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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知当,,时,,则以下判断正确的是A. B.C. D.与的大小关系不确定2.盒中有6个小球,其中4个白球,2个黑球,从中任取个球,在取出的球中,黑球放回,白球则涂黑后放回,此时盒中黑球的个数,则()A., B.,C., D.,3.在三棱锥中,,,则三棱锥外接球的表面积是()A. B. C. D.4.已知抛物线,F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦,若,,则的面积为()A. B. C. D.5.已知数列an满足:an=2,n≤5a1A.16 B.17 C.18 D.196.在精准扶贫工作中,有6名男干部、5名女干部,从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作,则不同的选法共有()A.60种 B.70种 C.75种 D.150种7.正四棱锥的五个顶点在同一个球面上,它的底面边长为,侧棱长为,则它的外接球的表面积为()A. B. C. D.8.设双曲线的左右焦点分别为,点.已知动点在双曲线的右支上,且点不共线.若的周长的最小值为,则双曲线的离心率的取值范围是()A. B. C. D.9.已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图是全等的直角三角形,则该几何体的各个面中,最大面的面积为()A.2 B.5 C. D.10.已知函数,其中,记函数满足条件:为事件,则事件发生的概率为A. B.C. D.11.设为坐标原点,是以为焦点的抛物线上任意一点,是线段上的点,且,则直线的斜率的最大值为()A.1 B. C. D.12.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺莞生一日,长一尺蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长倍?”意思是:“今有蒲草第天长高尺,芜草第天长高尺以后,蒲草每天长高前一天的一半,芜草每天长高前一天的倍.问第几天莞草是蒲草的二倍?”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是()(结果采取“只入不舍”的原则取整数,相关数据:,)A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的正方体),观察向上的点数,则事件“点数之积是3的倍数”的概率为____.14.某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中正确的是______.①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同;②支出最高值与支出最低值的比是6:1;③第三季度平均收入为50万元;④利润最高的月份是2月份.15.点在双曲线的右支上,其左、右焦点分别为、,直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点,线段的垂直平分线恰好过点,则该双曲线的渐近线的斜率为__________.16.已知双曲线的左焦点为,、为双曲线上关于原点对称的两点,的中点为,的中点为,的中点为,若,且直线的斜率为,则__________,双曲线的离心率为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)移动支付(支付宝及微信支付)已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式,为调查市民使用移动支付的年龄结构,随机对100位市民做问卷调查得到列联表如下:(1)将上列联表补充完整,并请说明在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为支付方式与年龄是否有关?(2)在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查,从这10人随机中选出3人颁发参与奖励,设年龄都低于35岁(含35岁)的人数为,求的分布列及期望.(参考公式:(其中)18.(12分)记为数列的前项和,已知,等比数列满足,.(1)求的通项公式;(2)求的前项和.19.(12分)设,,其中.(1)当时,求的值;(2)对,证明:恒为定值.20.(12分)在中,角,,的对边分别为,,,,,且的面积为.(1)求;(2)求的周长.21.(12分)已知函数,.(1)当时,判断是否是函数的极值点,并说明理由;(2)当时,不等式恒成立,求整数的最小值.22.(10分)等差数列的公差为2,分别等于等比数列的第2项,第3项,第4项.(1)求数列和的通项公式;(2)若数列满足,求数列的前2020项的和.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
由函数的增减性及导数的应用得:设,求得可得为增函数,又,,时,根据条件得,即可得结果.【详解】解:设,则,即为增函数,又,,,,即,所以,所以.故选:C.【点睛】本题考查了函数的增减性及导数的应用,属中档题.2.C【解析】
根据古典概型概率计算公式,计算出概率并求得数学期望,由此判断出正确选项.【详解】表示取出的为一个白球,所以.表示取出一个黑球,,所以.表示取出两个球,其中一黑一白,,表示取出两个球为黑球,,表示取出两个球为白球,,所以.所以,.故选:C【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算,属于中档题.3.B【解析】
取的中点,连接、,推导出,设设球心为,和的中心分别为、,可得出平面,平面,利用勾股定理计算出球的半径,再利用球体的表面积公式可得出结果.【详解】取的中点,连接、,由和都是正三角形,得,,则,则,由勾股定理的逆定理,得.设球心为,和的中心分别为、.由球的性质可知:平面,平面,又,由勾股定理得.所以外接球半径为.所以外接球的表面积为.故选:B.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算,解题时要分析几何体的结构,找出球心的位置,并以此计算出球的半径长,考查推理能力与计算能力,属于中等题.4.A【解析】
根据可知,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.【详解】由题意可知抛物线方程为,设点点,则由抛物线定义知,,则.由得,则.又MN为过焦点的弦,所以,则,所以.故选:A【点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.5.B【解析】
由题意可得a1=a2=a3=a4=a5=2,累加法求得a62+【详解】解:an即a1=an⩾6时,a1a1两式相除可得1+a则an2=由a6a7…,ak2=可得aa1且a1正整数k(k⩾5)时,要使得a1则ak+1则k=17,故选:B.【点睛】本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法,注意将题设中的递推关系变形得到新的递推关系,从而可简化与数列相关的方程,本题属于难题.6.C【解析】
根据题意,分别计算“从6名男干部中选出2名男干部”和“从5名女干部中选出1名女干部”的取法数,由分步计数原理计算可得答案.【详解】解:根据题意,从6名男干部中选出2名男干部,有种取法,从5名女干部中选出1名女干部,有种取法,则有种不同的选法;故选:C.【点睛】本题考查排列组合的应用,涉及分步计数原理问题,属于基础题.7.C【解析】
如图所示,在平面的投影为正方形的中心,故球心在上,计算长度,设球半径为,则,解得,得到答案.【详解】如图所示:在平面的投影为正方形的中心,故球心在上,,故,,设球半径为,则,解得,故.故选:.【点睛】本题考查了四棱锥的外接球问题,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.8.A【解析】
依题意可得即可得到,从而求出双曲线的离心率的取值范围;【详解】解:依题意可得如下图象,所以则所以所以所以,即故选:A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,属于中档题.9.D【解析】
根据三视图还原出几何体,找到最大面,再求面积.【详解】由三视图可知,该几何体是一个三棱锥,如图所示,将其放在一个长方体中,并记为三棱锥.,,,故最大面的面积为.选D.【点睛】本题主要考查三视图的识别,复杂的三视图还原为几何体时,一般借助长方体来实现.10.D【解析】
由得,分别以为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系,由图可知,.11.A【解析】
设,因为,得到,利用直线的斜率公式,得到,结合基本不等式,即可求解.【详解】由题意,抛物线的焦点坐标为,设,因为,即线段的中点,所以,所以直线的斜率,当且仅当,即时等号成立,所以直线的斜率的最大值为1.故选:A.【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及其应用,直线的斜率公式,以及利用基本不等式求最值的应用,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.12.C【解析】
由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n天后长度,进而可得:,解出即可得出.【详解】由题意可得莞草与蒲草第n天的长度分别为据题意得:,解得2n=12,∴n21.故选:C.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】总事件数为,目标事件:当第一颗骰子为1,2,4,6,具体事件有,共8种;当第一颗骰子为3,6,则第二颗骰子随便都可以,则有种;所以目标事件共20中,所以。14.①②③【解析】
通过图片信息直接观察,计算,找出答案即可.【详解】对于①,2至月份的收入的变化率为20,11至12月份的变化率为20,故相同,正确.对于②,支出最高值是2月份60万元,支出最低值是5月份的10万元,故支出最高值与支出最低值的比是6:1,正确.对于③,第三季度的7,8,9月每个月的收入分别为40万元,50万元,60万元,故第三季度的平均收入为50万元,正确.对于④,利润最高的月份是3月份和10月份都是30万元,高于2月份的利润是80﹣60=20万元,错误.故答案为①②③.【点睛】本题考查利用图象信息,分析归纳得出正确结论,属于基础题目.15.【解析】如图,是切点,是的中点,因为,所以,又,所以,,又,根据双曲线的定义,有,即,两边平方并化简得,所以,因此.16.【解析】
设,,根据中点坐标公式可得坐标,利用可得到点坐标所满足的方程,结合直线斜率可求得,进而求得;将点坐标代入双曲线方程,结合焦点坐标可求得,进而得到离心率.【详解】左焦点为,双曲线的半焦距.设,,,,,,即,,即,又直线斜率为,即,,,,在双曲线上,,即,结合可解得:,,离心率.故答案为:;.【点睛】本题考查直线与双曲线的综合应用问题,涉及到直线截双曲线所得线段长度的求解、双曲线离心率的求解问题;关键是能够通过设点的方式,结合直线斜率、垂直关系、点在双曲线上来构造方程组求得所需变量的值.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)列联表见解析,在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为支付方式与年龄有关;(2)分布列见解析,期望为.【解析】
(1)根据题中所给的条件补全列联表,根据列联表求出观测值,把观测值同临界值进行比较,得到能在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为支付方式与年龄有关.(2)首先确定的取值,求出相应的概率,可得分布列和数学期望.【详解】(1)根据题意及列联表可得完整的列联表如下:35岁以下(含35岁)35岁以上合计使用移动支付401050不使用移动支付104050合计5050100根据公式可得,所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为支付方式与年龄有关.(2)根据分层抽样,可知35岁以下(含35岁)的人数为8人,35岁以上的有2人,所以获得奖励的35岁以下(含35岁)的人数为,则的可能为1,2,3,且,,,其分布列为123.【点睛】独立性检验依据的值结合附表数据进行判断,另外,离散型随机变量的分布列,在求解的过程中,注意变量的取值以及对应的概率要计算正确,注意离散型随机变量的期望公式的使用,属于中档题目.18.(1)(2)当时,;当时,.【解析】
(1)利用数列与的关系,求得;(2)由(1)可得:,,算出公比,利用等比数列的前项和公式求出.【详解】(1)当时,,当时,,因为适合上式,所以.(2)由(1)得,,设等比数列的公比为,则,解得,当时,,当时,.【点睛】本题主要考查数列与的关系、等比数列的通项公式、前项和公式等基础知识,考查运算求解能力..19.(1)1(2)1【解析】分析:(1)当时可得,可得.(2)先得到关系式,累乘可得,从而可得,即为定值.详解:(1)当时,,又,所以.(2)即,由累乘可得,又,所以.即恒为定值1.点睛:本题考查组合数的有关运算,解题时要注意所给出的的定义,并结合组合数公式求解.由于运算量较大,解题时要注意运算的准确性,避免出现错误.20.(1)(2)【解析】
(1)利用正弦,余弦定理对式子化简求解即可;(2)利用余弦定理以及三角形的面积,求解三角形的周长即可.【详解】(1),由正弦定理可得:,即:,由余弦定理得.(2)∵,所以,,又,且,,的周长为【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用,三角形的面积公式,也考查计算能力,属于基础题.21.(1)是函数的极大值点,理由详见解析;(2)1.【解析】
(1)将直接代入,对求导得,由于函数单调性不好判断,故而构造函
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