高考数学一轮复习 第九篇 解析几何2（考点梳理+考点自测+失分警示+专题集训）理 新人教A版

第5讲双曲线【年高考会这样考】1．考查利用双曲线的定义求动点的轨迹方程或某些最值问题．2．考查双曲线的离心率与渐近线问题．eq\f(对应学生,141)考点梳理1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0；①当a<c时，P点的轨迹是双曲线；②当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；③当a>c时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)【助学·微博】一条规律双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝eq\r(2)⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．两种方法求双曲线方程的两种方法：(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程；(2)待定系数法：先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．考点自测1．(·安徽)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()．A．2B．2eq\r(2)C．4D．4eq\r(2)解析将双曲线2x2－y2＝8化成标准方程eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1，则a2＝4，所以实轴长2a＝4.答案C2．(·大连模拟)设P是双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,20)＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝()．A．1B．17C．1或17D．以上答案均不对解析由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8，又|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6－4＝2>1，∴|PF2|＝17.答案B3．(·全国)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()．A.eq\f(1,4)B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,4)D.eq\f(4,5)解析因为c2＝2＋2＝4，所以c＝2,2c＝|F1F2|＝4，由题可知|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，|PF1|＝2|PF2|，所以|PF2|＝2eq\r(2)，|PF1|＝4eq\r(2)，由余弦定理可知，cos∠F1PF2＝eq\f(4\r(2)2＋2\r(2)2－42,2×4\r(2)×2\r(2))＝eq\f(3,4)，故选C.答案C4．(·山东)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()．A.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1D.eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1解析圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx±ay＝0，根据已知得eq\f(3b,\r(a2＋b2))＝2，即eq\f(3b,3)＝2，解得b＝2，则a2＝5，故所求的双曲线方程是eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1.答案A5．(·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m2＋4)＝1的离心率为eq\r(5)，则m的值为________．解析由题意，双曲线的焦点在x轴上，所以e＝eq\f(\r(m2＋m＋4),\r(m))＝eq\r(5)，所以m＝2.答案2eq\f(对应学生,142)考向一双曲线定义的应用【例1】►(·辽宁)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．[审题视点]结合双曲线的定义与勾股定理求解．解析不妨设|PF1|>|PF2|.由双曲线方程x2－y2＝1知a＝b＝1，c＝eq\r(2)，由双曲线定义，得|PF1|－|PF2|＝2a＝2，由已知条件PF1⊥PF2及勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝8，上述两式联立，解得|PF1|＝eq\r(3)＋1，|PF2|＝eq\r(3)－1，故|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(3).答案2eq\r(3)双曲线定义的应用(1)判定动点与两定点距离差的轨迹是否为双曲线．(2)用于解决双曲线上的点与焦点距离有关的问题．在圆锥曲线的问题中，充分应用定义来解决问题可以使解答过程简化．【训练1】(·郑州二模)设F1，F2是双曲线x2－eq\f(y2,24)＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()．A．4eq\r(2)B．8eq\r(3)C．24D．48解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|－|PF2|＝2，,3|PF1|＝4|PF2|，))可解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝8，,|PF2|＝6.))又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，则S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|×|PF2|＝24.答案C考向二求双曲线的标准方程【例2】►已知双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，且经过点A(2，－3)，则双曲线的标准方程为________．[审题视点]分别讨论双曲线的焦点在x轴上和y轴上，设出相应的标准方程可解；也可根据渐近线方程的形式设出双曲线的方程，再进行求解．解析法一∵双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则eq\f(b,a)＝eq\f(1,2).①∵A(2，－3)在双曲线上，∴eq\f(4,a2)－eq\f(9,b2)＝1.②由①②联立，无解．若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，则eq\f(a,b)＝eq\f(1,2).③∵A(2，－3)在双曲线上，∴eq\f(9,a2)－eq\f(4,b2)＝1.④由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.∴所求双曲线的标准方程为eq\f(y2,8)－eq\f(x2,32)＝1.法二由双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，可设双曲线方程为eq\f(x2,22)－y2＝λ(λ≠0)．∵A(2，－3)在双曲线上，∴eq\f(22,22)－(－3)2＝λ，即λ＝－8.∴所求双曲线的标准方程为eq\f(y2,8)－eq\f(x2,32)＝1.答案eq\f(y2,8)－eq\f(x2,32)＝1(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax2＋By2＝1(AB<0)，这种形式在解题时更简便．(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值．【训练2】已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)和椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．解析由题意知双曲线的焦点为(－eq\r(7)，0)，(eq\r(7)，0)，即c＝eq\r(7)，又因为双曲线的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2\r(7),4)，所以a＝2，故b2＝3，所以双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1.答案eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1考向三双曲线的几何性质及其应用【例3】►设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()．A.eq\r(2)B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3)＋1,2)D.eq\f(\r(5)＋1,2)[审题视点]设出双曲线的方程，由两直线垂直可以确定一个关于a，b，c的关系式，结合c2－a2＝b2可解．解析设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，不妨设一个焦点为F(c,0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFB＝－eq\f(b,c).又渐近线的斜率为±eq\f(b,a)，所以由直线垂直关系得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,c)))·eq\f(b,a)＝－1(－eq\f(b,a)显然不符合)，即b2＝ac，又c2－a2＝b2，所以c2－a2＝ac，两边同除以a2，整理得e2－e－1＝0，解得e＝eq\f(\r(5)＋1,2)(负值舍去)．答案D(1)求双曲线的离心率，就是求c与a的比值，一般不需要具体求出a，c的值，只需列出关于a，b，c的方程或不等式解决即可．(2)双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．【训练3】(·杭州质检)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，点P在第一象限内且在l1上，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率是()．A.eq\r(5)B．2C.eq\r(3)D.eq\r(2)解析如图，由l2⊥PF1，l2∥PF2，可得PF1⊥PF2，则|OP|＝eq\f(1,2)|F1F2|＝c，设点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(b,a)m))，则eq\r(m2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)m))2)＝eq\f(c,a)m＝c，解得m＝a，即得点P的坐标为(a，b)，则由kPF2＝eq\f(b,a－c)＝－eq\f(b,a)，可得2a＝c，即e＝eq\f(c,a)＝2，故应选B.答案Beq\f(对应学生,143)方法优化13——巧妙运用双曲线的标准方程及其性质【命题研究】通过近三年的高考试题分析，对双曲线的标准方程与几何性质的考查主要是：焦点、顶点、离心率、渐近线方程等知识，均以选择题、填空题的形式出现，一般不会在解答题中出现，难度中等偏下．【真题探究】►(·浙江)如图，F1，F2分别是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a，b>0)的左，右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是()．A.eq\f(2\r(3),3)B.eq\f(\r(6),2)C.eq\r(2)D.eq\r(3)[教你审题]第1步求出直线F1B的方程；第2步求出点P、Q的坐标，及PQ的中点坐标；第3步求出PQ的垂直平分线方程，令y＝0得M点的坐标；第4步由|MF2|＝|F1F2|建立等式关系，从而求得双曲线离心率．[一般解法]依题意，知直线F1B的方程为y＝eq\f(b,c)x＋b，联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(b,c)x＋b，,\f(x,a)－\f(y,b)＝0，))得点Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ac,c－a)，\f(bc,c－a)))，联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(b,c)x＋b，,\f(x,a)＋\f(y,b)＝0，))得点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(ac,c＋a)，\f(bc,c＋a)))，所以PQ的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2c,b2)，\f(c2,b))).所以PQ的垂直平分线方程为y－eq\f(c2,b)＝－eq\f(c,b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a2c,b2))).令y＝0，得x＝ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a2,b2)))，所以ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a2,b2)))＝3c.所以a2＝2b2＝2c2－2a2，即3a2＝2c2.所以e＝eq\f(\r(6),2).故选B.[答案]B[优美解法]不妨设c＝1，则直线PQ：y＝bx＋b，两渐近线为y＝±eq\f(b,a)x，因此有交点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,a＋1)，\f(b,a＋1)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,1－a)，\f(b,1－a)))，设PQ的中点为N，则点N的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,1－a2)，\f(b,1－a2)))，因为线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，|MF2|＝|F1F2|，所以点M的坐标为(3,0)，因此有kMN＝eq\f(\f(b,1－a2)－0,\f(a2,1－a2)－3)＝－eq\f(1,b)，所以3－4a2＝b2＝1－a2，所以a2＝eq\f(2,3)，所以e＝eq\f(\r(6),2).[反思]求解双曲线的离心率的关键就是找出双曲线中a，c的关系．对于本例的求解，给出的条件较多，对基础知识的考查较为全面，如双曲线的焦点、虚轴、渐近线及垂直平分线等，但都为直接、连贯的条件，直接根据已知条件就可以求解本题．另外，需注意双曲线的离心率e大于1，防止产生增解．【试一试】(·新课标全国)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()．A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D．3解析设双曲线C的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，焦点F(－c,0)，将x＝－c代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1可得y2＝eq\f(b4,a2)，所以|AB|＝2×eq\f(b2,a)＝2×2a，∴b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3).答案Beq\f(对应学生,315)A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(－eq\r(5)，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是 ()．A.eq\f(x2,4)－y2＝1 B．x2－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1解析设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由PF1的中点为(0,2)知，PF2⊥x轴，P(eq\r(5)，4)，即eq\f(b2,a)＝4，b2＝4a，∴5－a2＝4a，a＝1，b＝2，∴双曲线方程为x2－eq\f(y2,4)＝1.答案B2．(·湖南)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为 ()．A.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1 B.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,80)－eq\f(y2,20)＝1 D.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,80)＝1解析不妨设a>0，b>0，c＝eq\r(a2＋b2).据题意，2c＝10，∴c＝5.①双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，且P(2,1)在C的渐近线上，∴1＝eq\f(2b,a).②由①②解得b2＝5，a2＝20，故正确选项为A.答案A3．已知双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的最小值为 ()．A．－2 B．－eq\f(81,16) C．1 D．0解析设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，则有eq\f(y2,3)＝x2－1，y2＝3(x2－1)，eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,8)))2－eq\f(81,16)，其中x≥1.因此，当x＝1时，eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))取得最小值－2，选A.答案A4.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()．A．3 B．2 C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析设双曲线的方程为eq\f(x2,a\o\al(2,1))－eq\f(y2,b\o\al(2,1))＝1，椭圆的方程为eq\f(x2,a\o\al(2,2))＋eq\f(y2,b\o\al(2,2))＝1，由于M，O，N将椭圆长轴四等分，所以a2＝2a1，又e1＝eq\f(c,a1)，e2＝eq\f(c,a2)，所以eq\f(e1,e2)＝eq\f(a2,a1)＝2.答案B二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(eq\r(5)，0)，则a＝________，b＝________.解析与双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1有共同渐近线的双曲线的方程可设为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝λ(λ>0)，即eq\f(x2,4λ)－eq\f(y2,16λ)＝1.由题意知c＝eq\r(5)，则4λ＋16λ＝5⇒λ＝eq\f(1,4)，则a2＝1，b2＝4.又a>0，b>0，故a＝1，b＝2.答案126．(·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m2＋4)＝1的离心率为eq\r(5)，则m的值为________．解析由题意得m＞0，∴a＝eq\r(m)，b＝eq\r(m2＋4).∴c＝eq\r(m2＋m＋4)，由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)，得eq\f(m2＋m＋4,m)＝5，解得m＝2.答案2三、解答题(共25分)7．(12分)中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2eq\r(13)，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．解(1)由已知：c＝eq\r(13)，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚轴长分别为m，n，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－m＝4，,7·\f(\r(13),a)＝3·\f(\r(13),m).))解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.∴椭圆方程为eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,36)＝1，双曲线方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1.(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2eq\r(13)，∴cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(102＋42－2\r(13)2,2×10×4)＝eq\f(4,5).8．(13分)(·合肥联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为eq\r(2)，且过点(4，－eq\r(10))．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0；(3)求△F1MF2的面积．(1)解∵e＝eq\r(2)，∴设双曲线方程为x2－y2＝λ.又∵双曲线过(4，－eq\r(10))点，∴λ＝16－10＝6，∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明法一由(1)知a＝b＝eq\r(6)，c＝2eq\r(3)，∴F1(－2eq\r(3)，0)，F2(2eq\r(3)，0)，∴kMF1＝eq\f(m,3＋2\r(3))，kMF2＝eq\f(m,3－2\r(3))，∴kMF1·kMF2＝eq\f(m2,9－12)＝eq\f(m2,－3)，又点(3，m)在双曲线上，∴m2＝3，∴kMF1·kMF2＝－1，MF1⊥MF2，eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0.法二∵eq\o(MF1,\s\up6(→))＝(－3－2eq\r(3)，－m)，eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)－3，－m)，∴eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(3＋2eq\r(3))(3－2eq\r(3))＋m2＝－3＋m2.∵M在双曲线上，∴9－m2＝6，∴m2＝3，∴eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0.(3)解∵在△F1MF2中，|F1F2|＝4eq\r(3)，且|m|＝eq\r(3)，∴S△F1MF2＝eq\f(1,2)·|F1F2|·|m|＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×eq\r(3)＝6.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(·北京西城模拟)过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c,0)(c>0)作圆x2＋y2＝eq\f(a2,4)的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OE,\s\up6(→))，则双曲线的离心率为 ()．A.eq\r(2) B.eq\f(\r(10),5) C.eq\f(\r(10),2) D.eq\r(10)解析设双曲线的右焦点为A，则eq\o(OF,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，故eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(OE,\s\up6(→))，即OE＝eq\f(1,2)AP.所以E是PF的中点，所以AP＝2OE＝2×eq\f(a,2)＝a.所以PF＝3a.在Rt△APF中，a2＋(3a)2＝(2c)2，即10a2＝4c2，所以e2＝eq\f(5,2)，即离心率为e＝eq\r(\f(5,2))＝eq\f(\r(10),2)，选C.答案C2．(·福建)已知双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 ()．A.eq\r(5) B．4eq\r(2) C．3 D．5解析易求得抛物线y2＝12x的焦点为(3,0)，故双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1的右焦点为(3,0)，即c＝3，故32＝4＋b2，∴b2＝5，∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(5),2)x，∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)×3)),\r(1＋\f(5,4)))＝eq\r(5).答案A二、填空题(每小题5分，共10分)3．(·临沂联考)已知点F是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为________．解析由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEF<eq\f(π,4)即可．直线AB的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝eq\f(b4,a2)，取点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a)))，则|AF|＝eq\f(b2,a)，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<eq\f(π,4)，即eq\f(b2,a)<a＋c，即b2<a2＋ac，即c2－ac－2a2<0，即e2－e－2<0，即－1<e<2.又e>1，故1<e<2.答案(1,2)4．(·湖北)如图，双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a，b＞0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则(1)双曲线的离心率e＝________；(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值eq\f(S1,S2)＝________.解析(1)由题意可得aeq\r(b2＋c2)＝bc，∴a4－3a2c2＋c4＝0，∴e4－3e2＋1＝0，∴e2＝eq\f(3＋\r(5),2)，∴e＝eq\f(1＋\r(5),2).(2)设sinθ＝eq\f(b,\r(b2＋c2))，cosθ＝eq\f(c,\r(b2＋c2))，eq\f(S1,S2)＝eq\f(2bc,4a2sinθcosθ)＝eq\f(2bc,4a2\f(bc,b2＋c2))＝eq\f(b2＋c2,2a2)＝e2－eq\f(1,2)＝eq\f(2＋\r(5),2).答案(1)eq\f(1＋\r(5),2)(2)eq\f(2＋\r(5),2)三、解答题(共25分)5．(12分)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，|PF1|＝8，|PF2|＝6.(1)求双曲线的方程；(2)设过双曲线左焦点F1的直线与双曲线的两渐近线交于A，B两点，且eq\o(F1A,\s\up6(→))＝2eq\o(F1B,\s\up6(→))，求此直线方程．解(1)由题意知，在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝eq\r(|PF1|2＋|PF2|2)，即2c＝eq\r(82＋62)＝10，所以c＝5.由椭圆的定义，知2a＝|PF1|－|PF2|＝8－6＝2，即a＝1.所以b2＝c2－a2＝24，故双曲线的方程为x2－eq\f(y2,24)＝1.(2)左焦点为F1(－5,0)，两渐近线方程为y＝±2eq\r(6)x.由题意得过左焦点的该直线的斜率存在．设过左焦点的直线方程为y＝k(x＋5)，则与两渐近线的交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5k,2\r(6)－k)，\f(10\r(6)k,2\r(6)－k)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5k,k＋2\r(6))，\f(10\r(6)k,k＋2\r(6)))).由eq\o(F1A,\s\up6(→))＝2eq\o(F1B,\s\up6(→))，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5k,2\r(6)－k)＋5，\f(10\r(6)k,2\r(6)－k)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5k,k＋2\r(6))＋5，\f(10\r(6)k,k＋2\r(6))))或者eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5k,k＋2\r(6))＋5，\f(10\r(6)k,k＋2\r(6))))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5k,2\r(6)－k)＋5，\f(10\r(6)k,2\r(6)－k)))，解得k＝±eq\f(2\r(6),3).故直线方程为y＝±eq\f(2\r(6),3)(x＋5)．6．(13分)(·江西)P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为eq\f(1,5).(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，求λ的值．解(1)由点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上，有eq\f(x\o\al(2,0),a2)－eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1.由题意有eq\f(y0,x0－a)·eq\f(y0,x0＋a)＝eq\f(1,5)，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(30),5).(2)联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－5y2＝5b2，,y＝x－c，))得4x2－10cx＋35b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(5c,2)，,x1x2＝\f(35b2,4).))①设eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x3，y3)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3＝λx1＋x2，,y3＝λy1＋y2.))又C为双曲线上一点，即xeq\o\al(2,3)－5yeq\o\al(2,3)＝5b2，有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2.化简得λ2(xeq\o\al(2,1)－5yeq\o\al(2,1))＋(xeq\o\al(2,2)－5yeq\o\al(2,2))＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2.②又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以xeq\o\al(2,1)－5yeq\o\al(2,1)＝5b2，xeq\o\al(2,2)－5yeq\o\al(2,2)＝5b2.由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.第6讲抛物线【年高考会这样考】1．考查抛物线的定义、方程，常与求参数和最值等问题相结合．2．考查抛物线的几何性质，常考查焦点弦及内接三角形问题．3．多与向量交汇考查抛物线的定义、方程、性质等．eq\f(对应学生,144)考点梳理1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0,0)对称轴y＝0x＝0焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下【助学·微博】一个重要转化一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即“对称轴看一次项，符号决定开口方向”．六个常见结论直线AB过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图．①y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4).②|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2eq\r(x1x2)＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p.③eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)为定值eq\f(2,p).④弦长AB＝eq\f(2p,sin2α)(α为AB的倾斜角)．⑤以AB为直径的圆与准线相切．⑥焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.考点自测1．(·陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程x＝－2，则抛物线的方程是()．A．y2＝－8xB．y2＝－4xC．y2＝8xD．y2＝4x解析由准线方程x＝－2，顶点在原点，可得两条信息：①该抛物线焦点为F(2,0)；②该抛物线的焦准距p＝4.故所求抛物线方程为y2＝8x.答案C2．(·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()．A.eq\f(3,4)B．1C.eq\f(5,4)D.eq\f(7,4)解析设抛物线的准线为l，作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，则AB的中点到y轴的距离为eq\f(1,2)(|AA1|＋|BB1|)－eq\f(1,4)＝eq\f(5,4).答案C3．(·四川)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝()．A．2eq\r(2)B．2eq\r(3)C．4D．2eq\r(5)解析∵M(2，y0)在抛物线上，∴抛物线的标准方程可设为y2＝2px(p>0)，其准线方程为x＝－eq\f(p,2).由抛物线的定义，M到该抛物线准线x＝－eq\f(p,2)的距离为3，即2＋eq\f(p,2)＝3，故p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝4x.∵M(2，y0)在抛物线上，∴yeq\o\al(2,0)＝8.由两点间的距离公式知|OM|＝eq\r(22＋y\o\al(2,0))＝eq\r(4＋8)＝2eq\r(3).答案B4．已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.答案y2＝4x5．(·新乡模拟)若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1的右焦点重合，则p的值为________．解析双曲线eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1的右焦点F(3,0)是抛物线y2＝2px的焦点，所以eq\f(p,2)＝3，p＝6.答案6eq\f(对应学生,145)考向一抛物线的定义及其应用【例1】►已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．[审题视点]由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为|PA|＋d的问题．解将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±eq\r(6).∵eq\r(6)>2，∴A在抛物线内部．如图，设抛物线上点P到准线l：x＝－eq\f(1,2)的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为eq\f(7,2)，即|PA|＋|PF|的最小值为eq\f(7,2)，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2)．涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．【训练1】设P是曲线y2＝4x上的一个动点，则点P到点B(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．解析∵抛物线的顶点为O(0,0)，p＝2，∴准线方程为x＝－1，焦点F坐标为(1,0)，∴点P到点B(－1,1)的距离与点P到准线x＝－1的距离之和等于|PB|＋|PF|.如图，|PB|＋|PF|≥|BF|，当B，P，F三点共线时取得最小值，此时|BF|＝eq\r(－1－12＋1－02)＝eq\r(5).答案eq\r(5)考向二抛物线的标准方程及几何性质【例2】►(1)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P(－2，－4)的抛物线方程为________．(2)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()．A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)[审题视点](1)按焦点所在位置分类讨论求解；(2)由|FM|大于焦点到准线的距离(圆与抛物线相交)，再结合抛物线定义可求．解析(1)由于点P在第三象限．①当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p＞0)，把点P(－2，－4)代入得：(－4)2＝－2p×(－2)，解得p＝4，∴抛物线方程为y2＝－8x.②当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2＝－2py(p＞0)，把点P(－2，－4)代入得：(－2)2＝－2p×(－4)．解得p＝eq\f(1,2).∴抛物线方程为x2＝－y.综上可知抛物线方程为y2＝－8x或x2＝－y.(2)抛物线的准线方程为y＝－2，焦点F的坐标为(0,2)．∵以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，∴|FM|>4.据抛物线的定义知：|FM|＝2＋y0，∴2＋y0>4，∴y0>2.答案(1)y2＝－8x或x2＝－y(2)C(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．【训练2】(·郑州一模)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()．A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝eq\r(3)x解析如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|＝|A1F1|＝eq\f(1,2)|AA1|＝eq\f(1,2)|AF|，即p＝eq\f(3,2)，∴抛物线方程为y2＝3x，故选C.答案C考向三抛物线的焦点弦问题【例3】►已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2eq\r(2)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，求λ的值．[审题视点](1)利用焦点弦长公式可解；(2)设出C点坐标，找出关于C点坐标的关系式，代入抛物线方程可解．解(1)直线AB的方程是y＝2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝eq\f(5p,4)，由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(5p,4)＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程为y2＝8x.(2)由于p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2eq\r(2)，y2＝4eq\r(2)，从而A(1，－2eq\r(2))，B(4,4eq\r(2))；设C(x3，y3)，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x3，y3)＝(1，－2eq\r(2))＋λ(4,4eq\r(2))＝(4λ＋1,4eq\r(2)λ－2eq\r(2))，又yeq\o\al(2,3)＝8x3，即[2eq\r(2)(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p与交点横(或纵)坐标的和还是与交点横(或纵)坐标的差．这是正确解题的关键．【训练3】若抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，动点P在曲线y2＝－4x(y≥0)上，则△PAB的面积的最小值为________．解析由题意，得p＝2，直线AB过抛物线的焦点，则|AB|＝eq\f(2p,sin2α)＝eq\f(2×2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝8(α为直线AB的倾斜角)．设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y\o\al(2,0),4)，y0))，则点P到直线AB的距离为d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),4)＋y0＋1)),\r(2))，∴△PAB的面积S＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(|y\o\al(2,0)＋4y0＋4|,\r(2))＝eq\f(y0＋22,\r(2))≥2eq\r(2)，即△PAB的面积的最小值是2eq\r(2).答案2eq\r(2)eq\f(对应学生,146)方法优化14——有关抛物线焦点弦的解题技巧【命题研究】通过近三年的高考试题分析，选择题或填空题主要考查抛物线的基础知识(定义、方程、对称性等)，难度中等，解答题主要考查直线与抛物线的位置关系，但第一问往往是求抛物线的方程，难度较小，第二或第三问难度较大．【真题探究】►(·安徽)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为()．A.eq\f(\r(2),2)B.eq\r(2)C.eq\f(3\r(2),2)D．2eq\r(2)[教你审题]第1步由抛物线定义及|AF|＝3求A点坐标；第2步求直线AB的方程；第3步联立直线AB与抛物线y2＝4x的方程求B点横坐标；第4步由公式求△AOB的面积．[一般解法]如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|＝3，由抛物线定义知：点A到准线x＝－1的距离为3，∴点A的横坐标为2.将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知点A的纵坐标y＝2eq\r(2)，∴A(2,2eq\r(2))，∴直线AF的方程为y＝2eq\r(2)(x－1)．联立直线与抛物线的方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2\r(2)x－1，,y2＝4x，))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝－\r(2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2\r(2).))由图知Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\r(2)))，∴S△AOB＝eq\f(1,2)|OF|·|yA－yB|＝eq\f(1,2)×1×|2eq\r(2)＋eq\r(2)|＝eq\f(3,2)eq\r(2).故选C.[优美解法]由题意，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为l：x＝－1，可得A点的横坐标为2，不妨设A(2,2eq\r(2))，则S△OAF＝eq\r(2)，又知0<S△OBF<S△OAF＝eq\r(2)，故eq\r(2)<S△AOB<2eq\r(2)，结合选项知选C.[答案]C[反思]解决与抛物线的焦点弦有关的问题，如果能用到一些常用结论，就会带来意想不到的效果，而对于一些客观题采用排除法能快速正确的找出答案．【试一试】已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F的直线与该抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)的最小值是()．A．4B．8C．12D．16解析抛物线的准线方程为x＝－1，∴|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，∴yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)＝4x1＋4x2＝4(|AF|＋|BF|)－8＝4|AB|－8.∵|AB|的最小值为2p＝4(当AB⊥x轴时取得)，∴yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)的最小值为8.答案Beq\f(对应学生,317)A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ()．A.eq\f(3,4) B．1 C.eq\f(5,4) D.eq\f(7,4)解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，知|AF|＋|BF|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝3，∵p＝eq\f(1,2)，∴x1＋x2＝eq\f(5,2)，∴线段AB的中点的横坐标为eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(5,4).答案C2．(·东北三校联考)若抛物线y2＝2px(p>0)上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为 ()．A．2 B．18 C．2或18 D．4或16解析设P(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(p,2)＝10，,|y0|＝6，,y\o\al(2,0)＝2px0，))∴36＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(p,2)))，即p2－20p＋36＝0，解得p＝2或18.答案C3．(·全国)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝ ()．A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5) C．－eq\f(3,5) D．－eq\f(4,5)解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x,y＝2x－4，))得x2－5x＋4＝0，∴x＝1或x＝4.不妨设A(4,4)，B(1，－2)，则|eq\o(FA,\s\up6(→))|＝5，|eq\o(FB,\s\up6(→))|＝2，eq\o(FA,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝(3,4)·(0，－2)＝－8，∴cos∠AFB＝eq\f(\o(FA,\s\up6(→))·\o(FB,\s\up6(→)),|\o(FA,\s\up6(→))||\o(FB,\s\up6(→))|)＝eq\f(－8,5×2)＝－eq\f(4,5).故选D.答案D4．(·山东)已知双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()．A．x2＝eq\f(8\r(3),3)y B．x2＝eq\f(16\r(3),3)yC．x2＝8y D．x2＝16y解析∵eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率为2，∴eq\f(c,a)＝2，即eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝4，∴eq\f(b,a)＝eq\r(3).x2＝2py的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，即y＝±eq\r(3)x.由题意，得eq\f(\f(p,2),\r(1＋\r(3)2))＝2，∴p＝8.故C2：x2＝16y，选D.答案D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(·郑州模拟)设斜率为1的直线l过抛物线y2＝ax(a>0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为8，则a的值为________．解析依题意，有Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，直线l为y＝x－eq\f(a,4)，所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(a,4)))，△OAF的面积为eq\f(1,2)×eq\f(a,4)×eq\f(a,4)＝8.解得a＝±16，依题意，只能取a＝16.答案166．(·陕西)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py.由题意A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝eq\r(6)，故水面宽为2eq\r(6)米．答案2eq\r(6)三、解答题(共25分)7．(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于eq\f(\r(5),5)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．解(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以p＝2.故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋t，,y2＝4x))得y2＋2y－2t＝0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－eq\f(1,2).另一方面，由直线OA与l的距离d＝eq\f(\r(5),5)，可得eq\f(|t|,\r(5))＝eq\f(1,\r(5))，解得t＝±1.因为－1∉eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))，1∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))，所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.8．(13分)(·温州十校联考)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),3)，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋2相切．(1)求a与b；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线l1过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P.求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型．解(1)由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(3),3)，得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(6),3).又由原点到直线y＝x＋2的距离等于椭圆短半轴的长，得b＝eq\r(2)，则a＝eq\r(3).(2)法一由c＝eq\r(a2－b2)＝1，得F1(－1,0)，F2(1,0)．设M(x，y)，则P(1，y)．由|MF1|＝|MP|，得(x＋1)2＋y2＝(x－1)2，即y2＝－4x，所以所求的M的轨迹方程为y2＝－4x，该曲线为抛物线．法二因为点M在线段PF1的垂直平分线上，所以|MF1|＝|MP|，即M到F1的距离等于M到l1的距离．此轨迹是以F1(－1,0)为焦点，l1：x＝1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝－4x.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝0，则|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|＝ ()．A．9 B．6 C．4 D．3解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由于抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，由eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝0，可得x1＋x2＋x3＝3，又由抛物线的定义可得|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|＝x1＋x2＋x3＋3＝6.答案B2．(·洛阳统考)已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是 ()．A.eq\r(3) B.eq\r(5) C．2 D.eq\r(5)－1解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为eq\f(|2＋3|,\r(22＋－12))＝eq\r(5)，所以d＋|PF|－1的最小值为eq\r(5)－1.答案D二、填空题(每小题5分，共10分)3．(·北京)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．解析直线l的方程为y＝eq\r(3)(x－1)，即x＝eq\f(\r(3),3)y＋1，代入抛物线方程得y2－eq\f(4\r(3),3)y－4＝0，解得yA＝eq\f(\f(4\r(3),3)＋\r(\f(16,3)＋16),2)＝2eq\r(3)(yB<0，舍去)，故△OAF的面积为eq\f(1,2)×1×2eq\r(3)＝eq\r(3).答案eq\r(3)4．(·重庆)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝eq\f(25,12)，|AF|<|BF|，则|AF|＝________.解析设过抛物线焦点的直线为y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，联立得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2x，,y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，))整理得，k2x2－(k2＋2)x＋eq\f(1,4)k2＝0，x1＋x2＝eq\f(k2＋2,k2)，x1x2＝eq\f(1,4).|AB|＝x1＋x2＋1＝eq\f(k2＋2,k2)＋1＝eq\f(25,12)，得，k2＝24，代入k2x2－(k2＋2)x＋eq\f(1,4)k2＝0得，12x2－13x＋3＝0，解之得x1＝eq\f(1,3)，x2＝eq\f(3,4)，又|AF|<|BF|，故|AF|＝x1＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,6).答案eq\f(5,6)三、解答题(共25分)5．(12分)已知抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AQ,\s\up6(→)).(1)若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；(2)若λ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))，求|PQ|的最大值．思维启迪：(1)可利用向量共线证明直线MQ过F；(2)建立|PQ|和λ的关系，然后求最值．(1)证明设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，－y1)．∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AQ,\s\up6(→))，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，y1＝λy2，∴yeq\o\al(2,1)＝λ2yeq\o\al(2,2)，yeq\o\al(2,1)＝4x1，yeq\o\al(2,2)＝4x2，x1＝λ2x2，∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1)，λx2(λ－1)＝λ－1，∵λ≠1，∴x2＝eq\f(1,λ)，x1＝λ，又F(1,0)，∴eq\o(MF,\s\up6(→))＝(1－x1，y1)＝(1－λ，λy2)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,λ)－1，y2))＝λeq\o(FQ,\s\up6(→))，∴直线MQ经过抛物线C的焦点F.(2)由(1)知x2＝eq\f(1,λ)，x1＝λ，得x1x2＝1，yeq\o\al(2,1)·yeq\o\al(2,2)＝16x1x2＝16，∵y1y2>0，∴y1y2＝4，则|PQ|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)－2(x1x2＋y1y2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,λ)))2＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,λ)))－12＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,λ)＋2))2－16，λ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))，λ＋eq\f(1,λ)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(10,3)))，当λ＋eq\f(1,λ)＝eq\f(10,3)，即λ＝eq\f(1,3)时，|PQ|2有最大值eq\f(112,9)，|PQ|的最大值为eq\f(4\r(7),3).探究提高圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．6．(13分)(·新课标全国)设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4eq\r(2)，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．解(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝eq\r(2)p.由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝eq\r(2)p.因为△ABD的面积为4eq\r(2)，所以eq\f(1,2)|BD|·d＝4eq\r(2)，即eq\f(1,2)·2p·eq\r(2)p＝4eq\r(2)，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝eq\f(1,2)|AB|.所以∠ABD＝30°，m的斜率为eq\f(\r(3),3)或－eq\f(\r(3),3).当m的斜率为eq\f(\r(3),3)时，由已知可设n：y＝eq\f(\r(3),3)x＋b，代入x2＝2py得x2－eq\f(2\r(3),3)px－2pb＝0.由于n与C只有一个公共点，故Δ＝eq\f(4,3)p2＋8pb＝0，解得b＝－eq\f(p,6).因为m的纵截距b1＝eq\f(p,2)，eq\f(|b1|,|b|)＝3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为－eq\f(\r(3),3)时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值