考研数学（数学一）模拟试卷4（共214题）

考研数学（数学一）模拟试卷4（共9套）（共214题）考研数学（数学一）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、极限的值是()．A、B、1C、D、2标准答案：C知识点解析：故应选(C)．2、设f(x)=(n为正整数)，则f(x)()．A、有两个第一类间断点B、有一个第一类间断点，一个第二类间断点C、有两个第二类间断点D、没有间断点标准答案：A知识点解析：先求出f(x)的具体表达式，再用间断点的定义判断即可．在分段点x=-1处，因为所以x=-1为第一类间断点(跳跃间断点)．在分段点=1处，因为所以x=1为第一类间断点(跳跃间断点)．故应选(A)．3、设直线l：在平面π上，而平面π与曲面z=x2+y2相切于点(1，-2，5)，则a，b的值是()．A、a=5，b=2B、a=-5，b=2C、a=-5，b=-2D、a=5，b=2标准答案：C知识点解析：先求出曲面过点(1，-2，5)的切平面，再将直线L代入即可得a，b的值．曲面z=x2+y2在点(1，-2，5)处的法向量n={2，-4，-1}．于是切平面方程为2(x-1)-4(y+2)-(z-5)=0．即2x-4y-z=5，又由直线L：得y=-x-b，z=-3+x+ay=x-3+a(-x-b)，代入方程(*)，得2x+4z+4b-x+3+ax+ab-5=0，从而有5+a=0，4b+ab-2=0，解得a=-5，b=-2．故应选(C)．4、设D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，则二重积分∫∫D｜y-x2｜dxdy的值为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：先去掉被积函数的绝对值符号，再将二重积分化为二次积分进行计算．如图6-1所示，由于｜y-x2｜=从而有∫∫D｜y-x2｜dxdy=∫∫D1(x2-y)dxdy+∫∫D2(y-x2)dxdy=∫01dx∫0x2(x2-y)dy+∫01dx∫x21(y-x2)dy=故应选(C)．5、设向量组α1，α2，…，αm和向量组β1，β2，…，βt的秩相同，则正确结论的个数是()．①两向量组等价；②两向量组不等价；③若t=m，则两向量组等价；④若两向量组等价，则t=m；⑤若α1，α2，…，αm可由β1，β2，…，βt线性表示，则两向量组等价；⑥若β1，β2，…，βt可由α1，α2，…，αm线性表示，则两向量组等价．A、5B、4C、3D、2标准答案：D知识点解析：利用向量组等价的定义和常用结论．若两个两向量组等价，则秩相同，但反之，未必成立．反例：向量组(Ⅰ)只含一个向量向量组(Ⅱ)只含一个向量则显然(Ⅰ)和(Ⅱ)的秩均为1，但不等价．若在秩相同的条件下，一个向量组可由另一个线性表示，则两个向量组等价，故⑤、⑥正确．故应选(D)．6、α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且R(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α2+α3=(0，1，2，3)T．c表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解x=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：根据非齐次线性方程组解的结构，依次求出其导出组的基础解系和自身的一个特解即可．根据线性方程组解的性质，可知2α1-(α2+α3)=(α1-α2)+(α1-α3)是非齐次线性方程组Ax=b导出组Ax=0的一个解．因为R(A)=3，所以Ax=0的基础解系含4-3=1个解向量，而2α1-(α2+α3)=(2，3，4，5)T≠0，故是Ax=0的一个基础解系．因此Ax=b的通解为α1+c(2α1-α2-α3)=(1，2，3，4)T+f(2，3，4，5)T，即(C)正确．对于其他几个选项，(A)项中(1，1，1，1)T=α1-(α2+α3)，(B)项中(0，1，2，3)T=α2+α3，(D)项中(3，4，5，6)T=3α1-2(α2+α3)，都不是Ax=b的导出组的解．所以(A)、(B)、(D)均不正确．故应选(C)．7、设随机变量X与Y服从正态分布N(-1，2)与N(1，2)，并且X与Y不相关，aX+Y与X+bY亦不相关，则()．A、a-b=1B、a-b=0C、a+b=1D、a+b=0标准答案：D知识点解析：利用正态分布的数字特征以及不相关概念进行判断．X～N(-1，2)，Y～N(1，2)，于是D(X)=2，D(Y)=2．又Cov(X，Y)=0，Cov(aX+Y，X+bY)=0．由协方差的性质有Cov(aX+Y，X+bY)=aCov(X，X)+Cov(Y，X)+abCov(X，Y)+bCov(Y，Y)=aD(X)+bD(Y)=2a+2b=0．故a+b=0．故应选(D)．8、设X1，X2，…，Xn是取自正态总体N(μ，σ2)的一个样本，其中σ2未知，检验假设H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0，则选取的统计量及其拒绝域分别是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：利用正态总体对参数μ进行检验的方法可得正确选择．正态总体当σ2未知检验μ时，需用t检验．故应选(A)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、微分方程yy’’+y’2=0满足初始条件y｜x=0=1，y’｜x=0=的特解是______．标准答案：知识点解析：本题是不显含自变量z的可降阶微分方程，令p=y’，代入原方程进行求解即可．令y’=p，则原方程可化为于是p=0或+p=0．前者显然不满足初始条件．积分得py=C1，即=C1．由初始条件，于是积分得y2=x+C2．再由初始条件y｜x=0=1，得C2=1，y=故所求特解为(或y2=x+1)．故应填10、函数z=xe2y在点P(1，0)处沿从点P(1，0)到点Q(2，-1)的方向导数为____．标准答案：知识点解析：先求出与向量同方向的单位向量，再利用方向导数即可．由题设条件，知=(1，-1)．于是又因为=2xe2y，所以在点P(1，0)处：此时令，于是所求方向导数为故应填11、设f(x)是周期为2π的周期函数，在(-π，π)上的表达式为f(x)=则f(x)的傅里叶级数为____．标准答案：知识点解析：利用公式求出傅里叶系数an，bn，再代入即可．12、已知函数y=y(x)由方程ey+6xy+x2-1=0确定，则y’’(0)=_______．标准答案：-2知识点解析：将方程两边对x求导，视y为关于x的函数，得eyy’+6xy’+6y+2x=0，(*)再对x求导，y和y’均视为关于x的函数，得eyy’’+ey(y’)2+6xy’’+12y’+2=0．(**)当x=0时，由原方程知y=0，再将x=0，y=0代入(*)式中，得y’(0)=0，再代入(**)式中得y’’(0)=-2．故应填-2．13、设3阶实对阵矩阵A满足A2-3A+2E=0，且｜A｜=2，则二次型f=xTAx的标准形为_____．标准答案：y12+y22+2y32知识点解析：由A2-3A+2E=O，得A的特征值为1或2．又因为｜A｜=2，即特征值乘积为2，故A的特征值为1，1，2．所以二次型的标准形为y12+y22+2y32.故应填y12+y22+2y32．14、在总体N(1，4)中抽取一容量为5的简单随机样本X1，X2，X3，X4，X5，则概率P{min{X1，X2，X3，X4，X5}＜1}=______．标准答案：知识点解析：P{min{X1，X2，X3，X4，X5}＜1}=1-P{min{X1，X2，X3，X4，X5}≥1}=1-P{X1≥1，X2≥1，…，X5≥1}=1-[P{X1≥1}]5=1-[1-Ф(0)]5=1-故应填三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)15、已知标准答案：因为所以整理，得知识点解析：由已知极限求出函数f(x)的表达式，将f(x)的表达式代入，再取极限即可．16、设f(x)在[a，b]上可导，且f’+(a)＞0，f’-(b)＜0，证明方程f’(x)=0在(a，b)内至少有一个根．标准答案：由，可知存在x0＞0，使a+x0∈(a，b)且f(a+0)＞f(a)．同理，由f’-(b)=，可知存在x1＜0，使f(b+x1)-f(b)＞0，即有b+x1∈(a，b)，使f(b+x1)＞f(b)．而由f(x)在[a，b]上可导，则f(x)必连续．由闭区间上连续函数的性质，知f(x)在[a，b]上必有最大点ξ，又由以上证明知ξ≠a和ξ≠b，因ξ必是f(x)的极值点，故有f’(ξ)=0．知识点解析：由题设条件找到函数f(x)在[a，b]上的最值点即可得结论．17、(Ⅰ)计算∫0nπt｜sint｜dt，其中n为正整数；(Ⅱ)求标准答案：(Ⅱ)设n≤x＜n+1，有nπ≤xπ＜(n+1)π．于是当n→∞时，由夹逼准则，得=π．知识点解析：(Ⅰ)利用定积分对积分区间的可加性将积分用和式表示，并将被积函数的绝对值符号去掉后直接计算定积分即可．(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论及夹逼准则便可得所求极限．18、设∑为不经过原点的光滑封闭曲面，n为∑上任一点(x，y，z)处的单位外法向量，r=xi+yj+zk，计算曲面积分其中r=｜r｜．标准答案：令n={cosα，cosβ，cosγ}，其中α，β，γ为n的方向角，则P=，显然(0，0，0)是它们的奇点．当(x，y，z)≠(0，0，0)时，同理，有，则①若原点(0，0，0)不在封闭曲面∑内，则由高斯公式得其中Ω是闭曲面∑所围的闭区域．②若原点(0，0，0)在封闭曲面∑内，则作一个半径为ε的小球面∑1，取内侧(∑1在∑内)．在∑和∑1所围的封闭区域Ω1上，由高斯公式得由于在一∑1上恒有x2+y2+z2=ε2，且n={x，y，z}与r同向，于是有知识点解析：利用两类曲面积分的关系将已知对面积的曲面积分化为对坐标的组合曲面积分，再根据原点与积分曲面三的关系便可得结果．19、设α1，α2，α3，α4，β为4维列向量，A=(α1，α2，α3，α4)，若Ax=β的通解为(-1，1，0，2)T+k(1，-1，2，0)T．(Ⅰ)β能否由α1，α2，α3线性表示?为什么?(Ⅱ)求α1，α2，α3，α4，β的一个极大无关组．标准答案：(Ⅰ)先求Bx=0的基础解系，为此，首先要找出矩阵B的秩．由题目的已知信息可得：Ax=0的基础解系中含有两个向量，故4-R(A)=2，也即R(A)=2，而由(1，0，2，1)T是Ax=0的解可得α1+2α3+α4=0，故α4=-α1-2α3．可知α4能由α1，α2，α3线性表示，故R(α1，α2，α3，α4)=R(α1，α2，α3)=R(B)，也即R(B)=2．因此Bx=0的基础解系中仅含一个向量，求出Bx=0的任一非零解即为其基础解系．由于(1，0，2，1)T，(2，1，1，-1)T均为Ax=0的解，故它们的和(3，1，3，0)T也为Ax=0的解，可知3α1+α2+3α3=0，因此(3，1，3)T为Bx=0的解，也即(3，1，3)T为Bx=0的基础解系．最后，再求Bx=b的任何一个特解即可．只需使得Ax=b的通解中α1的系数为0即可，为此，令(1，1，1，1)T+k1(1，0，2，1)T+k2(2，1，1，-1)T中k1=0，k2=1，得(3，2，2，0)T是Ax=b的一个解，故(3，2，2)T是Bx=b和一个解．可知Bx=b的通解为(3，2，2)T+k(3，1，3)T，k∈R(Ⅱ)与(Ⅰ)类似，先求Cx=0的基础解系．由于C即为线性方程组Ax=b的增广矩阵，故R(C)=R(A)=2，可知Cx=0的基础解系中含有5-2=3个线性无关的解向量，为此，需要找出Cx=0的三个线性无关的解．由于(1，0，2，1)T，(2，1，1，-1)T均为Ax=0的解，可知(1，0，2，1，0)T，(2，1，1-1，0)T均为Cx=0的解．而(1，1，1，1)T为Ax=b的解，可知α1+α2+α3+α4=b，也即α1+α2+α3+α4-b=0，故(1，1，1，1，-1)T也为Cx=0的解．这样，我们就找到了Cx=0的三个解：(1，0，2，1，0)T，(2，1，1，-1，0)T，(1，1，1，1，-1)T，容易验证它们是线性无关的，故它们即为Cx=0的基础解系．最后，易知(0，0，0，0，1)T为Cx=b的解，故Cx=b的通解为(0，0，0，0，1)T+k1(1，0，2，1，0)T+k2(2，1，1，-1，0)T+k3(1，1，1，1，-1)T，kI∈R，i=1，2，3．知识点解析：暂无解析20、设二次型F(x1，x2，x3)=x1+ax2+x3+2x2x3-2x1x-2axx3的正负惯性指数都是1．(Ⅰ)计算a的值；(Ⅱ)用正交变换将二次型化为标准形；(Ⅲ)当x满足xTx=2时，求f的最大值与最小值．标准答案：由｜λE-A｜==(λ-2)(λ-1)(λ+1)，得A的特征值为2，1，-1．因此A相似于进而求得对应于2，1，-1的特征向量分别为令P=(η1，η2，η3)，则有P-1AP=又因为B是下三角矩阵，所以特征值为2，1，-1．B也相似于进而求得对应2，1，-1的特征向量分别为ξ1=令Q(ξ1，ξ2，ξ3)，则Q-1BQ=因此P-1AP=Q-1BQ，所以B=QP-1APQ-1=(PQ-1)-1A(PQ-1)，令X=PQ-1=即为所求．知识点解析：暂无解析21、假设二维随机变量(X，Y)在矩形G={(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布，记(Ⅰ)求U和V的联合分布；(Ⅱ)求U和V的相关系数ρ．标准答案：(Ⅰ)由概率分布的性质知a+0．2+0．1+6+0．2+0．1+c=1，即a+b+c=0．4．(*)由(X，Y)的概率分布可写出X的边缘概率分布为故E(X)=-(a+0．2)+(c+0．1)=-0．2，即a-c=0．1．(**)又因0．5=P{Y≤0｜X≤0}=，即a+b=0．3．(***)将(*)、(**)、(***)联立，解方程组得a=0．2，b=0．1，c=0．1．(Ⅱ)Z的可能取值为-2，-1，0，1，2，则P{Z=-2}=P{X=-1，Y=-1}=0．2，P{Z=-1}=P{X=-1，Y=0}+P{X=0，Y=-1}=0．1，P{Z=0}=P{X=-1，Y=1}+P{X=0，Y=0}+P{X=1，Y=-1}=0．3，P{Z=1}=P{X=1，Y=0}+P{X=0，Y=1}=0．3，P(Z=2}=P{X=1，Y=1}=0．1．故Z的概率分布为(Ⅲ)P{X=Z}=P{X=X+Y}=P{Y=0}=0+0．1+0．1=0．2．知识点解析：暂无解析22、设某商品一周的需求量是X，其概率密度为若各周对该商品的需要相互独立．(Ⅰ)以Uk表示k周的需求量，求U2和U3的概率密度f2(u)和f3(u)；(Ⅱ)以Y表示三周中各周需求量的最大值，求Y的概率密度fY(y)．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学（数学一）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、的渐近线条数为()．A、1B、2C、3D、4标准答案：B知识点解析：所以y=x+7为曲线的斜渐近线，故曲线有两条渐近线，应选(B)．2、当x＞0时，f(lnx)=则∫-22xf’(x)dx为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：则∫-22xf’(x)dx=∫-22xdf(x)=xf(x)|-22-∫-22f(x)dx=选(C)．3、当x→0时，无穷小的阶数最高的是()．A、B、tanx-xC、(1+tanx)ln(1+2x)一1D、标准答案：A知识点解析：由(1+tanx)ln(1+2x)一1=eln(1+2x)ln(1+tanx)-1～ln(1+2x)ln(1+tanx)～2x2得(1+tanx)ln(1+2x)为2阶无穷小；4、设∑为由直线绕x轴旋转产生的曲面，则∑上点P(-1，1，一2)处的法线方程为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：设M(x，y，z)为曲面∑上的任意一点，过M点且垂直于x轴的圆交直线于点M0(x，y0，z0)，圆心为T(x，0，0)，由|MT|=|M0T|得y2+z2=y02+z02．因为所以y0=一x，z0=2x，故曲面∑的方程为5x2一y2一z2=0．曲面∑上点P(一1，1，一2)处的法向量为n={10x，一2y，一2z}p={一10，一2，4}，5、设A为三阶矩阵，特征值为λ1=λ2=1，λ3=2，其对应的线性无关的特征向量为α1，α2，α3，令P1=(α1一α3，α2+α3，α3)，则P1-1A*P1=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：A*的特征值为2，2，1，其对应的线性无关的特征向量为α1，α2，α3，选(A)．6、设A，B为n阶方阵，令A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，则下列命题正确的是()A、若矩阵A，B等价，则向量组α1，α2，…，αn与向量组β1，β2，…，βn等价B、若A，B的特征值相同，则A，B等价C、若AX=0与BX=0同解，则A，B等价D、若A，B等价，则AX=0与BX=0同解标准答案：C知识点解析：由A，B等价得r(A)=r(g)，从而向量组α1，α2，…，αn与向量组β1，β2，…，βn的秩相等，但两向量组秩相等不一定可相互线性表示，即不一定等价，不选(A)；若A，B特征值相同，r(A)与r(B)不一定相等，从而A，B不一定等价，如：显然A，B的特征值相同，但r(A)=1≠r(B)=2，故A，B不等价，不选(B)；若方程组AX=0与BX=0同解，则r(A)=r(B)，从而A，B等价，反之不对，应选(C)．7、设随机变量X服从参数为2的指数分布，则随机变量Y=min{X，2}的分布函数()．A、是阶梯函数B、恰有一个间断点C、至少有两个间断点D、是连续函数标准答案：B知识点解析：FY(y)=P{Y≤y}=P{min{X，2}≤y}=1一P{rain{X，2}＞y}=1—P{X＞y，2＞y}=1一P{X＞y}P{2＞y}，当y≥2时，FY(y)=1；当y＜2时，FY(y)=1一P{X＞Y}=P{X≤y}=则FY(y)=显然FY(y)在y=2处间断，选(B)．8、设X1，X2，3，X4，X5是来自总体N(1，4)的简单随机样本，．则a=()。A、2B、C、D、1标准答案：C知识点解析：二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、若当x→0时，(1+2x)x一cosx～ax2，则a=________．标准答案：知识点解析：因为当x→0时，(1+2x)x一1=exln(1+2x)一1～xln(1+2x)～2x2，所以(1+2x)x-cosx=(1+2x)x一1+1一cosx～2x2+10、标准答案：2(1一ln2)知识点解析：11、设z=z(x，y)由F(az-by，bx-cz，cy-ax)=0确定，其中函数F连续可偏导且aF’-cF’2≠0，则标准答案：b知识点解析：F(ax一by，bx一cz，cy—ax)=0两边对x求偏导得12、设函数y=y(x)在(0，+∞)上满足则y(x)=____．标准答案：x(1一cosx)知识点解析：由可微的定义，函数y=y(x)在(0，+∞)内可微，且xsinx，由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得13、设矩阵矩阵A满足B-1=B*A+A，则A=_______．标准答案：知识点解析：|B|==2，B-1=B*A+A两边左乘B得E=2A+BA，即(B+2E)A=E，则A=(B+2E)-1=14、设随机变量则(X，Y)的联合分布律为________.标准答案：知识点解析：由P{X=1}=P{X=1，Y=0}+P{X=1，Y=1}，得P{X=1，Y=0}=再P{Y=0}=P{X=0，Y=0}+P{X=1，Y=0}=得P{X=0，Y=0}=则(X，Y)的联合分布律为三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)15、设f(x)连续，标准答案：知识点解析：暂无解析16、求二重积分|x2+y2一x|dxdy，其中D={(x，y)|0≤y≤1一x，0≤x≤1}．标准答案：如图，在区域D内作圆x2+y2=x，将区域D分为D1，D2，则第一卦限的角平分线将D1分为D11及D12,知识点解析：暂无解析17、求x=cost(0＜t＜π)将方程(1一x2)y"一xy’+y=0化为y关于t的微分方程，并求满足y|x=0=1，y’|x=0=2的解．标准答案：该方程的通解为y=C1cost+C2sint，将初始条件y|x=0=1，y’|x=0=一2代入得C1=2，C2=1，故特解为y=2x+知识点解析：暂无解析18、计算曲面积分2(1-xy)dydz+(x+1)ydzdx-4yz2dxdy，其中∑是弧段(1≤x≤3)绕x轴旋转一周所得的旋转曲面，∑上任一点的法向量与x轴正向夹角大于标准答案：曲面∑：x=y2+z2+1(1≤x≤3)，补充曲面∑0：x=3(y2+z2≤2)，由高斯公式得知识点解析：暂无解析19、设f(x)在[0，1]上连续可导，f(1)=0，∫01f’(x)dx=2，证明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=4．标准答案：由分部积分，得∫01xf’(x)dx=xf(x)|01一∫01f(x)dx=-∫01f(x)dx=2，于是∫01f(x)dx=-2．由拉格朗日中值定理，得f(x)=f(x)一f(1)=f’(η)(x一1)，其中η∈(x，1)，f(x)=f’(η)(x一1)两边对x从0到1积分，得∫01f(x)dx=∫01f’(η)(x一1)dx=一2．因为f’(x)在[0，1]上连续，所以f’(x)在[0，1]上取到最小值m和最大值M，由M(x一1)≤f’(η)(x一1)≤m(x一1)两边对x从0到1积分，由介值定理，存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=4．知识点解析：暂无解析20、设已知AX=B有解．(I)求常数a，b的值．(Ⅱ)求X．标准答案：得a=2，b=一3．(Ⅱ)令X=(X1，X2)，B=(b1，b2)，知识点解析：暂无解析21、设二次型f(x1，x2，x3)=5x12+ax22+3x32一2x1x2+6x1x3—6x2x3的矩阵合同于(I)求常数a；(Ⅱ)用正交变换法化二次型f(x1，x2，x3)为标准形．标准答案：(I)令则f(x1,x2，x3)=XTAX．因为A与合同，所以r(A)=2＜3，故|A|=0．(Ⅱ)由|λE—A|==λ(λ一4)(λ一9)=0，得λ1=0，λ2=4，λ3=9．由(0E—A)X=0得由(4E—A)X=0得知识点解析：暂无解析22、设随机变量X～U(0，1)，Y～E(1)，且X，Y相互独立，求Z=X+Y的密度函数fZ(z)．标准答案：X，Y的边缘密度分别为因为X，Y独立，所以(X，Y)的联合密度函数为f(x，y)=fX(x)fY(y)=FZ(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}=当z＜0时，FZ(z)=0；当0≤z＜1时，FZ(z)=∫0zdx∫0z-xe-ydy=∫0z(1一ex-z)dx=z—e-z(ez-1)=z+e-z一1；当z≥1时，FZ(z)=∫01dx∫0z-xeydy=∫01(1一ex-z)dx=1—e-z(e一1)=1+e-z一e1-z，知识点解析：暂无解析考研数学（数学一）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、当x→0时，无穷小的阶数由高到底的次序为()A、α，β，γB、β，γ，αC、γ，α，βD、γ，β，α标准答案：B知识点解析：应选(B)．2、下列命题正确的是()．A、若f(x)在x0处可导，则一定存在δ＞0，在|x—x0|＜δ内f(x)可导B、若f(x)在x0处连续，则一定存在δ＞0，在|x—x0|＜δ内f(x)连续C、若存在，则f(x)在x0处可导D、若f(x)在x0的去心邻域内可导，f(x)在x0处连续，且存在，则f(x)在x0处可导，且f’(x0)=标准答案：D知识点解析：得f(x)在x=0处可导(也连续)．对任意的a≠0，因为不存在，所以f(x)在x=a处不连续，当然也不可导，即x=0是f(x)唯一的连续点和可导点，(A)，(B)不对；所以f(x)在x=0处不连续，当然也不可导，(C)不对；因为f(x)在x0处连续且在x0，的去心邻域内可导，所以由微分中值定理有其中ξ介于x0与x之间，两边取极限得存在，即f(x)在x0处可导，且3、设f(x)二阶连续可导，g(x)连续，且f’(x)=lncosx+∫0xg(x—t)dt，则()．A、f(0)为f(x)的极大值B、f(0)为f(x)的极小值C、(0，f(0))为y=f(x)的拐点D、f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：显然f’(0)=0，由得g(0)=0，g’(0)=一2．故(0，f(0))为y=f(x)的拐点，应选(C)．4、当x=一2时，级数的收敛半径为()．A、R=2B、R=4C、R=1D、标准答案：A知识点解析：因为当x=一2时，级数条件收敛，所以级数的收敛半径为4．且逐项求导后的级数与原级数有相同的收敛半径，又的收敛半径为的收敛半径为R=2，选(A)．5、设A为可逆矩阵，令则A-1P1100AP2-1等于()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：P1=E23，因为Eij-1=Eij，所以Eij2=E，即P1100=E．P2=E13(4)，因为Eij-1(k)=Eij(一k)，所以P2-1=于是A-1P1100AP2-1=P2-1，选(B)．6、设三阶矩阵A的特征值为λ1=一1，λ2=2，λ3=4，对应的特征向量为ξ1，ξ2，ξ3，令P=(一3ξ2，2ξ1，5ξ3)，则P-1(A*+2E)P等于()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：A*+2E对应的特征值为μ1=10，μ2=一2，μ3=0，对应的特征向量为ξ1，ξ2，ξ3，则一3ξ2，2ξ1，5ξ3仍然是A*+2E的对应于特征值μ2=一2，μ1=10，μ3=0的特征向量，于是有P-1(A*+2E)P=．选(B)．7、下面四个随机变量的分布中，期望值最大，方差最小的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由Y～U(5，7)得E(Y)=6，D(Y)=由Z～得E(Z)=6，D(Z)=36；8、设总体X服从标准正态分布，(X1,X2，…，Xn)为总体的简单样本则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、积分标准答案：知识点解析：10、标准答案：2ln2知识点解析：11、设y=y(x)由=x+1一y确定，则标准答案：知识点解析：12、微分方程yy"=y2y’+y’2满足y(0)=1，y’(0)=2的特解为_______．标准答案：知识点解析：13、设A，B为三阶矩阵，A～B，λ1=一1，λ2=1为矩阵A的两个特征值，又|B-1|=则标准答案：知识点解析：因为|B-1|=所以|B|=3，又因为A～B，所以A，B有相同的特征值，设A的另一个特征值为λ3，由|A|=|B|=λ1λ2λ3，得λ3=一3，因为A一3E的特征值为一4，一2，一6，所以|A一3E|=一48．14、设总体X～N(0，1)，X1，X2，X3，X4为来自总体的简单随机样本，则服从的分布为______．标准答案：t(1)知识点解析：三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内三阶可导，且f(1)=1，f(2)=6．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f"’(ξ)=9．标准答案：由得f(0)=0，f’(0)=2．作多项式P(x)=Ax3+Bx2+Cx+D，使得P(0)=0，P’(0)=2，P(1)=1，P(2)=6，令φ(x)=f(x)一，则φ(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，且φ(0)=φ(1)=φ(2)=0，因此φ(x)在[0，1]和[1，2]上都满足罗尔定理的条件，则存在ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)，使得φ’(ξ1)=φ’(ξ2)=0．又φ’(0)=0，由罗尔定理，存在η1∈(0，ξ1)，η2∈(ξ1，ξ2)，使得φ"(η1)=φ"(η2)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(η1，η2)(0，2)，使得φ"’(ξ)=0．而φ"’(x)=f"’(x)一9，所以f"’(ξ)=9．知识点解析：暂无解析16、设f(x)连续，且f(1)=0，f’(1)=2，求极限标准答案：知识点解析：暂无解析17、椭球面∑1是椭圆L：绕x轴旋转而成，圆锥面∑2是由过点(4，0)且与椭圆L：相切的直线绕x轴旋转而成．(I)求∑1及∑2的方程；(Ⅱ)求位于∑1及∑2之间的立体体积．标准答案：设切点坐标为(x0，y0)，则切线方程为因为切线经过点(4，0)，所以x0=1，则∑2：(x一4)2=4(y2+z2)．(Ⅱ)∑1及∑2围成的几何体在yOz平面上的投影为Dyz：y2+z2≤则知识点解析：暂无解析18、设(I)用变换x=t2将原方程化为y关于t的微分方程；(Ⅱ)求原方程的通解．标准答案：(Ⅱ)特征方程为λ2-λ一6=0，特征值为λ1=一2，λ2=3，知识点解析：暂无解析19、计算曲面积分其中∑是曲面2x2+2y2+z2=4的外侧．标准答案：令∑0:x2+y2+z2=1，取外侧，由∑及∑0构成的几何体为Ω，由高斯公式得知识点解析：暂无解析20、设B为三阶非零矩阵,为BX=0的解向量，且AX=α3有解．(I)求常数a，b．(Ⅱ)求BX=0的通解．标准答案：由B为三阶非零矩阵得r(B)≥1，从而BX=0的基础解系最多有两个线性无关的解向量，由α1，α2为BX=0的两个线性无关解得3-r(B)≥2，从而r(B)≤1，再由r(B)≥1得r(B)=1，α1，α2为BX=0的一个基础解系，知识点解析：暂无解析21、设可对角化．(I)求常数a；(Ⅱ)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．标准答案：(I)由|λE—A|==λ(λ一1)2=0得λ1=λ2=1，λ3=0．因为A可对角化，所以r(E一A)=1，(Ⅱ)将λ=1代入(λE-A)X=0中得(E-A)X=0，得λ=1对应的线性无关的特征向量为将λ=0代入(λE-A)X=0得AX=0，知识点解析：暂无解析22、设随机变量X的分布律为P{X=k}=p(1一p)k-1(k=1，2，…)，Y在1～k之间等可能取值，求P{Y=3}．标准答案：令Ak={X=k}(k=1，2，…)，B={Y=3}，P(B|A1)=P(B|A2)=0，由全概率公式得知识点解析：暂无解析23、设X1，X2，…，Xn(n＞2)相互独立且都服从N(0，1)，Yi=Xi一(i=1，2，…，n)．求(I)D(Yi)(i=1，2，…，n)；(Ⅱ)Cov(Y1，Yn)；(Ⅲ)P{Y1+Yn≤0}．标准答案：(I)D(Yi)=Cov(Yi，Yi)因为X1，X2，…，Xn独立且都服从正态分布，所以Y1+Yn服从正态分布，知识点解析：暂无解析考研数学（数学一）模拟试卷第4套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设，则关于f(x)的单调性的结论正确的是()A、在区间(－∞，0)内是严格单调增加，在(0，＋∞)内是严格单调减少．B、在区间(－∞＜D，0)内是严格单调减少，在(0，＋∞)内是严格单调增加．C、在区间(－∞，0)与(0，＋∞)内都是严格单调增加．D、在区间(－∞，0)与(0，＋∞)内都是严格单调减少．标准答案：C知识点解析：取其分子，令φ(x)＝xex－ex＋2，有φ(0)＝1＞0，φ＇(x)＝xex，当x＜0时φ＇(x)＜0；当x＞0时φ＇(x)＞0．所以当x＜0时，φ(x)＞0；当x＞0时，也有φ(x)＞0．故知在区间(一∞，0)与(0，＋∞)内均有f＇(x)＞0．从而知f(x)在区间(－∞，0)与(0，＋∞)内均为严格单调增加．2、设则f(x，y)在点O(0，0)处()A、极限不存在．B、极限存在但不连续．C、连续但不可微．D、可微．标准答案：C知识点解析：所以，f(x，y)在点O(0，0)处连续，排除(A)，(B)．下面考查(C)．又所以f＇(0，0)＝0，f＇y(0，0)＝0．若在点O(0，0)处可微，则应有但是上式并不成立，事实上，而不存在．所以f(x，y)在点O(0，0)处不可微．故应选(C)．3、设f(x)在x＝x0的某邻域U内有定义，在x＝x0的去心邻域内可导，则下述命题①设f＇(x0)存在，则也必存在．②设存在，则f＇(x0)也必存在．③设f＇(x0)不存在，则也必不存在．④设不存在，则f＇(x0)也必不存在．其中不正确的个数为()A、1．B、2．C、3．D、4．标准答案：D知识点解析：举例说明所述命题没有一个是正确的．①的反例：设所以①不正确．②的反例：设则当x≠0时，f＇(x)＝0，(存在)，而f(x)在x＝0处不连续，所以f＇(0)不存在．所以②不正确．③的反例，可取与②同一反例，所以③不正确．④的反例，可取与①同一反例，所以④不正确．所以选(D)．4、设A，B是n阶实对称可逆矩阵．则下列关系不一定成立的是()A、A，B等价．B、AB，BA相似．C、A，B合同．D、A2，B2合同．标准答案：C知识点解析：(A)成立，A，B均是可逆矩阵，均可以通过初等行变换化成单位矩阵，即有可逆矩阵P，Q，使得PA＝QB＝E，即有Q－1PA＝B，故A等价于B．(B)成立，取可逆矩阵P＝A，则有P－1(AB)P＝A－1(AB)A＝BA．故AB～BA．(D)成立，A，B是实对称可逆矩阵，特征值分别为λi，μi(i＝1，2，…，n)且均不为零，A2，B2的特征值分别为λi2＞0，μi2＞0(i＝1，2，…，n)，则A2，B2均是正定矩阵．它们的正惯性指数均为n(负惯性指数为零)．故A2合同于B2．由排除法，应选(C)．对于(C)，取均是可逆的实对称矩阵，但A的正惯性指数为2，B的正惯性指数为1，故A，B不合同．5、设X为非负连续型随机变量，其k(k＝1，2，…)阶矩存在概率密度记为f(x)，分布函数记为F(x)，则＝()A、EX．B、E(X2)．C、DX．D、1．标准答案：A知识点解析：故选(A)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)6、设平面区域，则二重积分＝__________标准答案：知识点解析：画出积分区域D如图所示，其实画不画无所谓，但只要抓住下面几项，经过点(0，1)与(1，0)，y由y＝1单调减少到y＝0，整个D在0≤x≤1，0≤y≤l之内．将该二重积分化为先y后x的逐次积分：对于l的内层积分作定积分的变量代换，将y换为u，令，由有：当y＝0时，；当时，，并且由．从而7、设f(x)在区间[a，＋∞)上存在二阶导数，且，其中a，b均为常数，则＝___________．标准答案：0知识点解析：取常数h＞0，在区间[x，x＋h]上用泰勒公式：【注】本题有相当的难度，难度在于区间[x，x＋h]上用泰勒公式，由于题中涉及f(x)，f＇(x)与f＂(x)，将三者联系起来容易想到用泰勒公式，有的读者可能用下述方法“证明”而不需要条件“”．所谓的“证明”如下：在区间[x，x＋h]上用拉格朗日中值定理，有f(x＋h)－f(x)＝f＇(ξ)(x＋h－x)＝hf＇(ξ)，x＜ξ＜x＋h．令x→＋∞，有所以错在由推不出．事实上，这里的ξ∈(x，x＋h)，仅是对区间(x，x＋h)内的某一个或某一些特定的ξ，有，而不是对区间(x，x＋h)内任意ξ1都有．举个例子就能说明问题．例：设，x∈[1，＋∞]．有，但推不出．事实上，，成振荡型，极限不存在．8、设l为圆周一周，则空间第一型曲线积分＝__________．标准答案：知识点解析：由轮换对称性知，∮lx2ds＝∮ly2ds＝∮lz2ds，所以而∮lds为l的全长，l是平面x＋y＋2＝a上的圆周，点O(0，0，0)到此平面的距离为，所以l的半径为9、微分方程型满足初始条件的特解为y＝__________．标准答案：2xtan(x－2)知识点解析：由全微分知，原微分方程可写成以x＝2，y＝0，u＝0代入上式，得C＝－2，于是得y＝ux＝2xtan(x－2)．10、设是3×2矩阵，E是2阶单位矩阵．满足AB＝E，则B＝__________．标准答案：，其中k1，k2是任意常数知识点解析：设，即解方程组两个方程一起求解．对增广矩阵作初等行变换．11、独立地测量一个物理量，记每次测量的结果为X＝μ＋ε，其中μ是物理量的真值，ε是测量产生的随机误差，且已知每次测量产生的随机误差都服从区间(－1，1)上的均匀分布．如果取n次测量结果的算术平均值作为真值μ的近似值，若用中心极限定理且要求的概率大于等于0．9544，则测量的次数最少为_________．(Φ(1)＝0．8413，Φ(1．5)＝0．9332，Φ(2)＝0．9772)标准答案：48知识点解析：中心极限定理：若Xi(i＝1，2，…)独立同分布，且存在有限期望和方差，则．由题设知，所以三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)12、yOz平面上的曲线，绕z轴旋转一周与平面z＝1，z＝4围成一旋转体Ω，设该物体的点密度μ＝r2，其中r为该点至旋转轴的距离，求该物体的质心的坐标．标准答案：由于Ω及点密度关于旋转轴(z轴)对称，所以质心在z轴上，质心坐标为，其中知识点解析：暂无解析13、设函数f(x)在x＝x0的某邻域U内存在连续的二阶导数．(Ⅰ)设当h＞0，(x0－h)∈U，(x0＋h)∈U，恒有(*)证明f＂(x0)≥0；(Ⅱ)如果f＂(x0)＞0，证明必存在h＞0，(x0－h)∈U，(x0＋h)∈U，使(*)式成立．标准答案：(Ⅰ)由条件，当h＞0充分小，(x0±h)∈U，有f(x0＋h)－f(x0)＋f(x0－h)－f(x0)＞0．则由拉格朗日中值定理，有f＇(ξ2)h＋f＇(ξ1)(－h)＞0，其中x0－h＜ξ1)＜x0＜ξ2＜x0＋h．又因为h＞0，得f＇(ξ2)－f＇(ξ1)＞0．再在区间[ξ1，ξ2]上用拉格朗日中值定理，有f＂(ξ)(ξ2－ξ1)＞0，其中x0－h＜ξ1＜ξ＜ξ2＜x0＋h．由此推得f＂(ξ)＞0．再令h→0，得ξ→x0，并且得f＂(x0)≥0．证毕．(Ⅱ)由题设f＂(x)在x＝x0的邻域U内连续，且f＂(x0)＞0，故存在h＞0，使且在区间[x0－h，x0＋h]内f＂(x)＞0．将f(x)按(x－x0)的幂展开的泰勒公式，有其中ξ∈(x，x0)(或(x0，x))，x∈[x0－h，x0＋h]，x≠x0．取．x＝(x0＋h)∈U，得f(x0＋h)＞f(x0)＋f＇(x0)h；取x＝(x0－h)∈U，得f(x0－h)＞f(x0)－f＇(x0)h．从而有f(x0＋h)＋f(x0—h)＞2f(x0)，即，故(*)式成立．证毕．知识点解析：暂无解析14、设常数a，b，c均为正数，且各不相等．有向曲面S＝{(x，y，z)｜z＝，z≥0，上侧}．求第二型曲面积分标准答案：以S的方程代入分母，得补充曲面S1＝{(x，y，z)｜z＝0，x2＋y2≤1，下侧)，并记，再用高斯公式，有分别计算上述积分．由球面坐标，有知识点解析：暂无解析15、设常数a＞0，积分．讨论I1与I2谁大谁小，并给出推导过程．标准答案：知识点解析：暂无解析16、设函数y(x)在区间［1，＋∞)上有一阶连续导数，且满足及求y(x)．标准答案：由分部积分法知则原方程化简为由一阶线性微分方程的通解公式，得通解再由初始条件：，解得，故所求的特解为知识点解析：暂无解析17、设A，B；X均是3阶矩阵，其中问：(Ⅰ)a为何值时，矩阵方程AX－B＝BX无解；(Ⅱ)a为何值时，矩阵方程AX－B＝BX有解．有解时，求矩阵X．标准答案：由题设条件知，矩阵方程为(A－B)X＝B，则将X和B以列分块，则矩阵方程(A－B)X＝B(A－B)(x1，x2，x3)＝(β1，β2，β2)(A－B)xi＝βi，i＝1，2，3．对增广矩阵作初等行变换，有(Ⅰ)当a＝－1时，，矩阵方程无解．(Ⅱ)当a≠－1时，，矩阵方程有解且仅有唯一解．因为(A－B)x1＝β1有解ξ1＝；(A－B)x2＝β2有解ξ2＝(－1，2，1)T．(A－B)x3＝β3有解ξ3＝．故解得知识点解析：暂无解析18、设a1＝(a1，a2，a3，a4)，a2＝(a2，－a1，a4，－a3)，a3＝(a3，－a4，－a1，a2)，其中ai(i＝1，2，3，4)不全为零．(Ⅰ)证明a1，a2，a3线性无关；(Ⅱ)记，证明AAT是正定矩阵．标准答案：(Ⅰ)用反证法．假设α1，α2，α3线性相关，则由定义，存在不全为零的实数k1，k2，k3，使得k1α1＋k2α2＋k3α3＝0．(*)因又αjαjT＝≠0，j＝1，2，3．故将式(*)两端左乘αjT，j＝1，2，3，得kjαjαjT＝0，αjαjT≠0kj＝0，j＝1，2，3，这和假设矛盾，得证α1，α2，α3线性无关．(Ⅱ)由(Ⅰ)知α1，α2，α3线性无关，则r(A)＝3，且AAT是实对称矩阵．则齐次方程组ATx＝(α1T，α2，α3T)x＝0仅有唯一零解，则对任给的x≠O，ATx＝(α1T，α2T，α3T)x≠0，将其两端右乘(ATx)T，得(ATx)T(ATx)＝xTAATx＞0，由矩阵正定的定义，证得AAT是正定矩阵．知识点解析：暂无解析19、设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度求随机变量Z＝X－2Y的概率密度fZ(z)．标准答案：法一用分布函数法求解．利用分布函数法求解的关键是能否准确画出图形(如图(a))，以便确定积分区域．从图中可看到f(x，y)取非零值的区域是一个三角形，直线方程x－2y＝z化为截距式方程时，z取4个区间①z＜－2；②－2≤z＜－1；③－1≤z＜0；④z≥0中的值时，做4条平行线，直线上方与三角形的公共部分便是积分区域．①当z＜－2时，FZ(z)＝0；②当－2≤z＜－1时，③当－1≤z＜0时，④当2≥0时，FZ(z)＝P(Ω)＝1．因此于是所求的概率密度为法二用公式法求解．一般地，Z＝aX＋bY(a，b≠0)的概率密度为本题中a＝1，b＝－2，代入上式可得此时也可利用图形来确定函数取非零值的区域，由下列不等式画出图形(如图(b))．从图中可看到f(z＋2y，y)取非零值的区域是由三条直线z＝－2y，z＝－y，y＝1围成，因此要通过z所取4个区间内的值来确定关于y的积分限．当z＜－2或z≥0时，fZ(z)＝0；当－2≤z＜－l时，当－1≤z＜0时，于是所求的概率密度为知识点解析：暂无解析20、设X1，X2，…，X5是来自总体X～N(0，22)的一个简单随机样本，(Ⅰ)令随机变量，求EY与DY；(Ⅱ)求随机变量的分布；(Ⅲ)给定a(0＜a＜0．5)，常数C满足P{Z＞c}＝a，设随机变量U～F(2，1)，求标准答案：(Ⅰ)设X1，X2，…，X5是来自总体X～N(0,22)的一个简单随机样本，由，得知识点解析：暂无解析考研数学（数学一）模拟试卷第5套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设ψ(x)在x＝a的某邻域内有定义，f(x)＝|x－a|ψ(x)．则ψ(x)在x＝a处连续是f(x)在x＝a处可导的A、必要条件而非充分条件．B、充分条件而非必要条件．C、充分必要条件．D、既非充分又非必要条件．标准答案：D知识点解析：undefined2、设f(x)满足f＂(x)＋(1一cosx)f＇(x)＋xf(x)＝sinx，且f(0)＝2．则A、x＝0是f(x)的极小值点．B、x＝0是f(x)的极大值点．C、曲线y＝f(x)在点(0，f(0))的左侧邻域是凹的，右侧邻域是凸的．D、曲线y＝f(x)在点(0，f(0))的左侧邻域是凸的，右侧邻域是凹的．标准答案：C知识点解析：undefinedundefinedundefinedundefined3、sin(x2＋y2)dy＝A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：undefinedundefined4、设f(x)在区间[a，b]上存在一阶导数，且f＇(A)≠f＇(B)．则必存在x0∈(a，b)使A、f＇(x0)＞f＇(A)．B、f＇(x0)＞f＇(B)．C、f＇(x0)＝D、f＇(x0)＝标准答案：C知识点解析：undefinedundefinedundefinedundefined5、设Ax＝＝0有通解k(1，0，2，一1)T，其中k是任意常数，A中去掉第i(i＝1，2，3，4)列的矩阵记成Ai，则下列方程组中有非零解的方程组是A、A1y＝0．B、A2y＝0．C、A3y＝0．D、A4y＝0．标准答案：B知识点解析：暂无解析6、设二次型f(x1，x2．x3)＝(x1＋2x2＋x3)2＋[一x1＋(a一4)x2＋2x3]2＋(2x1＋x2＋ax3)2正定，则参数a的取值范围是A、a＝2．B、a＝－7．C、a>0．D、a任意．标准答案：D知识点解析：undefinedundefinedundefined7、设随机变量X与Y独立，均服从[0，3]上的均匀分布，则P{lA、1/3．B、4/9．C、5/9．D、2/3．标准答案：A知识点解析：undefinedundefinedundefinedundefinedundefined8、设X1，X2，…，Xn是总体X～N(μ，σ2)的简单随机样本．样本均值当样本量n＞2时，下列正确的是A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：undefinedundefined二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、一实心球体x2＋y2＋z2≤25被平面x＋2y一2z＝12截下小的那部分球体的体积V＝____________．标准答案：知识点解析：原点到平面x＋2y一2z＝12的距离d＝＝4改取平面x＝4将球体x2－y2＋z2≤25截下小的那部分球体体积，该体积与题中要求的体积是相等的．改换思路求此体积就方便了．故V＝10、＝_____________.标准答案：知识点解析：因此11、设b为常数且积分(存在)，则b＝_____________，c＝_______________.标准答案：2；知识点解析：用有理分式分解的方法，所以要使上式存在，充要条件是存在，但不等于零，也不等于无穷．如果A＋B＞0，则＝∞，如果A＋B＜0，则＝0，所以A＋B＝0．以此代入式(**)，得b＝2．于是由式(**)得．故所以C＝12、直线L在yOz平面上的投影直线l绕z轴旋转一周生成的旋转曲面的方程为______________．标准答案：x2＋y2一z2＋4z一4＝0知识点解析：直线L：在yOz平面上的投影直线l的方程为y＋z＝2，即y＝2一z，它绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为＝2一z，即x2＋y2＝4—4z＋z2，即如答案所示．13、设A是3阶矩阵，且每行元素之和为2，α，β是线性无关的3维列向量，满足Aα＝β，Aβ＝α，则A～Λ，其中Λ＝________________．标准答案：知识点解析：由题设条件A的每行元素之和为2，可知，则A有特征值λ1＝2．又由Aα＝β及Aβ＝α知A(α＋β)＝β＋α＝α＋β，A(α一β)＝β一α＝一(α一β)，因为α，β线性无关，所以α＋β≠0，α一β≠0．故A有特征值λ2＝l，λ3＝一1．A是3阶矩阵，有3个不同的特征值，故A～Λ，其中Λ＝14、设随机变量(X，Y)～N(0，0；1，4；0)，则D(X2一2Y2)＝____________．标准答案：130知识点解析：因(X，Y)～N(0，0；1，4；0)，则X～N(0，1)，Y～N(0，4)，且X与Y独立．所以X2与Y2独立．故故D(X2－2Y2)＝＝130.三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)15、yOz平面上的曲线y＝√z(1≤z≤4)，绕z轴旋转一周与平面z＝1，z＝4围成一旋转体Ω，设该物体的点密度μ＝r2，其中r为该点至旋转轴的距离，求该物体的质心的坐标．标准答案：由于Ω及点密度关于旋转轴(z轴)对称，所以质心在z轴上，质心坐标为C，其中对用柱面坐标，先r，θ后z，于是类似地，所以.质心坐标为.知识点解析：暂无解析回答下列问题16、设0＜x＜＋∞，证明存在η(0＜η＜1)，使标准答案：取f(x)＝√x，由拉格朗日中值定理有其中x＜ξ＜x＋1，记ξ＝x＋η，0＜η＜1．知识点解析：暂无解析17、求出(Ⅰ)中η关于x的函数具体表达式η＝η(x)，并求出当0＜x＜＋∞时函数η(x)的值域．标准答案：由(Ⅰ)有故η(x)在区间(0，＋∞)上严格单调增加．又所以值域为知识点解析：暂无解析18、设常数a，b，c均为正数，且各不相等．有向曲面S＝{(x，y，z)|z＝，z≥0，上侧}．求第二型曲面积分标准答案：以S的方程z＝代入分母，得补充曲面S1＝((x，y，x)|x2＋y2＝0，x2＋y2≤1，下侧)，并记再用高斯公式，有分别计算上述积分．由球面坐标，有令D＝{(x，y){x2＋y2≤1}，于是知识点解析：暂无解析19、设常数a＞0，积分讨论I1与I2谁大谁小，并给出推导过程．标准答案：I1-I2＝当0＜x＜时，从而，且cosx＞sinx．于是知I1＞I2，即知识点解析：暂无解析20、设函数y(x)在区间[1，＋∞)上有一阶连续导数，且满足y(1)＝及,求y(x).标准答案：由分部积分知则原方程化简为X2y＇(x)＋(2x＋4)y(x)＝，即由一阶线性微分方程的通解公式，得通解y(x)再由初始条件y(1)＝则有C＝，故所求的特解为y(x)＝知识点解析：暂无解析21、设A，B，X均是3阶矩阵，其中问(Ⅰ)a为何值时，矩阵方程AX—B＝BX无解;(Ⅱ)a为何值时，矩阵方程AX—B＝BX有解．有解时，求全部解．标准答案：由题设条件知，矩阵方程为(A—B)X＝B，A—B＝将X和B以列分块，则矩阵方程为对增广矩阵(A—B|B)作初等行变换(A—B|B)(I)当a＝一1时，r(A—B)＝2≠r(A—B|B)＝3，矩阵方程无解(Ⅱ)当a≠一1时，r(A—B)＝3＝r(A-B|B)＝3，矩阵方程有解且仅有唯一解．因为(A—B)x1＝β1有解ξ1＝(A－B)x2＝β2有解ξ2＝(一1，2，1)T；(A—B)x3＝β3有解ξ3＝故解得X＝知识点解析：暂无解析回答下列问题22、设a1＝(a1，a2，a3，a4)，a2＝(a2，一a1，a4，一a3)，a3＝(a3，一a4，一a1，a2)，其中ai(i＝1，2，3，4)不全为零．证明a1，a2，a3线性无关；标准答案：用反证法．假设α1，α2，α3线性相关，则由定义，存在不全为零的实数k1，k2，k3，使得k1α1＋k2α2＋k3α3＝0(*)因又，j＝1，2，3.故将式(*)两端右边乘，j＝1，2，3，得，j＝1，2，3.这和假设矛盾，得证α1，α2，α3线性无关．知识点解析：暂无解析23、记，证明AAT是正定矩阵．标准答案：由(Ⅰ)知α1，α2，α3线性无关，则r(A)＝3，AAT是实对称矩阵．则齐次方程组ATx＝＝0仅有唯一零解，则对任给的x≠0，ATx＝≠0两端左边乘(ATx)T，得(ATx)T(ATx)＝XTAATx＞0，证得AAT是正定矩阵．知识点解析：暂无解析回答下列问题24、若随机变量X的概率分布为令随机变量Y＝，求Y的概率分布；标准答案：当X＝1时．Y＝[1＋(一1)1]＝0；当X＝2时，Y＝[1＋(一1)2]＝1；当X＝3时，Y＝[1＋(一1)3]＝0；当X＝4时，Y＝[1＋(一1)4]＝1．故随机变量Y的概率分布为知识点解析：暂无解析25、若X～B(n，p)，求X取值为偶数时的概率P{X为偶数}．标准答案：令随机变量Y＝g(X)＝当X＝2k＋1(奇数)时，Y＝＝0；当X＝2k(偶数)时，Y＝＝1．则P{X为偶数}＝知识点解析：暂无解析设X1，…，X10。是来自总体N(μ，1)的简单随机样本，记26、求Z＝分布，并求P{Z>0}；标准答案：由题知Xi(i＝1，2，…，10)独立同分布服从N(μ，1)，则，且Y1，Y2独立，故Y1一Y2～N.进一步有又与Y1，Y2均独立，故由t分布对称性知P{Z＞0}＝1/2知识点解析：暂无解析27、求D标准答案：又相互独立，故(9)，则＝2×9＝18．知识点解析：暂无解析考研数学（数学一）模拟试卷第6套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设函数f(x)连续，除个别点外二阶可导，其导函数y=f’(x)的图像如图(1)，令函数y=f(x)的驻点的个数为P，极值点的个数为q，曲线y=f(x)拐点的个数为r，则A、p=g=r=3B、p=3，q=r=2C、p=3，q=2，r=3D、p=3，q=2，r=1标准答案：C知识点解析：设a，b，c，d，e各点如图，根据驻点，极值点，拐点的概念及判别法知：驻点是：x=a，c，e．因为x=a，c，e时，f’(x)=0．P=3．驻点中只有x=a，c是极值点，因为x=a，c两侧导数变号．x=e两侧导数均负，f(x)是单调下降的，x=e不是极值点．x=b是f(x)的连续而不可导点，x=b两侧的导数均正，x=b也不是f(x)的极值点．q=2．(x0，f(x0))为拐点的必要条件是：f’’(x0)=0或f’’(x0)不时x=x0是f’(x)的驻点．x=d，e是f’(x)的驻点且这些点的两侧f’(x)的单调性相反即y=f(x)的图形的凹凸性相反，(d，f(d))，(e，f(e))是拐点．f’’(b)不，但x=b是f(x)的连续点，x=b两侧f’(x)的单调性相反，因而(b，f(b))也是拐点．r=3．综上分析，应选C．2、下列等式或不等式中正确的共有A、1个B、2个C、3个D、4个标准答案：B知识点解析：要逐一分析．对于①：由可知①正确．对于②：因为在点x=0处无定义，不能在[一1，1]上用牛顿一莱布尼兹公式，因此②不正确．事实上对于③：故f(x)在[一1，1]上连续，且是奇函数=>∫-11f(x)dx=0．故③正确．对于④：这里在(一∞，+∞)连续，虽是奇函数，但∫-∞+∞g(x)dx发散，因为故④不正确．综上分析，应选B．3、下列三个命题中正确的个数是A、0个B、1个C、2个D、3个标准答案：B知识点解析：此类选择题必须逐一判断．关于命题①：对幂级数的收敛域为(一1，1)，但的收敛域是[一1，1)．关于命题②：若熟悉幂级数的收敛性特点立即可知该命题正确．记该幂级数的收敛半径为R．若R＞1，由于发散，也与已知矛盾．因此，R=1．关于命题③：当R1≠R2时，R=min(R1，R2)，于是要考察R1=R2的情形．设有级数易求得它们的收敛半径为R1=R2=1．但的收敛半径为R=2．因此命题不正确．综上所述，应选B．4、已知累次积分其中a＞0为常数，则I可写成A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：这是把极坐标系下的累次积分转换成Oxy直角坐标系下的累次积分的问题．先将I表示成由D的极坐标表示0≤r≤acosθ．即r2=x2+y2≤arcosθ=ax，可知若是先y后x的积分顺序，则D：0≤x≤a，于是故应选C．5、设η1，η2，η3为3个n维向量，AX=0是n元齐次方程组．则()正确．A、如果η1，η2，η3都是AX=0的解，并且线性无关，则η1，η2，η3为AX=0的一个基础解系B、如果η1，η2，η3都是AX=0的解，并且r(A)=n一3，则η1，η2，η3为AX=0的一个基础解系C、如果η1，η2，η3等价于AX=0的一个基础解系则它也是AX=0的基础解系D、如果r(A)=n一3，并且AX=0每个解都可以用η1，η2，η3线性表示，则η1，η2，η3为AX=0的一个基础解系标准答案：D知识点解析：A缺少n—r(A)=3的条件．B缺少η1，η2，η3线性无关的条件．C例如η1，η2是基础解系η1+η2=η3，则η1，η2，η3和η1，η2等价，但是η1，η2，η3不是基础解系．要说明D的正确，就要证明η1，η2，η3都是AX=0的解，并且线性无关．方法如下：设α1，α2，α3是AX=0的一个基础解系，则由条件，α1，α2，α3可以用η1，η2，η3线性表示，于是3≥r(η1，η2，η3)=r(η1，η2，η3，α1，α2，α3)≥r(α1，α2，α3)=3，则r(η1，η2，η3)=r(η1，η2，η3，α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3)=3，于是η1，η2，η3线性无关，并且和α1，α2，α3等价，从而都是AX=0的解．6、下列矩阵中不相似于对角矩阵的是A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：A矩阵的3个特征值两两不同，D是实对称矩阵，因此它们都相似于对角矩阵．C矩阵的秩为1，它的特征值都为0，其重数3＞3一(C)矩阵的秩．因此C不相似于对角矩阵．B矩阵的秩也为1，它的特征值为0，0，6，0的重数2=3一(B)矩阵的秩．因此相似于对角矩阵．7、已知随机变量且X1与X2独立．记A={X1=1}，B={X2=1}，C1={X1X2=1}，C2={X1X2=一1}，则A、A，B，C1相互独立，A，B，C2相互独立B、A，B，C1相互独立，A，B，C2两两独立C、A，B，C1两两独立，A，B，C2相互独立D、A，B，C1两两独立，A，B，C2两两独立标准答案：D知识点解析：由题设条件计算得P(A)=P(B)=P(C1)=P(C2)=0．5，P(A)P(B)P(C1)=0．125=P(A)P(B)P(C2)，P(AB)=P(AC1)=P(BC1)=P(AC2)=P(BC2)=0．25，P(ABC1)=0．25，P(ABC2)=0，由此验证知D正确．应选D．8、设X1，X2，…，Xn+1是取自正态总体N(0，σ2)的简单随机样本，记A、B、C、kσ2D、σ2标准答案：B知识点解析：由于X1，X2，…，Xn+1相互独立，当i≠j时，cov(Xi，Xj)=0；当i=j时，cov(Xi，Xi)=σ2，所以故选B．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)9、设x＞0时，∫x2f(x)dx=arcsinx+c，F(x)是f(x)的原函数，满足F(1)=0，则F(x)=______．标准答案：知识点解析：按题意，F(x)=∫1xf(t)dt．为先求f(x)，将∫x2f(x)dx求导得x2f(x)=[∫x2f(x)dx]’=(arcsinx+C)10、函数在点M0(1，1，1)处沿曲面2z=x2+y2在点M0处外法线方向n的方向导数=______．标准答案：知识点解析：记则1。2。M0在曲面2z=x2+y2上，曲面方程改写为F(x，y，z)=0,F(x，y，z)=x2+y2一2z,M0处曲面外法向n的方向余弦3。代公式得11、已知函数y(x)可微(x＞0)且满足方程则y(x)=______．标准答案：知识点解析：这是含变限积分的方程．先将原方程两边求导，转化为常微分方程得在原方程中令z=1得y(1)=1．于是原方程与初值问题等价．这是齐次方程，令12、设有曲面S：x2+y2=a2(0≤x≤a)，则=______．标准答案：知识点解析：用S的方程简化被积表达式，并注意S关于yz平面，zx平面均对称，被积函数对x，y均为偶函数，于是其中S1=S∩{x≥0，y≥0}，投影到yz平面上，13、已知则A-1=______．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)14、(Ⅰ)求累次积分(Ⅱ)设连续函数f(x)满足f(x)=1+∫x1f(y)f(y一x)dy，记I=∫01f(x)dx，求证：I=1+∫01f(y)dy∫0yf(y一x)dx，(Ⅲ)求出I的值．标准答案：(Ⅰ)将J表示成其中D：0≤y≤1，，如图所示，现改换成先y后x的积分顺序得(Ⅱ)因为f(x)=1+∫x1f(y)f(y一x)dy，所以在[0，1]上积分上式可得I=∫01f(x)dx=1+∫01dx∫x1f(y)f(y一x)dy．将累次积分表示成二重积分后交换积分顺序，可得(其中D0如图)(Ⅲ)为求I值，再对内层积分作变量替换并凑微分可得知识点解析：暂无解析15、求f(x，y，z)=x+y—z2+5在区域Ω：x2+y2+z2≤2上的最大值与最小值．标准答案：f(x，y，Z)在有界闭区域Ω上连续，一定存在最大、最小值．第一步，先求f(x，y，z)在Ω内的驻点．由=>f(x，y，z)在Ω内无驻点，因此f(x，y，z)在Ω的最大、最小值都只能在Ω的边界上达到．第二步，求f(x，y，z)在Ω的边界x2+y2+z2=2上的最大、最小值，即求f(x，y，z)在条件x2+y2+z2—2=0下的最大、最小值，令F(x，y，z，λ)=x+y—z2+5+λ(x2+y2+z2—2)，解方程由①，②=>x=y，由③=>z=0或λ=1．由x=y，z=0代入④=>x=y=±1，z=0．当λ=1时由①，②，得．因此得驻点P1(一1，一1，0)，P2(1，1，0)，计算得知f(P1)=3，f(P2)=7，f(P3)=f(P4)=因此，f(x，y，z)在Ω的最大值为7，最小值为知识点解析：暂无解析16、设f(x，y)在全平面有连续偏导数，曲线积分∫Lf(x，y)dx+xcosydy，在全平面与路径无关，且求f(x，y)．标准答案：(Ⅰ)∫Lf(x，y)dx+xcosydy在全平面与路径无关<=>积分得f(x，y)=siny+C(x)．(Ⅱ)求f(x，y)转化为求C(x)．取特殊路径如图所示，由于∫0tf(x，0)dx+cosydy=t2,即∫0tC(x)dx+tsint2=t2甘C(t)=2t—sint2—2t2cost2．因此f(x，y)=siny+2x—sinx2—2x2cosx2．知识点解析：暂无解析17、设正项级数是它的部分和．标准答案：(Ⅰ)级数的部分和Tn易求出(Ⅱ)考察级数由Sn与an的关系：Sn=a1+a2+…+an-1+an，an=Sn—Sn-1，因正项级数的部分和数列Sn单调上升，上式可放大成因此，原级数绝对收敛．知识点解析：暂无解析18、若函数f(c)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f’’(x)＜0，且f(x)在[0，1]上的最大值为M．求证：(Ⅰ)f(x)＞0(x∈(0，1))；(Ⅱ)自然数n，存在唯一的xn∈(0，1)，使得．标准答案：(Ⅰ)由题设条件及罗尔定理，=>f(x)＞f(0)=0(0＜x≤a，f(x)＞f(1)=0(0≤x＜1)，=>f(x)＞0(x∈(0，1))．(Ⅱ)由题设知存在xM∈(0，1)使得f(xM)=M＞0．先证是f’(x)的某一中间值．因f’(xM)=0，由拉格朗日中值定理，存在ξn∈(0，xM)使得这里f’(x)在[ξn，xM]连续，再由连续函数中间值定理=>存在xn∈(ξn，xM)(0，1)，使得最后再证唯一性．由f’’(x)<0(x∈(0，1))=>f’(x)在(0，1)单调减少=>在区间(0，1)内的点是唯一的，即xn．知识点解析：暂无解析19、设α1，α2，α3都是矩阵A的特征向量，特征值两两不同，记γ=α1+α2+α3．①证明γ，Aγ，A2γ线性无关，γ，Aγ，A2γ，A3γ线性相关．②设α1，α2，α3的特征值依次为1，一1，2，记矩阵B=(γ，Aγ，A2γ)，β=A3γ，求解线性方程组BX=β．标准答案：(1)设α1，α2，α3的特征值为a，b，c，由于它们两两不同，α1，α2，α3线性无关，γ=α1+α2+α3，Aγ=aα1+bα2+cα3，A2γ=a2α1+b2α2+c2α3，A3γ=a3α1+b3α2+c3α3，则γ，Aγ，A2γ对α1，α2，α3的表示矩阵为其行列式为范德蒙行列式，并且(因为a，b，c两两不同)值不为0