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文档简介
2023-2024学年湖南长沙明德旗舰达标名校中考五模数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点M是AB的中点,若OM=4,AB=6,则BD的长为()A.4 B.5 C.8 D.102.在平面直角坐标系xOy中,将点N(–1,–2)绕点O旋转180°,得到的对应点的坐标是()A.(1,2) B.(–1,2)C.(–1,–2) D.(1,–2)3.如图,矩形ABOC的顶点A的坐标为(﹣4,5),D是OB的中点,E是OC上的一点,当△ADE的周长最小时,点E的坐标是()A.(0,) B.(0,) C.(0,2) D.(0,)4.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象的一部分,与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是x=1.对于下列说法:①ab<0;②2a+b=0;③3a+c>0;④a+b≥m(am+b)(m为实数);⑤当﹣1<x<3时,y>0,其中正确的是()A.①②④ B.①②⑤ C.②③④ D.③④⑤5.如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点,若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,△ADC的面积为1,则△BCD的面积为()A.1 B.2 C.3 D.46.一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平线翻滚(如图),那么B点从开始至结束所走过的路径长度为()A. B. C.4 D.2+7.下列命题是真命题的是()A.如实数a,b满足a2=b2,则a=bB.若实数a,b满足a<0,b<0,则ab<0C.“购买1张彩票就中奖”是不可能事件D.三角形的三个内角中最多有一个钝角8.在平面直角坐标系xOy中,对于任意三点A,B,C的“矩面积”,给出如下定义:“水平底”a:任意两点横坐标差的最大值,“铅垂高”h:任意两点纵坐标差的最大值,则“矩面积”S=ah.例如:三点坐标分别为A(1,2),B(﹣3,1),C(2,﹣2),则“水平底”a=5,“铅垂高”h=4,“矩面积”S=ah=1.若D(1,2)、E(﹣2,1)、F(0,t)三点的“矩面积”为18,则t的值为()A.﹣3或7B.﹣4或6C.﹣4或7D.﹣3或69.抢微信红包成为节日期间人们最喜欢的活动之一.对某单位50名员工在春节期间所抢的红包金额进行统计,并绘制成了统计图.根据如图提供的信息,红包金额的众数和中位数分别是()A.20,20 B.30,20 C.30,30 D.20,3010.定义:一个自然数,右边的数字总比左边的数字小,我们称之为“下滑数”(如:32,641,8531等).现从两位数中任取一个,恰好是“下滑数”的概率为()A. B. C. D.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.用一个半径为10cm半圆纸片围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计),则该圆锥的高为.12.观察下列图形,若第1个图形中阴影部分的面积为1,第2个图形中阴影部分的面积为,第3个图形中阴影部分的面积为,第4个图形中阴影部分的面积为,…则第n个图形中阴影部分的面积为_____.(用字母n表示)13.函数中自变量x的取值范围是_____;函数中自变量x的取值范围是______.14.某市政府为了改善城市容貌,绿化环境,计划经过两年时间,使绿地面积增加44%,则这两年平均绿地面积的增长率为______.15.若m、n是方程x2+2018x﹣1=0的两个根,则m2n+mn2﹣mn=_________.16.如图,点A、B、C是⊙O上的三点,且△AOB是正三角形,则∠ACB的度数是。17.如图△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,AB的垂直平分线MN交AC于D,连接BD,若cos∠BDC=,则BC的长为_____.三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)“万州古红桔”原名“万县红桔”,古称丹桔(以下简称为红桔),种植距今至少已有一千多年的历史,“玫瑰香橙”(源自意大利西西里岛塔罗科血橙,以下简称香橙)现已是万州柑橘发展的主推品种之一.某水果店老板在2017年11月份用15200元购进了400千克红桔和600千克香橙,已知香橙的每千克进价比红桔的每千克进价2倍还多4元.求11月份这两种水果的进价分别为每千克多少元?时下正值柑橘销售旺季,水果店老板决定在12月份继续购进这两种水果,但进入12月份,由于柑橘的大量上市,红桔和香橙的进价都有大幅下滑,红桔每千克的进价在11月份的基础上下降了%,香橙每千克的进价在11月份的基础上下降了%,由于红桔和“玫瑰香橙”都深受库区人民欢迎,实际水果店老板在12月份购进的红桔数量比11月份增加了%,香橙购进的数量比11月份增加了2%,结果12月份所购进的这两种柑橘的总价与11月份所购进的这两种柑橘的总价相同,求的值.19.(5分)如图,在中,,是角平分线,平分交于点,经过两点的交于点,交于点,恰为的直径.求证:与相切;当时,求的半径.20.(8分)如图,已知一次函数y=x﹣3与反比例函数的图象相交于点A(4,n),与轴相交于点B.填空:n的值为,k的值为;以AB为边作菱形ABCD,使点C在轴正半轴上,点D在第一象限,求点D的坐标;考察反比函数的图象,当时,请直接写出自变量的取值范围.21.(10分)如图,在ABCD中,点E是AB边的中点,DE与CB的延长线交于点F.求证:△ADE≌△BFE;若DF平分∠ADC,连接CE.试判断CE和DF的位置关系,并说明理由.22.(10分)“校园诗歌大赛”结束后,张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理,并分别绘制成扇形统计图和频数直方图部分信息如下:本次比赛参赛选手共有人,扇形统计图中“69.5~79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为;赛前规定,成绩由高到低前60%的参赛选手获奖.某参赛选手的比赛成绩为78分,试判断他能否获奖,并说明理由;成绩前四名是2名男生和2名女生,若从他们中任选2人作为获奖代表发言,试求恰好选中1男1女的概率.23.(12分)某中学举行室内健身操比赛,为奖励优胜班级,购买了一些篮球和足球,篮球单价是足球单价的1.5倍,购买篮球用了2250元,购买足球用了2400元,购买的篮球比足球少15个,求篮球、足球的单价.24.(14分)如图,在Rt△ABC与Rt△ABD中,∠ABC=∠BAD=90°,AD=BC,AC,BD相交于点G,过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E,过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F,AE,BF相交于点H.图中有若干对三角形是全等的,请你任选一对进行证明;(不添加任何辅助线)证明:四边形AHBG是菱形;若使四边形AHBG是正方形,还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件?请你写出这个条件.(不必证明)
参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、D【解析】
利用三角形中位线定理求得AD的长度,然后由勾股定理来求BD的长度.【详解】解:∵矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
∴∠BAD=90°,点O是线段BD的中点,
∵点M是AB的中点,
∴OM是△ABD的中位线,
∴AD=2OM=1.
∴在直角△ABD中,由勾股定理知:BD=.
故选:D.【点睛】本题考查了三角形中位线定理和矩形的性质,利用三角形中位线定理求得AD的长度是解题的关键.2、A【解析】
根据点N(–1,–2)绕点O旋转180°,所得到的对应点与点N关于原点中心对称求解即可.【详解】∵将点N(–1,–2)绕点O旋转180°,∴得到的对应点与点N关于原点中心对称,∵点N(–1,–2),∴得到的对应点的坐标是(1,2).故选A.【点睛】本题考查了旋转的性质,由旋转的性质得到的对应点与点N关于原点中心对称是解答本题的关键.3、B【解析】解:作A关于y轴的对称点A′,连接A′D交y轴于E,则此时,△ADE的周长最小.∵四边形ABOC是矩形,∴AC∥OB,AC=OB.∵A的坐标为(﹣4,5),∴A′(4,5),B(﹣4,0).∵D是OB的中点,∴D(﹣2,0).设直线DA′的解析式为y=kx+b,∴,∴,∴直线DA′的解析式为.当x=0时,y=,∴E(0,).故选B.4、A【解析】
由抛物线的开口方向判断a与2的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与2的关系,然后根据对称轴判定b与2的关系以及2a+b=2;当x=﹣1时,y=a﹣b+c;然后由图象确定当x取何值时,y>2.【详解】①∵对称轴在y轴右侧,∴a、b异号,∴ab<2,故正确;②∵对称轴∴2a+b=2;故正确;③∵2a+b=2,∴b=﹣2a,∵当x=﹣1时,y=a﹣b+c<2,∴a﹣(﹣2a)+c=3a+c<2,故错误;④根据图示知,当m=1时,有最大值;当m≠1时,有am2+bm+c≤a+b+c,所以a+b≥m(am+b)(m为实数).故正确.⑤如图,当﹣1<x<3时,y不只是大于2.故错误.故选A.【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系,关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向,当a>2时,抛物线向上开口;当a<2时,抛物线向下开口;②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>2),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<2),对称轴在y轴右.(简称:左同右异)③常数项c决定抛物线与y轴交点,抛物线与y轴交于(2,c).5、C【解析】
∵∠ACD=∠B,∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC,∴,∴,∴,∴S△ABC=4,∴S△BCD=S△ABC-S△ACD=4-1=1.故选C考点:相似三角形的判定与性质.6、B【解析】
根据题目的条件和图形可以判断点B分别以C和A为圆心CB和AB为半径旋转120°,并且所走过的两路径相等,求出一个乘以2即可得到.【详解】如图:BC=AB=AC=1,∠BCB′=120°,∴B点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′=2×.故选B.7、D【解析】
A.两个数的平方相等,这两个数不一定相等,有正负之分即可判断B.同号相乘为正,异号相乘为负,即可判断C.“购买1张彩票就中奖”是随机事件即可判断D.根据三角形内角和为180度,三个角中不可能有两个以上钝角即可判断【详解】如实数a,b满足a2=b2,则a=±b,A是假命题;数a,b满足a<0,b<0,则ab>0,B是假命题;若实“购买1张彩票就中奖”是随机事件,C是假命题;三角形的三个内角中最多有一个钝角,D是真命题;故选:D【点睛】本题考查了命题与定理,根据实际判断是解题的关键8、C【解析】
由题可知“水平底”a的长度为3,则由“矩面积”为18可知“铅垂高”h=6,再分>2或t<1两种情况进行求解即可.【详解】解:由题可知a=3,则h=18÷3=6,则可知t>2或t<1.当t>2时,t-1=6,解得t=7;当t<1时,2-t=6,解得t=-4.综上,t=-4或7.故选择C.【点睛】本题考查了平面直角坐标系的内容,理解题意是解题关键.9、C【解析】
根据众数和中位数的定义,出现次数最多的那个数就是众数,把一组数据按照大小顺序排列,中间那个数或中间两个数的平均数叫中位数.【详解】捐款30元的人数为20人,最多,则众数为30,中间两个数分别为30和30,则中位数是30,故选C.【点睛】本题考查了条形统计图、众数和中位数,这是基础知识要熟练掌握.10、A【解析】分析:根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数:根据题意得知这样的两位数共有90个;
②符合条件的情况数目:从总数中找出符合条件的数共有45个;二者的比值就是其发生的概率.详解:两位数共有90个,下滑数有10、21、20、32、31、30、43、42、41、40、54、53、52、51、50、65、64、63、62、61、60、76、75、74、73、72、71、70、87、86、85、84、83、82、81、80、98、97、96、95、94、93、92、91、90共有45个,
概率为.
故选A.点睛:此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、53【解析】试题分析:根据图形可知圆锥的侧面展开图的弧长为2π×10÷2=10π(cm),因此圆锥的底面半径为10π÷2π=5(cm),因此圆锥的高为:102-5考点:圆锥的计算12、n﹣1(n为整数)【解析】试题分析:观察图形可得,第1个图形中阴影部分的面积=()0=1;第2个图形中阴影部分的面积=()1=;第3个图形中阴影部分的面积=()2=;第4个图形中阴影部分的面积=()3=;…根据此规律可得第n个图形中阴影部分的面积=()n-1(n为整数)•考点:图形规律探究题.13、x≠2x≥3【解析】
根据分式的意义和二次根式的意义,分别求解.【详解】解:根据分式的意义得2-x≠0,解得x≠2;根据二次根式的意义得2x-6≥0,解得x≥3.故答案为:x≠2,x≥3.【点睛】数自变量的范围一般从几个方面考虑:(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数.14、10%【解析】
本题可设这两年平均每年的增长率为x,因为经过两年时间,让市区绿地面积增加44%,则有(1+x)1=1+44%,解这个方程即可求出答案.【详解】解:设这两年平均每年的绿地增长率为x,根据题意得,
(1+x)1=1+44%,
解得x1=-1.1(舍去),x1=0.1.
答:这两年平均每年绿地面积的增长率为10%.故答案为10%【点睛】此题考查增长率的问题,一般公式为:原来的量×(1±x)1=现在的量,增长用+,减少用-.但要注意解的取舍,及每一次增长的基础.15、1【解析】
根据根与系数的关系得到m+n=﹣2018,mn=﹣1,把m2n+mm2﹣mn分解因式得到mn(m+n﹣1),然后利用整体代入的方法计算.【详解】解:∵m、n是方程x2+2018x﹣1=0的两个根,m+n=-2018,=﹣1×(﹣2018﹣1)=﹣1×(﹣1)=1,故答案为:1.【点睛】本题考查了根与系数的关系,如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1与x2,则16、30°【解析】试题分析:圆周角定理:同弧或等弧所对的圆周角相等,均等于所对圆心角的一半.∵△AOB是正三角形∴∠AOB=60°∴∠ACB=30°.考点:圆周角定理点评:本题属于基础应用题,只需学生熟练掌握圆周角定理,即可完成.17、4【解析】试题解析:∵可∴设DC=3x,BD=5x,又∵MN是线段AB的垂直平分线,∴AD=DB=5x,又∵AC=8cm,∴3x+5x=8,解得,x=1,在Rt△BDC中,CD=3cm,DB=5cm,故答案为:4cm.三、解答题(共7小题,满分69分)18、(1)11月份红桔的进价为每千克8元,香橙的进价为每千克20元;(2)m的值为49.1.【解析】
(1)设11月份红桔的进价为每千克x元,香橙的进价为每千克y元,依题意有,解得,答:11月份红桔的进价为每千克8元,香橙的进价为每千克20元;(2)依题意有:8(1﹣m%)×400(1+m%)+20(1﹣m%)×100(1+2m%)=15200,解得m1=0(舍去),m2=49.1,故m的值为49.1.19、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)连接OM,证明OM∥BE,再结合等腰三角形的性质说明AE⊥BE,进而证明OM⊥AE;(2)结合已知求出AB,再证明△AOM∽△ABE,利用相似三角形的性质计算.【详解】(1)连接OM,则OM=OB,∴∠1=∠2,∵BM平分∠ABC,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴OM∥BC,∴∠AMO=∠AEB,在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,∴AE⊥BC,∴∠AEB=90°,∴∠AMO=90°,∴OM⊥AE,∵点M在圆O上,∴AE与⊙O相切;(2)在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,∴BE=BC,∠ABC=∠C,∵BC=4,cosC=∴BE=2,cos∠ABC=,在△ABE中,∠AEB=90°,∴AB==6,设⊙O的半径为r,则AO=6-r,∵OM∥BC,∴△AOM∽△ABE,∴∴,∴,解得,∴的半径为.【点睛】本题考查了切线的判定;等腰三角形的性质;相似三角形的判定与性质;解直角三角形等知识,综合性较强,正确添加辅助线,熟练运用相关知识是解题的关键.20、(1)3,1;(2)(4+,3);(3)或【解析】
(1)把点A(4,n)代入一次函数y=x-3,得到n的值为3;再把点A(4,3)代入反比例函数,得到k的值为1;(2)根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为(2,3),过点A作AE⊥x轴,垂足为E,过点D作DF⊥x轴,垂足为F,根据勾股定理得到AB=,根据AAS可得△ABE≌△DCF,根据菱形的性质和全等三角形的性质可得点D的坐标;(3)根据反比函数的性质即可得到当y≥-2时,自变量x的取值范围.【详解】解:(1)把点A(4,n)代入一次函数y=x-3,可得n=×4-3=3;把点A(4,3)代入反比例函数,可得3=,解得k=1.(2)∵一次函数y=x-3与x轴相交于点B,∴x-3=3,解得x=2,∴点B的坐标为(2,3),如图,过点A作AE⊥x轴,垂足为E,过点D作DF⊥x轴,垂足为F,∵A(4,3),B(2,3),∴OE=4,AE=3,OB=2,∴BE=OE-OB=4-2=2,在Rt△ABE中,AB=,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CD=BC=,AB∥CD,∴∠ABE=∠DCF,∵AE⊥x轴,DF⊥x轴,∴∠AEB=∠DFC=93°,在△ABE与△DCF中,,∴△ABE≌△DCF(ASA),∴CF=BE=2,DF=AE=3,∴OF=OB+BC+CF=2++2=4+,∴点D的坐标为(4+,3).(3)当y=-2时,-2=,解得x=-2.故当y≥-2时,自变量x的取值范围是x≤-2或x>3.21、(1)见解析;(1)见解析.【解析】
(1)由全等三角形的判定定理AAS证得结论.(1)由(1)中全等三角形的对应边相等推知点E是边DF的中点,∠1=∠1;根据角平分线的性质、等量代换以及等角对等边证得DC=FC,则由等腰三角形的“三合一”的性质推知CE⊥DF.【详解】解:(1)证明:如图,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.又∵点F在CB的延长线上,∴AD∥CF.∴∠1=∠1.∵点E是AB边的中点,∴AE=BE,∵在△ADE与△BFE中,,∴△ADE≌△BFE(AAS).(1)CE⊥DF.理由如下:如图,连接CE,由(1)知,△ADE≌△BFE,∴DE=FE,即点E是DF的中点,∠1=∠1.∵DF平分∠ADC,∴∠1=∠2.∴∠2=∠1.∴CD=CF.∴CE⊥DF.22、(1)50,30%;(2)不能,理由见解析;(3)P=【解析】【分析】(1)由直方图可知59.5~69.5分数段有5人,由扇形统计图可知这一分数段人占10%,据此可得选手总数,然后求出89.5~99.5这一分数段所占的百分比,用1减去其他分数段的百分比即可得到分数段69.5~79.5所占的百分比;(2)观察可知79.5~99.5这一分数段的人数占了60%,据此即
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