确定的方向；比如，石英是32点群晶体，73，19，49以及其对称轴，对称面确定的纯模式方向，一共有10个纯模式方向。4.4 其他1）声调制波：l 载声波的速度为相速度（VP）l 声调制波的速度为群速度（包络）（Vg）2）波束偏向：声能量的传播速度称为能速。在无损耗或低损耗的晶体中，能速和声速的群速度载方向是一样的。在各向同性介质中，能量传递方向和相位传播方向一致，且相速度等于群速度。晶体中，相速度

43、不等于群速度，称为波束偏向，有关系：Vgcos=VP其中，是VP与Vg之间夹角。设V0是纯模式方向的声表面波速度，V是沿偏向角方向的声表面波速度，则能量流动偏向角有：一般假定其中，为各向异性因子，0为纯模式方向的方位角。则波束偏向角（0）石英晶体的值：y切z向传播0.645，ST切x向传播0.373。4.5 压电晶体的声表面波特性1）压电性应对声表面波性质的影响：l 压电晶体表面层传播的声表面波在压电晶体内部和外部伴随一个行进的电场；l 由于压电性应，压电晶体中声表面波速度比相同弹性的非压电晶体快；l 压电性应引起声表面波振幅随深度作振荡衰减；l 声表面波速度决定于压电晶体的压电性、介电性以及

44、弹性，同样，其温度系数也与这些性质的温度特性有关。2）声表面波有效机电耦合系数声表面波有效机电耦合系数Ks为：其中，Vs是压电晶体基片为自由表面时的声表面波速度，V0是被覆很轻的电极（电场短路，无电耦合）时的声表面波速度。对于叉指换能器，由于表面不是完整的平面，因此，必须作一修正FF=10.23）声表面波频率温度系数频率温度系数（TCF）反映了材料的温度特征。温度系数与波速及温度（T）的关系为：其中，1是SAW传播方向的热膨胀系数。6 叉指换能器4,11,12叉指换能器特点：设计容易、制作简单、电声转换效率高、工作频率高、能够消除寄生模式、能够处理复杂信号、性能优越。5.1叉指换能器的基本原理

45、对于石英晶体，多采用yx切和ST切。下图所示为yx切x向传播用叉指换能器的电极配置：对于特定压电基片，能否激发声表面波，必须根据压电方程和材料参数来判断。对于发射型声表面波换能器：S = SET + dtE对于接收型声表面波换能器：D = eS + sE极化强度、电场强度：P=0ED=0E+P=0(1+)E=E能否激发表面波，由材料的弹性、压电性、介电性以及叉指换能器基片表面的边界条件决定。如，根据压电方程，对于yx切石英，自由条件下T为0，有：展开，有：S1=d11E1S2=-d11E1S3=0S4=d14E1S5=-d14E2S6=-2d14E2可以知道，该切型能够激发x方向纵波（S1），沿x方向的横波（S6中分量），可以激发表面波；还可以激发体波（S2、S4、S5）。5.2叉指换能器的基本特性对于N+1个指条的叉指换能器，假设具有相等的指条孔径w，周期M，如下图所示：假设每对指条的输出信号相等，是独立的信号源，互相之间没有干扰，且周期节之间没有衰减，则叉指换能器总输出是各指条对输出的矢量和。相邻指条对相差半个周