考研数学（数学三）模拟试卷1（共209题）

考研数学（数学三）模拟试卷1（共9套）（共209题）考研数学（数学三）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、若函数f(x)在点x0处的左导数f-’(x0)和右导数f+’(x0)都存在，则()．A、函数f(x)在点x0处必可导B、函数f(x)在点x0处不一定可导，但必连续C、函数f(x)在点x0处不一定连续，但极限必存在D、极限不一定存在标准答案：B知识点解析：由f’一(x0)存在，即，即f(x0一0)=f(x0)；由f+’(x0)存在，即即f(x0+0)=f(x0)，从而f(x0-0)一f(x0+0)=f(x0)，即f(x)在x=x0处连续，而左、右导数存在函数不一定可导，应选B．2、设f(x)连续，且则下列结论正确的是()．A、f(1)是f(x)的极大值B、f(1)是f(x)的极小值C、(1，f(1))不是曲线y=f(x)的拐点D、f(1)不是f(x)的极值，但(1，f(1))是曲线y=f(x)的拐点标准答案：B知识点解析：因为，所以由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜x一1｜＜δ时，有．即当x∈(1一δ，1)时，f’(x)＜0；当x∈(1，1+δ)时，f’(x)＞0．根据极值的定义，f(1)为f(x)的极小值，选B．3、设t＞0，则当t→0时，是t的n阶无穷小量，则n为()．A、2B、4C、6D、8标准答案：C知识点解析：选C．4、微分方程y’’一4y’=x2+cos2x的特解形式为()．A、(ax2+bx+c)+(Acosx+Bsin2x)B、(ax2+bx+c)+x(Acos2x+Bsin2x)C、(ax3+bx2+cx)+(Acos2x+Bsin2x)D、(ax3+bx2+cx)+x(Acos2x+Bsin2x)标准答案：C知识点解析：特征方程为λ2一4λ=0，特征值为λ1=0，λ2=4，方程y’’一4y’=x2的特解为y1=x(ax2+bx+c)=ax3+bx2+cx；方程y’’一4y’=cos2x的特解为Acos2x+Bsin2x，故选C．5、设A，B及A*都是n(n≥3)阶非零矩阵，且ATB=0，则r(B)等于()．A、0B、1C、2D、3标准答案：B知识点解析：因为ATB=0且B为非零矩阵，所以方程组ATX=0有非零解，从而r(AT)=r(A)＜n，于是r(A*)=0或r(A*)=1，又因为A*为非零矩阵，所以r(A*)=1．由r(A*)=1得r(A)=n一1，从而r(AT)=n—1．由ATB=0得r(AT)+r(B)≤n，于是r(B)≤1，又B为非零矩阵，所以r(B)≥1，于是r(B)=1，选B．6、设三阶矩阵A的特征值为一2，0，2，则下列结论不正确的是()．A、r(A)=2B、tr(A)=0C、Ax=0的基础解系由一个解向量构成D、一2和2对应的特征向量正交标准答案：D知识点解析：因为A的特征值都是单值，所以A可相似对角化，从而r(A)=2，A是正确的；由tr(A)=一2+0+2—0得B是正确的；因为λ=0是单特征值，所以λ=0只有一个线性无关的特征向量，即方程组(0E一A)X=0或AX=0的基础解系只含一个线性无关的解向量，C是正确的；一2与2对应的特征向量一般情况下线性无关，只有A是实对称矩阵时才正交，选D．7、设随机变量向量组α1，α2线性无关，则Xα1一α2，一α1+Xα2线性相关的概率为()．A、B、C、D、1标准答案：C知识点解析：因为α1，α2线性无关，所以向量组Xα1一α2，一α1+Xα2线性无关的充分必要条件是．即X=1，故向量组Xα1一α2，一α1+Xα2线性相关的概率为选C．8、设X，Y)9两个随机变量，其中E(X)=2，E(y)=一1，D(X)=9，D(Y)=16，且X，Y的相关系数为，由切比雪夫不等式得P{｜X+Y一1｜≤10}≥()．A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：令Z=X+Y，则E(Z)=E(X)+E(Y)=1，D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=13，则选B．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、=___________.标准答案：知识点解析：10、设f(x)为连续函数，且x2+y2+z2=∫xyφ(x+y一t)dt，则=___________.标准答案：知识点解析：11、设φ连续，且x2+y2+z2=∫xyφ(x+y一t)dt，则=_____________.标准答案：φ(y)一φ(x)一2(x+y)知识点解析：12、幂级数的和函数为__________．标准答案：知识点解析：13、设矩阵不可对角化，则a=___________．标准答案：0或4知识点解析：得λ1=0，λ2=a，λ3=4．因为A不可对角化，所以A的特征值一定有重根，从而a=0或a=4．当a=0时，由r(OE-A)=r(A)=2得λ1=λ2=0只有一个线性无关的特征向量，则A不可对角化，a=0合题意；当a=4时，由r(4E-A)=2得λ2=λ3=4只有一个线性无关的特征向量，故A不可对角化，A=4合题意．14、10件产品中有3件产品为次品，从中任取2件，已知所取的2件产品中至少有一件是次品，则另一件也为次品的概率为__________．标准答案：知识点解析：令事件A={所取两件产品中至少有一件次品)，B={两件产品都是次品)，三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)15、设f(x)在[0，1]上二阶可导，｜f’’(x)｜≤1(x∈[0，1])，f(0)=f(1)．证明：对任意的x∈[0，1]，有．标准答案：对任意的x∈[0，1]，由泰勒公式得知识点解析：暂无解析16、某商品进价为30元／件，根据经验，当销售为80元／件时日销售量为100件，日常调查表明，销售每下降10％，可使日销售量增加30％，该商家在一日内以72元价格出售一批该商品后，决定再作一次性降价销售其余商品，当售价定为多少时，商家才能获得最大利润?标准答案：当该商品的售价从p1降到p2时，对应的日销售量从q1上升为q2，由题意有即商家以72元／件的价格出售该商品的日销售量为设该商品一次性降价处理的价格设为p元／件，则相应的日销售量为利润为得p=63，即若一次性以63元／件出售其余商品时，商家获得最大利润．知识点解析：暂无解析17、计算，其中D={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0，y≥0)．标准答案：知识点解析：暂无解析18、设方程求常数a．标准答案：知识点解析：暂无解析19、设A从原点出发，以固定速度v0沿y轴正向行驶，B从(x0，0)出发(x0＜0)，以始终指向点A的固定速度v1朝A追去，求B的轨迹方程．标准答案：知识点解析：暂无解析20、当常数a取何值时，方程组无解、有无穷多个解?在有无穷多个解时，求出其通解．标准答案：知识点解析：暂无解析设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一2x1x2一2x1x3+2ax2x3(a＜0)通过正交变换化为标准形2y12+2y22+by32．21、求常数a，b的值；标准答案：令，则f(x1，x2，x3)=XTAX．因为二次型经过正交变换化为2y12+2y22+by32，所以矩阵A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=b．由特征值的性质得解得a=一1，b=一1．知识点解析：暂无解析22、求正交变换矩阵；标准答案：当λ1=λ2=2时，由(2E—A)X=0，得当λ3=一1时，由知识点解析：暂无解析23、当｜X｜=1时，求二次型的最大值．标准答案：因为Q为正交矩阵，所以｜X｜=1时，｜Y｜=1，当｜Y｜=1时，二次型的最大值为2．知识点解析：暂无解析24、设随机变量X与Y相互独立同分布，其中令U=max{X，Y)，V=min{X，Y)．(I)求(U，V)的联合分布；(Ⅱ)求P{U=V)；(Ⅲ)判断U，V是否相互独立，若不相互独立，计算U，V的相关系数．标准答案：(I)U，V的可能取值为1，2，3，显然P{U＜V)=0，于是(U，V)的联合分布律为知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、的渐近线条数为()．A、1条B、2条C、3条D、4条标准答案：B知识点解析：所以y=x+7为曲线的斜渐近线，故曲线有两条渐近线，应选B．2、A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：3、当x→0时，无穷小的阶数最高的是()．A、B、tanx－xC、(1+tanx)ln(1+2x)－1D、标准答案：A知识点解析：由(1+tanx)ln(1+2x)－1=eln(1+2x)(ln1+tanx)－1～ln(1+2x)ln(1+tanx)～2x2得(1+tanx)ln(1+2x)－1为2阶无穷小；4、下列反常积分收敛的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：应选B．5、设A为m×n矩阵，以下命题正确的是()．A、若AX=0只有零解，则AX=b只有唯一解B、若AX=0有非零解，则AX=b有无数个解C、若r(A)=n，则．AX=b有唯一解D、若r(A)=m，则AX=b一定有解标准答案：D知识点解析：因为当r(A)=m时，则r(A)==m，于是若r(A)=m，则AX=b一定有解，选D．6、设A为三阶矩阵，特征值为λ1=λ2=1，λ3=2，其对应的线性无关的特征向量为α1，α2，α3，令P1=(α1－α3，α2+α3，α3)，则P1－1A*P1=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：A*的特征值为2，2，1，其对应的线性无关的特征向量为α1，α2，α3，选A．7、设随机变量X～N(μ，σ2)，其分布函数为F(x)，又Y=F(X)，则等于()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：8、设X～N(1，4)，Y～B且X，Y相互独立，则P(XY+1＞X+Y}=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：P{XY+1＞X+Y}=P{(X－1)(Y－1)＞0}=P{X＞1，Y＞1}+P{X＜1，Y＜1}=P{X＞1}P{Y＞1}+P{X＜1}P{Y＜1}应选B.二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、曲线在t=0对应点处的法线方程为__________________．标准答案：知识点解析：10、差分方程yx+1一3yx=2·3x的通解为_________________．标准答案：y(x)=A3x+2x3x－1知识点解析：齐次差分方程Yx+1－3yx=0的通解为y=A3x，设差分方程yx+1－3yx=2·3x的特解为y0(x)=Cx3x，将y0(x)=Cx3x代入方程yx+1－3yx=2·3x得故原差分方程的通解为y(x)=A3x+2x3x－1．11、设f可微，f＇1(3，2)=2，f＇2(3，2)=3，则dz｜(2,1)=_______________．标准答案：7dx－8dy知识点解析：12、微分方程y"－3y＇+2y=2ex满足的特解为__________________．标准答案：y=－3ex+3e2x－2xex知识点解析：特征方程为λ2－3λ+2=0，特征值为λ1=1，λ2=2，y"－3y＇+2y=0的通解为y=C1ex+C2e2x．令原方程的特解为y0(x)=Axex，代入原方程为A=－2，原方程的通解为y=C1ex+C2e2x－2xex由得y(0)=0，y＇(0)=1，代入通解得C1=－3，C2=3，特解为y=－3ex+3e2x－2xex．13、已知三阶方阵A，B满足关系式E+B=AB，A的三个特征值分别为3，－3，0，则｜B－1+2E｜=_______________．标准答案：－8知识点解析：因为A的特征值为3，－3，0，所以A—E的特征值为2，－4，－1，从而A－E可逆，由E+B=AB得(A－E)B=E，即B与A－E互为逆阵，则B的特征值为B－1的特征值为2，－4，－1，从而B－1+2E的特征值为4，－2，1，于是｜B－1+2E｜=－8．14、设X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，其中E(X)=μ，D(X)=σ2，令则ρUV=_______________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、计算二重积分其中D={(x，y)｜0≤x，y≤1)．标准答案：令D1={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0，y≥0)，D2=D＼D1，知识点解析：暂无解析16、设f(x)在[0．1]上连续可导，f＇(1)=0，证明：存在ξ∈[0，1]，使得f＇(ξ)=4．标准答案：由分部积分，得由拉格朗日中值定理，得f(x)=f(x)－f(1)=f＇(η)(x－1)，其中η∈(x，1)，f(x)=f＇(η)(x－1)两边对x从0到1积分，得因为f＇(x)在[0，1]上连续，所以f’(x)在[0，1]上取到最小值m和最大值M，由M(x－1)≤f＇(η)(x－1)≤m(x－1)两边对x从0到1积分，由介值定理，存在ξ∈[0，1]，使得f＇(ξ)=4．知识点解析：暂无解析17、设生产某种产品需投入两种生产要素，x，y分别为两种生产要素的投入量，Q为产品的产量，设生产函数Q=2xαyβ，其中α>0，β>0且α+β=1．设两种生产要素的价格分别为p1及p2，问当产量为12时，两种生产要素投入多少可使投入总费用最少?标准答案：投入费用函数为C=p1x+p2y，令F(x，y，λ)=p1x+p2y+λ(2xαyβ－12)，知识点解析：暂无解析18、求幂级数的收敛半径、收敛域及和函数，并求标准答案：当｜x｜＜1时，幂级数绝对收敛；当｜x｜＞1时，幂级数发散，知识点解析：暂无解析19、设z=z(x，y)二阶连续可偏导且满足方程在变换下，原方程化为求a，b的值．标准答案：知识点解析：暂无解析20、设问a，b，c为何值时，矩阵方程AX=B有解，有解时求出全部解．标准答案：令X=(ξ1，ξ2，ξ3)，B=(β1，β2，β3)，矩阵方程化为A(ξ1，ξ2，ξ3)=(β1，β2，β3)，即当a=1，b=2，c=－2时，矩阵方程有解，知识点解析：暂无解析21、设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y12－y22－y32，又A*α=α，其中α=(1，1，－1)T．(I)求矩阵A；(Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTAX化为标准形．标准答案：(I)显然A的特征值为λ1=2，λ2=－1，λ3=－1，｜A｜=2，伴随矩阵A*的特征值为μ1=1，μ2=－2，μ3=－2．由A*α=α得AA*α=Aα，即Aα=2α，即α=(1，1，－1)T是矩阵A的对应于特征值λ1=2的特征向量．令ξ=(x1，x2，x3)T为矩阵A的对应于特征值λ2=－1，λ3=－1的特征向量，因为A为实对称矩阵，所以αTξ=0，即x1+x2－x3=0，于是λ2=－1，λ3=－1对应的线性无关的特征向知识点解析：暂无解析22、设(X，Y)的联合密度函数为(I)求常数k；(Ⅱ)求X的边缘密度；(Ⅲ)求当下Y的条件密度函数fY｜X(y｜x)．标准答案：知识点解析：暂无解析23、设随机变量X1，X2，…，Xm+n(m2，令求：(I)D(Y)，D(Z)；(Ⅱ)ρYZ．标准答案：(I)因为X1，X2，…，Xm+n相互独立，(Ⅱ)Cov(Y，Z)=Cov[(X1+…+Xm)+(Xm+1+…+Xn)，Xm+1+…+Xm－n]=Cov(X1+…+Xm，Xm+1+…+Xm+n)+Cov(Xm+1+…+Xn，Xm+1+…+Xm+n)=D(Xm+1+…+Xn)+Cov(Xm+1+…+Xn，Xn+1+…+Xm+n)=(n－m)σ2，知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)在区间(一∞，+∞)内连续，下述4个命题不正确的是()A、如果对于任意的常数a，总有∫-aaf(x)dx=0，则f(x)必是奇函数．B、如果对于任意的常数a，总有∫-aaf(x)dx=2∫0af(x)dx，则f(x)必是偶函数．C、如果对于任意的常数a及某正常数w，总有∫aa+wf(x)dx与以无关，则f(x)有周期w．D、如果存在某常数w＞0，使∫0wf(x)dx=0，则∫0xf(t)dt有周期w．标准答案：D知识点解析：法一证明(A)，(B)，(C)都正确．对于(A)，将a看成变量，∫-aaf(x)dx=0两边分别对a求导数，有f(a)一[一f(一a)]=0，f(a)=一f(一a)．由a的任意性，故知f(x)为奇函数．A正确．类似可证(B)也正确．对于(C)，设对任意a，∫aa+wf(x)dx与a无关，于是(∫aa+wf(x)dx)’a=f(a+w)一f(a)=0，即对任意a，f(a+w)=f(a)成立．即f(x+w)=f(x)，所以f(x)具有周期w．(C)正确．(A)，(B)，(C)都正确，根据排除法，选D．法二举例说明存在某w＞0，有∫0wf(x)dx=0，但∫0x(t)dt不具有周期叫．如：f(x)=1一x，∫02f(x)dx=∫02(1一x)dx=(x—)｜02=0，但f(t)dt=x一不是周期函数．2、设F(x)=∫01sin(xt)2dt，则当x→0时，F(x)()A、不是无穷小．B、与x为同阶但不是等价无穷小．C、与x为等价无穷小．D、是x的高阶无穷小．标准答案：B知识点解析：选B．3、下列积分发散的是()A、∫0+∞xdx．B、∫01x2(lnx)2dx．C、．D、．标准答案：D知识点解析：对于(A)，可直接计算：对于(B)，由于x2(lnx)2=0，故∫01x2(lnx)2dx不是反常积分(收敛)．所以(D)发散．选D．4、设在x＞0处，f(x)连续且严格单调增，并设F(x)=∫0x(2t—x)f(t)dt，则F(x)在x＞0时()A、没有驻点．B、有唯一驻点且为极大值点．C、有唯一驻点且为极小值点．D、有唯一驻点但不是极值点．标准答案：A知识点解析：由题可得，F(x)=∫0x(2t—x)f(t)dt=2∫0xtf(t)dt一x∫0xf(t)dt，因此F’(x)=2xf(x)一xf(x)一∫0xf(t)dt=xf(x)一∫0xf(t)dt=xf(x)一xf(ξ)=x[f(x)一f(ξ)]，0＜ξ＜x．由于f(x)严格单调增加，可知f(x)＞f(ξ)，所以F’(x)＞0，故F(x)在x＞0时无驻点，故应选A．5、设齐次线性方程组Ax=0有解α1=(1，2，1，3)T，α2=(1，1，一1，1)T，α3=(1，3，3，5)T，α4=(4，5，一2，6)T．其余Ax=0的解向量均可由α1，α2，α3，α4线性表出，则Ax=0的基础解系为()A、α1，α2．B、α1，α2，α3．C、α2，α3，α4．D、α1，α2，α3，α4．标准答案：A知识点解析：向量组α1，α2，α3，α4的极大线性无关组为Ax=0的基础解系．因为(α1，α2，α3，α4)=，显然，α1，α2是α1，α2，α3，α4的极大无关组．故选A．6、设A是n阶正定矩阵，B是n阶反对称矩阵，则矩阵A—B2是①对称阵，②反对称阵，③可逆阵，④正定阵，四个结论中，正确的个数是()A、1．B、2．C、3．D、4．标准答案：C知识点解析：因(A—BT)T=AT+[(一B)B]T=AT+(BTB)T=AT+BTB=A—B2，故A—BT是对称阵．又任给x≠0，则有xT(A—B2)x=xTAx—xT(一B)TBx=xTAx+(Bx)TBx，A正定，xTAx＞0，(Bx)T(Bx)≥0．则xT(A—B2)x＞0，故A—B2是正定阵．A—B2是正定阵，则A—B2是可逆阵，故结论①，③，④正确，应选(C)．7、将一枚均匀硬币连续抛n次，以A表示“正面最多出现一次”，以B表示“正面和反面各至少出现一次”，则()A、当n=2时，A与B相互独立．B、当n=2时，AB．C、当n=2时，A与B互不相容．D、当n=3时，A与B相互独立．标准答案：D知识点解析：当n=2时，由P(AB)≠P(A)P(B)知，A与B不独立．又P(A)＞P(B)，知A，所以A与B不互斥．当n=3时，可知P(AB)=P(A)P(B)，因此A与B相互独立．故应选D．8、设总体X～N(0，σ2)(σ2已知)，X1，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，S2为样本方差，则下列正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：因为X～N(0，σ2)，所以Xi～N(0，σ2)(i=1，…，n)，．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设平面区域D(t)={(x，y)｜0≤x≤y，0＜t≤y≤1}，f(t)==___________．标准答案：知识点解析：10、设函数f与g可微，z=f(xy，g(xy)+lnx)，则=___________．标准答案：f’2知识点解析：11、微分方程y’=(1一y2)Tanx满足y(0)=2的特解为y=___________．标准答案：知识点解析：分离变量，两边积分，得改写任意常数并化简，得y=．由初始条件y(0)=2，得C1=—。所以特解为y=．12、已知存在且不为零，其充要条件是常数p=___________，此时该极限值=___________．标准答案：知识点解析：作积分变量代换，令=u，从而上述极限存在且不为零的充要条件是p=．13、设A是n阶实对称矩阵，B，C为n阶矩阵，满足条件(A+2E)B=O，(A一3E)C=O，且r(B)=r(0＜r＜n)，r(B)+r(C)=n．则二次型f(x1，x2，…，xn)=XTAX的规范形为___________．标准答案：y12+y22+…+yn2一yn—r+12一…一yn2知识点解析：因(A+2E)B=O，r(B)=r，则B中列向量组的极大线性无关组向量个数为r，且该极大线性无关组是(A+2E)X=0的解，设为β1，β2，β3，也是A的对应于特征值λ=一2的线性无关的特征向量．又(A一3E)C=O，因r(C)=n一r(B)=n一r，故C中列向量组的极大线性无关组向量个数为n一r，且该极大线性无关组是(A一3E)X=0的解，也是A的对应于特征值λ=3的线性无关的特征向量，记为γ1，γ2，…，γn—r，故XTAX的正惯性指数为n一r，负惯性指数为r．故知f(x1，x2，…，xn)=XTAX的规范形为y12+y22+…+yn2一yn—r+12一…一yn2．14、设(X，Y)的联合分布律如下，且X和Y相互独立，则E(XY)=___________．标准答案：知识点解析：求a，b的值有两种方法．法一利用独立性定义，有因为P{X=2，Y=1}=P{X=2}P{Y=1}，故有；法二由联合概率矩阵的秩等于1，可知矩阵任两行(或两列)成比例，由第2列知第1行是第2行的倍，所以由第1行知第3列是第2列的2倍，所以b=．故(X，Y)的联合分布律为三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、(Ⅰ)设0＜x＜+∞，证明存在η，0＜η＜1，使(Ⅱ)求η关于x的函数关系的具体表达式η=η(x)，并求出当0＜x＜+∞时函数η(x)的值域．标准答案：(Ⅰ)取f(x)=，由拉格朗日中值定理有f(x+1)一f(x)=f’(ξ)(x+1一x)，即其中x＜ξ＜x+1，ξ=x+η，0＜η＜1．(Ⅱ)[解]所以η(x)在区间(0，+∞)上严格单调增加．又知识点解析：暂无解析16、求，要求写出详细的推导过程．标准答案：将题给积分拆成两项并将第1项交换积分次序：于是可以用洛必达法则计算下面极限：知识点解析：暂无解析17、设曲线y=ax2(x≥0，常数a＞0)与曲线y=1一x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形D．求(Ⅰ)D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积V(a)；(Ⅱ)a为何值时，V(a)取到最大值?标准答案：y=ax2与y=1一x2的交点为．当a＞0时，得V(a)的唯一驻点a=4．当0＜a＜4时，V’(a)＞0；当a＞4时，V’(a)＜0．故a=4为V(a)的唯一极大值点，即为最大值点．知识点解析：暂无解析18、求由方程2x2+2y2+z2+8xz一z+8=0所确定的函数z(x，y)的极值，并指出是极大值还是极小值．标准答案：令F(x，y)=2x2+2y2+z2+8xz一z+8，且解得y=0，4x+8z=0，再与2x2+2y2+z2+8xz—z+8=0联立解得两组解：(x，y，z)1=(一2，0，1)；(x，y，z)2=()．再求二阶导数并将两组解分别代入，得所以在第一组点处，B2一AC＜0，A=＞0，故z=1为极小值；在第二组点处，B2一AC＜0，A=一为极大值．知识点解析：暂无解析19、设微分方程及初始条件为(Ⅰ)求满足上述微分方程及初始条件的特解；(Ⅱ)是否存在常数y1，使对应解y=y(x)存在斜渐近线，请求出此y1及相应的斜渐近线方程．标准答案：(Ⅰ)改写所给方程为y’一(2x—)y=x2，由一阶线性微分方程通解公式得通解由初始条件y(1)=y1，得C=(y1+1)e-1，得初值问题的特解为(Ⅱ)若y1≠一1，则=∞，无斜渐近线．若y1=一1，则知识点解析：暂无解析20、设3阶矩阵A=．(Ⅰ)T为何值时，矩阵A，B等价?说明理由；(Ⅱ)T为何值时，矩阵A，C相似?说明理由．标准答案：(Ⅰ)因为A≌B→r(A)=r(B)．由B=，知r(B)=2．显然，当t=0时，有r(A)=r(B)=2，A≌B．(Ⅱ)｜λE—C｜==(λ一2)[(λ一2)2一1]=(λ一2)(λ一3)(λ一1)，则C有三个不同的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3，且存在可逆矩阵P，使得P-1CP=｜λE一A｜==(λ—t)[(λ一2)2—1]=(λ一t)(λ一3)(λ一1)．当t=2时，A有与C一样的三个不同的特征值．故知，当t=2时，有可逆矩阵Q，使得Q-1AQ==P-1CP．从而有(QP-1)-1A(QP-1)=C，即A～C．知识点解析：暂无解析21、设A是n阶矩阵，A的第i行第j列元素aij=i．j(i，j=1，2，…，n)．B是n阶矩阵，B的第i行第j列元素bij=i(i=1，2，…，n)．证明：A相似于B．标准答案：由题设条件知A各行元素成比例，故r(A)=1，λ=0是A的n一1重特征值；A的非零特征值为λn=，且A是实对称矩阵，故B各行元素成比例，故r(B)=1，μ=0是B的n一1重特征值，B的非零特征值为μn=．B对应于μ=0有n一1个线性无关特征向量，故知存在可逆矩阵P，使得P-1P=．故B～A．由相似关系的传递性，得证A～～B，即A～B．知识点解析：暂无解析22、设随机变量X与Y相互独立且都服从参数为p的几何分布(0＜p＜1)，令Z=X+Y，求：(Ⅰ)Z的概率分布；(Ⅱ)X与Z的相关系数．标准答案：(Ⅰ)X与Y相互独立且都服从参数为p的几何分布，P{X=k}=p(1一p)k—1，k=1，2，…，故Z=X+Y的取值为2，3，…，则=(z一1)p2(1一p)z—2，z=2，3，…．(Ⅱ)X与Y相互独立，有D(X+Y)=DX+DY，Cov(X，Y)=0．则知识点解析：暂无解析23、设总体X的概率密度f(x)=其中θ＞0，μ，θ为未知参数，X1，X2，…，Xn为取自X的简单随机样本．(Ⅰ)用原点矩求μ，θ的矩估计量；(Ⅱ)求μ，θ的最大似然估计量．标准答案：(Ⅰ)(Ⅱ)因为似然函数为于是当xi≥μ，i=1，…，n时，lnL=—nlnθ一，由于可知lnL关于μ单调增加，即L(x1，…，xn；μ，θ)关于μ单调增加，又因为μ∈(一∞，{xi}]，故μ的最大似然估计量为解得θ的最大似然估计量为知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、函数的渐近线共有()A、1条。B、2条。C、3条。D、4条。标准答案：C知识点解析：本题考查函数的渐近线。如果，则y＝a是一条水平渐近线；如果至少有一个为无穷，则x＝c是一条垂直渐近线；如果存在但不为零，且也存在，则y＝kx＋b是一条斜渐近线。因为，所以x＝0是一条垂直渐近线；因为，所以是一条垂直渐近线；因为，所以y＝1是一条水平渐近线；经验证，该函数不存在斜渐近线。综上所述，函数共有3条渐近线。故本题选C。2、设y＝f(x)与y＝∫arcsinx0et2＋1dt在(0，0)点有相同的切线，则＝()A、0。B、1。C、e。D、3e。标准答案：D知识点解析：本题考查切线的求解和导数的极限式定义。两个函数在某点有相同的切线，则两函数在该点的斜率相同，即导函数值相同。通过凑导数的极限式定义求最终的极限。两函数都过(0，0)点，则有f(0)＝0，故本题选D。3、某商品的需求函数为Q＝Q(P)，需求弹性为，P＝8时，Q＝72，则Q(P)＝()A、Q＝100－P2。B、Q＝2(100－P2)。C、D、标准答案：B知识点解析：本题考查导数的经济学应用。根据需求弹性函数占＝一号筹建立微分方程，解微分方程即可得出Q的函数表达式。由，整理得微分方程解上述微分方程可得Q＝C(100－P2)，已知P＝8时，Q＝72，因此C＝2，需求函数Q＝2(100－P2)。故本题选B。4、将直角坐标系下的累次积分化为极坐标系中的累次积分为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：本题考查直角坐标系与极坐标系累次积分的相互转化。首先通过直角坐标系的上、下限画出积分区域的图形，然后根据x＝rcosθ，y＝rsinθ将积分函数的x和y分别做替换，替换后勿忘乘以r。题干直角坐标系的积分区域图形如图所示：根据可得(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，因此积分区域为圆(x－1)2＋y2＝1的上半部分在直线y＝x下方的区域。因此，根据图形可得极坐标累次积分为故本题选A。5、A是3阶矩阵，｜A｜＝－3，且满足｜2A2－A｜＝0。矩阵A的主对角线元素的和为3／2，则A*的特征值分别为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：本题考查矩阵特征值的性质。如果λ是矩阵A的一个特征值，则是其伴随矩阵A*的特征值。本题矩阵A是3阶矩阵，故有3个特征值，因此A*也有3个特征值。根据｜A｜＝－3，｜2A2－A｜＝0及主对角线元素之和，可求出A的三个特征值，从而求出A*的特征值。根据已知｜2A2－A｜＝0，可得｜A｜·｜2A－E｜＝0，进一步得465。因为｜A｜≠0，因此，可见λ1＝1／2是A的一个特征值。再根据｜A｜＝－3,A的主对角线元素和为3／2，设另外两个特征值为λ2，λ3，建立方程组解得λ2＝3，λ3＝－2。根据特征值的性质，A*的三个特征值分别为(i＝1，2，3)，即A*的三个特征值分别为－6，3／2，－1。故本题选C。6、设向量α＝(1，0，－1)T，ααT＝A，则｜aE－A*｜＝()A、a3－2na2＋22n－2a。B、a2(a－2n)。C、a3－2na＋22n－1a。D、22n－2a。标准答案：B知识点解析：本题考查矩阵的幂及矩阵行列式的计算。行向量乘以列向量结果是一个数，列向量乘以行向量结果是一个矩阵。已知α＝(1，0，－1)T，则故本题选B。7、随机变量X服从参数为λ的泊松分布，已知P{0＜X2＜3}＝P{3＜X2＜5}，则P{X＝3}＝()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：本题考查泊松分布的定义和性质。泊松分布属于离散型随机变量，因此根据P{0＜X2＜3}＝P{3＜X2＜5}可以得出P{X＝1}＝P{x＝2}，建立等式得出λ的值，从而计算P{x＝3}的值。泊松分布已知P(0＜X2＜3}＝P{3＜X2＜5}，则P{X＝1}＝P{X＝2}，因此有，解得λ＝2，因此故本题选D。8、设二维随机变量(X，Y)在xOy平面中由曲线与y＝x2围成的区域上服从均匀分布，则＝()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：本题考查服从均匀分布随机变量概率的求解。在平面直角坐标系中，服从均匀分布的二维随机变量的概率即为所求概率的区域面积占全部区域面积的比值。由曲线与y＝x2围成的区域面积为故本题选A。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设y＝y(x)是由确定的隐函数，则y＇(0)＝__________。标准答案：知识点解析：本题考查隐函数求导。先将x＝0代入等式求出y(0)的值，然后在等式两边同时对x求导，将x＝0和y(0)的值代入导函数，求得y＇(0)的值。在方程中令x＝0，则可得。在方程两边同时对x求导，得将x＝0和代入上式可得0＝2－ey＇，解得。10、差分方程△2yt－yt＝2t的通解为__________。标准答案：，C为任意常数知识点解析：本题考查非齐次差分方程的求解。非齐次差分方程的通解等于非齐次差分方程的一个特解与其对应的齐次差分方程的通解之和。根据差分方程的定义△2yt＝△(△yt)＝△yt＋1－△yt＝yt＋2－yt＋1－(yt＋1－yt)＝yt＋2－2yt＋1＋yt，则原差分方程可化为yt＋2－2yt＋1＝2t，即yt＋1－2yt＝2t。该一阶线性差分方程对应的齐次差分方程为yt＋1－2yt＝0，其特征方程为r－2＝0，特征值r＝2，通解为yt＝C·2t。设原差分方程特解为y*＝mt·2t，解得，则特解为，因此可得原差分方程的通解为，C为任意常数。11、某商品的收益函数为R(p)，收益弹性为1＋p2，其中P为商品的价格，且R(1)＝1，则R(p)＝___________。标准答案：知识点解析：本题考查微积分在经济学方面的应用。根据收益弹性的定义建立微分方程，解微分方程即得收益函数。根据收益弹性的定义有将R(1)＝1代入上式，得，即。因此可得。12、设区域D由直线x＝0，y＝0，围成，已知，则＝__________。标准答案：0知识点解析：本题考查二重积分的求解。将题干已知等式进行移项合并化简，利用累次积分表示二重积分，结合已知条件求积分。根据，移项合并可得，。已知区域D由直线x＝0，y＝0，，则13、(13)A，B均为3阶矩阵，且A与B相似，λ1＝1，λ2＝3为矩阵A的两个特征值，已知｜B｜＝6,则＝____________。标准答案：知识点解析：本题考查相似矩阵的性质和伴随矩阵的行列式。如果两个矩阵相似，则它们有相同的特征多项式、相同的特征值、相同的秩、相同的行列式、相同的迹。矩阵A的伴随矩阵的行列式等于｜A｜2。设λ3为A的另一个特征值，则由A与B相似可得｜A｜＝｜B｜＝6，且λ1λ2λ3＝｜A｜＝6，因此可得λ3＝2，即A与J6『的特征值均为1，2，3，故有｜A＋E｜＝(λ1＋1)(λ2＋1)(λ3＋1)＝2×3×4＝24，｜B*｜＝｜B｜2＝36，14、设随机变量X1，X2，X3相互独立，且X1～N(1，4)，X2～N(2，9)，Xt～N(3，16)，则E[X1(X1＋X2＋X3)]＝____________。标准答案：10知识点解析：本题考查相互独立随机变量的性质及正态分布的期望和方差。将要求期望的随机变量展开，利用独立性分解成多个期望的和，结合公式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2及正态分布的期望和方差求得最终结果。已知X1～N(1，4)，X2～N(2，9)，X3～N(3，16)，则E(X1)＝1，E(X2)＝2，E(X3)＝3，D(X1)＝4，D(X2)＝9，D(X3)＝16。E[X1(X1＋X2＋X3)]＝E(X21)＋E(X1)E(X2)＋E(X1)E(X3)＝D(X1)＋[E(X1)]2＋E(X1)E(X2)＋E(X1)E(X3)＝4＋12＋1×2＋1×3＝10。三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设0＜x≤1时，f(x)＝2xtanx，－1＜x≤0时，f(x)＝3f(x＋1)－2k，已知极存在，求k的值。标准答案：根据题意可得，根据等价无穷小替换tanx～x(x→0)及洛必达法则，已知极限。知识点解析：本题考查函数极限存在的充要条件。函数在某点极限存在的充要条件是函数在该点的左、右极限均存在且相等。本题属于分段函数，分段点恰为x＝0，分别求出该点的左、右极限令其相等，即可求出k的值，求极限过程中可利用洛必达法则和等价无穷小替换。16、设函数f(x，y)连续，且，其中D是一个封闭区域，由y＝x2和直线y＝1围成，求f(x，y)的表达式。标准答案：设。对上面的等式两端同时在D上求二重积分，得即得等式，解得。综上所述，可得。知识点解析：本题考查二重积分的综合应用。根据题干可知，只要求出的值，就可以求出f(x，y)，因此将设为某个待定系数，对已知等式两边同时求二重积分，求出的值，进一步可求得f(x，y)的表达式。17、求函数f(x，y)＝x2＋y2－xy－y在由直线x＋y＝6、x轴及y轴所围成的封闭区域D上的最大值和最小值。标准答案：因为函数在闭区域D上连续，所以必存在最大值和最小值。首先，求f(x，y)＝x2＋y2－xy－y在D内部的极值：解方程组解得区域D内部唯一的驻点为，因为A＝f＂xx＝2，B＝f＂xx＝－1，C＝f＂yy＝2，可知A＞0，AC－B2＝3＞0，因此为极小值点。此时函数值为。其次，求f(x，y)＝x2＋y2－xy－y在D的边界上的极值：边界上的极值属于条件极值，在x＋y＝6的条件下，拉格朗日函数为F(x，y，λ)＝x2＋y2－xy－y＋λ(x＋y－6)，解方程组得可能的极值点为，此时函数值为。在区域下边界y＝0(O≤x≤6)上，函数f(x，0)＝x2最小值为0，最大值为36；在区域左边界x＝0(0≤y≤6)上，函数f(0，y)＝y2－y最小值为，最大值为30。综上所述，函数f(x，y)＝x2＋y2－xy－y在区域D上的最小值为，最大值为36。知识点解析：本题考查二元函数的最值。该题先分成两部分求极值，再比较各极值得出最值。在区域内部，先求出驻点，利用二元函数极值的充分条件判断驻点是否为极值；区域边界上的极值属于条件极值，利用拉格朗日乘数法求出各边界的极值。18、已知fn(x)满足(n为正整数)，且。求函数项级数的和函数。标准答案：fn(x)满足微分方程，所以用一阶线性微分方程的通解公式得其通解为已知，因此C＝0，所以，于是设，显然其收敛域为[－1，1]，且S(0)＝0，X∈(1，1)时，当x＝－1时S(x)连续，因此x＝－1处和函数也满足上述式子，当x＝1时，知识点解析：本题考查求函数项级数的和函数。首先通过解微分方程得出fn(x)的表达式，然后利用逐项求导不改变级数的收敛区间的性质，将函数项级数转化为容易求出和函数的形式并写出和函数，最后对该和函数求积分，得出原级数的和函数。19、证明当x∈(0，π]时，不等式成立。标准答案：当，而cosx＜0，此时不等式恒成立。当时，构造辅助函数对辅助函数求导可得g(x)是单调增函数，因此时，g(x)＞g(0)＝0，进一步有f＇(x)＞0，因此f(x)也是增函数，而因此时，f(x)＞f(0)＝0，即。综上所述，当x∈(0，π]时，不等式成立。知识点解析：本题考查不等式的证明。解决这种题型一般思路是构造函数，如果不等号两边是同类型函数，则通过求导判断函数的单调性；如果不等号两边是不同的函数，则两边相减构造辅助函数，通过辅助函数与O的大小判断不等式。20、已知ξ＝(1，－2，3)T是矩阵的一个特征向量。(Ⅰ)试确定参数a，b及ξ所对应的特征值λ；(Ⅱ)A能否对角化，如果能，试求可逆矩阵P，使得A相似于对角矩阵。标准答案：(Ⅰ)A的特征向量ξ对应的特征值为λ，则Aξ＝λξ，即(Ⅱ)根据a＝－1，b＝4可得矩阵特征值分别为λ1＝6，λ2＝2(二重)。当λ＝6时，，解得特征向量为ξ1＝(1，－2，3)T；当λ＝2时，，解得特征向量为ξ2＝(1，－1，0)T，ξ3＝(1，0，1)T。知识点解析：本题考查特征值与特征向量及矩阵的相似对角化。根据ξ＝(1，－2，3)T是A的特征向量，即Aξ＝λξ，建立关于a，b及ξ的方程组，解出它们的值。矩阵可相似对角化的条件是A有3个不同的特征值或对应的n重特征值有n个线性无关的特征向量，据此判断A是否可对角化，并通过求特征向量得出使A相似于对角矩阵的可逆矩阵P。21、已知，当λ取何值时。(Ⅰ)β可由α1，α2，α3线性表示，且表达式唯一；(Ⅱ)β可由α1，α2，α3线性表示，且表达式不唯一，并写出此时β的表达式；(Ⅲ)β不能由α1，α2，α3线性表示。标准答案：设α1x1＋α2x2＋α3x3＝β，则题干转化为当λ取何值时，该方程组有唯一解、无穷多解、无解。线性方程组为对增广矩阵实施初等变换化为阶梯形矩阵，根据线性方程组解的存在性和唯一性的条件，可知(Ⅰ)当A≠1且时，方程组有唯一解，即β可由α1，α2，α3线性表示，且表达式唯一。(Ⅱ)当λ＝1时，方程组有无穷多解，即β可由α1，α2，α3线性表示，且表达式不唯一，此时增广矩阵为，通解为x＝(1，0，1)T＋k(0，1，1)T，k为任意常数。即β的表达式为β＝α1＋kα2＋(1＋k)α3，k为任意常数。(Ⅲ)当时，方程组无解，即β不能由α1，α2，α3线性表示。知识点解析：本题考查向量的线性表示和线性方程组根的判别。题目可转化为线性方程组解的存在性和唯一性问题，将题干条件用线性方程组表示，通过比较系数矩阵和增广矩阵的秩判断方程组解的情况。22、设随机变量X和Y均服从(0，3)上的均匀分布，求随机变量U＝X＋Y和V＝XY的概率密度标准答案：由题意可知，X和Y的概率密度均为记U＝X＋Y的概率密度为fU(u)，则fU(u)＝∫＋∞－∞f(t)f(u－t)dt，其中当u＜0或u＞6时，fU(u)＝0；当0≤u＜3时,；当3≤M＜6时，。综上所述，可得记V＝XY的概率密度为fV(v)，则235，其中当v≤0或v≥9时,fV(v)＝0；当0＜v＜9时,。综上所述，可得知识点解析：本题考查随机变量函数的分布。当X和Y相互独立时，Z＝X＋Y的概率密度为fZ(z)＝∫＋∞－∞fX(x)fY(z－x)dx或fZ(z)＝∫＋∞－∞fX(z－y)fY(y)dy，而Z＝XY，的概率密度为22923、设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，且X的概率分布为131，其中0＜θ＜1，分别用n1，n2，n3表示X1，X2，…，Xn中出现1，2，4的次数，试求(Ⅰ)未知参数θ的最大似然估计量；(Ⅱ)未知参数θ的矩估计量；(Ⅲ)当样本值为1，2，1，4，5，4，1，5时的最大似然估计值和矩估计值。标准答案：(Ⅰ)根据已知，样本中出现1，2，4，5的次数分别为n1，n2，n3，n－n1－n2－n3，则似然函数为L(θ)＝(1－θ)＝(1－θ)2n1[θ(1－θ)]n2[θ(1－θ)]n3θ2(n－n1－n2－n3)，两边取对数lnL(θ)＝In｜(1－θ)2n1[θ(1－θ)]n2[θ(1－θ)]n3θ2(n－n1－n2－n3)}＝(2n1＋n2＋n3)In(1－θ)＋(2n－2n1－n2－n3)Inθ，两边同时对θ求导解得θ的最大似然估计量为。(Ⅱ)总体X的数学期望为E(X)＝1×(1－θ)2＋2[θ(1－θ)]＋4[θ(1－θ)]＋5θ2＝1＋4θ，因此可得θ的矩估计量为。(Ⅲ)利用上面的两个估计量公式，当样本值为1，2，1，4，5，4，1，5时，θ的最大似然估计值为θ的矩估计值为知识点解析：本题考查最大似然估计和矩估计。因为n1,n2，n3，表示X1，X2，…，Xn中出现1，2，4的次数，因此5出现的次数即为n－n1－n2－n3。再根据最大似然估计量的求解步骤构造似然函数，取对数，求导。矩估计量与各个随机变量出现的次数无关，根据X的概率分布计算期望，求矩估计量。考研数学（数学三）模拟试卷第5套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设D为有界闭区域，z=f(x，y)在D上二阶连续可偏导，且在区域D内满足：，则()．A、f(x，y)在D取到最小值和最大值B、f(x，y)在D内取到最小值但取不到最大值C、f(x，y)在D内取到最大值但取不到最小值D、f(x，y)在D内既取不到最大值又取不到最小值标准答案：D知识点解析：对区域D内任意一点(x，y)，因为，所以D内任意一点都不是最值点，故f(x，y)在D内既取不到最小值又取不到最大值，应选D．2、当x＞0时，，则∫-22xf’(x)dx为()．A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：选C．3、当x→0时，无穷小的阶数最高的是()．A、B、tanx一xC、(1+tanx)ln(1+2x)一1D、标准答案：A知识点解析：4、下列反常积分收敛的是()．A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：5、设A为m×n矩阵，以下命题正确的是()．A、若AX=0只有零解，则AX=b只有唯一解B、若AX=0有非零解，则AX=b有无数个解C、若r(A)=n，则AN=b有唯一解D、若r(A)=m，则Ax=b一定有解标准答案：D知识点解析：因为当r(A)=m时，则r(A)=m，于是若r(A)=m，则AX=b一定有解，选D．6、设A为三阶矩阵，特征值为λ1=λ2=1，λ3=2，其对应的线性无关的特征向量为α1,α2,α3，令P=(α1一α3，α2+α3，α3)，则P1一1A*P1=()．A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：A*的特征值为2，2，1，其对应的线性无关的特征向量为α1,α2,α3，选A．7、设随机变量x～N(μ，σ2)，其分布函数为F(x)，又Y=F(X)，则等于()．A、1B、C、D、标准答案：B知识点解析：8、设且X，Y相互独立，则P{XY+1＞X+Y}=()．A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设在x=0处连续，则a=___________．标准答案：知识点解析：因为f(x)在x=0处连续，所以10、=____________．标准答案：知识点解析：11、设y=y(x)由确定，则=_________。标准答案：知识点解析：当t=0时，x=1．12、微分方程的通解为___________．标准答案：知识点解析：13、设A为三阶实对称矩阵,为方程组AN=0的解,为方程组(2E—A)X=0的一个解，｜E+A｜=0，则A=___________.标准答案：知识点解析：显然为A的特征向量，其对应的特征值分别为λ1=0,λ2=2，因为A为实对称阵，所以ξ1ξ2=k2一2k+1=0，解得k=1，于是又因为｜E+A｜=0，所以λ3=-1为A的特征值，令λ3=一1对应的特征向量为14、设X1，X2，…，Xm与Y1，Y2，…，Yn分别为来自相互独立的标准正态总体X与Y的简单随机样本，令，则D(z)=__________．标准答案：(2(m+n一2)知识点解析：三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、计算二重积分其中D={(x，y)｜0≤z，y≤1}．标准答案：令D1={(z，y)｜x2+y2≤1，x≥0，y≥0)，D2=D＼D1，知识点解析：暂无解析16、设f(x)在[0，1]上连续可导，f(1)=0，∫01xf’(x)dx=2，证明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=4．标准答案：由分部积分，得∫01xf’(x)dx=xf(x)｜01一∫01f(x)dx=一∫01f(x)dx=2，于是∫01f(x)dx=一2．由拉格朗日中值定理，得f(x)=f(x)一f(1)=f’(η)(x一1)，其中η∈(x，1)，f(x)=f’(η)(x一1)两边对x从0到1积分，得∫01f(x)dx=∫01f’(η)(x一1)dx=一2因为f’(x)在[0，1]上连续，所以f’(x)在[0，1]上取到最小值m和最大值M，由M(x一1)≤f’(η)(x一1)≤m(x一1)两边对x从0到1积分，由介值定理，存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=4．知识点解析：暂无解析17、设生产某种产品需投入两种生产要素，x，y分别为两种生产要素的投入量，Q为产品的产量，设生产函数Q=2xαyβ，其中α＞0，β＞0且α+β=1．设两种生产要素的价格分别为p1及p2，问当产量为12时，两种生产要素投入多少可使投入总费用最少?标准答案：投入费用函数为C=p1x+p2y1令F(x，y,λ)=p1x+p2y+λ(2xαyβ－12)知识点解析：暂无解析18、求幂级数的收敛半径、收敛域及和函数，并求标准答案：得收敛半径为R=1．当｜x｜＜1时，幂级数绝对收敛；当｜x｜＞1时，幂级数发散，当x=±1时，因为为收敛的交错级数，故幂级数的收敛域为[一1，1]．知识点解析：暂无解析19、设z=z(x，y)二阶连续可偏导且满足方程在变换下，原方程化为求a，b的值．标准答案：知识点解析：暂无解析20、设问a，b，c为何值时，矩阵方程AX=B有解，有解时求出全部解．标准答案：令X=(ξ1，ξ2，ξ3)，B=(β1，β2，β3)，矩阵方程化为A(ξ1，ξ2，ξ3)=(β1，β2，β3)，知识点解析：暂无解析21、设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y12－y22一y32，又A*α=α，其中α=(1，1，一1)T．(I)求矩阵A；(Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTAX化为标准形．标准答案：(I)显然A的特征值为λ1=2，λ2=一1，λ3=一1，｜A｜=2，伴随矩阵A*的特征值为μ1=1，μ2=一2，μ3=一2．由A*α=α得AA*α=Aα，即Aα=2α，即α=(1，1，一1)T是矩阵A的对应于特征值λ1=2的特征向量．令ξ=(x1，x2，x3)T为矩阵A的对应于特征值λ2=一1，λ3=一1的特征向量，因为A为实对称矩阵，所以αTξ=0，即x1+x2一x3=0，于是λ2=一1，λ3=一1对应的线性无关的特征向量为知识点解析：暂无解析22、设(X，Y)的联合密度函数为(I)求常数k；(Ⅱ)求X的边缘密度；(Ⅲ)求当下Y的条件密度函数fY|X(y|x)．标准答案：知识点解析：暂无解析23、设随机变量X1，X2，…，Xm+n(m＜n)独立同分布，其方差为σ2，令求：(I)D(Y)，D(Z)；(Ⅱ)ρYZ．标准答案：(I)因为X1，X2，…，Xm+n相互独立，知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第6套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f（x）=在区间（0，4）内某点a处的导数f’（a）不存在，则必有A、a=B、a=1．C、a=2．D、a=3．标准答案：C知识点解析：f—’(2)=（2x）’|x=2=2，f+’(2)=（x2）’|x=2=4，f—’(2)≠f+’(2)故f’(2)不存在，即a=2．选(C)．2、设f（x）在[0，1]上连续，又F（x）=A、F(x+π)＞F(x)(X∈(一∞，+∞)）．B、F(x+π)＜F(x)（x∈（一∞，+∞））．C、F(x+π)=F(x)(X∈(一∞，+∞)）．D、x＞0时F（x+π）＞F（x），x＜0时F（x+π）＜F（x）．标准答案：C知识点解析：f(|sinx|）是以π为周期的周期函数，因而有因此选(C)．3、设D={（x，y）|x+y≥1，x2+y2≤1}，则I=（x2+y2）dσ的值为A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：D由直线x+y=1与圆周x2+y2=1所围成（它位于第一象限），如图．记D1={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0．y≥0}，D2={（x，y）|x+y≤1，x≥0，y≥0}，显然D=D1\D2，于是其中D2关于直线y=x对称，因此故选(B)．4、已知幂级数（x—a）n在x＞0时发散，且在x=0时收敛，则A、a=1．B、a=—1．C、—1≤a＜1．D、—1＜a≤1标准答案：B知识点解析：知该幂级数的收敛半径为1，从而得其收敛区间为|x—a|＜1，即a—1＜x＜a+1．又当x—a=1即x=a+1时，原级数为收敛；当x—a=—1即x=a—1时，原级数为发散．因此，原级数的收敛域为a—1＜x≤a+1．于是，由题设x=0时级数收敛，x＞0时级数发散，可知x=0是其收敛区间的一个端点，且位于收敛域内，因此只有a+1=0即a=—1．故选(B)．5、设要使得A正定，a应该满足的条件是A、a＞2．B、a≥2．C、0＜a＜2．D、a＜0．标准答案：C知识点解析：用顺序主子式．A的3个顺序主子式为2，4—a2，2a—a2，它们都大于0的条件是0＜a＜2．6、n维向量组（Ⅰ）α1，α2，…，αs和（Ⅱ）β1，β2，…，βt等价的充分必要条件是A、r(Ⅰ)=r(Ⅱ)，并且s=t．B、r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=n．C、r(Ⅰ)=r(Ⅱ)，并且(Ⅰ)可以用(Ⅱ)线性表示．D、(Ⅰ)和（Ⅱ)都线性无关，并且s=t．标准答案：C知识点解析：(Ⅰ)与(Ⅱ)等价的充分必要条件是r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ，Ⅱ)．(A)缺少条件r(Ⅰ，Ⅱ)=r(Ⅰ)．(B)是(Ⅰ)与(Ⅱ)等价的一个充分条件，但是等价并不要求向量组的秩达到维数．(D)(Ⅰ)和(Ⅱ)都无关不能得到它们互相可以线性表示，例如(Ⅰ)：α1=(1，0，0，0)，α2=(0，1，0，0)，(Ⅱ)：β1=(0，0，1，0)，设β2=(0，0，0，1)．(Ⅰ)和(Ⅱ)都无关，并且s=t=2，但是(Ⅰ)和(Ⅱ)不等价．(C)(I)可以用(Ⅱ)线性表示，则r(Ⅱ)=r(Ⅰ，Ⅱ)．7、袋中有2个白球和1个红球．现从袋中任取一球且不放回，并再放入一个白球，这样一直进行下去，则第n次取到白球的概率为A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：设Ai表示第i次取到白球，i=1，2，…，n，则=A1A2…An—1.由乘法公式可得所以应选(D)．8、设是取自同一正态总体N（μ，σ2）的两个相互独立且容量相同的简单随机样本的两个样本均值，则满足≤0．05的最小样本容量n=A、4．B、8．C、12．D、24．标准答案：B知识点解析：因总体服从正态分布N（μ，σ2），则n≥2×1．962=7．6832．故最小样本容量n=8．选(B)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设f（x）在x=0处连续，且则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为________．标准答案：知识点解析：利用sinx的带皮亚诺余项的三阶泰勒公式有x—sinx=x—[x—x3+o(x3)]=x3+o(x3)，代入原极限式即得10、设y（x）是由x2+xy+y=tan（x—y）确定的隐函数，且y（0）=0，则y"（0）=________．标准答案：知识点解析：将方程看成关于变量x的恒等式，两端同时对变量x求导数可得在（*）式中令x=0，又y(0)=0，则有y’(0)=1—y’(0)，于是y’(0)=将（*）式看成关于变量x的恒等式，两端同时对变量x求导数又可得在（**）式中令x=0，又y(0)=0．y’(0)=即得2+2y’(0)+y"(0)=一y"(0)，于是y"(0)=一1—y’(0)=11、设u（x，y）=y2F（3x+2y），若标准答案：y2(3x+2y—1)．知识点解析：由u(x，)=x2得F(3x+1)=x2，即F(3x+1)=4x2．设3x+1=t，x=（t一1），则F(t)=（t—1）2，从而F(3x+2y)=(3x+2y—1)2于是u（x，y）=y2(3x+2y—1)2y2(3x+2y—1)．6=y2(3x+2y—1)．12、差分方程yt+1—3yt=20cos满足条件y0=5的特解是________．标准答案：yt=6×3t一知识点解析：根据题设差分方程的特点，可设其通解形式为yt=C×3t+Acos其中A，B，C是待定常数，于是，yt+1=3C×3t一Asin把它们代入方程可得yt+1—3yt=(B—3A)cos令即可确定常数A=—1，B=17．即差分方程的通解为yt=C×3t—cos再利用条件y0=5又可确定常数C=6．故所求特解是yt=6×3t—cos13、设实对称矩阵要使得A的正，负惯性指数分别为2，1，则a满足的条件是________．标准答案：a＜0或＞4．知识点解析：A的正，负惯性指数分别为2和1的充分必要条件是|A|＜0（A的对角线元素有正数，不可能特征值都负）．求出|A|=—a2+4a，得答案．14、设（X，Y）服从右图梯形区域D上的均匀分布标准答案：知识点解析：由于(X，Y)在D上服从均匀分布，故可用几何概率求解.记将梯形区域D分成12个全等的小三角形．此时可记SΩ=12，SA=3．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、已知极限求常数a，b，c．标准答案：用洛必达法则．由知识点解析：暂无解析16、求由曲线y=3—x2与圆x2+（y—1）2=4所围图形中含坐标原点那一部分的面积．标准答案：先求抛物线与圆的交点，由y=3—x2与x2+（y—1）2=4可得x2+(2—x2)2=4，即x2(x2—3)=0，从而x=0．x=因此两曲线的交点分别为(0，3)，x轴下方圆的曲线方程为y=1—图形关于y轴对称，因此知识点解析：暂无解析17、设z=z（x，y）是由9x2—54xy+90y2—6yz—z2+18=0确定的函数，求z=z（x，y）的极值点和极值．标准答案：利用一阶全微分形式不变性，将方程求全微分即得18xdx—54(ydx+xdy)+180ydy—6zdy—6ydz—2zdz=0，即（18x—54y)dx+(180y—54x—62)dy—(6y+2z)dz=0．从而为求隐函数z=z(x，y)的驻点，应解方程组②可化简为x=3y，由③可得z=30y—9x=3y，代入①可解得两个驻点x=3，y=1，z=3与x=—3，y=—1，z=—3．为判定z=z(x，y)在两个驻点处是否取得极值，还需求z=z（z，y）在这两点的二阶偏导数：记P=(3，1，3)，Q=（—3，—1，—3），即可得出在P点处故在点(3，1)处z=z（x，y）取得极小值z(3，1)=3．类似可知在Q点处故在点（—3，—1）处z=z（x，y）取得极大值z（—3，一1）=—3．知识点解析：暂无解析18、求幂级数的收敛域D与和函数S（x）．标准答案：用通项分拆法分解幂级数可得利用已知的和函数公式：当就有知识点解析：暂无解析19、设函数f（x）在区间[0，4]上连续，且f（x）dx=0，求证：存在ξ∈（0，4）使得f（ξ）+f（4一ξ）=0．标准答案：作换元t=4—x:0→4对应t:4→0，且dx=—df，从而∫04f(x)dx=一∫40f(4—t)dt=∫04(4—t)dt=∫04f(4—x)dx．由此即得∫04f(4一x）dx=∫04f(x）dx=0，于是∫04[f(x)+f(4—x)]dx=0．利用f(x)+f(4—x)在[0，4]连续，由连续函数的积分中值定理即知存在ξ∈(0，4)使得f(ξ）+f(4一ξ）=∫04[f(x)+f(4一x）]dx=0．知识点解析：暂无解析20、设4阶矩阵A=（α1，α2，α3，α4），方程组Ax=β的通解为（1．2，2，1）T+c（1，—2，4，0）T，c任意．记B=（α3，α2，α1，β—α4）．求方程组Bx=α1—α2的通解．标准答案：首先从AX=β的通解为(1，2，2，1)T+c（1，—2，4，0）T可得到下列讯息：①Ax=0的基础解系包含1个解，即4—r(A)=1，得r(A)=3．即r（α1，α2，α3，α4）=3．②(1，2，2，1)T是Ax=β解，即α1+2α2+2α3+α4=β．③（1，—2，4，0）T是Ax=0解，即α1—2α2+4α3=0．α1，α2，α3线性相关，r（α1，α2，α3）=2．显然B（0，—1，1，0）T=α1—α2，即（0，—1，1，0）T是Bx=α1—α2的一个解．由②，B=（α3，α2，α1，β—α4）=（α3，α2，α1，α1+2α2+2α3），于是r（B）=r(α3，α2，α1，α1+2α2+2α3)=r(α1，α2，α3)=2．则Bx=0的基础解系包含解的个数为4—r(B)=2个，α1—2α2+4α3=0说明（4，—2，1，0）T是Bx=0的解；又从B=（α3，α2，α1，α1+2α2+2α3）容易得到B（—2，—2，—1，1）T=0，说明（—2，—2，—1，1）T也是Bx=0的解，于是（4，—2，1，0）T和（—2，—2，—1，1）T构成Bx=0的基础解系．Bx=α1—α2的通解为：(0，—1，1，0)T+c1(4，—2，1，0)T+c2(—2，—2，—1，1)T，c1，c2任意．知识点解析：暂无解析21、设A为n阶实对称矩阵，满足A2=层，并且r（A+E）=k＜n．①求二次型xTAx的规范形．②证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求|B|．标准答案：①由于A2=E，A的特征值λ应满足λ2=1，即只能是1和—1．于是A+E的特征值只能是2和0．A+E也为实对称矩阵，它相似于对角矩阵Λ，Λ的秩等于r(A+E)=k．于是A+E的特征值是2（后重）和0（n—k重），从而A的特征值是1（k重）和—1（n—k重）．A的正，负关系惯性指数分别为k和n—k，xTAx的规范形为y12+y22+…+yk2一yk+12一…一yn2，②B是实对称矩阵，由A2=E，有B=3E+2A，B的特征值为5（k重）和1（n—k重）都是正数．因此B是正定矩阵．∴|B|=5k．1n—k=5k．知识点解析：暂无解析22、设甲袋中有2个白球，乙袋中有2个红球，每次从各袋中任取一球，交换后放入另一袋，这样交换3次，求甲袋中白球数X的数学期望．标准答案：设Ai={第二次交换后甲袋有i个白球}，i=0，1，2．由于经过第一次交换，甲、乙两袋中各有一个红球，一个白球，故又设{X=k}表示三次交换后甲袋中的白球数，k=0，1，2．则P{X=0|A0}=0，P{X=0|A1}=，P{X=0|A2}=0，P{X=1|A0}=1，P{X=1|A1}=，P{X=1|A2}=1，P{X=2|A0}=0，P{X=2|A1}=，P{X=2|A2}=0，所以P{X=0}=P{X=0|A1}P(A1)=P{X=1}=P{X=1|A0}P(A0)—P{X=1|A1}P(A1)+P{X=1|A2}P(A2)P{X=2}=P{X=2|A1}．P(A1)=故X的概分布为知识点解析：为求数学期望应先求出甲袋白球数X的概率分布．经过第一次交换后，甲、乙两袋中都各有一白一红，故我们从第二次交换开始讨论．23、设总体X的概率密度为其中a，b（b＞0）都是未知参数．又X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，试求a与6的最大似然估计量．标准答案：设x1，2，…，xn为样本X1，X2，…，Xn的观测值，则似然函数L（x1，2，…，xn；a，b）L(a，b)为由于n/b＞0，故InL(a，b)与L（a，b）关于a是增函数，但是又因只有a＜min（x1，2，…，xn）时，L（a，b）才不等于零，故a可取的最大值为min（x1，2，…，xn）．再根据方程于是a，b的最大似然估计量分别为知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第7套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设{xn}与{yn}均无界，{zn}有界，则()A、{xn+yn}必无界．B、{xnyn}必无界．C、{xn+zn}必无界．D、{xnzn}必无界．标准答案：C知识点解析：用反证法证明{xn+zn}必无界．设{xn+zn}有界，且由题设{zn}有界，则存在M＞0与M1＞0，对一切n，｜xn+zn｜≤M与｜zn｜≤M1，有｜xn｜=｜xn+zn+一zn｜≤｜xn+zn｜+｜zn｜≤M+M1，从而{xn}有界，与题设矛盾．故应选(C)．2、设f(x)=F(x)=∫-1xf(t)dt，则F(x)在x=0处()A、极限不存在．B、极限存在但不连续．C、连续但不可导．D、可导．标准答案：C知识点解析：具体计算出F(x)如下：当x≤0时，F(x)=∫-1xf(t)dt=∫-1xet