![考研数学(数学三)模拟试卷2(共208题)_第1页](http://file4.renrendoc.com/view8/M00/06/3C/wKhkGWa6v-WAQcsmAAFKhimhci8664.jpg)
![考研数学(数学三)模拟试卷2(共208题)_第2页](http://file4.renrendoc.com/view8/M00/06/3C/wKhkGWa6v-WAQcsmAAFKhimhci86642.jpg)
![考研数学(数学三)模拟试卷2(共208题)_第3页](http://file4.renrendoc.com/view8/M00/06/3C/wKhkGWa6v-WAQcsmAAFKhimhci86643.jpg)
![考研数学(数学三)模拟试卷2(共208题)_第4页](http://file4.renrendoc.com/view8/M00/06/3C/wKhkGWa6v-WAQcsmAAFKhimhci86644.jpg)
![考研数学(数学三)模拟试卷2(共208题)_第5页](http://file4.renrendoc.com/view8/M00/06/3C/wKhkGWa6v-WAQcsmAAFKhimhci86645.jpg)
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
考研数学(数学三)模拟试卷2(共9套)(共208题)考研数学(数学三)模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题,每题1.0分,共8分。)1、设则f(x)有().A、两个可去间断点B、两个无穷间断点C、一个可去间断点,一个跳跃间断点D、一个可去间断点,一个无穷间断点标准答案:C知识点解析:显然x=0,x=1为f(x)的间断点.由f(0+0)=f(0-0)=0,得x=0为f(x)的可去间断点;由f(1-0)≠f(1+0),得x=1为f(x)的跳跃间断点,应选C.2、设f(x)满足:xf"(x)-x2f'2(x)=1-e-2x且f(x)二阶连续可导,则().A、x=0为f(x)的极小值点B、x=0为f(x)的极大值点C、x=0不是f(x)的极值点D、(0,f(0))是y=f(x)的拐点标准答案:A知识点解析:3、设为().A、
B、
C、
D、
标准答案:C知识点解析:选C.4、设f(x)在x0的邻域内三阶连续可导,且f'(x0)=f"(x0)=0,f"'(x0)>0,则下列结论正确的是().A、x=x0为f(x)的极大值点B、x=x0为f(x)的极小值点C、(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点D、(x0,f(x0))不是曲线y=f(x)的拐点标准答案:C知识点解析:由极限的保号性,存在δ>0,当0<1|x-x0|<δ<时,当x∈(x0-δ,x0)时,f"(x)<0;当x∈(x0,x0+δ)时,f"(x)>0,则(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点,选C.5、设A,B及A*都是n(n≥3)阶非零矩阵,且AB=O,则r(B)=().A、0B、1C、2D、3标准答案:B知识点解析:由B为非零矩阵得r(A)<n,从而r(A*)=0或r(A*)=1,因为A*为非零矩阵,所以r(A*)=1,于是r(A)=n-1,又由AB=O得r(A)+r(B)≤n,从而r(B)≤1,再由B为非零矩阵得r(B)≥1,故r(B)=1,选B.6、设A,B为三阶矩阵且A不可逆,又AB+2B=O且r(B)=2,则|A+4E|=().A、8B、16C、2D、0标准答案:B知识点解析:令B=(α1,α2,α3),由AB+2B=O得Aαi=-2αi(i=1,2,3),由r(B)=2得λ=-2至少为A的二重特征值,又由r(A)<3得λ3=0,故λ1=λ2=-2,λ3=0,A+4E的特征值为λ1=λ2=2,λ3=4,故|A+4E|=16,应选B.7、设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为则k为().A、2B、4C、6D、8标准答案:C知识点解析:由得k=6,选C.8、已知E(X)=1,E(X2)=3,用切比雪夫不等式估计P{-1<X<4}≥a,则a的最大值为().A、
B、
C、
D、
标准答案:C知识点解析:D(X)=2,由切比雪夫不等式得选C.二、填空题(本题共6题,每题1.0分,共6分。)9、标准答案:知识点解析:10、设f(x)为连续函数,标准答案:知识点解析:11、标准答案:知识点解析:12、幂级数的和函数为_____________.标准答案:知识点解析:13、设矩阵不可对角化,则a______________.标准答案:0或4知识点解析:由得λ1=0,λ2=a,λ3=4.因为A不可对角化,所以A的特征值一定有重根,从而a=0或a=4.当a=0时,由r(0E-A)=r(A)=2得λ1=λ2=0只有一个线性无关的特征向量,则A不可对角化,a=0合题意;由r(4E-A)=2得λ2=λ3=4只有一个线性无关的特征向量,故A不可对角化,a=4合题意.14、10件产品中有3件产品为次品,从中任取2件,已知所取的2件产品中至少有一件是次品,则另一件也为次品的概率为___________.标准答案:知识点解析:令事件A={所取两件产品中至少有一件次品},B={两件产品都是次品},三、解答题(本题共9题,每题1.0分,共9分。)15、设y=y(x)(x>0)是微分方程2y"+y'-Y=(4-6x)e-x的一个解,且(I)求y(x),并求y=y(x)到x轴的最大距离.标准答案:(I)2y"+y'-y=(4—6x)e-x的特征方程为2λ2+λ-1=0,特征值为λ1=-1,λ2=2y"+y'-y=0的通解为令2y"+y'-y=(4-6x)e-x的特解为y0=(ax2+bx)e-x,代入得a=1,b=0,原方程的通解为由得y(0)=0,y'(0)=0,代入通解得C1=C2=0,故y=x2e-x,由y'=(2x-x2)e-x=0得x=2,当x∈(0,2)时,y'>0;当x>2时,y'<0,则x=2为y(x)的最大值点,故最大距离为dmax=y(2)=4e-2.知识点解析:暂无解析16、设f(x)在[0,1]上二阶连续可导,且f'(0)=f(1),证明:存在ξ∈(0,1),使得标准答案:因为f"(x)∈C[ξ1,ξ2],所以f"∥(x)在[ξ1,ξ2]上取到最大值M和最小值m,知识点解析:暂无解析17、设(1)讨论f(x)在x=0处的连续性.(2)求f(x)的极值点与极值.标准答案:因为f(0-0)=f(0+0)=f(0)=1,所以f(x)在x=0处连续.知识点解析:暂无解析18、某商品产量关于价格p的函数为Q=75-p2,求:(I)当p=4时的边际需求,说明其经济意义;(Ⅱ)当p=4时的需求价格弹性,说明其经济意义;(Ⅲ)当p=4时,若价格提高1%,总收益是增加还是减少?收益变化率是多少?标准答案:(I)边际需求函数为其经济意义在于,在价格为p=4时,若价格提高一个单位,则需求量减少8个单位.(Ⅱ)需求价格弹性函数为当P=4时,需求价格弹性为其经济意义在于,在价格p=4的基础上,若价格提高1%,则产品的需求量就减少0.54%.(Ⅲ)当p=4时,若价格提高1%,因为该商品缺乏弹性,企业的收益是增加的.故当价格提高1%后,企业的收益增加0.46%.知识点解析:暂无解析19、现有两只桶分别盛有10L浓度为15g/L的盐水,现同时以2L/min的速度向第一只桶中注入清水,搅拌均匀后以2L/min的速度注入第二只桶中,然后以2L/min的速度从第二只桶中排出,问5min后第二只桶中含盐多少克?标准答案:设t时刻第一、二只桶中所含盐的质量分别为m1(t),m2(t),则有知识点解析:暂无解析20、就a,b的不同取值情况讨论方程组何时无解、何时只有唯一解、何时有无数个解?在有无数个解时求其通解.标准答案:1)当a≠-1,a≠6时,方程组只有唯一解;2)当a=-1时,当a=-1,b≠36时,方程组无解;当a=-1,b=36时,方程组有无数个解,方程组的通解为3)当a=6,b为任意取值时,知识点解析:暂无解析21、设α=(1,1,-1)T是的一个特征向量.(I)确定参数a,b的值及特征向量α所对应的特征值;(Ⅱ)问A是否可以对角化?说明理由.标准答案:(I)由Aα=λα,得解得a=-3,b=0,λ=-1.(Ⅱ)由|λE-A|=(λ+1)3=0,得λ=-1是三重特征值.因为r(-E-A)=2,所以λ=-1对应的线性无关的特征向量只有一个,所以A不可以对角化.知识点解析:暂无解析22、设X的概率密度为(I)求a,b的值;(Ⅱ)求随机变量X的分布函数;(Ⅲ)求Y=X3的密度函数.标准答案:(Ⅲ)FY(y)=P{X3≤y},当y<-8时,FY(y)=0;知识点解析:暂无解析23、设X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本,且总体X的密度函数为(I)求θ的矩估计量;(Ⅱ)求θ的极大似然估计量.标准答案:知识点解析:暂无解析考研数学(数学三)模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题,每题1.0分,共8分。)1、若f"(x)在(0,2)上连续,则().A、点(1,f(1))是曲线y=f(x)的拐点B、f(1)是函数y=f(x)的极小值C、f(1)是函数y=f(x)的极大值D、点(1,f(1))不是曲线y=f(x)的拐点,f(1)也不是函数y=f(x)的极值标准答案:C知识点解析:当x∈(1-δ,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,1+δ)时,f'(x)<0,从而x=1为f(x)的极大值点;从而f"(x)<0,即(1,f(1))不是y=f(x)的拐点,应选C.2、的根的个数为().A、0B、1C、2D、3标准答案:B知识点解析:由f'(x)=(x+1)ex+1=0得x=-1,3、设f(x)连续,且满足则关于f(x)的极值问题有().A、
B、
C、
D、
标准答案:A知识点解析:4、设δ>0,f(x)在(-δ,δ)内恒有f"(x)>0,且|f(x)|≤x2,记则有().A、I=0B、I>0C、I<0D、不能确定标准答案:B知识点解析:因为|f(x)|≤x2,所以f(0)=0,由|f(x)|≤x2,得由夹逼定理得f'(0)=0.5、已知四维列向量α1,α2,α3线性无关,若向量βi(i=1,2,3,4)是非零向量且与向量α1,α2,α3均正交,则向量组β1,β2,β3,β1的秩为().A、1B、2C、3D、4标准答案:A知识点解析:设αi=(αi1,αi2,αi3,αi4)T(i=1,2,3),由已知条件有βiTαj=0(i=1,2,3,4;j=1,2,3).即βi(i=1,2,3,4)为方程组的非零解.由于αi,α2,α3线性无关,所以方程组系数矩阵的秩为3,所以其基础解系含1个解向量,从而向量组β1,β2,β3,β4的秩为1,选A.6、设A=(α1,α2,α3,α4)为四阶方阵,且α1,α2,α3,α4为非零向量组,设AX=0的一个基础解系为(1,0,-4,0)T,则方程组A*X=0的基础解系为().A、α1,α2,α3B、α2,α3,α1+α3C、α1,α3,α4D、α1+α2,α2+2α4,α1标准答案:D知识点解析:由r(A)=3得r(A*)=1,则A*X=0的基础解系由3个线性无关的解向量构成.由α1-4α3=0得α1,α3成比例,显然A、B、C不对,选D.7、设X~N(1,4),Y~N(3,16),P{Y=aX+b}=1,且ρXY=-1,则().A、a=2,b=5B、a=-2,b=-5C、a=-2,b=5D、a=2,b=-5标准答案:C知识点解析:由EY=aEX+b得a+b=3,再由DY=a2DX得4a2=16,因为ρXY=-1,所以a<0,于是a=-2,b=5,选C.8、设总体X服从标准正态分布,(X1,X2,…,Xn)为总体的简单样本,则().A、
B、
C、
D、
标准答案:D知识点解析:二、填空题(本题共6题,每题1.0分,共6分。)9、标准答案:知识点解析:10、标准答案:知识点解析:交换积分次序得11、设f(x,y)满足f(x,1)=0,f'y(x,0)=sinx,f"yy(x,y)=2x,则f(x,y)=__________________.标准答案:xy2+ysinx-x-sinx知识点解析:由f"xy(x,y)=2x得f'y(x,y)=2xy+φ(x),因为f'y(x,0)=sinx,所以φ(x)=sinx,即f'y(x,y)=2xy+sinx,再由f'y(x,y)=2xy+sinx得f(x,y)=xy2+ysinx+ψ(x),因为f(x,1)=0,所以ψ(x)=-x-sinx,故f(x,y)=zy2+ysinx-x-sinx.12、过曲线(x≥0)上的一点A作切线,使该切线与曲线及x轴所围成的平面区域的面积为,所围区域绕x轴旋转一周而成的体积为__________________.标准答案:知识点解析:切线与x轴的交点为(-2a,0),所求的面积为13、标准答案:知识点解析:因为B=AE12(2)E13所以|B|=|A||E12(2)||E13|=-3,又因为B*=|B|B-1,所以B*=-3E13-1E12-1(2)A-1=-3E13E12(-2)A-1,故14、设X~E(λ),Y~E(λ)且X,Y相互独立,Z=min{X,Y},则P{Z>E(Z))=___________________.标准答案:知识点解析:服从参数为λ的指数分布的随机变量的分布函数为Z的分布函数为FZ(z)=P{Z≤z}=1-P{Z>z}=1-P{X>z,Y>z}=1-P{X>z}P{Y>z}=1-[1-F(z)-][1-F(z)]即Z~E(2λ),则三、解答题(本题共9题,每题1.0分,共9分。)15、设y=y(x)由x3+3x2y-2y2=2确定,求y=y(x)的极值.标准答案:x3+3x2y-2y3=2两边对x求导得3x2+6xy+3x2y'=6y2y'=0。两边再对x求导得6x+6y+12xy'+3x2y"-12yy'2-6y2y"=0,x=0时,y"(0)=-1,x=0为极大值点,极大值为y=-1;x=-2时,y"(-2)=-1,为y=y(x)的极小值点,极小值为y=1.知识点解析:暂无解析16、讨论方程lnx=kx的根的个数.标准答案:情形一:当k=0时,方程只有唯一实根x=1;情形二:当k>0时,令f(x)=lnx-kx(x>0),知识点解析:暂无解析17、计算其中D是由x2+y2=4与x2+(y+1)2=1围成的区域.标准答案:由对称性得知识点解析:暂无解析18、已知微分方程作变换u=x2+y2,ω=lnz一(x+y)确定函数ω=ω(u,v),求经过变换后原方程化成的关于ω,u,v的微分方程的形式.标准答案:知识点解析:暂无解析19、标准答案:知识点解析:暂无解析20、设讨论当a,b取何值时,方程组AX=b无解、有唯一解、有无数个解,有无数个解时求通解.标准答案:情形一:a≠0当a≠0且a-b+1≠0时,方程组有唯一解;当a≠0且a-b+1=0时,方程组有无数个解,当b≠1时,方程组无解;当b=1时,方程组有无数个解,知识点解析:暂无解析21、设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是三维线性无关的向量组,且Aα1=α1+3α2,Aα2=5α1-α2,Aα3=α1-α2+4α3.(I)求矩阵A的特征值;(Ⅱ)求可逆矩阵Q,使得Q-1叫AQ为对角矩阵.标准答案:(I)令P=(α1,α2,α3),因为α1,α2,α3线性无关,所以P可逆.因为Aα1=α1+3α2,Aα2=5α1一α2,Aα3=α1-α2+4α3,所以(Aα1,Aα2,Aα3)-(α1+3α2,5α1-α2,α1-α2+4α3),得A的特征值为λ1=-4,λ2=λ3=4.(Ⅱ)因为A~B,所以B的特征值为λ1=-4,λ2=λ3=4.因为P-1AP=B,所以知识点解析:暂无解析22、设随机变量X服从参数为λA的指数分布,令求:(I)P{X+Y=0};(Ⅱ)随机变量Y的分布函数;(Ⅲ)E(Y).标准答案:(I)P{X+Y=0}=P{Y=-X}=P{|X|>1}=1-P{X≤1}=1-(1-e-λ)=e-λ.(Ⅱ)FY(y)=P{Y≤y}=P{Y≤y,0<X≤1}+P{Y≤y,X>1}=P{X≤y,0<X≤1}+P{X≥-y,X>1}.当y<-1时,FY(y)=P{X≥-y}=1-P{X≤-y}=eλy;当-1≤y<0时,FY(y)=P{X>1}=e-λ;当0≤y<1时,FY(y)=P{0-λy+e-λ;当y≥1时,FY(y)=P{0<X≤1}+P{X>1}=1.知识点解析:暂无解析23、设有n台仪器,已知用第i台仪器测量时,测定值总体的标准差为σi(i=1,2,…,n).用这些仪器独立地对某一物理量θ各观察一次,分别得到X1,X2,…,Xn.设E(Xi)=θ(i=1,2,…,n),问k1,k2,…,kn应取何值,才能在使用标准答案:因为E(Xi)=θ(i=1,2,…,n),所以的无偏性要求是这就是约束条件,而目标函数为由拉格朗日乘数法,作函数知识点解析:暂无解析考研数学(数学三)模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题,每题1.0分,共8分。)1、设f(x)在x=x0的某邻域内连续,且在该邻域内x≠x0处f’(x)存在,则“”的()A、充分必要条件.B、必要条件而非充分条件.C、充分条件而非必要条件.D、既非充分又非必要条件.标准答案:C知识点解析:在所说前提及条件“”下,由洛必达法则:所以f’(x0)”的充分条件.但不是必要条件,反例如下:设本例满足本题所说的前提(其中x0=0),f’(x)=2xsinf’(x)不存在,而却是存在的.所以“”的必要条件.2、设g(x)在x=0的某邻域内连续且.又设f(x)在该邻域内存在二阶导数且满足x2f"(x)一[f’(x)]2=xg(x).则()A、f(0)是f(x)的极大值.B、f(0)是f(x)的极小值.C、f(0)不是f(x)的极值.D、f(0)是否为f(x)的极值要由具体的g(x)决定.标准答案:B知识点解析:当x≠0时,g(x)=,由于g(x)在x=0处连续,所以[f’(0)]2=02.f"(0)一0.g(0)=0,即f’(0)=0.所以f(0)为f(x)的一个极小值.3、设数列{an}单调增加且有上界,θ为常数,则级数(an一an+1)sinnθ()A、发散.B、条件收敛.C、绝对收敛.D、敛散性与θ有关.标准答案:C知识点解析:由于数列{an}单调增加且有上界,故另一方面,|(an一an+1)sinnθ|≤|an一an+1|=an+1一an,而已证(an+1一an)收敛,所以由比较判别法知,(an—an+1)sinnθ绝对收敛,选C.4、设g(x)在(一∞,+∞)内存在二阶导数,且g"(x)<0.令f(x)=g(x)+g(一x),则当x≠0时()A、f’(x)>0.B、f’(x)<0.C、f’(x)与x同号.D、f’(x)与x异号.标准答案:D知识点解析:由f(x)=g(x)+g(—x),有f’(x)=g’(x)一g’(一x),f"(x)=g"(x)+g"(—x)<0,f’(0)=0.再由拉格朗日中值定理有f’(x)=f’(0)+f"(ξ)x=f"(ξ)x,ξ介于0与x之间,所以当x≠0时,f’(x)与x异号,选D.5、设A是n阶矩阵,则下列说法错误的是()A、对任意的n维列向量ξ,有Aξ=0,则A=O.B、对任意的n维列向量ξ,有ξTAξ=0,则A=O.C、对任意的n阶矩阵B,有AB=O,则A=O.D、对任意的n阶矩阵B,有BTAB=O,则A=O.标准答案:B知识点解析:法一选项(A)对任意的n维列向量ξ,有Aξ=0.分别取ξ1=(1,0,…,0)T,ξ2=(0,1,…,0)T,…,ξn=(0,0,…,1)T代入,即得Aij=0(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n).故A=O.选项(C),(D)对任意的n阶矩阵B,有AB=O及BTAB=O.只要取B=E,即可得出A=0.故由排除法,应选B.法二对选项(B),只要A是非零反对称矩阵,即AT=一A≠O时,则对任意的n维列向量ξ,因ξTAξ是数,故有ξTAξ=(ξTAξ)T=ξTATξ=一ξTAξ,则2ξTAξ=0,即ξTAξ=0,但A≠O.故选项(B)是错误的,应选B.6、设α1,α2,α3,α4,α5均是4维列向量.记A=(α1,α2,α3,α4),B=(α1,α2,α3,α4,α5).已知方程AX=α5有通解k(1,一1,2,0)T+(2,1,0,1)T,其中k是任意常数,则下列向量不是方程BX=0的解的是()A、(2,1,0,1,一1)T.B、(3.0.2.1,一1)T.C、(1,一2,一2,0,一1)T.D、(0,3,一4,1,一1)T.标准答案:C知识点解析:由AX=α5的通解k(1,一1,2,0)T+(2,1,0,1)T知α5可由α1,α2,α3,α4表出为α5=(k+2)α1+(一k+1)α2+2kα3+α4,即(k+2)α1+(一k+1)α2+2kα3+α4—α5=0,即BX=(α1,α2,α3,α4,α5)x=(α1,α2,α3,α4,α5)=0,其中k是任意常数.因为BX=0的解中,无论k为何值,x4,x5不可能为0,故(C)是错误的.7、设随机变量X与Y独立,均服从[0,3]上的均匀分布,则P{1<max{X,Y)≤2}=()A、
B、
C、
D、
标准答案:A知识点解析:法一f(x,y)=f(x).f(y)=因为{max{X,Y)≤2}→{X≤2}∩{Y≤2),{1<max{X,Y}}→{X>1}∪{Y>1},故P{1<max{X,Y}≤2)=P{{1<X≤2,X≥Y}∪{1<y≤2,Y≥x}}=.法二令U=max{X,Y},分布函数为FU(u)=P{U≤u}=P{max{X,Y}≤U)=P{X≤u,Y≤u}.又X,Y相互独立且同分布,则FU(u)=P{X≤u,Y≤u}=P{X≤u}P{Y≤u}=FX(u)FY(u)=[FX(u)]2,故U的概率密度为fU(u)=F’U(u)=ZFX(u)fX(u)=u(0≤u≤3).所以P{1<U≤2}=.8、设X1,X2,…,Xn是总体X~N(μ,σ2)的简单随机样本.样本均值,当样本量n>2时,下列正确的是()A、D(S12)>D(S02)>D(S2).B、D(S02)>D(S2)>D(S12).C、D(S2)>D(S12)>D(S02).D、D(S2)>D(S02)>D(S12).标准答案:D知识点解析:X1,X2,…,Xn是总体X~N(μ,σ)的简单随机样本,则当样本量n>2时,因为,所以D(S2)>D(S02)>D(S12).二、填空题(本题共6题,每题1.0分,共6分。)9、=___________.标准答案:e2知识点解析:令x一1=u,则所以原式=e2.10、=___________.标准答案:2ln(1+)知识点解析:11、设y=y(x)是由y3+(x+1)y+x2=0及y(0)=0所确定,则=___________.标准答案:知识点解析:此极限为“”型.求导中要用到y’(0),y"(0)等,先求出备用.由y3+(x+1)y+x2=0,有3y2y’+(x+1)y’+y+2x=0,将y(0)=0代入,得0+y’(0)=0,有y’(0)=0.再求导,6y(y’)2+3y2y"+y’+(x+1)y"+y’+2=0.将y(0)=0,y’(0)=0代入,得0+0+0+y"+0+2=0,有y"(0)=一2.12、已知y=u(x)x是微分方程(y2+4x2)的解,则在初始条件y|x=2=0下,上述微分方程的特解是y=___________.标准答案:2xtan(x一2)知识点解析:由y=u(x)x,有+u(x),于是原方程化为x2x2(u2+4),由于初值为x=2,所以在x=2的邻域不包含x=0在内的区间上,上述方程可改写成(u2+4),分离变量将x=2,y=0代入,得u=0,C=一2.从而得特解y=u(x)x=2xtan(x一2).13、设A=,且已知A相似于B,则b=___________.标准答案:1知识点解析:法一相似矩阵有相同的特征多项式.故|λE一A|==λ2一1=|λE一B|==(λ—b)(λ+1)=λ2+(1一b)λ一b,得b=1.法二|λE一A|=λ2一1=(λ一1)(λ+1)=0,A有特征值λ1=1,λ2=一1.B是实对称阵,其特征值为l1=b,l2=一1.由相似矩阵有相同的特征值知b=1.14、设A与B是两随机事件,P(A)=0.6且=___________.标准答案:0.2知识点解析:由=0.5,且P(A)=0.6,得P()=0.2.P()=1一P(A∪B)=1一[P(A)+P(B)一P(AB)]=1一[P(A)+P()]=0.2.三、解答题(本题共9题,每题1.0分,共9分。)15、(Ⅰ)求定积分an=∫02x(2x—x2)ndx,n=1,2,…;(Ⅱ)对于(Ⅰ)中的an,求幂级数anxn的收敛半径及收敛区间.标准答案:(Ⅰ)an=∫02x(2x一x)dx=∫02x[1一(1一x)2]ndx,作积分变量代换,令1一x=t,于是an=∫1-1(1一t)(1一t2)n(一dt)=∫1-1(1一t2)ndt一∫1-1t(1一t2)ndt=∫1-1(1一t2)ndt=2∫01(1一t2)ndt.下面用分部积分计算:an=2∫01(1一t2)ndt=2∫01(1一t2)(1一t2)n—1dt=an—1—2∫01t(1一t2)n—1tdt知收敛半径R=1,收敛区间为(一1,1).知识点解析:暂无解析16、设平面区域D用极坐标表示为标准答案:区域D如图阴影部分所示.为清楚起见,4个圆只画出有关的4个半圆.D关于直线y=x对称,交点A,B,C的极坐标分别为知识点解析:暂无解析17、求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域,并求收敛区间内的和函数.标准答案:令u=x2,化为u的幂级数.易知所以收敛半径R=1,收敛区间为(一1,1).回到原给幂级数,收敛半径也是1,收敛区间也是(一1,1),当x=±1时,易知原幂级数收敛,所以收敛域为[一1,1].在收敛域[一1,1]上,令其和函数为为了进行逐项积分与逐项求导,所以在收敛区间内考虑计算.在区间(一1,1)内,令知识点解析:暂无解析18、过椭圆=1(a>b>0)第一象限上的点(ξ,η)作切线,使此切线与椭圆以及两坐标轴正向围成的图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为最小,并求该旋转体的最小体积.标准答案:由=0.椭圆上点(ξ,η)处的切线方程为y一η=一(x一ξ),与两坐标轴的交点分别为三角形OAB绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为椭圆=1与两坐标轴正向围成的图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为由于V2为常数,所以求V的最小值,只要求V1的最小值或ξη2的最大值即可.令由于驻点唯一,且Vmin必存在,所以当(*)式成立时,(**)式即为Vmin.知识点解析:暂无解析19、设x与y均大于0且x≠y,证明:.标准答案:不妨设y>x>0(因若x>y>0,则变换所给式子左边的x与y,由行列式性质知,左边值不变),则由柯西中值定理有,存在一点ξ∈(x,y),使得上式==eξ一ξeξ.令f(u)=eu—ueu(u>o),有f(0)=1,f’(u)=一ueξ<0,所以当u>0时,f(u)<1,从而知eξ一ξeξ<1,于是得证知识点解析:暂无解析20、设3阶矩阵A,B满足关系式AB=A—B且A有三个不同的特征值.证明:(Ⅰ)AB=BA:(Ⅱ)存在可逆阵P,使得P-1AP,P-1BP同时为对角阵.标准答案:(Ⅰ)由题设AB=A—B,①知AB—A+B—E=一E,A(B—E)+(B—E)=一E,(A+E)(E一B)=E.②即A+E,E一B互为逆矩阵,且(E—B)(A+E)=E,③从而得A—B一BA=O,④由①,④式得证AB=BA.(Ⅱ)A有三个不同的特征值,故有三个线性无关的特征向量,设为ξ1,ξ2,ξ3.则有A(ξ1,ξ2,ξ3)=(λ1ξ1,λ2ξ2,λ3ξ3)=(ξ1,ξ2,ξ3),两端左边乘B,BA(ξ1,ξ2,ξ3)=B(ξ1,ξ2,ξ3).由(Ⅰ)AB=BA,得AB(ξ1,ξ2,ξ3)=B(ξ1,ξ2,ξ3)=B(λ1ξ1,λ2ξ2,λ3ξ3),得A(Bξi)=λi(Bξi),i=1,2,3.若Bξi≠0,则Bξi是A的属于特征值λi的特征向量,因λi是单根,故对应相同的特征值的特征向量成比例.故Bξi=μiξi.若Bξi=0,则ξi是B的属于特征值0的特征向量.无论何种情况,B都有三个线性无关的特征向量ξi(i=1,2,3).故A,B同时存在可逆阵P=(ξ1,ξ2,ξ3),使得P—1AP=.知识点解析:暂无解析21、(Ⅰ)设α1=(a1,a2,a3,a4),α2=(a2,一a1,a4,一a3),α3=(a3,一a4,一a1,a2),其中ai(i=1,2,3,4)不全为零.证明α1,α2,α3线性无关;(Ⅱ)记A=,证明AAT是正定矩阵.标准答案:(Ⅰ)用反证法.假设α1,α2,α3线性相关,则由定义,存在不全为零的实数k1,k2,k3,使得k1α1+k2α2+k3α3=0.(*)因α1α2T=(a1,a2,a3,a4)=0,α1α3T=(a1,a2,a3,a4)=0,α2α3T=(a2,—a1,a4,—a3)=0.又αjαj=aj2≠0,j=1,2,3.故将式(*)两端右边乘αjT,j=1,2,3,得kjαjαjT=0,αjαjT≠0kj=0,j=1,2,3,这和假设矛盾,得证α1,α2,α3线性无关.(Ⅱ)由(Ⅰ)知α1,α2,α3线性无关,则r(A)==3,且AAT是实对称矩阵.则齐次方程组ATx=(α1T,α2T,α3T)x=0仅有唯一零解,则对任给的x≠0,ATx=(α1T,α2T,α3T)x≠0,两端左边乘(ATx)T,得(ATx)T(ATx)=xTAATx>0,得证,AAT是正定矩阵.知识点解析:暂无解析22、设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=(Ⅰ)求fX(x),fY(y),判断X与Y是否独立?(Ⅱ)记U=X,V=Y—X,求(U,V)的分布函数F(u,v),并判断U,V是否独立?标准答案:(Ⅰ)由随机变量(X,Y)的概率密度得因为f(x,y)≠fX(x)fY(y),所以X与Y不独立.(Ⅱ)F(u,v)=P{U≤u,V≤v}=P{X≤u,Y—X≤v}=f(x,y)dxdy(一∞<u,v<+∞),若u≤0或v≤0,如下图所示,则F(u,v)=0,若u>0,v>0,如下图所示,因为F(u,v)=FU(u).FV(v),所以U与V独立.知识点解析:暂无解析23、已知随机变量X的概率密度为f(x)=X1,X2,…,Xn为X的简单随机样本.(Ⅰ)求未知参数α的矩估计量和最大似然估计量;(Ⅱ)求α的矩估计量的数学期望.标准答案:(Ⅰ)先求α的矩估计量.设,再求α的最大似然估计量.当xi>0(i=1,2,…,n)时,似然函数两边取对数,得lnL(α)=nln4+2ln(x1x2…xn)一3nlnα一知识点解析:暂无解析考研数学(数学三)模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题,每题1.0分,共8分。)1、设若f(x)在x=0处可导且导数不为零,则k为().A、3B、4C、5D、6标准答案:C知识点解析:因为f(x)在x=0处可导,所以k一2=3,即k=5,选C.2、曲线的渐近线条数为().A、3条B、2条C、1条D、0条标准答案:A知识点解析:3、下列命题正确的是().A、若收敛B、设收敛C、若收敛D、设an>0,bn>0,且收敛标准答案:D知识点解析:4、设f(x,y)在(0,0)处连续,且,则().A、f(x,y)在(0,0)处不可偏导B、f(x,y)在(0,0)处可偏导但不可微C、fx’(0,0)=fy’(0,0)=4且f(x,y)在(0,0)处可微分D、fx’(0,0)=fy’(0,0)=0且f(x,y)在(0,0)处可微分标准答案:D知识点解析:5、设A为三阶矩阵的解,则().A、当t≠2时,r(A)=1B、当t≠2时,r(A)=2C、当t=2时,r(A)=1D、当t=2时,r(A)=2标准答案:A知识点解析:当t≠2时,为AX=0的两个线性无关的解,从而3一r(A)≥2,r(A)≤1,又由A≠0得r(A)≥1,即r(A)=1,应选A.6、设α,β为四维非零的正交向量,且A=αβT,则A的线性无关的特征向量个数为().A、1个B、2个C、3个D、4个标准答案:C知识点解析:令AX=λX,则A2X=λ2X,因为α,β正交,所以αTβ=βTα=0,A2=αβT.αβT=0,于是λ2X=0,故λ1=λ2=λ3—λ4=0,因为α,β为非零向量,所以A为非零矩阵,故r(A)≥1;又r(A)=r(αβT)≤r(α)一1,所以r(A)=1.因为4一r(OE—A)=4一r(A)=3,所以A的线性无关的特征向量是3个,选C.7、设随机变量X的分布函数为F(x)=0.2F1(x)+0.8F1(2x),其中F1(y)是服从参数为1的指数分布的随机变量的分布函数,则D(X)为().A、0.36B、0.44C、0.64D、1标准答案:B知识点解析:设X1~E(1),其密度函数为其分布函数为F1(x)=且E(X1)=D(X1)=1,则E(X12)=D(X1)+EE(X1)]2=2.8、设X1,X2,X3,X4,X5是来自总体N(1,4)的简单随机样本,则a=()A、2B、C、D、1标准答案:C知识点解析:二、填空题(本题共6题,每题1.0分,共6分。)9、=________。标准答案:知识点解析:10、设由x=zey+z确定z=z(x,y),则dz|(e,0)=_________.标准答案:知识点解析:将x=e,y=0代入得z=1.x=zey+z两边求微分得dx=zey+zdy+(z+1)ey+zdz,将x=e,y=0,z=1代入得11、=_________。标准答案:知识点解析:因为为奇函数,所以12、y’’一2y’=e-x的通解为_________.标准答案:知识点解析:特征方程为λ2一2λ-3=0,特征值为λ1=一1,λ2=3,则方程y’’一2y’一3y=0的通解为y=C1e-x+C2e3x.令原方程的特解为y0(x)=Axe-x,代入原方程得,于是原方程的通解为13、设A为三阶实对称矩阵,α1=(m,一m,1)T是方程组AX=0的解,α2=(m,1,1一m)T是方程组(A+E)X=0的解,则m=_________.标准答案:1知识点解析:由AX=0有非零解得r(A)<3,从而λ=0为A的特征值,α1=(m,一m,1)T为其对应的特征向量;由(A+E)X=0有非零解得r(A+E)<3,|A+E|=0,λ=一1为A的另一个特征值,其对应的特征向量为α2=(m,1,1-m)T,因为A为实对称矩阵,所以A的不同特征值对应的特征向量正交,于是有m=1.14、设总体X~N(0,σ2),X1,X2,X3,X4为总体X的简单随机样本,__________。标准答案:t(3)知识点解析:由三、解答题(本题共10题,每题1.0分,共10分。)15、设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内三阶可导,且.证明:存在ξ∈(0,2),使得f’’’(ξ)=9.标准答案:作多项式P(x)=Ax3+Bx2+Cx+D,使得P(0)=0,P’(0)=2,P(1)=1,P(2)=6则φ(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内可导,且φ(0)=φ(1)=φp(2)=0.因此φ(x)在[0,1]和[1,2]上都满足罗尔定理的条件,则存在ξ1∈(0,1),ξ2∈(1,2),使得φ’(ξ1)=φ’(ξ2)=0.又φ’(0)=0,由罗尔定理,知识点解析:暂无解析16、设u=f(x2+y2,xz),z=z(x,y)由ex+ey=ez确定,其中f二阶连续可偏导,求标准答案:由ex+ey=ez得知识点解析:暂无解析设某工厂产甲、乙两种产品,设甲、z,N种产品的产量分别为x和y(吨),其收入函数为R=15x+34y—x2一2xy一4y2一36(万),设生产甲产品每吨需要支付排污费用1万,生产乙产品每吨需要支付排污费用2万.17、在不限制排污费用的情况下,这两种产品产量各为多少时总利润最大?求最大利润.标准答案:利润函数为L=R—C=15x+34y—x2一2xy一4y2一36一x一2y=14x+32y—x2一2xy一4y2一36.因为只有唯一一个驻点,且该实际问题一定有最大值,所以当时,利润达到最大,最大利润为L(4,3)=40(万).知识点解析:暂无解析18、当排污总费用为6万时,这两种产品产量各多少时总利润最大?求最大利润.标准答案:令F(x,y,λ)=L(x,y)+λ(x+2y一6),因为该实际问题一定有最大值,故当时,总利润最大,且最大利润为L(2,2)=28(万).知识点解析:暂无解析19、求幂级数的收敛域与和函数.标准答案:知识点解析:暂无解析20、求微分方程y’’+y’一2y—xex+sin2x的通解.标准答案:特征方程为λ2+λ一2=0,特征值为λ=一2,λ=1,y+y一2y=0的通解为y=C1e-2x+C2ex设y’’+y’一2y=xex,(*)y’’+y’一2y=sin2x.(**)知识点解析:暂无解析21、设,B为三阶非零矩阵,的解向量,AX=a3有解.(1)求常数a,b.(Ⅱ)求BX=0的通解.标准答案:由B为三阶非零矩阵得r(B)≥1,从而BX=0的基础解系最多有两个线性无关的解向量,于是解得a=3b.由AX=α3有解得r(A)=r(A:α3),b=5,从而a=15.由α1,α2为BX=0的两个线性无关解得3一r(B)≥2,从而r(B)≤1,再由r(B)≥1得r(B)=1,α1,α2为BX=0的一个基础解系,故BX=0的通解为知识点解析:暂无解析22、设二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3的秩为1,且(0,1,一1)T为二次型的矩阵A的特征向量.(I)求常数a,b;(II)求正交变换X=QY,使二次型XTAX化为标准形.标准答案:知识点解析:暂无解析23、设随机变量X的分布律为P(X=k)一p(1-p)k-1(k=1,2,…),y在1~k之间等可能取值,求P{Y=3).标准答案:令AK={X=k)(k=1,2,…),B={Y=3),P(B|A1)=P(B|A2)=0,知识点解析:暂无解析24、设X1,X2,…,Xn(n>2)相互独立且都服从N(0,1),Yi=Xi=一X(i=1,2,…,n).求(I)D(Yi)(i=1,2,…,n);(Ⅱ)Coy(Y1,Yn);(Ⅲ)P(Y1+Yn≤0).标准答案:知识点解析:暂无解析考研数学(数学三)模拟试卷第5套一、选择题(本题共8题,每题1.0分,共8分。)1、设f(x)是以3为周期的可导函数,且f’(-1)=1,则I==()。A、-4B、4C、D、标准答案:C知识点解析:注意f’(x)也以3为周期,f’(-1)=f’(2),利用导数可求得极限故应选C。2、函数f(x)=cosx+xsinx在(-2π,π)内的零点个数为()。A、1个B、2个C、3个D、4个标准答案:D知识点解析:f(x)为偶函数,f(0)=1,故只需讨论(0,2π)内零点的个数。由又。由此可知,f(x)在无零点,f(x)在均单调且端点函数值异号,因而各有唯一零点,所以f(x)在[-2π,2π]内共有4个零点。3、若f(-1,0)为函数f(x,y)=e-x(ax+b-y2)的极大值,则常数a,b应满足的条件是()。A、a≥0,b=a+1B、a≥0,b=2aC、a<0,b=a+1D、a<0,b=2a标准答案:B知识点解析:应用二元函数取极值的必要条件得f’x(-1,0)=e-x(-ax-b+y2+a)︱(-1,0)=e(2a-b)=0,f’y(-1,0)=-2ye-x︱(-1,0)=0,所以b=2a,由于A=f’’xx(-1,0)=e-x(ax+b-y2-2a)︱(-1,0)=e(-3a+b)=0,B=f’’xy(-1,0)=2ye-x︱(-1,0)=0,C=f’’yy(-1,0)=-2e-x︱(-1,0)=-2e,△=AC-B2=2e2(3a-b),再由二元函数极值的必要条件△≥0得3a-b≥0,于是常数a,b应满足的条件为a≥0,b=2a。故应选B。4、反常积分()。A、收敛,且取值为零B、收敛,且取正值C、发散D、收敛,且取负值标准答案:C知识点解析:收敛的定义是:与均收敛,且。用分部积分法计算可得:当b>0时,有。于是不存在→发散→原积分发散。故应选C。5、设η1,η2,η3为3个n的维向量,AX=0是n元齐次方程组。则()正确。A、如果η1,η2,η3都是AX=0的解,并且线性无关,则η1,η2,η3为AX=0的一个基础解系B、如果η1,η2,η3都是AX=0的解,并且r(A)=n-3,则η1,η2,η3为AX=0的一个基础解系C、如果η1,η2,η3等价于AX=0的一个基础解系,则它也是AX=0的基础解系D、如果r(A)=n-3,并且AX=0每个解都可以用η1,η2,η3线性表示,则η1,η2,η3为AX=0的一个基础解系标准答案:D知识点解析:答案A缺少n-r(A)=3的条件。答案B缺少η1,η2,η3线性无关的条件。答案C例如η1,η2是基础解系η1+η2=η3,则η1,η2,η3和η1,η2等价,但是η1,η2,η3不是基础解系。要说明答案D的正确性,就要证明η1,η2,η3都是AX=0的解,并且线性无关,方法如下:设α1,α2,α3是AX=0的一个基础解系,则由条件,α1,α2,α3可以用η1,η2,η3线性表示,于是3≥r(η1,η2,η3)=r(η1,η2,η3,α1,α2,α3)≥r(α1,α2,α3)=3,则r(η1,η2,η3)=r(η1,η2,η3,α1,α2,α3)=r(α1,α2,α3)=3,于是η1,η2,η3线性无关,并且和α1,α2,α3等价,从而都是AX=0的解。6、下列矩阵中不相似于对角矩阵的是()。A、B、C、D、标准答案:C知识点解析:答案A矩阵的3个特征值两两不同。答案D是实对称矩阵,因此它们都相似于对角矩阵。答案C矩阵的秩为1,它的特征值都为0,其重数3>3-答案C矩阵的秩,因此答案C不相似于对角矩阵。答案B矩阵的秩为1,它的特征值为0,0,6,0的重数2=3-答案B矩阵的秩,因此相似于对角矩阵。7、设总体X服从参数λ=2的指数分布,X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本,和S2分别为样本均值和样本方差,已知,则a的值为()。A、-1B、1C、D、2标准答案:A知识点解析:依题意有=EX==,ES2=DX==,又由题设,即,解得a=-1,故选A。8、设随机变量X~F(n,n),记α=P{X≥1},β=P{X<1},则在下列关于α与β关系式①α+β=1,②α=β,③α<β,④α>β中正确的是()。A、①B、①②C、①③D、④标准答案:B知识点解析:设X的密度函数为f(x),x>0,则α+β=P{X≥1}+P{X<1}===1。故①正确,又X~F(n,n),故~F(n,n),从而,即α=β,故②正确,因此选B。二、填空题(本题共6题,每题1.0分,共6分。)9、设f(x)是[0,+∞)上的连续函数,且当x≥0时成立,则f(x)=_________________________。标准答案:知识点解析:因f(x)连续,且x(1+x)可导,故题设的变限定积分可导,将恒等式两端求导,得(2x+1)f[x(1+x)]=2x,即(*)令x(1+x)=t,即x2+x-t=0,解得。当x≥0时可得t=x(1+x)≥0,故应取正根,即,从而代入(*)式即得,把t换成x就得出函数。10、若由曲线及曲线某点处的切线方程与两条直线x=1,x=3围成的平面区域的面积最小,则该切线方程为_________________________。标准答案:知识点解析:图形如图所示,过曲线y=上的点处的切线方程为从而由于切线总在曲线的上方,故由曲线、切线及x=1,x=3所围图形面积为由此可见,x0=2,面积s最小,此时切线方程为。11、设u=,其中z=z(x,y)是由方程3x2+2y2+z2=6确定的隐函数,且z(1,1)=1,则=_________________________。标准答案:2e(cos2-sin2)知识点解析:又所以。12、由于折旧等因素,某机器转售价格P(t)是时间t(周)的减函数P(t)=,其中A是机器的最初价格,在任何时间t,机器开动就能产生的利润,则使转售出去总利润最大时机器使用的时间t=_________________________。(In2≈0.693)标准答案:333知识点解析:假设机器使用了t周后出售,在时间[t,t+dt]内机器开动产生的利润为,于是总收益为,由,令f’(t)=0,得t=96In32≈333;当t<96In32时,f’(t)>0;t>96In32时,f’(t)<0,故机器使用了333周后转售出去总利润最大。13、已知,则A-1=_________________________。标准答案:知识点解析:因为所以又于是。14、设X,Y分别服从参数为的0-1分布,且它们的相关系数,则X与Y的联合概率分布为_________________________。标准答案:知识点解析:依题意,,设(X,Y)的联合分布与边缘分布如下表:由于X,Y只取0,1两个值,所以,即。再由(X,Y)的联合分布与边缘分布的关系,可得。三、解答题(本题共9题,每题1.0分,共9分。)15、设f(x)=,(Ⅰ)求证:f(x)在[0,+∞)上连续;(Ⅱ)求f(x)在[0,+∞)的单调性区间;(Ⅲ)求f(x)在[0,+∞)的最大值与最小值。标准答案:(Ⅰ)当x>0时f(x)与初等函数相同,故连续,又,即f(x)在x=0处右连续,因此f(x)在[0,+∞)上连续。(Ⅱ)考察(0,+∞)上f’(x)的符号,先求,并考察,由g’(x)→g(x)在(0,+∞)单调上升→→→f(x)在[0,1]单调下降,在[1,+∞)单调上升。(Ⅲ)由(Ⅱ)中单调性分析知,f(x)=f(1)=,又f(0)=1,,因此。知识点解析:暂无解析16、设有抛物线C1:x2=ay和圆C2:x2+y2=2y,(Ⅰ)确定a的取值范围,使得C1,C2交于三点O,M,P(如图);(Ⅱ)求抛物线C1与弦MP所围平面图形面积S(a)的最大值;(Ⅲ)求上述具有最大面积的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积V。标准答案:(Ⅰ)得ay+y2=2y,解得y=0,y=2-a,由0<y=2-a<2,可得0<a<2,此时C1与C2的三交点是0(0,0),。(Ⅱ)由定积分的几何意义及对称性可得所论平面图形面积,要使S(a)最大,只要f(a)=a(2-a)3最大(0<a<2),由于是f’(a)=(2-a)3-3a(2-a)2=→a=时,最大。此时所求面积的最大值。(Ⅲ)由旋转体的体积计算公式可得所求旋转体的体积(圆柱体体积减去而被抛物旋转体的体积)为。知识点解析:暂无解析17、设z=z(x,y)是由9x2-54xy+90y2-6yz-z2+18=0确定的函数,求z=z(x,y)的极值点和极值。标准答案:利用一阶全微分形式不变性,将方程求全微分即得18xdx-54(ydx+xdy)+180ydy-6zdy-6ydz-2zdz=0,即(18x+54y)dx+(180y-54x-6z)dy-(6y+2z)dz=0。从而为求隐函数z=z(x,y)的驻点,应解方程组②可化简得x=3y,由③可得z=30y-9x=3y,代入①可解得两个驻点x=3,y=1,z=3与x=-3,y=-1,z=-3。为判定z=z(x,y)在两个驻点处是否取得极值,还需求z=z(x,y)在这两点的二阶偏导数:记P=(3,1,3),Q=(-3,-1,-3),即可得出在P点处,故,故在点(3,1)处z=z(x,y)取得极小值z(3,1)=3。类似可知在Q点处,故B2-AC=,且,故在点(-3,-1)处z=z(x,y)取得极大值z(-3,-1)=-3。知识点解析:暂无解析18、设。标准答案:令S(x)=,则其收敛半径R=1。在(-1,1)内有。由于,取x=,因此有,即。知识点解析:暂无解析19、设函数f(x)在区间[0,4]上连续,且=0,求证:存在ξε(0,4)使得f(ξ)+f(4-ξ)=0。标准答案:方法一:用反证法证明本题,由题设f(x)在[0,4]上连续即知f(4-x)在[0,4]上连续,从而其和f(x)+f(4-x)也在[0,4]上连续,若不存在ξε(0,4)使f(ξ)+f(4-ξ)=0,则f(x)+f(4-x)或在(0,4)内恒正,或在(0,4)内恒负,于是必有。但是=0用换元x=4-t可得,于是,由此可得出的矛盾表明必存在ξε(0,4)使得f(ξ)+f(4-ξ)=0。方法二:作换元t=4-x,则x:0→4对应t:4→0,且dx=-dt,从而,由此即得,于是。利用f(x)+f(4-x)在[0,4]连续,由连续函数的积分中值定理即知存在ξε(0,4)使得。知识点解析:暂无解析20、设α1=(1,3,5,-1)T,α2=(2,7,a,4)T,α3=(5,17,-1,7)T。(Ⅰ)若α1,α2,α3线性相关,求a;(Ⅱ)当a=3时,求与α1,α2,α3都正交的非零向量α4;(Ⅲ)设a=3,α4是与α1,α2,α3都正交的非零向量,证明α1,α2,α3,α4可表示任何一个4维向量。标准答案:(Ⅰ)α1,α2,α3线性相关,则r(α1,α2,α3)<3得a=-3。(Ⅱ)与α1,α2,α3都正交的非零项向量即齐次方程组的非零解,解此方程组:解得α4=c(19,-6,0,1)T,c≠0。(Ⅲ)只用证明α1,α2,α3,α4线性相关,此时对任何4维向量α,有α1,α2,α3,α4,α线性相关,从而α可以用α1,α2,α3,α4线性表示。方法一:由①知,a=3时,α1,α2,α3线性无关,只用证明α4不能用α1,α2,α3线性表示,用反证法,如果α4能用α1,α2,α3线性表示,设α4=c1α1+c2α2+c3α3,则(α4,α4)=(α4,c1α1+c2α2+c3α3)=c1(α4,α1)+c2(α4,α2)+c3(α4,α3)=0,得α4=0,与α4是非零向量矛盾。方法二:计算行列式于是α1,α2,α3,α4线性无关。知识点解析:暂无解析21、已知三元二次型xTAx的平方项系数都为0,α=(1,2,-1)T满足Aα=2α。(Ⅰ)求xTAx的表达式;(Ⅱ)求作正交变换x=Qy,把xTAx化为标准二次型。标准答案:(Ⅰ)设A=,则条件Aα=2α即得2a-b=2,a-c=4,b+2c=-2,解出a=b=2,c=-2。此二次型为4x1x2+4x1x3-4x2x3。(Ⅱ)先求A的特征值于是A的特征值就是2,2,-4,再求单位正交特征向量组:属于2的特征向量是(A-2E)x=0的非零解。得(A-2E)x=0的同解方程组:x1-x2-x3=0。显然β1=(1,1,0)T是一个解,设第二个解为β2=(1,-1,c)T(这样的设定保证了两个解是正交的!),代入方程得c=2,得到属于特征值2的两个正交的特征向量β1,β2,再把它们单位化:记,属于-4的特征向量是(A+4E)x=0的非零解。求出β3=(1,-1,-1)T是一个解,单位化:记,则η1,η2,η3是A的单位正交特征向量组,特征值依次为2,2,-4。作正交矩阵Q=(η1,η2,η3),则Q-1AQ是对角矩阵,对角线上的元素为2,2,-4。作正交变换x=Qy,它把f(x1,x2,x3)化为2y12+2y22-4y32。知识点解析:暂无解析22、设离散型二维随机变量(X,Y)的取值为(xi,yj)(i,j=1,2)且,试求:(Ⅰ)二维随机变量(X,Y)的联合概率分布;(Ⅱ)X与Y的相关系数Pxy;(Ⅲ)条件概率P{Y=yj︱X=x1},j=1,2。标准答案:依题意,随机变量X与Y的可能取值分别为x1,x2与y1,y2且,又题设,于是有,即事件{X=x1}与事件{Y=y1}相互独立,因而{X=x1}的对立事件{X=x2}与{Y=y1}独立,且{X=x1}与{Y=y1}的对立事件{Y=y2}独立;{X=x2}与{Y=y2}独立,即X与Y相互独立。(Ⅰ)因X与Y独立,所以有或。于是(X,Y)的联合概率分布为(Ⅱ)由(Ⅰ)知X与Y独立,因此它们的相关系数PXY=0。(Ⅲ)因X与Y独立,所以P{Y=yj︱X=x1}=P{Y=yj},j=1,2于是有。知识点解析:暂无解析23、设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,Y服从参数λ=2的指数分布,且X,Y相互独立,记随机变量Z=X+2Y。(Ⅰ)求Z的概率密度;(Ⅱ)求EZ,DZ。标准答案:(Ⅰ)由题设X,Y相互独立,且故先求Z的分布函数,当Z≤0时,FZ(Z)=0;当0<Z<2时,;当Z≥2时,,于是。(Ⅱ)直接用期望、方差的运算性质,由于EX=1,DX=,且X,Y相互独立,故EZ=E(X+2Y)=EX+2EY=1+1=2,。知识点解析:暂无解析考研数学(数学三)模拟试卷第6套一、选择题(本题共8题,每题1.0分,共8分。)1、设其中g(x)是有界函数,则f(x)在x=0处()A、极限不存在。B、极限存在,但不连续。C、连续,但不可导。D、可导。标准答案:D知识点解析:本题考查函数连续和可导的关系及可导的定义。首先通过计算x=0处的左、右极限判断函数在该点是否连续,再利用可导的充要条件判断函数是否可导。因为因此f(x)在x=0处连续。从而f'+(0)=f'-(0)=0=f'(0),即f(x)在x=0处可导。故本题选D。2、设,则f(x)=()A、
B、
C、
D、
标准答案:C知识点解析:本题考查定积分和原函数的关系。题中f(x)的表达式中含有定积分,因此关键是求出定积分的值。等式两端同除以x2,令等于某待定系数,对变形后的等式两端同时积分可求得的值。两端同时除以x2,得,对上式两端在[1,e]上积分,可得139,即解得,因此。故本题选C。3、设,则级数()A、
B、
C、
D、
标准答案:A知识点解析:本题考查数项级数的敛散性。首先化简已知的通项公式,an是正负间隔的,因此考虑用莱布尼茨判别法判断的敛散性;然后利用比较判别法判断的敛散性。因为显然是一个交错级数,满足莱布尼茨判别法的条件,因此收敛。因为当n→∞时,所以此时是等价无穷小,且级数收敛,因此级数也收敛。故本题选A。4、某产品生产x个单位的量时,其边际收益为,则生产100个单位的产品时的平均单位收益为()A、30。B、40。C、49。D、50。标准答案:B知识点解析:本题考查定积分的经济学应用。利用已知的边际收益函数求出总收益函数,积分上限为100。总收益函数R为边际收益函数的积分,因此可得总收益为进一步可得其平均收益为。故本题选B。5、设A,B为3阶可逆矩阵,且|A-3E|=0,λ1=1,λ2=2是矩阵A的两个特征值,则|B-2AB|=()A、36。B、-36。C、90。D、-90。标准答案:D知识点解析:本题考查相似矩阵的性质。首先结合|A-3E|=0可得出矩阵A和B的所有特征值,然后利用矩阵行列式等于矩阵所有特征值乘积的性质计算|B-2AB|。根据|A-3E|=0可知λ=3是矩阵A的另一个特征值,因此A的所有特征值为1,2,3。已知A和B相似,因此B的特征值也是1,2,3。E-2A的特征值分别为1-2×1=-1,1-2×2=-3,1-2×3=-5。因此|E-2A|=(-1)×(-3)×(-5)=-15,|B|=λ1λ2λ3=1×2×3=6。故|B-2AB|=|(E-2A)B|=|E-2A|·|B|=-15×6=-90。故本题选D。6、已知,则A-1=()A、
B、
C、
D、
标准答案:C知识点解析:本题考查矩阵的幂和逆矩阵的性质。该题可以用两种方法解答,第一种方法先将矩阵A化简到最终的形式,利用初等变换法求其逆矩阵;第二种方法先将A中的两个矩阵的幂算出结果,再利用(ABC)-1=C-1B-1A-1求乘积矩阵的逆矩阵。故本题选C。7、已知随机变量(X1,X2)的概率密度为f1(x1,x2),分布函数为F1(x1,x2)。设Y1=3X1,,则随机变量(Y1,Y2)的分布函数F2(y1,y2)和概率密度f2(y1,y2)分别为()A、
B、
C、
D、
标准答案:C知识点解析:本题考查二维随机变量分布函数的定义和性质,以及二维连续型随机变量函数的分布,主要利用分布函数的定义F2(y1,y2)=P{Y1≤y1,Y2≤y2}以及概率密度的计算公式。根据已知可得随机变量(Y1,Y2)的分布函数F2(y1,y2)为进一步可得概率密度f2(y1,y2)为故本题选C。8、设总体X与Y都服从正态分布N(0,σ2),已知X1,X2,…,Xm与Y1,Y2,…,Yn均是来自正态总体X与Y的两个相互独立的简单随机样本,统计量服从t(n)分布,则m与n应满足的关系为()A、n=m。B、9n=4m。C、3n=2m。D、m=n-1。标准答案:B知识点解析:本题考查t分布的经典模型。首先利用已知条件将标准化之后得出t分布的服从正态分布的分子部分,再利用X2分布的定义凑出分母的形式,从而得出m和n的关系。根据t分布的模型,因为Xi~N(O,σ2)(i=1,2,…,m),所以Xi~N(O,mσ2),进一步。而(i=1,2,…,m)且相互独立,则因为U和V相互独立,所以有可得,因此9n=4m。故本题选B。二、填空题(本题共6题,每题1.0分,共6分。)9、设,其中f(x)=ln(1+x),则y'(2)=________。标准答案:-ln4知识点解析:本题考查复合函数求导。令,将函数转化为以z为中间函数的复合函数,然后利用复合函数求导求出y'的表达式。利用x=2算出名的值,代入表达式求出y'(2)。设当x=2时,x=3,则。10、f(x)的一个原函数是xsinx,则∫0-1xf'(x)dx=__________。标准答案:-cos1知识点解析:本题考查积分与原函数的定义及分部积分法。先通过对xsinx求导得出f(x)的表达式,利用分部积分法求出积分;也可以求出f'(x)代入后直接求积分。由已知可得f(x)=(xsinx)'=sinx+xcosx,所以有11、设函数z=z(x,y)由方程2ln(x-2y-z)=x-2y-z所确定,则=___________。标准答案:4知识点解析:本题主要考查隐函数求导公式。先利用已知写出F(x,y,z),求出F(x,y,z)对x,y,z的偏导数,再利用求出结果。令F(x,y,z)=21n(x-2y-z)-x+2y+z,则12、曲面2+y2=25,z=6-x-y,z=0所围成的立体图形的体积是__________。标准答案:150π知识点解析:本题主要考查二重积分的几何意义。若函数f(x,y)在区域D上连续且非负,则二重积分表示以区域D为底,曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。令D={(x,y)|x2+y2≤25},则根据二重积分的几何意义可得13、已知向量组α1=(1,2,1)T,α2=(1,1,a)T,α3=(b,1,2)T的秩为2,则a,b满足的关系式为__________。标准答案:a+b-2ab+1=0知识点解析:本题主要考查矩阵秩的求解,向量组的秩与矩阵的秩之间的关系。向量组的秩为2,即由该向量组构成的矩阵的秩也是2。向量组的秩为2,则矩阵的秩也为2,因此a,b满足(1-2b)(a-1)+2-b=a+b-2ab+1=0。14、已知X1,X2,…,X8是来自正态分布N(0,σ2)的简单随机样本,统计量服从F(n1,n2)分布,其中k为常数,则k|n1-n2|=__________。标准答案:知识点解析:本题考查统计量的概念。首先根据已知统计量可知分子分母均服从X2分布,然后将Xi标准化,结合X2分布的特点,得出分子分母服从的X2分布的自由度,并得出k的值,从而计算出k|n1-n2|的值。根据已知,且它们相互独立,因此根据F分布的定义,有三、解答题(本题共9题,每题1.0分,共9分。)15、设f(x)在x=0处具有二阶连续导数,且已知,试求f(0),f'(0),f"(0)及极限。标准答案:根据重要极限的性质,如果,则知识点解析:本题考查“l∞’型极限的求法及极限存在的条件。根据重要极限,则题干极限式的底数极限为1,否则极限结果为0或者∞,据此可以求出f(0),根据e4并结合指数形式得出f'(0),f"(0)的值,最后根据重要极限求出。16、计算,区域D由直线y=x、曲线(y≥0)以及x轴围成。标准答案:圆x2+y2=4将区域D分成两部分,圆x2+y2=4内的部分记作D1,圆外的部分记作D2,则原积分化为采用极坐标计算积分,其中知识点解析:本题考查二重积分的计算。根据被积函数的形式,当时,去掉绝对值对应的被积函数不同,相应选取的积分区域也有所不同。因此需要分两部分计算,然后再相加。17、设某钢厂出售甲、乙两种钢材,当这两种钢材的销量分别为x和Y时,其总收益与总成本的差值函数为F(x,y)=-x2-4y2-2xy+15x+34y-36(单位:千元)。此外,出售1吨甲钢材还需要支付运输费1千元,出售1吨乙钢材还需要支付运输费2千元。(Ⅰ)在不限制运输费用支出的情况下,这两种钢材的销量各为多少时总利润最大?最大利润是多少?(Ⅱ)当在运输费用不得超过6千元的条件下,这两种钢材的销量各为多少时总利润最大?最大利润是多少?标准答案:(Ⅰ)设甲、乙两种钢材销量分别为x和y,则总利润函数为L(x,y),则L(x,y)=F(x,y)-x-2y=14x+32y-x2-2xy-4y2-36。令解得x=4,y=3。因为必存在最大利润,故在不限制运输费用的情况下,当甲、乙两种钢材的销量分别为x=4,y=3时,总利润最大,且最大利润为40千元。(Ⅱ)求总利润函数L(x,y)在约束条件x+2y=6下的最大值,构造拉格朗日函数F(x,y,λ)=L(x,y)+λ(x+2y-6),并求F(x,y,λ)的驻点,令解得x=2,y=2。因此当运输费用不超过6千元的情况下,两种钢材的销量均为2吨时总利润最大,最大利润为28千元。知识点解析:本题考查二元函数的极值和条件极值。很显然第一问就是简单的求解最值问题,且该题为实际问题,所以驻点即为所求的最大值点;第二问是在一定的约束条件下的条件极值问题,需要利用拉格朗日乘数法进行求解。18、将函数在区间(-1,1)上展开成x的幂级数。标准答案:函数变形为因为f(0)=0,将上式由0到x积分得知识点解析:本题考查函数的幂级数展开。观察函数的形式,将其写成两个对数函数相加的形式,则函数f(x)的导数是可以根据公式直接进行幂级数展开的,所以先对f'(x)进行幂级数展开,然后再对结果求积分,得到f(x)的幂级数展开式。19、设f(x)=arctanx,ξ为f(x)在区间[0,t]上满足拉格朗日中值定理的一个点,且已知0<t<1,求极限。标准答案:函数f(x)=arctanx在[0,t]上连续,在开区间(0,t)上可导,根据拉格朗日中值定理,存在一点ξ∈(0,t),使得知识点解析:本题考查拉格朗日中值定理和未定式极限的求解。首先通过拉格朗日中值定理确定题中点ξ所满足的关于t的函数,然后将该函数代入极限式,通过洛必达法则和等价无穷小替换求出最终极限20、设A4×4是实对称矩阵,|A|=-16,A的4个特征值之和为4,且α=(1,0,-2,-1)T是方程组(A*-8E)x=0的一个解向量,且矩阵A的一个特征值为2。(Ⅰ)求矩阵A的所有特征值;(Ⅱ)求可逆矩阵P,使得A可以相似对角化;(Ⅲ)求方程组(A*+8E)x=0的通解。标准答案:(Ⅰ)α=(1,0,-2,-1)T是方程组(A*-8E)x=0的一个解向量,则(A*-8E)α=0,即A*α=8α,又A*A=AA*=|A|E=-16E,故AA*α=8Aα=-16a,因此Aα=-2α,所以α=(1,0,-2,-1)T。是A的对应特征值λ3=-2的特征向量。设A的除-2和2之外的两个特征值为λ1,λ2,则2+(-2)+λ1+λ2=4,2×(-2)λ1λ2=|A|=-16,解得λ1=λ2=2。因此矩阵A的所有特征值分别为2(三重)和-2。(Ⅱ)设特征值2(三重)对应的特征向量为x=(x1,x2,x3,x4)T,则它与α=(1,0,-2,-1)T正交,即x1-23-x4=0,其基础解系为α1=(0,1,0,0)T,α2=(2,0,1,0)T,α3=(1,0,0,1)T,(Ⅲ)由(A*+8E)x=0可得(AA*+8A)x=0,进一步有(8A-16E)x=0,即方程最终化为(A-2E)x=0,因此方程组(A*+8E)x=0的基础解系即为矩阵4属于特征值2的三个线性无关的特征向量,因此可得其通解为x=k1(0,1,0,0)T+k2(2,0,1,0)T+k3(1,0,0,1)T,k1,k2
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 运动生理学-第十一章-肌肉力量
- 教科版小学四年级上册第一单元第3课《声音是怎样传播的》课件
- 计算机文化基础一体化教程(第二版)教案 (项目三) 管理学生电脑-Windows 10操作系统
- 小学四年级上学期美术艺术《祖国在我心中》微课教学设计
- 果洛市重点中学2024-2025学年高三第一次段考物理试题试卷含解析
- 贵州省重点中学2025届初三第十三次双周考物理试题试卷含解析
- 硬胶囊剂机械项目可行性实施报告
- 织物阻燃剂产品商业计划书
- 石英晶体谐振器产品项目运营指导方案
- 贵州省铜仁地区沿河土家族自治县2023-2024学年数学四下期末质量检测模拟试题含解析
- 初三语文第一课课件
- 2023年秋季新苏教版六年级上册科学练习题(一课一练+期中+期末)
- 五大领域健康领域的简单认识
- 【人工智能基础与应用】教案 第5课
- 第38届全国中学生物理竞赛预赛试题及参考答案
- 保险行业数字化转型与应用解决方案
- 高三英语总复习-形容词和副词教学课件
- 博物馆学概论课件:博物馆与观众
- 《学前心理学》课件-任务五 掌握学前儿童的记忆的发展
- 旋转铰链型膝关节置换术
- 建筑施工安全风险辨识分级管控清单表
评论
0/150
提交评论