考研数学（数学三）模拟试卷2（共208题）

考研数学（数学三）模拟试卷2（共9套）（共208题）考研数学（数学三）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设则f(x)有()．A、两个可去间断点B、两个无穷间断点C、一个可去间断点，一个跳跃间断点D、一个可去间断点，一个无穷间断点标准答案：C知识点解析：显然x=0，x=1为f(x)的间断点．由f(0+0)=f(0－0)=0，得x=0为f(x)的可去间断点；由f(1－0)≠f(1+0)，得x=1为f(x)的跳跃间断点，应选C．2、设f(x)满足：xf"(x)－x2f＇2(x)=1－e-2x且f(x)二阶连续可导，则()．A、x=0为f(x)的极小值点B、x=0为f(x)的极大值点C、x=0不是f(x)的极值点D、(0，f(0))是y=f(x)的拐点标准答案：A知识点解析：3、设为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：选C．4、设f(x)在x0的邻域内三阶连续可导，且f＇(x0)=f"(x0)=0，f"＇(x0)＞0，则下列结论正确的是()．A、x=x0为f(x)的极大值点B、x=x0为f(x)的极小值点C、(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点D、(x0，f(x0))不是曲线y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜1｜x－x0｜＜δ＜时，当x∈(x0－δ，x0)时，f"(x)＜0；当x∈(x0，x0+δ)时，f"(x)＞0，则(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点，选C.5、设A，B及A*都是n(n≥3)阶非零矩阵，且AB=O，则r(B)=()．A、0B、1C、2D、3标准答案：B知识点解析：由B为非零矩阵得r(A)＜n，从而r(A*)=0或r(A*)=1，因为A*为非零矩阵，所以r(A*)=1，于是r(A)=n－1，又由AB=O得r(A)+r(B)≤n，从而r(B)≤1，再由B为非零矩阵得r(B)≥1，故r(B)=1，选B．6、设A，B为三阶矩阵且A不可逆，又AB+2B=O且r(B)=2，则｜A+4E｜=()．A、8B、16C、2D、0标准答案：B知识点解析：令B=(α1，α2，α3)，由AB+2B=O得Aαi=－2αi(i=1，2，3)，由r(B)=2得λ=－2至少为A的二重特征值，又由r(A)＜3得λ3=0，故λ1=λ2=－2，λ3=0，A+4E的特征值为λ1=λ2=2，λ3=4，故｜A+4E｜=16，应选B．7、设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为则k为()．A、2B、4C、6D、8标准答案：C知识点解析：由得k=6，选C．8、已知E(X)=1，E(X2)=3，用切比雪夫不等式估计P{－1＜X＜4}≥a，则a的最大值为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：D(X)=2，由切比雪夫不等式得选C．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、标准答案：知识点解析：10、设f(x)为连续函数，标准答案：知识点解析：11、标准答案：知识点解析：12、幂级数的和函数为_____________．标准答案：知识点解析：13、设矩阵不可对角化，则a______________．标准答案：0或4知识点解析：由得λ1=0,λ2=a，λ3=4．因为A不可对角化，所以A的特征值一定有重根，从而a=0或a=4．当a=0时，由r(0E－A)=r(A)=2得λ1=λ2=0只有一个线性无关的特征向量，则A不可对角化，a=0合题意；由r(4E－A)=2得λ2=λ3=4只有一个线性无关的特征向量，故A不可对角化，a=4合题意．14、10件产品中有3件产品为次品，从中任取2件，已知所取的2件产品中至少有一件是次品，则另一件也为次品的概率为___________．标准答案：知识点解析：令事件A={所取两件产品中至少有一件次品}，B={两件产品都是次品}，三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设y=y(x)(x＞0)是微分方程2y"+y＇－Y=(4－6x)e－x的一个解，且(I)求y(x)，并求y=y(x)到x轴的最大距离．标准答案：(I)2y"+y＇－y=(4—6x)e－x的特征方程为2λ2+λ－1=0，特征值为λ1=－1，λ2=2y"+y＇－y=0的通解为令2y"+y＇－y=(4－6x)e－x的特解为y0=(ax2+bx)e－x，代入得a=1，b=0，原方程的通解为由得y(0)=0，y＇(0)=0，代入通解得C1=C2=0，故y=x2e－x，由y＇=(2x－x2)e－x=0得x=2，当x∈(0，2)时，y＇＞0；当x＞2时，y＇＜0，则x=2为y(x)的最大值点，故最大距离为dmax=y(2)=4e－2．知识点解析：暂无解析16、设f(x)在[0,1]上二阶连续可导，且f＇(0)=f(1)，证明：存在ξ∈(0,1)，使得标准答案：因为f"(x)∈C[ξ1，ξ2]，所以f"∥(x)在[ξ1，ξ2]上取到最大值M和最小值m，知识点解析：暂无解析17、设(1)讨论f(x)在x=0处的连续性．(2)求f(x)的极值点与极值．标准答案：因为f(0－0)=f(0+0)=f(0)=1，所以f(x)在x=0处连续．知识点解析：暂无解析18、某商品产量关于价格p的函数为Q=75－p2，求：(I)当p=4时的边际需求，说明其经济意义；(Ⅱ)当p=4时的需求价格弹性，说明其经济意义；(Ⅲ)当p=4时，若价格提高1％，总收益是增加还是减少?收益变化率是多少?标准答案：(I)边际需求函数为其经济意义在于，在价格为p=4时，若价格提高一个单位，则需求量减少8个单位．(Ⅱ)需求价格弹性函数为当P=4时，需求价格弹性为其经济意义在于，在价格p=4的基础上，若价格提高1％，则产品的需求量就减少0．54％．(Ⅲ)当p=4时，若价格提高1％，因为该商品缺乏弹性，企业的收益是增加的．故当价格提高1％后，企业的收益增加0．46％．知识点解析：暂无解析19、现有两只桶分别盛有10L浓度为15g／L的盐水，现同时以2L／min的速度向第一只桶中注入清水，搅拌均匀后以2L／min的速度注入第二只桶中，然后以2L／min的速度从第二只桶中排出，问5min后第二只桶中含盐多少克?标准答案：设t时刻第一、二只桶中所含盐的质量分别为m1(t)，m2(t)，则有知识点解析：暂无解析20、就a，b的不同取值情况讨论方程组何时无解、何时只有唯一解、何时有无数个解?在有无数个解时求其通解．标准答案：1)当a≠－1，a≠6时，方程组只有唯一解；2)当a=－1时，当a=－1，b≠36时，方程组无解；当a=－1，b=36时，方程组有无数个解，方程组的通解为3)当a=6，b为任意取值时，知识点解析：暂无解析21、设α=(1，1，－1)T是的一个特征向量．(I)确定参数a，b的值及特征向量α所对应的特征值；(Ⅱ)问A是否可以对角化?说明理由．标准答案：(I)由Aα=λα，得解得a=－3，b=0，λ=－1．(Ⅱ)由｜λE－A｜=(λ+1)3=0，得λ=－1是三重特征值．因为r(－E－A)=2，所以λ=－1对应的线性无关的特征向量只有一个，所以A不可以对角化．知识点解析：暂无解析22、设X的概率密度为(I)求a，b的值；(Ⅱ)求随机变量X的分布函数；(Ⅲ)求Y=X3的密度函数．标准答案：(Ⅲ)FY(y)=P{X3≤y}，当y＜－8时，FY(y)=0；知识点解析：暂无解析23、设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，且总体X的密度函数为(I)求θ的矩估计量；(Ⅱ)求θ的极大似然估计量．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、若f"(x)在(0，2)上连续，则()．A、点(1，f(1))是曲线y=f(x)的拐点B、f(1)是函数y=f(x)的极小值C、f(1)是函数y=f(x)的极大值D、点(1，f(1))不是曲线y=f(x)的拐点，f(1)也不是函数y=f(x)的极值标准答案：C知识点解析：当x∈(1－δ，1)时，f＇(x)＞0；当x∈(1，1+δ)时，f＇(x)＜0，从而x=1为f(x)的极大值点；从而f"(x)＜0，即(1，f(1))不是y=f(x)的拐点，应选C．2、的根的个数为()．A、0B、1C、2D、3标准答案：B知识点解析：由f＇(x)=(x+1)ex+1=0得x=－1，3、设f(x)连续，且满足则关于f(x)的极值问题有()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：4、设δ＞0，f(x)在(－δ，δ)内恒有f"(x)>0，且｜f(x)｜≤x2，记则有()．A、I=0B、I＞0C、I＜0D、不能确定标准答案：B知识点解析：因为｜f(x)｜≤x2，所以f(0)=0，由｜f(x)｜≤x2，得由夹逼定理得f＇(0)=0．5、已知四维列向量α1，α2，α3线性无关，若向量βi(i=1，2，3，4)是非零向量且与向量α1，α2，α3均正交，则向量组β1，β2，β3，β1的秩为()．A、1B、2C、3D、4标准答案：A知识点解析：设αi=(αi1，αi2，αi3，αi4)T(i=1，2，3)，由已知条件有βiTαj=0(i=1，2，3，4；j=1，2，3)．即βi(i=1，2，3，4)为方程组的非零解．由于αi，α2，α3线性无关，所以方程组系数矩阵的秩为3，所以其基础解系含1个解向量，从而向量组β1，β2，β3，β4的秩为1，选A．6、设A=(α1，α2，α3，α4)为四阶方阵，且α1，α2，α3，α4为非零向量组，设AX=0的一个基础解系为(1，0，－4，0)T，则方程组A*X=0的基础解系为()．A、α1，α2，α3B、α2，α3，α1+α3C、α1，α3，α4D、α1+α2，α2+2α4，α1标准答案：D知识点解析：由r(A)=3得r(A*)=1，则A*X=0的基础解系由3个线性无关的解向量构成．由α1－4α3=0得α1，α3成比例，显然A、B、C不对，选D．7、设X～N(1，4)，Y～N(3，16)，P{Y=aX+b}=1，且ρXY=－1，则()．A、a=2，b=5B、a=－2，b=－5C、a=－2，b=5D、a=2，b=－5标准答案：C知识点解析：由EY=aEX+b得a+b=3，再由DY=a2DX得4a2=16，因为ρXY=－1，所以a<0，于是a=－2，b=5，选C．8、设总体X服从标准正态分布，(X1，X2，…，Xn)为总体的简单样本，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、标准答案：知识点解析：10、标准答案：知识点解析：交换积分次序得11、设f(x，y)满足f(x，1)=0，f＇y(x，0)=sinx，f"yy(x，y)=2x，则f(x，y)=__________________．标准答案：xy2+ysinx－x－sinx知识点解析：由f"xy(x，y)=2x得f＇y(x，y)=2xy+φ(x)，因为f＇y(x，0)=sinx，所以φ(x)=sinx，即f＇y(x，y)=2xy+sinx，再由f＇y(x，y)=2xy+sinx得f(x，y)=xy2+ysinx+ψ(x)，因为f(x，1)=0，所以ψ(x)=－x－sinx，故f(x，y)=zy2+ysinx－x－sinx．12、过曲线(x≥0)上的一点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面区域的面积为，所围区域绕x轴旋转一周而成的体积为__________________．标准答案：知识点解析：切线与x轴的交点为(－2a，0)，所求的面积为13、标准答案：知识点解析：因为B=AE12(2)E13所以｜B｜=｜A｜｜E12(2)｜｜E13｜=－3，又因为B*=｜B｜B－1，所以B*=－3E13－1E12－1(2)A－1=－3E13E12(－2)A－1，故14、设X～E(λ)，Y～E(λ)且X，Y相互独立，Z=min{X，Y}，则P{Z＞E(Z))=___________________．标准答案：知识点解析：服从参数为λ的指数分布的随机变量的分布函数为Z的分布函数为FZ(z)=P{Z≤z}=1－P{Z＞z}=1－P{X＞z，Y＞z}=1－P{X＞z}P{Y＞z}=1－[1－F(z)-][1－F(z)]即Z～E(2λ)，则三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设y=y(x)由x3+3x2y－2y2=2确定，求y=y(x)的极值．标准答案：x3+3x2y－2y3=2两边对x求导得3x2+6xy+3x2y＇=6y2y＇=0。两边再对x求导得6x+6y+12xy＇+3x2y"－12yy＇2－6y2y"=0，x=0时，y"(0)=－1，x=0为极大值点，极大值为y=－1；x=－2时，y"(－2)=－1，为y=y(x)的极小值点，极小值为y=1．知识点解析：暂无解析16、讨论方程lnx=kx的根的个数．标准答案：情形一：当k=0时，方程只有唯一实根x=1；情形二：当k＞0时，令f(x)=lnx－kx(x＞0)，知识点解析：暂无解析17、计算其中D是由x2+y2=4与x2+(y+1)2=1围成的区域．标准答案：由对称性得知识点解析：暂无解析18、已知微分方程作变换u=x2+y2，ω=lnz一(x+y)确定函数ω=ω(u，v)，求经过变换后原方程化成的关于ω，u，v的微分方程的形式．标准答案：知识点解析：暂无解析19、标准答案：知识点解析：暂无解析20、设讨论当a，b取何值时，方程组AX=b无解、有唯一解、有无数个解，有无数个解时求通解．标准答案：情形一：a≠0当a≠0且a－b+1≠0时，方程组有唯一解；当a≠0且a－b+1=0时，方程组有无数个解，当b≠1时，方程组无解；当b=1时，方程组有无数个解，知识点解析：暂无解析21、设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是三维线性无关的向量组，且Aα1=α1+3α2，Aα2=5α1－α2，Aα3=α1－α2+4α3．(I)求矩阵A的特征值；(Ⅱ)求可逆矩阵Q，使得Q－1叫AQ为对角矩阵．标准答案：(I)令P=(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3线性无关，所以P可逆．因为Aα1=α1+3α2，Aα2=5α1一α2，Aα3=α1－α2+4α3，所以(Aα1，Aα2，Aα3)－(α1+3α2，5α1－α2，α1－α2+4α3)，得A的特征值为λ1=－4，λ2=λ3=4．(Ⅱ)因为A～B，所以B的特征值为λ1=－4，λ2=λ3=4．因为P－1AP=B，所以知识点解析：暂无解析22、设随机变量X服从参数为λA的指数分布，令求：(I)P{X+Y=0}；(Ⅱ)随机变量Y的分布函数；(Ⅲ)E(Y)．标准答案：(I)P{X+Y=0}=P{Y=－X}=P{｜X｜＞1}=1－P{X≤1}=1－(1－e－λ)=e－λ．(Ⅱ)FY(y)=P{Y≤y}=P{Y≤y，0＜X≤1}+P{Y≤y，X＞1}=P{X≤y，0＜X≤1}+P{X≥－y，X＞1}．当y＜－1时，FY(y)=P{X≥－y}=1－P{X≤－y}=eλy；当－1≤y<0时，FY(y)=P{X>1}=e－λ；当0≤y＜1时，FY(y)=P{0－λy+e－λ；当y≥1时，FY(y)=P{0＜X≤1}+P{X＞1}=1．知识点解析：暂无解析23、设有n台仪器，已知用第i台仪器测量时，测定值总体的标准差为σi(i=1，2，…，n)．用这些仪器独立地对某一物理量θ各观察一次，分别得到X1，X2，…，Xn．设E(Xi)=θ(i=1，2，…，n)，问k1，k2，…，kn应取何值，才能在使用标准答案：因为E(Xi)=θ(i=1，2，…，n)，所以的无偏性要求是这就是约束条件，而目标函数为由拉格朗日乘数法，作函数知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)在x=x0的某邻域内连续，且在该邻域内x≠x0处f’(x)存在，则“”的()A、充分必要条件．B、必要条件而非充分条件．C、充分条件而非必要条件．D、既非充分又非必要条件．标准答案：C知识点解析：在所说前提及条件“”下，由洛必达法则：所以f’(x0)”的充分条件．但不是必要条件，反例如下：设本例满足本题所说的前提(其中x0=0)，f’(x)=2xsinf’(x)不存在，而却是存在的．所以“”的必要条件．2、设g(x)在x=0的某邻域内连续且．又设f(x)在该邻域内存在二阶导数且满足x2f"(x)一[f’(x)]2=xg(x)．则()A、f(0)是f(x)的极大值．B、f(0)是f(x)的极小值．C、f(0)不是f(x)的极值．D、f(0)是否为f(x)的极值要由具体的g(x)决定．标准答案：B知识点解析：当x≠0时，g(x)=，由于g(x)在x=0处连续，所以[f’(0)]2=02．f"(0)一0．g(0)=0，即f’(0)=0．所以f(0)为f(x)的一个极小值．3、设数列{an}单调增加且有上界，θ为常数，则级数(an一an+1)sinnθ()A、发散．B、条件收敛．C、绝对收敛．D、敛散性与θ有关．标准答案：C知识点解析：由于数列{an}单调增加且有上界，故另一方面，｜(an一an+1)sinnθ｜≤｜an一an+1｜=an+1一an，而已证(an+1一an)收敛，所以由比较判别法知，(an—an+1)sinnθ绝对收敛，选C．4、设g(x)在(一∞，+∞)内存在二阶导数，且g"(x)＜0．令f(x)=g(x)+g(一x)，则当x≠0时()A、f’(x)＞0．B、f’(x)＜0．C、f’(x)与x同号．D、f’(x)与x异号．标准答案：D知识点解析：由f(x)=g(x)+g(—x)，有f’(x)=g’(x)一g’(一x)，f"(x)=g"(x)+g"(—x)＜0，f’(0)=0．再由拉格朗日中值定理有f’(x)=f’(0)+f"(ξ)x=f"(ξ)x，ξ介于0与x之间，所以当x≠0时，f’(x)与x异号，选D．5、设A是n阶矩阵，则下列说法错误的是()A、对任意的n维列向量ξ，有Aξ=0，则A=O．B、对任意的n维列向量ξ，有ξTAξ=0，则A=O．C、对任意的n阶矩阵B，有AB=O，则A=O．D、对任意的n阶矩阵B，有BTAB=O，则A=O．标准答案：B知识点解析：法一选项(A)对任意的n维列向量ξ，有Aξ=0．分别取ξ1=(1，0，…，0)T，ξ2=(0，1，…，0)T，…，ξn=(0，0，…，1)T代入，即得Aij=0(i=1，2，…，n；j=1，2，…，n)．故A=O．选项(C)，(D)对任意的n阶矩阵B，有AB=O及BTAB=O．只要取B=E，即可得出A=0．故由排除法，应选B．法二对选项(B)，只要A是非零反对称矩阵，即AT=一A≠O时，则对任意的n维列向量ξ，因ξTAξ是数，故有ξTAξ=(ξTAξ)T=ξTATξ=一ξTAξ，则2ξTAξ=0，即ξTAξ=0，但A≠O．故选项(B)是错误的，应选B．6、设α1，α2，α3，α4，α5均是4维列向量．记A=(α1，α2，α3，α4)，B=(α1，α2，α3，α4，α5)．已知方程AX=α5有通解k(1，一1，2，0)T+(2，1，0，1)T，其中k是任意常数，则下列向量不是方程BX=0的解的是()A、(2，1，0，1，一1)T．B、(3．0．2．1，一1)T．C、(1，一2，一2，0，一1)T．D、(0，3，一4，1，一1)T．标准答案：C知识点解析：由AX=α5的通解k(1，一1，2，0)T+(2，1，0，1)T知α5可由α1，α2，α3，α4表出为α5=(k+2)α1+(一k+1)α2+2kα3+α4，即(k+2)α1+(一k+1)α2+2kα3+α4—α5=0，即BX=(α1，α2，α3，α4，α5)x=(α1，α2，α3，α4，α5)=0，其中k是任意常数．因为BX=0的解中，无论k为何值，x4，x5不可能为0，故(C)是错误的．7、设随机变量X与Y独立，均服从[0，3]上的均匀分布，则P{1＜max{X，Y)≤2}=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：法一f(x，y)=f(x)．f(y)=因为{max{X，Y)≤2}→{X≤2}∩{Y≤2)，{1＜max{X，Y}}→{X＞1}∪{Y＞1}，故P{1＜max{X，Y}≤2)=P{{1＜X≤2，X≥Y}∪{1＜y≤2，Y≥x}}=．法二令U=max{X，Y}，分布函数为FU(u)=P{U≤u}=P{max{X，Y}≤U)=P{X≤u，Y≤u}．又X，Y相互独立且同分布，则FU(u)=P{X≤u，Y≤u}=P{X≤u}P{Y≤u}=FX(u)FY(u)=[FX(u)]2，故U的概率密度为fU(u)=F’U(u)=ZFX(u)fX(u)=u(0≤u≤3)．所以P{1＜U≤2}=．8、设X1，X2，…，Xn是总体X～N(μ，σ2)的简单随机样本．样本均值，当样本量n＞2时，下列正确的是()A、D(S12)＞D(S02)＞D(S2)．B、D(S02)＞D(S2)＞D(S12)．C、D(S2)＞D(S12)＞D(S02)．D、D(S2)＞D(S02)＞D(S12)．标准答案：D知识点解析：X1，X2，…，Xn是总体X～N(μ，σ)的简单随机样本，则当样本量n＞2时，因为，所以D(S2)＞D(S02)＞D(S12)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、=___________．标准答案：e2知识点解析：令x一1=u，则所以原式=e2．10、=___________．标准答案：2ln(1+)知识点解析：11、设y=y(x)是由y3+(x+1)y+x2=0及y(0)=0所确定，则=___________．标准答案：知识点解析：此极限为“”型．求导中要用到y’(0)，y"(0)等，先求出备用．由y3+(x+1)y+x2=0，有3y2y’+(x+1)y’+y+2x=0，将y(0)=0代入，得0+y’(0)=0，有y’(0)=0．再求导，6y(y’)2+3y2y"+y’+(x+1)y"+y’+2=0．将y(0)=0，y’(0)=0代入，得0+0+0+y"+0+2=0，有y"(0)=一2．12、已知y=u(x)x是微分方程(y2+4x2)的解，则在初始条件y｜x=2=0下，上述微分方程的特解是y=___________．标准答案：2xtan(x一2)知识点解析：由y=u(x)x，有+u(x)，于是原方程化为x2x2(u2+4)，由于初值为x=2，所以在x=2的邻域不包含x=0在内的区间上，上述方程可改写成(u2+4)，分离变量将x=2，y=0代入，得u=0，C=一2．从而得特解y=u(x)x=2xtan(x一2)．13、设A=，且已知A相似于B，则b=___________．标准答案：1知识点解析：法一相似矩阵有相同的特征多项式．故｜λE一A｜==λ2一1=｜λE一B｜==(λ—b)(λ+1)=λ2+(1一b)λ一b，得b=1．法二｜λE一A｜=λ2一1=(λ一1)(λ+1)=0，A有特征值λ1=1，λ2=一1．B是实对称阵，其特征值为l1=b，l2=一1．由相似矩阵有相同的特征值知b=1．14、设A与B是两随机事件，P(A)=0．6且=___________．标准答案：0．2知识点解析：由=0．5，且P(A)=0．6，得P()=0．2．P()=1一P(A∪B)=1一[P(A)+P(B)一P(AB)]=1一[P(A)+P()]=0．2．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、(Ⅰ)求定积分an=∫02x(2x—x2)ndx，n=1，2，…；(Ⅱ)对于(Ⅰ)中的an，求幂级数anxn的收敛半径及收敛区间．标准答案：(Ⅰ)an=∫02x(2x一x)dx=∫02x[1一(1一x)2]ndx，作积分变量代换，令1一x=t，于是an=∫1-1(1一t)(1一t2)n(一dt)=∫1-1(1一t2)ndt一∫1-1t(1一t2)ndt=∫1-1(1一t2)ndt=2∫01(1一t2)ndt．下面用分部积分计算：an=2∫01(1一t2)ndt=2∫01(1一t2)(1一t2)n—1dt=an—1—2∫01t(1一t2)n—1tdt知收敛半径R=1，收敛区间为(一1，1)．知识点解析：暂无解析16、设平面区域D用极坐标表示为标准答案：区域D如图阴影部分所示．为清楚起见，4个圆只画出有关的4个半圆．D关于直线y=x对称，交点A，B，C的极坐标分别为知识点解析：暂无解析17、求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域，并求收敛区间内的和函数．标准答案：令u=x2，化为u的幂级数．易知所以收敛半径R=1，收敛区间为(一1，1)．回到原给幂级数，收敛半径也是1，收敛区间也是(一1，1)，当x=±1时，易知原幂级数收敛，所以收敛域为[一1，1]．在收敛域[一1，1]上，令其和函数为为了进行逐项积分与逐项求导，所以在收敛区间内考虑计算．在区间(一1，1)内，令知识点解析：暂无解析18、过椭圆=1(a＞b＞0)第一象限上的点(ξ，η)作切线，使此切线与椭圆以及两坐标轴正向围成的图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为最小，并求该旋转体的最小体积．标准答案：由=0．椭圆上点(ξ，η)处的切线方程为y一η=一(x一ξ)，与两坐标轴的交点分别为三角形OAB绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为椭圆=1与两坐标轴正向围成的图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为由于V2为常数，所以求V的最小值，只要求V1的最小值或ξη2的最大值即可．令由于驻点唯一，且Vmin必存在，所以当(*)式成立时，(**)式即为Vmin．知识点解析：暂无解析19、设x与y均大于0且x≠y，证明：．标准答案：不妨设y＞x＞0(因若x＞y＞0，则变换所给式子左边的x与y，由行列式性质知，左边值不变)，则由柯西中值定理有，存在一点ξ∈(x，y)，使得上式==eξ一ξeξ．令f(u)=eu—ueu(u>o)，有f(0)=1，f’(u)=一ueξ＜0，所以当u＞0时，f(u)＜1，从而知eξ一ξeξ＜1，于是得证知识点解析：暂无解析20、设3阶矩阵A，B满足关系式AB=A—B且A有三个不同的特征值．证明：(Ⅰ)AB=BA：(Ⅱ)存在可逆阵P，使得P-1AP，P-1BP同时为对角阵．标准答案：(Ⅰ)由题设AB=A—B，①知AB—A+B—E=一E，A(B—E)+(B—E)=一E，(A+E)(E一B)=E．②即A+E，E一B互为逆矩阵，且(E—B)(A+E)=E，③从而得A—B一BA=O，④由①，④式得证AB=BA．(Ⅱ)A有三个不同的特征值，故有三个线性无关的特征向量，设为ξ1，ξ2，ξ3．则有A(ξ1，ξ2，ξ3)=(λ1ξ1，λ2ξ2，λ3ξ3)=(ξ1，ξ2，ξ3)，两端左边乘B，BA(ξ1，ξ2，ξ3)=B(ξ1，ξ2，ξ3)．由(Ⅰ)AB=BA，得AB(ξ1，ξ2，ξ3)=B(ξ1，ξ2，ξ3)=B(λ1ξ1，λ2ξ2，λ3ξ3)，得A(Bξi)=λi(Bξi)，i=1，2，3．若Bξi≠0，则Bξi是A的属于特征值λi的特征向量，因λi是单根，故对应相同的特征值的特征向量成比例．故Bξi=μiξi．若Bξi=0，则ξi是B的属于特征值0的特征向量．无论何种情况，B都有三个线性无关的特征向量ξi(i=1，2，3)．故A，B同时存在可逆阵P=(ξ1，ξ2，ξ3)，使得P—1AP=．知识点解析：暂无解析21、(Ⅰ)设α1=(a1，a2，a3，a4)，α2=(a2，一a1，a4，一a3)，α3=(a3，一a4，一a1，a2)，其中ai(i=1，2，3，4)不全为零．证明α1，α2，α3线性无关；(Ⅱ)记A=，证明AAT是正定矩阵．标准答案：(Ⅰ)用反证法．假设α1，α2，α3线性相关，则由定义，存在不全为零的实数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0．(*)因α1α2T=(a1，a2，a3，a4)=0，α1α3T=(a1，a2，a3，a4)=0，α2α3T=(a2，—a1，a4，—a3)=0．又αjαj=aj2≠0，j=1，2，3．故将式(*)两端右边乘αjT，j=1，2，3，得kjαjαjT=0，αjαjT≠0kj=0，j=1，2，3，这和假设矛盾，得证α1，α2，α3线性无关．(Ⅱ)由(Ⅰ)知α1，α2，α3线性无关，则r(A)==3，且AAT是实对称矩阵．则齐次方程组ATx=(α1T，α2T，α3T)x=0仅有唯一零解，则对任给的x≠0，ATx=(α1T，α2T，α3T)x≠0，两端左边乘(ATx)T，得(ATx)T(ATx)=xTAATx＞0，得证，AAT是正定矩阵．知识点解析：暂无解析22、设随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)=(Ⅰ)求fX(x)，fY(y)，判断X与Y是否独立?(Ⅱ)记U=X，V=Y—X，求(U，V)的分布函数F(u，v)，并判断U，V是否独立?标准答案：(Ⅰ)由随机变量(X，Y)的概率密度得因为f(x，y)≠fX(x)fY(y)，所以X与Y不独立．(Ⅱ)F(u，v)=P{U≤u，V≤v}=P{X≤u，Y—X≤v}=f(x，y)dxdy(一∞＜u，v＜+∞)，若u≤0或v≤0，如下图所示，则F(u，v)=0，若u＞0，v＞0，如下图所示，因为F(u，v)=FU(u)．FV(v)，所以U与V独立．知识点解析：暂无解析23、已知随机变量X的概率密度为f(x)=X1，X2，…，Xn为X的简单随机样本．(Ⅰ)求未知参数α的矩估计量和最大似然估计量；(Ⅱ)求α的矩估计量的数学期望．标准答案：(Ⅰ)先求α的矩估计量．设，再求α的最大似然估计量．当xi＞0(i=1，2，…，n)时，似然函数两边取对数，得lnL(α)=nln4+2ln(x1x2…xn)一3nlnα一知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设若f(x)在x=0处可导且导数不为零，则k为()．A、3B、4C、5D、6标准答案：C知识点解析：因为f(x)在x=0处可导，所以k一2=3，即k=5，选C．2、曲线的渐近线条数为()．A、3条B、2条C、1条D、0条标准答案：A知识点解析：3、下列命题正确的是()．A、若收敛B、设收敛C、若收敛D、设an＞0，bn＞0，且收敛标准答案：D知识点解析：4、设f(x，y)在(0，0)处连续，且，则()．A、f(x，y)在(0，0)处不可偏导B、f(x，y)在(0，0)处可偏导但不可微C、fx’(0，0)=fy’(0，0)=4且f(x，y)在(0，0)处可微分D、fx’(0，0)=fy’(0，0)=0且f(x，y)在(0，0)处可微分标准答案：D知识点解析：5、设A为三阶矩阵的解，则()．A、当t≠2时，r(A)=1B、当t≠2时，r(A)=2C、当t=2时，r(A)=1D、当t=2时，r(A)=2标准答案：A知识点解析：当t≠2时,为AX=0的两个线性无关的解，从而3一r(A)≥2，r(A)≤1，又由A≠0得r(A)≥1，即r(A)=1，应选A．6、设α，β为四维非零的正交向量，且A=αβT，则A的线性无关的特征向量个数为()．A、1个B、2个C、3个D、4个标准答案：C知识点解析：令AX=λX，则A2X=λ2X，因为α，β正交，所以αTβ=βTα=0，A2=αβT.αβT=0，于是λ2X=0，故λ1=λ2=λ3—λ4=0，因为α，β为非零向量，所以A为非零矩阵，故r(A)≥1；又r(A)=r(αβT)≤r(α)一1，所以r(A)=1．因为4一r(OE—A)=4一r(A)=3，所以A的线性无关的特征向量是3个，选C．7、设随机变量X的分布函数为F(x)=0．2F1(x)+0．8F1(2x)，其中F1(y)是服从参数为1的指数分布的随机变量的分布函数，则D(X)为()．A、0．36B、0．44C、0．64D、1标准答案：B知识点解析：设X1～E(1)，其密度函数为其分布函数为F1(x)=且E(X1)=D(X1)=1，则E(X12)=D(X1)+EE(X1)]2=2．8、设X1，X2，X3，X4，X5是来自总体N(1，4)的简单随机样本，则a=()A、2B、C、D、1标准答案：C知识点解析：二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、=________。标准答案：知识点解析：10、设由x=zey+z确定z=z(x，y)，则dz｜(e,0)=_________．标准答案：知识点解析：将x=e，y=0代入得z=1．x=zey+z两边求微分得dx=zey+zdy+(z+1)ey+zdz，将x=e，y=0，z=1代入得11、=_________。标准答案：知识点解析：因为为奇函数，所以12、y’’一2y’=e-x的通解为_________．标准答案：知识点解析：特征方程为λ2一2λ－3=0，特征值为λ1=一1，λ2=3，则方程y’’一2y’一3y=0的通解为y=C1e-x+C2e3x．令原方程的特解为y0(x)=Axe-x，代入原方程得，于是原方程的通解为13、设A为三阶实对称矩阵，α1=(m，一m，1)T是方程组AX=0的解，α2=(m，1，1一m)T是方程组(A+E)X=0的解，则m=_________．标准答案：1知识点解析：由AX=0有非零解得r(A)＜3，从而λ=0为A的特征值，α1=(m，一m，1)T为其对应的特征向量；由(A+E)X=0有非零解得r(A+E)＜3，｜A+E｜=0，λ=一1为A的另一个特征值，其对应的特征向量为α2=(m，1，1－m)T，因为A为实对称矩阵，所以A的不同特征值对应的特征向量正交，于是有m=1．14、设总体X～N(0，σ2)，X1，X2，X3，X4为总体X的简单随机样本，__________。标准答案：t(3)知识点解析：由三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)15、设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内三阶可导，且．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’’’(ξ)=9．标准答案：作多项式P(x)=Ax3+Bx2+Cx+D，使得P(0)=0，P’(0)=2，P(1)=1，P(2)=6则φ(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，且φ(0)=φ(1)=φp(2)=0．因此φ(x)在[0，1]和[1，2]上都满足罗尔定理的条件，则存在ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)，使得φ’(ξ1)=φ’(ξ2)=0．又φ’(0)=0，由罗尔定理，知识点解析：暂无解析16、设u=f(x2+y2，xz)，z=z(x，y)由ex+ey=ez确定，其中f二阶连续可偏导，求标准答案：由ex+ey=ez得知识点解析：暂无解析设某工厂产甲、乙两种产品，设甲、z,N种产品的产量分别为x和y(吨)，其收入函数为R=15x+34y—x2一2xy一4y2一36(万)，设生产甲产品每吨需要支付排污费用1万，生产乙产品每吨需要支付排污费用2万．17、在不限制排污费用的情况下，这两种产品产量各为多少时总利润最大?求最大利润．标准答案：利润函数为L=R—C=15x+34y—x2一2xy一4y2一36一x一2y=14x+32y—x2一2xy一4y2一36．因为只有唯一一个驻点，且该实际问题一定有最大值，所以当时，利润达到最大，最大利润为L(4，3)=40(万)．知识点解析：暂无解析18、当排污总费用为6万时，这两种产品产量各多少时总利润最大?求最大利润．标准答案：令F(x，y，λ)=L(x，y)+λ(x+2y一6)，因为该实际问题一定有最大值，故当时，总利润最大，且最大利润为L(2，2)=28(万)．知识点解析：暂无解析19、求幂级数的收敛域与和函数．标准答案：知识点解析：暂无解析20、求微分方程y’’+y’一2y—xex+sin2x的通解．标准答案：特征方程为λ2+λ一2=0，特征值为λ=一2，λ=1，y+y一2y=0的通解为y=C1e-2x+C2ex设y’’+y’一2y=xex，(*)y’’+y’一2y=sin2x．(**)知识点解析：暂无解析21、设，B为三阶非零矩阵,的解向量，AX=a3有解．(1)求常数a，b．(Ⅱ)求BX=0的通解．标准答案：由B为三阶非零矩阵得r(B)≥1，从而BX=0的基础解系最多有两个线性无关的解向量，于是解得a=3b．由AX=α3有解得r(A)=r(A：α3)，b=5，从而a=15．由α1,α2为BX=0的两个线性无关解得3一r(B)≥2，从而r(B)≤1，再由r(B)≥1得r(B)=1，α1,α2为BX=0的一个基础解系，故BX=0的通解为知识点解析：暂无解析22、设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3的秩为1，且(0，1，一1)T为二次型的矩阵A的特征向量．(I)求常数a，b；(II)求正交变换X=QY，使二次型XTAX化为标准形．标准答案：知识点解析：暂无解析23、设随机变量X的分布律为P(X=k)一p(1－p)k-1(k=1，2，…)，y在1～k之间等可能取值，求P{Y=3)．标准答案：令AK={X=k)(k=1，2，…)，B={Y=3)，P(B｜A1)=P(B｜A2)=0，知识点解析：暂无解析24、设X1，X2，…，Xn(n＞2)相互独立且都服从N(0，1)，Yi=Xi=一X(i=1，2，…，n)．求(I)D(Yi)(i=1，2，…，n)；(Ⅱ)Coy(Y1，Yn)；(Ⅲ)P(Y1+Yn≤0)．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第5套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)是以3为周期的可导函数，且f’(-1)=1，则I==()。A、-4B、4C、D、标准答案：C知识点解析：注意f’(x)也以3为周期，f’(-1)=f’(2)，利用导数可求得极限故应选C。2、函数f(x)=cosx+xsinx在(-2π，π)内的零点个数为()。A、1个B、2个C、3个D、4个标准答案：D知识点解析：f(x)为偶函数，f(0)=1，故只需讨论(0，2π)内零点的个数。由又。由此可知，f(x)在无零点，f(x)在均单调且端点函数值异号，因而各有唯一零点，所以f(x)在[-2π，2π]内共有4个零点。3、若f(-1，0)为函数f(x，y)=e-x(ax+b-y2)的极大值，则常数a，b应满足的条件是()。A、a≥0，b=a+1B、a≥0，b=2aC、a＜0，b=a+1D、a＜0，b=2a标准答案：B知识点解析：应用二元函数取极值的必要条件得f’x(-1，0)=e-x(-ax-b+y2+a)︱(-1，0)=e(2a-b)=0，f’y(-1，0)=-2ye-x︱(-1，0)=0，所以b=2a，由于A=f’’xx(-1，0)=e-x(ax+b-y2-2a)︱(-1，0)=e(-3a+b)=0，B=f’’xy(-1，0)=2ye-x︱(-1，0)=0，C=f’’yy(-1，0)=-2e-x︱(-1，0)=-2e，△=AC-B2=2e2(3a-b)，再由二元函数极值的必要条件△≥0得3a-b≥0，于是常数a，b应满足的条件为a≥0，b=2a。故应选B。4、反常积分()。A、收敛，且取值为零B、收敛，且取正值C、发散D、收敛，且取负值标准答案：C知识点解析：收敛的定义是：与均收敛，且。用分部积分法计算可得：当b＞0时，有。于是不存在→发散→原积分发散。故应选C。5、设η1，η2，η3为3个n的维向量，AX=0是n元齐次方程组。则()正确。A、如果η1，η2，η3都是AX=0的解，并且线性无关，则η1，η2，η3为AX=0的一个基础解系B、如果η1，η2，η3都是AX=0的解，并且r(A)=n-3，则η1，η2，η3为AX=0的一个基础解系C、如果η1，η2，η3等价于AX=0的一个基础解系，则它也是AX=0的基础解系D、如果r(A)=n-3，并且AX=0每个解都可以用η1，η2，η3线性表示，则η1，η2，η3为AX=0的一个基础解系标准答案：D知识点解析：答案A缺少n-r(A)=3的条件。答案B缺少η1，η2，η3线性无关的条件。答案C例如η1，η2是基础解系η1+η2=η3，则η1，η2，η3和η1，η2等价，但是η1，η2，η3不是基础解系。要说明答案D的正确性，就要证明η1，η2，η3都是AX=0的解，并且线性无关，方法如下：设α1，α2，α3是AX=0的一个基础解系，则由条件，α1，α2，α3可以用η1，η2，η3线性表示，于是3≥r(η1，η2，η3)=r(η1，η2，η3，α1，α2，α3)≥r(α1，α2，α3)=3，则r(η1，η2，η3)=r(η1，η2，η3，α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3)=3，于是η1，η2，η3线性无关，并且和α1，α2，α3等价，从而都是AX=0的解。6、下列矩阵中不相似于对角矩阵的是()。A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：答案A矩阵的3个特征值两两不同。答案D是实对称矩阵，因此它们都相似于对角矩阵。答案C矩阵的秩为1，它的特征值都为0，其重数3＞3-答案C矩阵的秩，因此答案C不相似于对角矩阵。答案B矩阵的秩为1，它的特征值为0，0，6，0的重数2=3-答案B矩阵的秩，因此相似于对角矩阵。7、设总体X服从参数λ=2的指数分布，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，和S2分别为样本均值和样本方差，已知，则a的值为()。A、-1B、1C、D、2标准答案：A知识点解析：依题意有=EX==，ES2=DX==，又由题设，即，解得a=-1，故选A。8、设随机变量X～F(n，n)，记α=P{X≥1}，β=P{X＜1}，则在下列关于α与β关系式①α+β=1，②α=β，③α＜β，④α＞β中正确的是()。A、①B、①②C、①③D、④标准答案：B知识点解析：设X的密度函数为f(x)，x＞0，则α+β=P{X≥1}+P{X＜1}===1。故①正确，又X～F(n，n)，故～F(n，n)，从而，即α=β，故②正确，因此选B。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设f(x)是[0，+∞)上的连续函数，且当x≥0时成立，则f(x)=_________________________。标准答案：知识点解析：因f(x)连续，且x(1+x)可导，故题设的变限定积分可导，将恒等式两端求导，得(2x+1)f[x(1+x)]=2x，即(*)令x(1+x)=t，即x2+x-t=0，解得。当x≥0时可得t=x(1+x)≥0，故应取正根，即，从而代入(*)式即得，把t换成x就得出函数。10、若由曲线及曲线某点处的切线方程与两条直线x=1，x=3围成的平面区域的面积最小，则该切线方程为_________________________。标准答案：知识点解析：图形如图所示，过曲线y=上的点处的切线方程为从而由于切线总在曲线的上方，故由曲线、切线及x=1，x=3所围图形面积为由此可见，x0=2，面积s最小，此时切线方程为。11、设u=，其中z=z(x，y)是由方程3x2+2y2+z2=6确定的隐函数，且z(1，1)=1，则=_________________________。标准答案：2e(cos2-sin2)知识点解析：又所以。12、由于折旧等因素，某机器转售价格P(t)是时间t(周)的减函数P(t)=，其中A是机器的最初价格，在任何时间t，机器开动就能产生的利润，则使转售出去总利润最大时机器使用的时间t=_________________________。(In2≈0.693)标准答案：333知识点解析：假设机器使用了t周后出售，在时间[t，t+dt]内机器开动产生的利润为，于是总收益为，由，令f’(t)=0，得t=96In32≈333；当t＜96In32时，f’(t)＞0；t＞96In32时，f’(t)＜0，故机器使用了333周后转售出去总利润最大。13、已知，则A-1=_________________________。标准答案：知识点解析：因为所以又于是。14、设X，Y分别服从参数为的0-1分布，且它们的相关系数，则X与Y的联合概率分布为_________________________。标准答案：知识点解析：依题意，，设(X，Y)的联合分布与边缘分布如下表：由于X，Y只取0，1两个值，所以，即。再由(X，Y)的联合分布与边缘分布的关系，可得。三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设f(x)=，(Ⅰ)求证：f(x)在[0，+∞)上连续；(Ⅱ)求f(x)在[0，+∞)的单调性区间；(Ⅲ)求f(x)在[0，+∞)的最大值与最小值。标准答案：(Ⅰ)当x＞0时f(x)与初等函数相同，故连续，又，即f(x)在x=0处右连续，因此f(x)在[0，+∞)上连续。(Ⅱ)考察(0，+∞)上f’(x)的符号，先求，并考察，由g’(x)→g(x)在(0，+∞)单调上升→→→f(x)在[0，1]单调下降，在[1，+∞)单调上升。(Ⅲ)由(Ⅱ)中单调性分析知，f(x)=f(1)=，又f(0)=1，，因此。知识点解析：暂无解析16、设有抛物线C1：x2=ay和圆C2：x2+y2=2y，(Ⅰ)确定a的取值范围，使得C1，C2交于三点O，M，P(如图)；(Ⅱ)求抛物线C1与弦MP所围平面图形面积S(a)的最大值；(Ⅲ)求上述具有最大面积的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积V。标准答案：(Ⅰ)得ay+y2=2y，解得y=0，y=2-a，由0＜y=2-a＜2，可得0＜a＜2，此时C1与C2的三交点是0(0，0)，。(Ⅱ)由定积分的几何意义及对称性可得所论平面图形面积，要使S(a)最大，只要f(a)=a(2-a)3最大(0＜a＜2)，由于是f’(a)=(2-a)3-3a(2-a)2=→a=时，最大。此时所求面积的最大值。(Ⅲ)由旋转体的体积计算公式可得所求旋转体的体积(圆柱体体积减去而被抛物旋转体的体积)为。知识点解析：暂无解析17、设z=z(x，y)是由9x2-54xy+90y2-6yz-z2+18=0确定的函数，求z=z(x，y)的极值点和极值。标准答案：利用一阶全微分形式不变性，将方程求全微分即得18xdx-54(ydx+xdy)+180ydy-6zdy-6ydz-2zdz=0，即(18x+54y)dx+(180y-54x-6z)dy-(6y+2z)dz=0。从而为求隐函数z=z(x，y)的驻点，应解方程组②可化简得x=3y，由③可得z=30y-9x=3y，代入①可解得两个驻点x=3，y=1，z=3与x=-3，y=-1，z=-3。为判定z=z(x，y)在两个驻点处是否取得极值，还需求z=z(x，y)在这两点的二阶偏导数：记P=(3，1，3)，Q=(-3，-1，-3)，即可得出在P点处，故，故在点(3，1)处z=z(x，y)取得极小值z(3，1)=3。类似可知在Q点处，故B2-AC=，且，故在点(-3，-1)处z=z(x，y)取得极大值z(-3，-1)=-3。知识点解析：暂无解析18、设。标准答案：令S(x)=，则其收敛半径R=1。在(-1，1)内有。由于，取x=，因此有，即。知识点解析：暂无解析19、设函数f(x)在区间[0，4]上连续，且=0，求证：存在ξε(0，4)使得f(ξ)+f(4-ξ)=0。标准答案：方法一：用反证法证明本题，由题设f(x)在[0，4]上连续即知f(4-x)在[0，4]上连续，从而其和f(x)+f(4-x)也在[0，4]上连续，若不存在ξε(0，4)使f(ξ)+f(4-ξ)=0，则f(x)+f(4-x)或在(0，4)内恒正，或在(0，4)内恒负，于是必有。但是=0用换元x=4-t可得，于是，由此可得出的矛盾表明必存在ξε(0，4)使得f(ξ)+f(4-ξ)=0。方法二：作换元t=4-x，则x：0→4对应t：4→0，且dx=-dt，从而，由此即得，于是。利用f(x)+f(4-x)在[0，4]连续，由连续函数的积分中值定理即知存在ξε(0，4)使得。知识点解析：暂无解析20、设α1=(1，3，5，-1)T，α2=(2，7，a，4)T，α3=(5，17，-1，7)T。(Ⅰ)若α1，α2，α3线性相关，求a；(Ⅱ)当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4；(Ⅲ)设a=3，α4是与α1，α2，α3都正交的非零向量，证明α1，α2，α3，α4可表示任何一个4维向量。标准答案：(Ⅰ)α1，α2，α3线性相关，则r(α1，α2，α3)＜3得a=-3。(Ⅱ)与α1，α2，α3都正交的非零项向量即齐次方程组的非零解，解此方程组：解得α4=c(19，-6，0，1)T，c≠0。(Ⅲ)只用证明α1，α2，α3，α4线性相关，此时对任何4维向量α，有α1，α2，α3，α4，α线性相关，从而α可以用α1，α2，α3，α4线性表示。方法一：由①知，a=3时，α1，α2，α3线性无关，只用证明α4不能用α1，α2，α3线性表示，用反证法，如果α4能用α1，α2，α3线性表示，设α4=c1α1+c2α2+c3α3，则(α4，α4)=(α4，c1α1+c2α2+c3α3)=c1(α4，α1)+c2(α4，α2)+c3(α4，α3)=0，得α4=0，与α4是非零向量矛盾。方法二：计算行列式于是α1，α2，α3，α4线性无关。知识点解析：暂无解析21、已知三元二次型xTAx的平方项系数都为0，α=(1，2，-1)T满足Aα=2α。(Ⅰ)求xTAx的表达式；(Ⅱ)求作正交变换x=Qy，把xTAx化为标准二次型。标准答案：(Ⅰ)设A=，则条件Aα=2α即得2a-b=2，a-c=4，b+2c=-2，解出a=b=2，c=-2。此二次型为4x1x2+4x1x3-4x2x3。(Ⅱ)先求A的特征值于是A的特征值就是2，2，-4，再求单位正交特征向量组：属于2的特征向量是(A-2E)x=0的非零解。得(A-2E)x=0的同解方程组：x1-x2-x3=0。显然β1=(1，1，0)T是一个解，设第二个解为β2=(1，-1，c)T(这样的设定保证了两个解是正交的！)，代入方程得c=2，得到属于特征值2的两个正交的特征向量β1，β2，再把它们单位化：记，属于-4的特征向量是(A+4E)x=0的非零解。求出β3=(1，-1，-1)T是一个解，单位化：记，则η1，η2，η3是A的单位正交特征向量组，特征值依次为2，2，-4。作正交矩阵Q=(η1，η2，η3)，则Q-1AQ是对角矩阵，对角线上的元素为2，2，-4。作正交变换x=Qy，它把f(x1，x2，x3)化为2y12+2y22-4y32。知识点解析：暂无解析22、设离散型二维随机变量(X，Y)的取值为(xi，yj)(i，j=1，2)且，试求：(Ⅰ)二维随机变量(X，Y)的联合概率分布；(Ⅱ)X与Y的相关系数Pxy；(Ⅲ)条件概率P{Y=yj︱X=x1}，j=1，2。标准答案：依题意，随机变量X与Y的可能取值分别为x1，x2与y1，y2且，又题设，于是有，即事件{X=x1}与事件{Y=y1}相互独立，因而{X=x1}的对立事件{X=x2}与{Y=y1}独立，且{X=x1}与{Y=y1}的对立事件{Y=y2}独立；{X=x2}与{Y=y2}独立，即X与Y相互独立。(Ⅰ)因X与Y独立，所以有或。于是(X，Y)的联合概率分布为(Ⅱ)由(Ⅰ)知X与Y独立，因此它们的相关系数PXY=0。(Ⅲ)因X与Y独立，所以P{Y=yj︱X=x1}=P{Y=yj}，j=1，2于是有。知识点解析：暂无解析23、设随机变量X服从(0，2)上的均匀分布，Y服从参数λ=2的指数分布，且X，Y相互独立，记随机变量Z=X+2Y。(Ⅰ)求Z的概率密度；(Ⅱ)求EZ，DZ。标准答案：(Ⅰ)由题设X，Y相互独立，且故先求Z的分布函数，当Z≤0时，FZ(Z)=0；当0＜Z＜2时，；当Z≥2时，，于是。(Ⅱ)直接用期望、方差的运算性质，由于EX=1，DX=，且X，Y相互独立，故EZ=E(X+2Y)=EX+2EY=1+1=2，。知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第6套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设其中g(x)是有界函数，则f(x)在x＝0处()A、极限不存在。B、极限存在，但不连续。C、连续，但不可导。D、可导。标准答案：D知识点解析：本题考查函数连续和可导的关系及可导的定义。首先通过计算x＝0处的左、右极限判断函数在该点是否连续，再利用可导的充要条件判断函数是否可导。因为因此f(x)在x＝0处连续。从而f＇＋(0)＝f＇－(0)＝0＝f＇(0)，即f(x)在x＝0处可导。故本题选D。2、设，则f(x)＝()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：本题考查定积分和原函数的关系。题中f(x)的表达式中含有定积分，因此关键是求出定积分的值。等式两端同除以x2,令等于某待定系数，对变形后的等式两端同时积分可求得的值。两端同时除以x2，得，对上式两端在[1，e]上积分，可得139，即解得，因此。故本题选C。3、设，则级数()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：本题考查数项级数的敛散性。首先化简已知的通项公式，an是正负间隔的，因此考虑用莱布尼茨判别法判断的敛散性；然后利用比较判别法判断的敛散性。因为显然是一个交错级数，满足莱布尼茨判别法的条件，因此收敛。因为当n→∞时，所以此时是等价无穷小，且级数收敛，因此级数也收敛。故本题选A。4、某产品生产x个单位的量时，其边际收益为，则生产100个单位的产品时的平均单位收益为()A、30。B、40。C、49。D、50。标准答案：B知识点解析：本题考查定积分的经济学应用。利用已知的边际收益函数求出总收益函数，积分上限为100。总收益函数R为边际收益函数的积分，因此可得总收益为进一步可得其平均收益为。故本题选B。5、设A，B为3阶可逆矩阵，且｜A－3E｜＝0，λ1＝1，λ2＝2是矩阵A的两个特征值，则｜B-2AB｜＝()A、36。B、－36。C、90。D、－90。标准答案：D知识点解析：本题考查相似矩阵的性质。首先结合｜A－3E｜＝0可得出矩阵A和B的所有特征值，然后利用矩阵行列式等于矩阵所有特征值乘积的性质计算｜B－2AB｜。根据｜A-3E｜＝0可知λ＝3是矩阵A的另一个特征值，因此A的所有特征值为1，2，3。已知A和B相似，因此B的特征值也是1，2，3。E－2A的特征值分别为1－2×1＝－1，1－2×2＝－3，1－2×3＝－5。因此｜E-2A｜＝(－1)×(－3)×(－5)＝－15，｜B｜＝λ1λ2λ3＝1×2×3＝6。故｜B－2AB｜＝｜(E－2A)B｜＝｜E－2A｜·｜B｜＝－15×6＝－90。故本题选D。6、已知，则A－1＝()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：本题考查矩阵的幂和逆矩阵的性质。该题可以用两种方法解答，第一种方法先将矩阵A化简到最终的形式，利用初等变换法求其逆矩阵；第二种方法先将A中的两个矩阵的幂算出结果，再利用(ABC)－1＝C－1B－1A－1求乘积矩阵的逆矩阵。故本题选C。7、已知随机变量(X1，X2)的概率密度为f1(x1，x2)，分布函数为F1(x1，x2)。设Y1＝3X1，，则随机变量(Y1，Y2)的分布函数F2(y1，y2)和概率密度f2(y1，y2)分别为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：本题考查二维随机变量分布函数的定义和性质，以及二维连续型随机变量函数的分布，主要利用分布函数的定义F2(y1，y2)＝P{Y1≤y1，Y2≤y2}以及概率密度的计算公式。根据已知可得随机变量(Y1，Y2)的分布函数F2(y1，y2)为进一步可得概率密度f2(y1，y2)为故本题选C。8、设总体X与Y都服从正态分布N(0，σ2)，已知X1，X2，…，Xm与Y1，Y2，…，Yn均是来自正态总体X与Y的两个相互独立的简单随机样本，统计量服从t(n)分布，则m与n应满足的关系为()A、n＝m。B、9n＝4m。C、3n＝2m。D、m＝n－1。标准答案：B知识点解析：本题考查t分布的经典模型。首先利用已知条件将标准化之后得出t分布的服从正态分布的分子部分，再利用X2分布的定义凑出分母的形式，从而得出m和n的关系。根据t分布的模型，因为Xi～N(O，σ2)(i＝1，2，…，m)，所以Xi～N(O，mσ2)，进一步。而(i＝1，2，…，m)且相互独立，则因为U和V相互独立，所以有可得，因此9n＝4m。故本题选B。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设，其中f(x)＝ln(1＋x)，则y＇(2)＝________。标准答案：－ln4知识点解析：本题考查复合函数求导。令，将函数转化为以z为中间函数的复合函数，然后利用复合函数求导求出y＇的表达式。利用x＝2算出名的值，代入表达式求出y＇(2)。设当x＝2时，x＝3，则。10、f(x)的一个原函数是xsinx，则∫0－1xf＇(x)dx＝__________。标准答案：－cos1知识点解析：本题考查积分与原函数的定义及分部积分法。先通过对xsinx求导得出f(x)的表达式，利用分部积分法求出积分；也可以求出f＇(x)代入后直接求积分。由已知可得f(x)＝(xsinx)＇＝sinx＋xcosx，所以有11、设函数z＝z(x，y)由方程2ln(x－2y－z)＝x－2y－z所确定，则＝___________。标准答案：4知识点解析：本题主要考查隐函数求导公式。先利用已知写出F(x，y，z)，求出F(x，y，z)对x，y，z的偏导数，再利用求出结果。令F(x，y，z)＝21n(x－2y－z)－x＋2y＋z，则12、曲面2＋y2＝25，z＝6－x－y，z＝0所围成的立体图形的体积是__________。标准答案：150π知识点解析：本题主要考查二重积分的几何意义。若函数f(x，y)在区域D上连续且非负，则二重积分表示以区域D为底，曲面z＝f(x，y)为顶的曲顶柱体的体积。令D＝{(x，y)｜x2＋y2≤25}，则根据二重积分的几何意义可得13、已知向量组α1＝(1，2，1)T，α2＝(1，1，a)T，α3＝(b，1，2)T的秩为2，则a，b满足的关系式为__________。标准答案：a＋b－2ab＋1＝0知识点解析：本题主要考查矩阵秩的求解，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系。向量组的秩为2，即由该向量组构成的矩阵的秩也是2。向量组的秩为2，则矩阵的秩也为2，因此a，b满足(1－2b)(a－1)＋2－b＝a＋b－2ab＋1＝0。14、已知X1，X2，…，X8是来自正态分布N(0，σ2)的简单随机样本，统计量服从F(n1，n2)分布，其中k为常数，则k｜n1－n2｜＝__________。标准答案：知识点解析：本题考查统计量的概念。首先根据已知统计量可知分子分母均服从X2分布，然后将Xi标准化，结合X2分布的特点，得出分子分母服从的X2分布的自由度，并得出k的值，从而计算出k｜n1－n2｜的值。根据已知，且它们相互独立，因此根据F分布的定义，有三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设f(x)在x＝0处具有二阶连续导数，且已知，试求f(0)，f＇(0)，f＂(0)及极限。标准答案：根据重要极限的性质，如果，则知识点解析：本题考查“l∞’型极限的求法及极限存在的条件。根据重要极限，则题干极限式的底数极限为1，否则极限结果为0或者∞，据此可以求出f(0)，根据e4并结合指数形式得出f＇(0)，f＂(0)的值，最后根据重要极限求出。16、计算，区域D由直线y＝x、曲线(y≥0)以及x轴围成。标准答案：圆x2＋y2＝4将区域D分成两部分，圆x2＋y2＝4内的部分记作D1，圆外的部分记作D2，则原积分化为采用极坐标计算积分，其中知识点解析：本题考查二重积分的计算。根据被积函数的形式，当时，去掉绝对值对应的被积函数不同，相应选取的积分区域也有所不同。因此需要分两部分计算，然后再相加。17、设某钢厂出售甲、乙两种钢材，当这两种钢材的销量分别为x和Y时，其总收益与总成本的差值函数为F(x，y)＝－x2－4y2－2xy＋15x＋34y－36(单位：千元)。此外，出售1吨甲钢材还需要支付运输费1千元，出售1吨乙钢材还需要支付运输费2千元。(Ⅰ)在不限制运输费用支出的情况下，这两种钢材的销量各为多少时总利润最大?最大利润是多少?(Ⅱ)当在运输费用不得超过6千元的条件下，这两种钢材的销量各为多少时总利润最大?最大利润是多少?标准答案：(Ⅰ)设甲、乙两种钢材销量分别为x和y，则总利润函数为L(x，y)，则L(x，y)＝F(x，y)－x－2y＝14x＋32y－x2－2xy－4y2－36。令解得x＝4，y＝3。因为必存在最大利润，故在不限制运输费用的情况下，当甲、乙两种钢材的销量分别为x＝4，y＝3时，总利润最大，且最大利润为40千元。(Ⅱ)求总利润函数L(x，y)在约束条件x＋2y＝6下的最大值，构造拉格朗日函数F(x，y，λ)＝L(x，y)＋λ(x＋2y－6)，并求F(x，y，λ)的驻点，令解得x＝2，y＝2。因此当运输费用不超过6千元的情况下，两种钢材的销量均为2吨时总利润最大，最大利润为28千元。知识点解析：本题考查二元函数的极值和条件极值。很显然第一问就是简单的求解最值问题，且该题为实际问题，所以驻点即为所求的最大值点；第二问是在一定的约束条件下的条件极值问题，需要利用拉格朗日乘数法进行求解。18、将函数在区间(－1，1)上展开成x的幂级数。标准答案：函数变形为因为f(0)＝0，将上式由0到x积分得知识点解析：本题考查函数的幂级数展开。观察函数的形式，将其写成两个对数函数相加的形式，则函数f(x)的导数是可以根据公式直接进行幂级数展开的，所以先对f＇(x)进行幂级数展开，然后再对结果求积分，得到f(x)的幂级数展开式。19、设f(x)＝arctanx，ξ为f(x)在区间[0，t]上满足拉格朗日中值定理的一个点，且已知0＜t＜1，求极限。标准答案：函数f(x)＝arctanx在[0，t]上连续，在开区间(0，t)上可导，根据拉格朗日中值定理，存在一点ξ∈(0，t)，使得知识点解析：本题考查拉格朗日中值定理和未定式极限的求解。首先通过拉格朗日中值定理确定题中点ξ所满足的关于t的函数，然后将该函数代入极限式，通过洛必达法则和等价无穷小替换求出最终极限20、设A4×4是实对称矩阵，｜A｜＝－16，A的4个特征值之和为4，且α＝(1，0，－2，－1)T是方程组(A*－8E)x＝0的一个解向量，且矩阵A的一个特征值为2。(Ⅰ)求矩阵A的所有特征值；(Ⅱ)求可逆矩阵P，使得A可以相似对角化；(Ⅲ)求方程组(A*＋8E)x＝0的通解。标准答案：(Ⅰ)α＝(1，0，－2，－1)T是方程组(A*－8E)x＝0的一个解向量，则(A*－8E)α＝0，即A*α＝8α，又A*A＝AA*＝｜A｜E＝－16E，故AA*α＝8Aα＝－16a，因此Aα＝－2α，所以α＝(1，0，－2，－1)T。是A的对应特征值λ3＝－2的特征向量。设A的除－2和2之外的两个特征值为λ1，λ2，则2＋(－2)＋λ1＋λ2＝4，2×(－2)λ1λ2＝｜A｜＝－16，解得λ1＝λ2＝2。因此矩阵A的所有特征值分别为2(三重)和－2。(Ⅱ)设特征值2(三重)对应的特征向量为x＝(x1，x2，x3，x4)T，则它与α＝(1，0，－2，－1)T正交，即x1－23－x4＝0，其基础解系为α1＝(0，1，0，0)T，α2＝(2，0，1，0)T，α3＝(1，0，0，1)T，(Ⅲ)由(A*＋8E)x＝0可得(AA*＋8A)x＝0，进一步有(8A－16E)x＝0，即方程最终化为(A－2E)x＝0，因此方程组(A*＋8E)x＝0的基础解系即为矩阵4属于特征值2的三个线性无关的特征向量，因此可得其通解为x＝k1(0，1，0，0)T＋k2(2，0，1，0)T＋k3(1，0，0，1)T，k1，k2