新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）16 解三角形中三角形面积和周长（边）的最值（范围）问题（原卷版）

素养拓展16解三角形中三角形面积和周长（边）的最值（范围）问题（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理1.正弦定理SKIPIF1<0.（其中SKIPIF1<0为SKIPIF1<0外接圆的半径）SKIPIF1<0（边化角）SKIPIF1<0（角化边）2.余弦定理：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03.三角形面积公式：SKIPIF1<0=12a+b+crr4.三角形内角和定理：在△ABC中，有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.5.基本不等式（优先用基本不等式）①SKIPIF1<0②SKIPIF1<06.利用正弦定理化角（函数角度求值域问题）利用正弦定理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积或者周长的最值。二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．建议使用两种方法来解决：法一：余弦定理＋不等式．法二：正弦定理＋辅助角公式＋三角形面积公式．【分析】方法一：利用余弦定理和基本不等式可求得SKIPIF1<0，代入三角形面积公式即可求得最大值；方法二：利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可化简得到SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0的范围，由正弦型函数值域的求法可求得SKIPIF1<0的范围，代入三角形面积公式即可求得最大值.解：方法一：由余弦定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时取等号），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时取等号），SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0；方法二：由正弦定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.【典例2】若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0周长的取值范围．建议使用两种方法来解决：法一：余弦定理＋不等式＋三角形三边关系．法二：正弦定理＋辅助角公式．【分析】方法一：利用余弦定理构造方程，根据SKIPIF1<0可求得SKIPIF1<0的最大值，结合三角形三边关系可求得结果；方法二：利用正弦定理角化边，可将SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0的范围，由正弦型函数值域的求法可求得结果.解：方法一：由余弦定理得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时取等号），SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时取等号），又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0周长SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0；方法二：由正弦定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0周长的取值范围为SKIPIF1<0.【题型训练1-刷真题】1．记SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求B；(2)求SKIPIF1<0的最小值．2．SKIPIF1<0中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求SKIPIF1<0周长的最大值.3．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且SKIPIF1<0．（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．【题型训练2-刷模拟】1.面积的最值（范围）问题一、解答题1．在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0.(1)求角SKIPIF1<0；(2)若点D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°，求△ABC面积的最小值.2．SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(1)求A；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的最大值.3．已知SKIPIF1<0内角SKIPIF1<0所对的边长分别为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0为锐角三角形，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的取值范围.4．记SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知SKIPIF1<0.(1)求∠C.(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的最小值.5．已知SKIPIF1<0的三个内角分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，其对边分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0．(1)求角SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积SKIPIF1<0的最大值．6．SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0.(1)求角SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0为锐角三角形，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的取值范围.7．在SKIPIF1<0中，角A，B，C对边分别为a，b，c，SKIPIF1<0，D为SKIPIF1<0边上一点，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0．(1)求角A；(2)求SKIPIF1<0面积的最小值．8．在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的取值范围．9．在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0外接圆的半径为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的最大值；(2)若SKIPIF1<0内切圆的半径为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的最小值.10．在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的取值范围．11．在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0.(1)求角SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0为锐角三角形，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的取值范围.12．已知SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求角SKIPIF1<0的大小；(2)若SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的最小值.13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知SKIPIF1<0，其中，SKIPIF1<0．(1)求角B的大小；(2)若SKIPIF1<0，求△ABC面积的最大值．14．在SKIPIF1<0中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且SKIPIF1<0．(1)求A；(2)点D在边SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的最大值．15．）记SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，求三角形ABC面积的最大值．16．在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积SKIPIF1<0的最小值.2.周长（边）的最值（范围）问题1．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0周长的最小值.2．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知SKIPIF1<0(1)求角A的大小．(2)若SKIPIF1<0，求c的取值范围．3．已知平面四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的长；(2)求四边形SKIPIF1<0周长的最大值．4．在锐角三角形SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0．(1)求角SKIPIF1<0的大小；(2)若SKIPIF1<0的外接圆半径为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0周长的取值范围．5．在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知SKIPIF1<0．(1)求A；(2)若SKIPIF1<0，求BC边上的高AD的最大值．6．在SKIPIF1<0中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知SKIPIF1<0，C=SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的面积;(2)求SKIPIF1<0周长的取值范围.7．在锐角SKIPIF1<0中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求角B的大小；(2)求SKIPIF1<0的取值范围．8．在SKIPIF1<0中，内角A、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．(1)求角A的大小；(2)点SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0上一点（不包含端点），且满足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．9．已知锐角SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求角SKIPIF1<0的大小；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围.10．SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设SKIPIF1<0．(1)求B；(2)若SKIPIF1<0的面积等于SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周长的最小值．11．在SKIPIF1<0中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知SKIPIF1<0．(1)求A；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周长的取值范围．12．已知△ABC中，C＝SKIPIF1<0，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a，b，c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；(2)若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC周长的最大值.13．记SKIPIF1<0内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且SKIPIF1<0．(1)求C；(2)若SKIPIF1<0为锐角三角形，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0周长范围．14．已知SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若