考研数学（数学二）模拟试卷3（共217题）

考研数学（数学二）模拟试卷3（共9套）（共217题）考研数学（数学二）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设F(x)在x＝0的某邻域内连续，且当x→0时，f(x)与xm为同阶无穷小．又设当x→0时，F(x)＝∫0xnf(t)dt与xk为同阶无穷小，其中m与n为正整数．则k＝()A、mn﹢n．B、2n﹢m．C、m﹢n．D、mn﹢n－1．标准答案：A知识点解析：当x→0时，f(x)与xm为同阶无穷小，从而知存在常数A≠0，当x→0时，f(x)～Axm，从而，f(xn)～Axnm．于是由题意可知，上式为不等于零的常数，故k＝nm﹢n．2、设φ(x)在x＝a的某邻域内有定义，f(x)＝｜x－a｜φ(x)．则“φ(x)在x＝a处连续”是“f(x)在x＝a处可导”的()A、必要条件而非充分条件．B、充分条件而非必要条件．C、充分必要条件．D、既非充分又非必要条件．标准答案：D知识点解析：下面举两个例子说明应选(D)．①设φ(x)在x＝0处连续，但f(x)＝｜x｜φ(x)在x＝0处不可导的例子如下：取φ(x)＝1，但f(x)＝｜x｜在x＝0处不可导．②设φ(x)在x＝0的某邻域内有定义，但在x＝0处不连续，而f(x)＝｜x｜φ(x)在x＝0处却可导的例子如下：设所以f(x)在x＝0处可导，f’(0)＝1．3、()A、等于0．B、等于﹣1．C、等于1．D、不存在．标准答案：C知识点解析：4、设f(x)在x＝0处存在二阶导数，且f(0)＝0，f’(0)＝0，f”(0)≠0．则()A、1／2．B、1／3．C、1／4．D、1／5．标准答案：C知识点解析：先作积分变量代换，令x－t＝u，则5、设常数a＞0，f(x)＝．则()A、当0．B、当0＜a＜1时，f(x)的最大值是f(0)．C、当a≥1时，f(x)的最小值是f．D、当a≥1时，f(x)的最小值是f(0)．标准答案：C知识点解析：由题设知f’(x)＝ax2’－1，f”(x)＝2ax．当0为闭区间[0，]内部的唯一驻点，又因f”(x)>0，故，为极小值，也是最小值．在两端点处，f(0)＝0，为最大值，则要比较与0的大小，可见当06、设F(u，v)具有一阶连续偏导数，且z＝z(x，y)由方程F(，yz)＝0所确定．又设题中出现的分母不为零，则()A、0．B、z．C、1／z．D、1．标准答案：B知识点解析：7、设A是3阶矩阵，有特征值λ1＝1，λ2＝－1，λ3＝0，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，k1，k2是任意常数，则非齐次方程组Ax＝ξ1﹢ξ2z的通解是()A、k1ξ1﹢k1ξ2﹢ξ3．B、k1ξ1﹢k2ξ3﹢ξ2C、k1ξ3﹢ξ1－ξ2．D、k1ξ3﹢ξ1﹢ξ2．标准答案：C知识点解析：由题设Aξ1＝ξ2，Aξ2－ξ2，Aξ3＝0，知，r(A)＝2．因为Aξ3＝0，所以ξ3是Ax＝0的基础解系．又因A(ξ1－ξ2)＝ξ1﹢ξ2，所以ξ1－ξ2是Ax＝ξ1﹢ξ2的一个特解，故非齐次方程组Ax＝ξ1﹢ξ2的通解为k1ξ3﹢ξ1－ξ2．8、设α＝(1，2，3)T，β1＝(0，1，1)T，β2＝(－3，2，0)T，β3＝(－2，1，1)T，β4＝(－3，0，1)T，记Ai＝αβiT，i＝1，2，3，4．则下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是()A、A1．B、A2．C、A3．D、A4．标准答案：D知识点解析：因A1＝αβiT≠0，r(Ai)＝r(αβiT)≤r(α)＝1．故r(Ai)＝1，i＝1，2，3，4．故λ＝0至少是3阶方阵Ai(i＝1，2，3，4)的二重特征值．则Ai(i＝1，2，3，4)的第三个特征值分别是故知A4的特征值λ1＝λ2＝λ3＝0，但A4≠0不能相似于对角矩阵．应选(D)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设平面区域D＝{(x，y)｜≤1)，则二重积分I＝＝_______．标准答案：2／13知识点解析：画出积分区域D如图所示，其实画不画无所谓，但只要抓住下面几项，经过点(0，1)与(1，0)，y由y＝1单调减少到y＝0，整个D在0≤x≤l，0≤y≤1之内．将该二重积分化为先y后x的逐次积分：10、I＝_______．标准答案：知识点解析：11、＝_______．标准答案：e2知识点解析：令x－1＝u，则12、设z＝(1﹢x2y)xy2，则_______．标准答案：－3xy2(1﹢x2y)xy2ln(1﹢x2y)知识点解析：13、微分方程2y”－5y’﹢2y＝xe2x的通解为y＝_______．标准答案：，其中C1，C2为任意常数知识点解析：对应的齐次方程的通解为设原方程的一个特解为y*＝x(Ax﹢B)e2x＝(Ax2﹢Bx)e2x，得(y*)’＝[2Ax2﹢2(A﹢B)x﹢B]e2x，(y*)”＝[4Ax2﹢4(2A﹢B)x﹢2(A﹢2B)]e2x，于是得所以原方程的通解为其中C1，C2为任意常数．如上所填．14、设A＝是可逆矩阵，且A－1＝，若C＝，则C－1＝_______．标准答案：知识点解析：经观察，C是由A经初等变换得到的，A的第1，2行互换后，再将第3列加到第1列得到C，即C=E12AE31(1)，故C－1＝[E12AE31(1)]－1＝E31－1(1)A－1E12－1＝E31(－1)A－1E12三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)15、设函数y＝f(x)存在二阶导数，且f’(x)≠0．(I)请用y＝f(x)的反函数的一阶导数、二阶导数表示；(Ⅱ)求满足微分方程的x与y所表示的关系式的曲线，它经过点(1，0)，且在此点处的切线斜率为，它经过点(1，0)，且在此点处的切线斜率为，在此曲线上任意点处的f’(x)≠0．标准答案：(I)由反函数的导数公式，有(Ⅱ)将(I)中求得的代入所给微分方程(*)中，得将(**)式中z看成函数，y看成自变量，(**)式成为x对y的二阶常系数非齐次线性微分方程．按通常方法解之，得x＝C1ey﹢C2e－3y﹢再由条件：x＝1时y＝0，，代入上式得知识点解析：暂无解析16、设D＝{(x，y)｜x2﹢y2≤x﹢y)，计算二重积分max{x，y}dσ．标准答案：作直线y＝x，将D分成两部分．D1＝{(x，y)｜y≥x，(x，y)∈D}，D2＝{(x，y)｜y≤x，(x，y)∈D}．仅在y＝x((x，y)∈D)处为D1与D2的公共区域，不影响二重积分的值．知识点解析：暂无解析17、设a为常数，讨论两曲线y＝ex与y＝的公共点的个数及相应的a的取值范围．标准答案：若a＝0，则易知y＝ex与y＝0无公共点，以下设a≠0．讨论y＝ex与y＝交点的个数，等同于讨论方程ex＝的根的个数，亦即等同于讨论函数f(x)＝xex－a的零点个数．f’(x)＝(x﹢1)ex0，得唯一驻点x0＝－1．当x<－1时，f’(x)＜0；当x>－1时，f’(x)﹥0．所以minf(x)＝f(－1)＝－e－1－a．又f(－∞)＝f(x)＝－a，f(﹢∞)＝f(x)＝﹢∞．①设－e－1－a﹥0，即设a<－e－1，则minf(x)>0，f(x)无零点；②设－e－1－a＝0，即设a＝－e－1，则f(x)有唯一零点x0＝－1；③设－e－1－a﹤0，即设a>－e－1．又分两种情形：(i)设－e－1﹤a﹤0，则有f(－∞)＝－a﹥0，f(－1)＝－e－1－a﹤0，f(﹢∞)>0．而在区间(－∞，－1)内f(x)单调减少，在区间(－1，﹢∞)内f(x)单调增加，故f(x)有且仅有两个零点；(ii)设a﹥0．易知f(x)＝xex－a在区间(－∞，0]内无零点，而在区间(0，﹢∞)内，f(0﹢)＝－a﹤0．f(﹢∞)＝﹢∞，f’(x)＝(x﹢1)ex﹥0，所以f(x)在区间(0，﹢∞)内刚好有1个零点．讨论完毕．综上，有结论：当a<－e－1或a＝0时，无交点；当a＝－e－1时，有唯一交点(切点)；当－e－1﹤a﹤0时，有两个交点；当a>0时，在区间(－∞，0]内无交点，而在区间(0，﹢∞)内，即第一象限内有唯一交点．知识点解析：暂无解析18、设一厂房容积为V(立方米)．开始时经测算，空气中含有某种有害气体m0(克)．现在打开通风机，每分钟通入Q(立方米)的新鲜空气．假设通入的新鲜空气中不含这种有害气体，同时排出等量的含有有害气体的混浊空气，并使厂房内空气始终保持均匀．(I)求厂房内该有害气体的瞬时含量m(克)与通风经历的时间t(分钟)的函数关系；(Ⅱ)通风经历多少时间(分钟)可使厂房内该有害气体量为原始的一半?标准答案：(I)设从通风机打开的时刻算起，在t(分钟)时，厂房内含有有害气体为m(克)．经历时间dt(分钟)，厂房内有害气体改变了dm(克)(dm<0)．在出这段时间内，由微元法得到这就是要求的从打开通风机时刻算起厂房内有害气体m与时刻t的关系．(Ⅱ)知识点解析：暂无解析19、设x与y均大于0，且x≠y，证明：标准答案：不妨认为y>x>0．因若x>y>0，则变换所给式子左边的x与y，由行列式性质知，左式的值不变．由柯西中值定理，存在一点ξ∈(x，y)，使得上式＝记f(u)＝eu－ueu，有f(0)＝1，当u>0时，f’(u)＝－ueu﹤0，所以f(u)<1，从而知eξ－ξeξ﹤1．于是证得知识点解析：暂无解析20、求．要求写出详细的推导过程．标准答案：将题给积分拆成两项并将第1项交换积分次序：下面来计算由于当0＜x≤1时，ex2＞1，则于是可以用洛必达法则计算下面极限：知识点解析：暂无解析21、设(I)证明f(x)在x＝0处连续；(Ⅱ)求区间(－1，﹢∞)内的f’(x)，并由此讨论区间(－1，﹢∞)内f(x)的单调性．标准答案：(I)由题设当x∈(－1，﹢∞)，但x≠0时f(x)＝，所以所以f(x)在x＝0处连续．(Ⅱ)下面求区间(－1，﹢∞)内x≠0处的f’(x)：为讨论f’(x)的符号，取其分子记为g(x)，即令g(x)＝(1﹢x)ln2(1﹢x)－x2，有g(0)＝0．g’(x)＝21n(1﹢x)﹢ln2(1﹢x)－2x，有g’(0)＝0，当－1＜x＜﹢∞，但x≠0时，由泰勒公式有当－1＜x＜﹢∞，但x≠0时，g(x)＝g”(ξ)x2＜0，ξ介于0与x之间．所以当－1＜x＜﹢∞，但x≠0时，f’(x)＜0．又由f’(0)＝，所以f’(x)＜0(－1＜x＜﹢∞)，由定理：设f(x)在区间(a，b)内连续且可导，导数f’(x)＜0，则f(x)在区间(a，b)内为严格单调减少．故f(x)在区间(－1，﹢∞)内严格单调减少．知识点解析：暂无解析22、讨论a，b为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解．有解时，求其解．标准答案：对方程组的增广矩阵作初等行变换，有所以①当a＝－1，b≠36时，r(A)＝3≠r(Ab)＝4，方程组无解．②当a≠－1且a≠b，b任意时，r(A)＝r(Ab)＝4，方程组有唯一解，唯一解为③当a＝－1，b＝36时，r(A)＝r(Ab)＝3，则增广矩阵为所以Ax＝0的基础解系为ξ1＝(﹣2，5，0，1)T；Ax＝b的特解为η1＝(6，﹣12，0，0)T．故Ax＝b的通解为k1ξ1﹢η1＝k1，其中k1是任意常数．④当a＝6，b任意时，r(A)＝r(Ab)＝3，则增广矩阵为所以Ax＝0的基础解系为ξ2＝(－2，1，1，0)T；Ax＝b的特解为η2＝(114－2b，－(12﹢2b)，0，b－36)T．故Ax＝b的通解为k2ξ2﹢η2＝k2，其中k2是任意常数．知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、下列命题中正确的个数是①若f(χ)在χ＝χ0存在左、右导数且f′χ(χ0)≠f′－(χ0)，则f(χ)在χ＝χ0处连续②若函数极限f(χ)＝A，则数列极限f(n)＝A③若数列极限＝A，则函数极限f(χ)＝A④若不存在，则f(χ)g(χ)不存在A、1个．B、2个．C、3个．D、4个．标准答案：B知识点解析：要逐一分析．若f(χ)在χ＝χ0存在f′＋(χ0)与f′－(χ0)f(χ)在χ＝χ0右连续及左连续f(χ)在χ＝χ0连续，即①正确．由函数极限与数列极限的关系知，若函数极限一串χn→＋∞(n→＋∞)均有f(χn)＝A．若但只有某串χn→＋∞(n→＋∞)，如f(χ)＝sinπχ，f(n)＝0，f(n)＝0，但f(χ)不存在，于是②正确，③不正确．命题④是错误的．当A＝0时f(χ)g(χ)可能存在．例如，若取f(χ)＝0，则f(χ)＝0，f(χ)g(χ)＝0，所以④是错误．因此，只有2个正确．选B2、数列极限J＝＝A、0．B、1．C、∞．D、．标准答案：B知识点解析：转化为函数极限后用洛必达法则．3、沿f(χ)＝在χ＝0处二阶导数存在，则常数a，b分别是A、a＝1，b＝1．B、a＝1，b＝．C、a＝1，b＝2．D、a＝2，b＝1．标准答案：B知识点解析：我们考虑分段函数其中f1(χ)和f2(χ)均在χ＝χ0邻域k阶可导，则f(χ)在分界点χ＝χ0有k阶导数的充要条件是f1(χ)和f2(χ)有χ＝χ0有相同的k阶泰勒公式：f1(χ)＝f2(χ)＝a0＋a1(χ－χ0)＋a2(χ－χ0)2＋…＋a(χ－χ0)k＋o((χ－χ0)k)(χ→χ0)把这一结论用于本题：取χ0＝0．f1(χ)＝1＋aχ＋χ2f2(χ)＝eχ＋bsinχ2＝1＋χ＋χ2＋o(χ2)＋b(χ2＋o(χ2))＝1＋χ＋(b＋)χ2＋o(χ2)．因此f(χ)在χ＝0时二阶可导a＝1，b＋＝1即a＝1，b＝．故选B．4、设f′(χ0)＝0，f〞(χ0)＜0，则必定存在一个正数δ，使得A、曲线y＝f(χ)在(χ0－δ，χ0＋δ)是凹的．B、曲线y＝f(χ)在(χ0－δ，χ0＋δ)是凸的．C、曲线y＝f(χ)在(χ0－δ，χ0]单调减少，而在[χ0，χ0＋δ)单调增加．D、曲线y＝f(χ)在(χ0－δ，χ0]单调增加，而在[χ0，χ0＋δ)单调减少．标准答案：D知识点解析：f〞(χ0)＝＜0．由极限的不等式性质＞0，当χ∈(χ0－δ，χ0＋δ)且χ≠χ0时，＜0当χ∈(χ0－δ，χ0)时，f′(χ)＞0；当χ∈(χ0，χ0＋δ)时，f′(χ)＜0．又f(χ0)在χ＝χ0连续f(χ)在(χ0－δ，χ0]单调增加，在[χ0，χ0＋δ）单调减少．故应选D5、以y1＝eχcos2χ，y2＝eχsin2χ与y3＝e－χ为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是A、y″′＋y〞＋3y′＋5y＝0．B、y″′－y〞＋3y′＋5y＝0．C、y″′＋y〞－3y′＋5y＝0．D、y″′－y〞－3y′＋5y＝0．标准答案：B知识点解析：线性无关特解y1＝eχcos2χ，y2＝eχsin2χ与y3＝e－χ对应于特征根λ1＝1＋2i，λ2＝1－2i与λ3＝－1，由此可得特征方程是(λ－1－2i)(λ－1＋2i)(λ＋1)＝0λ3－λ2＋3λ＋5＝0．由此即知以y1＝eχcos2χ，y2＝eχsin2χ与y3＝e－χ为线性无关特解的三阶常系数齐次线性微分方程是y″′＝y〞＋3y′＋5y＝0．故应选B．6、设F(χ，y)在点(χ0，y0)某邻域有连续的偏导数，F(χ0，y0)＝0，则F′y(χ0，y0)≠0是F(χ，y)＝0在点(χ0，y0)某邻域能确定一个连续函数y＝y(χ)，它满足y0＝y(χ0)，并有连续的导数的_______条件．A、必要非充分B、充分非必要C、充分且必要D、既不充分又不必要标准答案：B知识点解析：由隐函数定理知，在题设条件下，F′y(χ，y)≠0是方程F(χ，y)＝0在点(χ0，y0)某邻域能确定一个连续函数y＝y(χ)，满足y0＝y(χ0)并有连续导数的充分条件，但不是必要条件．如F(χ，y)＝χ3－χy，F(0，0)＝0，F′y(0，0)＝－χ｜χ＝0＝0，但F(χ，y)＝0确定函数y＝χ2(满足y(0)＝0)．因此选B．7、设A是n阶可逆矩阵，B是把A的第2列的3倍加到第4列上得到的矩阵，则A、把A-1第2行的3倍加到第4行上得到B-1．B、把A-1第4行的3倍加到第2行上得到B-1．C、把A-1第2行的－3倍加到第4行上得到B-1．D、把A-1第4行的－3倍加到第2行上得到B-1．标准答案：D知识点解析：B＝AE(2，4(3))，B-1＝E(2，4(3))-1A-1＝E(2，4(－3))A-1，因此B-1是把A-1第4行的一3倍加到第2行上得到．8、设4阶矩阵A＝(α1，α2，α3，α4)，已知齐次方程组AX＝0的通解为c(1，－2，1，0)T，c任意．则下列选项中不对的是A、α1，α2，α3线性相关．B、α1，α2线性无关．C、α1，α2，α4线性无关．D、α1，α2，α4线性相关．标准答案：D知识点解析：条件说明α1－2α2＋α3＝0，并且r(α1，α2，α3，α4)＝3．显然α1，α2，α3线性相关，并且r(α1，α2，α3)＝2．α3可用α1，α2线性表示，因此r(α1，α2)＝r(α1，α2，α3)＝2．α1，α2线性无关．选项A和B都对．r(α1，α2，α4)＝r(α1，α2，α3，α4)＝3，选项C对D错．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设F(χ)＝，则F(χ)的定义域是_______．标准答案：(1，＋∞)知识点解析：当χ＝1时，∫2＋∞＝lnlnt｜2＋∞＝＋∞因此仅当χ＞1时原积分收敛，即F(χ)的定义域是：(1，＋∞)．10、＝_______．标准答案：1知识点解析：对被积函数直接进行放大与缩小，即11、设y＝f(χ)在(1，1)邻域有连续二阶导数，曲线y＝f(χ)在点P(1，1)处的曲率圆方程为χ2＋y2＝2，则f〞(1)＝_______．标准答案：－2知识点解析：曲率圆χ2＋y2＝2在(1，1)邻域确定y＝y(χ)(y(1)＝1)，y＝f(χ)与y＝y(χ)在χ＝1有相同的一阶与二阶导数．现由χ2＋y2＝22χ＋2yy′＝0，即χ＋yy′＝0令χ＝1，y＝1y′(1)＝－1，又1＋y′2＋yy〞＝0令χ＝1，y＝1，y′＝－1y〞(1)＝－2．因此f〞(1)＝y〞(1)＝－2．12、设有摆线χ＝φ(t)＝t＝sint，y＝ψ(t)＝1－cost(0≤t≤2π)的第一拱L，则L绕χ轴旋转一周所得旋转面的面积S＝_______．标准答案：πa2知识点解析：由旋转面面积公式得13、已知函数y(χ)可微(χ＞0)且满足方程y(χ)－1＝则y(χ)＝_______．标准答案：y＝知识点解析：这是含变限积分的方程．先将原方程两边求导，转化为常微分方程得在原方程中令χ＝1得y(1)＝1．于是原方程与初值问题等价．这是齐次方程，令u＝得χ＋u＝u2＋u，即χ＝u2．分离变量得＝lnχ＋C，由y(1)＝1得C＝－1，代入u＝得y＝(χ＞0)．14、已知A＝，A*为A的伴随矩阵，则＝_______．标准答案：知识点解析：｜A｜＝＝－2于是A*A＝－2E．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、确定常数a与b的值，使得标准答案：这是求∞－∞型极限，先转化为求型极限．由型极限有确定的值，确定其中的参数a与b的值．关键是用到一个已知的结论：若极存在，又g(χ)＝0，则必有f(χ)＝0．现只需再求J＝用洛必达法则得求出J后可得b≠时，I＝∞，b＝时，I＝因此符合题目要求的常数a和b是即知识点解析：暂无解析16、设f(χ)＝∫－1χt3｜t｜dt，(Ⅰ)求函数f(χ)的单调性区间与正、负值区间．(Ⅱ)求曲线y＝f(χ)与χ轴所围成的封闭图形的面积．标准答案：(Ⅰ)f′(χ)＝f(χ)在(－∞，0]↘，在[0，＋∞)．为求f(χ)的正负值区间，先求出使f(χ)＝0的χ值．易知f(－1)＝∫－1－1t3｜t｜dt＝0，f(1)＝∫－11t3｜t｜dt＝0。再由f(χ)的单调性知，f(χ)＞f(－1)＝0(χ＜－1)，f(χ)＞f(1)＝0(χ＞1)f(χ)＜f(－1)＝0(－1＜χ≤0)，f(χ)＜f(1)(0≤χ＜1)因此f(χ)＞0(χ∈(－∞，－1)或χ∈(1，＋∞))f(χ)＜0(χ∈(－1，1))(Ⅱ)曲线y＝f(χ)与χ轴所围成的封闭图形是{(χ，y)｜－1≤χ≤1，f(χ)≤y≤0}如下图所示：该图形的面积A＝∫－11｜f(χ)｜dχ＝｜∫－11f(χ)dχ｜(因为f(χ)在(－1，1)恒负值)＝｜χf(χ)｜－11－∫－11χf′(χ)dχ｜＝2∫01χ.χ3｜χ｜dχ＝2∫02χ5dχ＝知识点解析：暂无解析17、设f(χ)＝(Ⅰ)求证：f(χ)在[0，＋∞)上连续，f′(χ)＝(χ＞0)，并求f′(1)；(Ⅱ)求f(χ)在[0，＋∞)的单调性区间；(Ⅲ)求f(χ)在[0，＋∞)的最大值与最小值．标准答案：(Ⅰ)当χ＞0时，f(χ)与初等函数e－χ＋相同，故连续．又＝e0＋0＝1＝f(0)，即f(χ)在χ＝0处右连续，因此f(χ)在[0，＋∞)上连续．再求(Ⅱ)考察(0，＋∞)上f′(χ)的符号．只需考察g(χ)＝1－χ2，由g(χ)在(0，＋∞)单调上升f(χ)在[0，1]单调下降，在[1，＋∞)单调上升．(Ⅲ)由(Ⅱ)中单调性分析知，又f(0)＝1，＝0＋e0＝1，因此f(χ)＝f(0)＝1．知识点解析：暂无解析18、已知y1*(χ)＝χe－χ＋e－2χ，y2*(χ)＝χe－χ＋χe－2χ，y3*(χ)＝χe－χ＋eχ－2χ＋χe－2χ是某二阶线性常系数微分方程y〞＋Py′＋qy＝f(y)的三个特解．(Ⅰ)求这个方程和它的通解；(Ⅱ)设y＝y(χ)是该方程满足y(0)＝0，y′(0)＝0的特解，求∫0＋∞y(χ)dχ．标准答案：(Ⅰ)由线性方程解的叠加原理y1(χ)＝y3*(χ)－y2*(χ)＝e－2χ，y2(χ)＝y3*(χ)－y1*(χ)＝χe－2χ均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的．于是该齐次方程的特征根是重根λ＝－2，相应的特征方程为(λ＋2)2＝0，即λ2＋4λ＋4＝0．原方程为y〞＋4y′＋4y＝f(χ)．①由于y*(χ)＝χe－χ是它的特解，求导得y*′(χ)＝e－χ(1－χ)，y*〞(χ)＝e－χ(χ－2)．代入方程①得e－χ(χ－2)＋4e－χ(1－χ)＋4χe－χ＝f(χ)f(χ)＝(χ＋2)e－χ原方程为y〞＋4y′＋4y＝(χ＋2)e－χ，其通解为y＝C1e－2χ＋C2χe－2χ＋χe－χ，其中C1，C2为常数．(Ⅱ)C1，C2，方程的解y(χ)均有不必由初值来定C1，C2，直接将方程两边积分得知识点解析：暂无解析19、设u＝f(2χ＋3y，z)，其中f具有二阶连续偏导数，而z＝z(χ，y)是由方程z＋lnz－∫yχdt＝1确定并满足z(0，0)＝1的函数，求．结果用f′i(o，1)，f〞ij(0，1)表示(i，j＝1，2)．标准答案：u与χ，y的变量依赖关系如图所示：其中χ与χ，y的函数关系由以下方程确定：z＋lnz－∫yχdt＝1．由u＝f(2χ＋3y，z)，有将z＋lnz－∫yχdt＝1分别对χ，y求偏导数有将代入(*)式可得，该式再对y求偏导数并将的表达式代入有以χ＝0，y＝0从而z(0，0)＝1代入即得知识点解析：暂无解析20、求累次积分I＝标准答案：将累次积分表示为二重积分其中D2：≤y≤1，y≤χ≤．记D＝D1∪D2，则I＝dσ．D1．D1如图所示。问题转化为求二重积分I＝dσ．现改为先y后χ的积分顺序可得知识点解析：暂无解析21、设f(χ)在[a，b]上有二阶导数，且f′(χ)＞0．(Ⅰ)证明至少存在一点ξ∈(a，b)，使∫abf(χ)dχ＝f(b)(ξ－a)＋f(a)(b－ξ)；(Ⅱ)对(Ⅰ)中的ξ∈(a，b)，求标准答案：(Ⅰ)令φ(χ)＝f(b)(χ－a)＋f(a)(b－χ)－∫abf(χ)dχ(a≤χ≤b)，即证φ(χ)在(a，b)零点．因f(χ)在[a，b]连续且f(a)＜f(χ)＜f(b)(χ∈(a，b))且f(a)(b－a)＜∫abf(χ)dχ＜f(b)(b－a)φ(a)＝f(a)(b－a)－∫abf(χ)dχ＜0，φ(b)＝f(b)(b－a)－∫abf(χ)dχ＞0，故由闭区间上连续函数的性质知存在ξ∈(a，b)，使得φ(ξ)＝0，即∫abf(χ)dχ＝f(b)(ξ－a)＋f(a)(b－ξ)．(Ⅱ)先要得到的表达式，为此先将上式改写成∫abf(χ)dχ＝f(b)(ξ－a)＋f(a)[(b－a)－(ξ－a)]，从而于是将b看作变量，对右端分式应用洛必达法则即得分子、分母同除b－a得知识点解析：暂无解析22、设α1，α2，α3都是矩阵A的特征向量，特征值两两不同，记γ＝α1＋α2＋α3．①证明γ，Aγ，A2γ线性无关，γ，Aγ，A2γ，A3γ线性相关．②设α1，α2，α3的特征值依次为1，－1，2，记矩阵B＝(γ，Aγ，A2γ)，β＝A3γ，求解线性方程组BX＝β．标准答案：①设α1，α2，α3的特征值为a，b，c，由于它们两两不同，α1，α2，α3线性无关，γ＝α1＋α2＋α3，Aγ＝aα1＋bα2＋cα3，A2γ＝a2α1＋b2α2＋c2α3，A3γ＝a3α1＋b3α2＋c3α3，则γ，Aγ，A2γ对α1，α2，α3的表示矩阵为，其行列式为范德蒙行列式，并且(因为a，b，c两两不同)值不为0，于是r(γ，Aγ，A2γ)＝r(α1，α2，α3)＝3，因此γ，Aγ，A2γ无关．γ，Aγ，A2γ，A3γ可以用α1，α2，α3线性表示，因此线性相关．②γ＝α1＋α2＋α3，Aγ＝α1－α2＋2α3，A2γ＝α1＋α2＋4α3，A3γ＝α1－α2＋8α3，B＝(γ，Aγ，A2γ)＝(α1，α2，α3)β＝A3γ＝(α1，α2，α3)则BX＝β具体写出就是由于α1，α2，α3线性无关，它和同解．解此方程组得唯一解(－2，1，2)T．知识点解析：暂无解析23、设二次型χTAχ＝χ12＋4χ22＋χ32＋2aχ1χ2＋2bχ1χ3＋2cχ2χ3，矩阵B＝，满足AB＝0．①用正交变换化χTAχ为标准形，写出所作变换．②求(A－3E)6．标准答案：A＝①先作正交矩阵Q，使得Q-1AQ是对角矩阵．条件说明B的3个列向量都是A的特征向量，并且特征值都是0．由于B的秩大于1，特征值0的重数大于1．于是A的特征值为0，0，6．(tr(A)＝6．)求属于特征值0的两个单位正交特征向量：对B的第1，2两个列向量α1＝(1，0，1)T，α2＝(2，－1，0)T作施密特正交化：η1＝α1／‖α1‖＝(1，0，1)T，求属于特征值6的一个单位特征向量：属于特征值6的特征向量与α1，α2都正交，即是方程组{χ1＋χ3＝0，2χ1的非零解，求出α3＝(1，2，－1)T是属于6的一个特征向量，单位化η3＝α3／‖α3‖＝(1，2，－1)T，记Q＝(η1，η2，η3)，则Q是正交矩阵，Q-1AQ＝作正交变换χ＝Qy，它χTAχ化为标准二次型6y32．②A的特征值为0，0，6，则A－3E的特征值为－3，－3，3，(A－3E)6的3个特征值都是36．于是(A－3E)6～36E(A－3E)6＝36E．知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设函数则x=0是f(x)的()A、振荡间断点。B、跳跃间断点。C、可去间断点。D、无穷间断点。标准答案：B知识点解析：由已知得，当x＞0时，当x＜0时，因为函数f(x)在x=0点的左、右极限存在但不相等，所以x=0为f(x)的跳跃间断点。故本题选B。2、设f(x)有一个原函数则A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由题意可得所以故本题选A。3、若f"(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2，则函数f(x)在区间(1，2)内()A、有极值点，无零点。B、无极值点，有零点。C、有极值点，有零点。D、无极值点，无零点。标准答案：B知识点解析：由已知得f(x)为凸函数，因此f"(x)＜0。对曲率圆x2+y2=2关于x求导得2x+2yy’=0，所以f’(1)=－1。曲线在点(1，1)处的曲率为所以f"(1)=－2。在闭区间[1，2]上，f’(x)≤f’(1)=－1＜0，即函数f(x)在区间[1，2]上单调递减，所以在区间(1，2)内无极值点。由拉格朗日中值定理知，在区间(1，2)内至少存在一点ξ，使得f(2)-f(1)=f’(ξ)<－1，因为f(1)=1＞0，所以f(2)＜0。由零点定理知，在区间(1，2)内至少有函数f(x)的一个零点。故本题选B。4、设则F(x)在x=0处()A、极限存在但不连续。B、连续但不可导。C、可导。D、可导性与a值有关。标准答案：D知识点解析：当x≤0时，当x＞0时，因为所以F(x)在x=0处连续。而所以F(x)在x=0处的可导性与a值有关。故本题选D。5、已知当x→时，arcsinx－arctanax与bx[x－ln(1+x)]是等价无穷小，则ab=()A、0B、1C、2D、3标准答案：B知识点解析：根据等价无穷小的定义有所以则a=1，b=1，因此ab=1。故本题选B。6、方程y"－3y’+2y=ex+1+excos2x的特解形式为()A、y=axex+b+Aexcos2x。B、y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。C、y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x)。D、y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。标准答案：D知识点解析：齐次微分方程y"－3y’+2y=0对应的特征方程为λ2－3λ+2=0．特征根为λ1=1，λ2=2，则方程y"－3y’+2y=ex+1+excos2x的特解为y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。故本题选D。7、向量组α1=(1，3，5，－1)T，α2=(2，－1，-3，4)T，α3=(6，4，4，6)T，α4=(7，7，9，1)T，α5=(3，2，2，3)T的一个极大线性无关组是()A、α1，α2，α5。B、α1，α3，α5。C、α2，α3，α4。D、α3，α4，α5。标准答案：C知识点解析：对α1，α2，α3，α4，α5构成的矩阵作初等行变换可见r(α1，α2，α3，α4，α5)=3。由上述矩阵可知，三个非零行的非零首元在1，2，4列，所以α1，α2，α4为向量组的一个极大无关组。选项中无此答案，现结合选项来看，由于上述矩阵的第3列和第5列成比例，所以α3，α5线性相关，即同时包含α3，α5的选项错误，故排除B、D。又因为上述矩阵的第3行的非零元只有1个，且在第4列，所以α4必在极大无关组中，故本题选C。实际上，对于C项，上述矩阵对应的三阶子式所以α2，α3，α4是向量组的一个极大线性无关组。8、设A，B均为n阶矩阵，A可逆，且A与B相似，则下列命题中正确的个数为()①AB与BA相似；②A2与B2相似；③AT与BT相似；④A－1与B－1相似。A、1B、2C、3D、4标准答案：D知识点解析：因为A与B相似，所以存在可逆矩阵P，使得P－1AP=B，于是P－1A2P=B2，PTAT(PT)－1=BT，P－1A－1P=B－1，则有A2与B2相似，AT与BT相似，A－1与B-1相似。又因为A可逆，所以A－1(AB)A=BA，即AB与BA相似。故本题选D。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设f(x)为可导的偶函数，且满足则曲线y=f(x)在点(－1，f(－1))的切线方程为___________。标准答案：y=4(x+1)知识点解析：因为所以即因为f(x)为偶函数，所以f(－1)=0。根据可得所以f’(1)=－4。因为f(x)为偶函数，所以f’(x)为奇函数，则f’(1)=-f’(－1)=－4，即f’(－1)=4，因此所求切线方程为y=4(x+1)。10、设则f(x)的不可导点为___________。标准答案：x=3知识点解析：函数可化为显然函数在x=3处不可导。11、设则标准答案：知识点解析：因为所以12、函数f(x，y)=ax2+bxy2+2y在点(1，－1)取得极值，则ab=___________。标准答案：知识点解析：函数f(x，y)=ax2+bxy2+y分别对x，y求偏导，得因为函数f(x，y)=ax2+bxy2+2y在点(1，－1)取得极值，所以则因此13、标准答案：知识点解析：本题先对y积分较困难，而先对x积分可以应用凑微分法，因此先交换积分次序得求解上述积分得14、设α1=(2，1，1)T，α2=(－1，2，7)T，α3=(1，－1，－4)T，若β1=(1，2，t+1)2可以由α1，α2，α3线性表示，但是β2=(t，1，0)2不可以由α1，α2，α3线性表示，则t=__________。标准答案：4知识点解析：根据题意，β1可以由α1，α2，α3线性表示，则方程组x1α1+x2α2+x3α3=β1有解；β2不可以由α1，α2，α3线性表示，则方程组x1α1+x2α2+x3α3=β2无解。由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并在一起进行矩阵的初等变换，即所以当t=4时，方程组x1α1+x2α2+3α3=β1有解，方程组x1α1+x2α2+x3α3=β2无解，故t=4。三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)15、设曲线L过点(1，－1)，L上任意一点P(x，y)处的切线交x轴于点T，O为坐标原点，若|PT|=|OT|，求曲线L的方程。标准答案：设曲线方程为y=y(x)，则y(1)=－1。过点P(x，y)的切线方程为Y－y=y’(X－x)，则切线与x轴的交点为因为|PT|=|OT|，所以上式两边同时平方可得y’(x2－y2)=2xy，该一阶微分方程为齐次方程，令则两边取积分得解得将初始条件y(1)=－1代入，则故曲线L的方程为x2+y2+2y=0。知识点解析：暂无解析16、已知求标准答案：因为所以又因为f(1)=0，所以令则知识点解析：暂无解析17、设其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求标准答案：根据复合函数的求导公式，有于是知识点解析：暂无解析18、求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数。标准答案：当n=1时，则f’(0)=0；当n=2时，则f"(0)=0；当n≥2时，利用莱布尼茨公式求解，令u(x)=x2，v(x)=ln(1+x)，则u’=2x，u"=2，u(n)=0(n≥3)，所以知识点解析：暂无解析19、设f(x)在[1，2]上连续，证明：存在ξ∈(0，1)，使得标准答案：令x∈[1，2]，则F’(x)=f(x)－x2，x∈[1，2]。由拉格朗日中值定理得F(2)－F(1)=F’(ξ)(2－1)，其中F(1)=0，F’(ξ)=f(ξ)－ξ2，所以知识点解析：暂无解析设f(x)连续，且满足20、证明f"(x)+f’(x)一2f(x)=1；标准答案：由题意，将f(x)变形整理得对上式求导得再在上式两边同时乘以ex可得对上式求导得exf’(x)+exf"(x)=ex+2exf(x)，即有f"(x)f’(x)－2f(x)=1。知识点解析：暂无解析21、求f(x)。标准答案：由上题可知，非齐次线性微分方程为f"(x)f’(x)－2f(x)=1，其对应的齐次线性微分方程为f"(x)+f’(x)－2f(x)=0，上式对应的特征方程为λ2+κ－2=0，解得λ1=1，λ2=－2，故齐次线性微分方程的通解为其中C1，C2为任意常数。又设非齐次线性微分方程的特解为f"(x)=a，则故非齐次线性微分方程的通解为又因为f(0)=0,f’(0)=1，所以故知识点解析：暂无解析设其中Da为曲线所围成的区域。22、求Ia；标准答案：积分区域Da如下图阴影部分所示。由于积分区域关于y轴对称，所以其中Da’为Da在y轴右侧的部分。令x=rcosθ，y=rsinθ，则知识点解析：暂无解析23、求a的值使Ia取得最小值。标准答案：令Ia’=0，则a1=－2，a2=0，a3=3，由数轴标根法可得Ia的单调区间如下表所示所以当a=3时，Ia取得最小值。知识点解析：暂无解析设向量α1，α2，…，αn－1是n－1个线性无关的n维列向量，ξ1，ξ2是与α1，α2，…，αn－1均正交的n维非零列向量。证明：24、ξ1，ξ2线性相关；标准答案：令A=(α1，α2，…，αn-1)T，则A是(n－1)×n矩阵，且r(A)=n－1。由已知条件可知αiTξj=o(i=1，2，…，n－1；j=1，2)，即Aξj=0(j=1，2)，这说明ξ1，ξ2是齐次线性方程组Ax=0的两个解向量。但Ax=0的基础解系中所含向量的个数为n－r(A)=1，所以解向量ξ1，ξ2线性相关。知识点解析：暂无解析25、α1，α2，…，αn-1，ξ1线性无关。标准答案：设k1α1+k2α2+…+kn－1αn-1+k0ξ1=0，对等号两边同时取转置得k1α1T+k2α2T+…+kn-1αn－1T+k0ξ1T=0，上式两边同时右乘ξ1得k1α1Tξ1+k2α2Tξ1+…+kn－1αn－1Tξ1+k0ξ1Tξ1=0，在上式中αiT=0(i=1，2，…，n－1)，所以k0ξ1Tξ1=0。由ξ1≠0得ξ1Tξ1≠0，所以k0=0，从而k1α1+k2α2+…kn－1αn－1=0。又因为α1，α2，…，αn－1线性无关，所以k1=k2=…=kn－1=k0=0，故α1，α2，…，αn－1，ξ1线性无关。知识点解析：暂无解析设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为2，向量α1=(1，－1，0)T，α2=(1，0，－1)T是线性方程组Ax=0的两个解。26、求矩阵A的特征值与特征向量标准答案：因为矩阵A的各行元素之和均为2，所以则λ=2是矩阵A的特征值，α=(1，1，1)T是对应的特征向量。所以对应λ=2的全部特征向量为kα=k(1，1，1)T(k≠0)。向量α1，α2是线性方程组Ax=0的解，所以Aα1=0，Aα2=0，即Aα1=0α1，Aα2=0α2，而且α1，α2线性无关，所以λ=0是矩阵A的二重特征值，α1，α2是其对应的特征向量，因此对应λ=0的全部特征向量为k1α1+k2α2=k1(1，－1，0)T+k2(1，0，－1)T，其中k1，k2不同时为0。知识点解析：暂无解析27、求一个正交矩阵Q，使QTAQ=A为对角阵。标准答案：因为A为实对称矩阵，所以α与α1，α2正交，则只需将α1，α2正交化。由施密特正交化法得，取η2=α1，再将α，η2，η3单位化，得将q1，q2，q3构成正交矩阵则Q－1=QT，且知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、当x→0时，f(x)=x－sinax与g(x)=x2ln(1－bx)是等价无穷小，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：本题可采用排除法。当x→0时，ln(1－bx)与-bx为等价无穷小，则所以a3=－6b，故排除B、C。另外是存在的，即满足1－acosxax→0(x→0)，故a=1，排除D。故本题选A。2、则f(x)在x=0处()A、极限不存在B、极限存在，但不连续C、连续但不可导D、可导标准答案：C知识点解析：f+’(0)，f－(0)都存在，则f(x)在x=0处右连续和左连续，所以f(x)在x=0处连续；但f+’(0)≠f－’(0)，所以f(x)在x=0处不可导。故本题选C。3、设则I，J，K的大小关系为()A、I＜J＜KB、I＜K＜JC、J＜I＜KD、K＜J＜I。标准答案：B知识点解析：当时，因为0＜sinx＜cosx，所以ln(sinx)＜ln(cosx)，因此同时，又因为所以综上可知，I＜K＜J。故本题选B。4、具有特解y1=e－x，y2=2xe－x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是()A、y’"－y"－y’+y=0。B、y’"+y"－y’－y=0。C、y’"－6y"+11y’－6y=0。D、y’"－2y"－y’+2y=0。标准答案：B知识点解析：由y1=e－x，y2=2xe－x，y3=3ex是所求三阶常系数齐次线性微分方程的三个特解可知，λ1=－1，λ2=－1，λ3=1是所求方程的三个根，其特征方程为(λ－1)(λ+1)2=0，即λ3+λ2－λ－1=0，其对应的微分方程为y’"+y"－y’－y=0。故本题选B。5、设f(x)和φ(x)在(－∞，+∞)上有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0，φ(x)有间断点，则()A、φ[f(x)]必有间断点B、φ2(x)必有间断点。C、f[φ(x)]必有间断点。D、必有间断点。标准答案：D知识点解析：取f(x)=1，x∈(－∞，+∞)，则f(x)，φ(x)满足题设条件。由于φ[f(x)]=1，φ2(x)=1，f[φ(x)]=1都是连续函数，故可排除A、B、C。故本题选D。6、周期函数y=f(x)在(－∞，+∞)内可导，周期为4，且则y=f(x)在点(5，f(5))处的切线斜率为()A、B、0C、－1D、－2标准答案：D知识点解析：因为y=f(x)在(－∞，+∞)内可导，且f(x)=f(x+4k)，其中k为整数，故有f’(x)=f’(x+4k)。取x=1，k=1可得，f’(1)=f’(5)。又因为所以因此f’(1)=－2。故本题选D。7、下列矩阵中，A和B相似的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：A项，r(A)≠r(B)；B项，tr(A)≠tr(B)；C项，|A|≠|B|；由矩阵相似的必要条件可知，A、B、C三项错误。由排除法可知，本题选D。实际上，对于D项，r(A)=3，特征值为1(三重)，r(A－E)=2；r(B)=3，特征值为1(三重)，r(B－E)=2，所以矩阵A和B相似。8、设二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2－2x3)2+[－3x1+(a－1)x2+7x3]2+(x1+ax3)2正定，则参数a的取值范围是()A、a=－2。B、a=－3。C、a＞0。D、a为任意值。标准答案：D知识点解析：方法一：f(x1，x2，x3)是平方和的形式，所以f(x1，x2，x3)≥0。上述方程组的系数行列式为所以a取任意值，上述方程组都有唯一零解，即对任意的x≠0，都有f(x1，x2，x3)＞0，f正定。故本题选D。方法二：其中A=BTB且AT=A。其中a为任意值，所以对任意的a，矩阵B均可逆，则A=BTB正定，即f(x1，x2，x3)是正定二次型。故本题选D。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设则标准答案：知识点解析：已知函数可化为令则因此10、曲线直线x=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为_______。标准答案：知识点解析：所围成的平面图形如下图阴影部分所示，直接利用旋转体的体积公式可得11、交换积分次序标准答案：知识点解析：由累次积分的内外层积分限可以确定积分区域D，如下图阴影部分所示，则有交换积分次序12、设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则标准答案：2edx+(e+2)dy知识点解析：二元函数对x和y分别求偏导，得所以13、微分方程y’+y=e－xcosx满足y(0)=0的特解为____________。标准答案：y=e－xsinx知识点解析：微分方程的通解为由y(0)=0得C=0，故所求特解为y=e－xsinx。14、已知线性方程组无解，则a=____________。标准答案：－2知识点解析：对线性方程组的增广矩阵作初等行变换得因为线性方程组无解，所以系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，所以a=－2。三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)15、设曲线L过点(1，－1)，L上任意一点P(x，y)处的切线交x轴于点T，O为坐标原点，若|PT|=|OT|，求曲线L的方程。标准答案：设曲线方程为y=y(x)，则y(1)=－1。过点P(x，y)的切线方程为Y－y=y’(X－x)，则切线与x轴的交点为因为|PT|=|OT|，所以上式两边同时平方可得y’(x2－y2)=2xy，该一阶微分方程为齐次方程，令则两边取积分得解得将初始条件y(1)=－1代入，则故曲线L的方程为x2+y2+2y=0。知识点解析：暂无解析16、已知求标准答案：因为所以又因为f(1)=0，所以令则知识点解析：暂无解析17、设其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求标准答案：根据复合函数的求导公式，有于是知识点解析：暂无解析18、求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数。标准答案：当n=1时，则f’(0)=0；当n=2时，则f"(0)=0；当n≥2时，利用莱布尼茨公式求解，令u(x)=x2，v(x)=ln(1+x)，则u’=2x，u"=2，u(n)=0(n≥3)，所以知识点解析：暂无解析19、设f(x)在[1，2]上连续，证明：存在ξ∈(0，1)，使得标准答案：令x∈[1，2]，则F’(x)=f(x)－x2，x∈[1，2]。由拉格朗日中值定理得F(2)－F(1)=F’(ξ)(2－1)，其中F(1)=0，F’(ξ)=f(ξ)－ξ2，所以知识点解析：暂无解析设f(x)连续，且满足20、证明f"(x)+f’(x)一2f(x)=1；标准答案：由题意，将f(x)变形整理得对上式求导得再在上式两边同时乘以ex可得对上式求导得exf’(x)+exf"(x)=ex+2exf(x)，即有f"(x)f’(x)－2f(x)=1。知识点解析：暂无解析21、求f(x)。标准答案：由上题可知，非齐次线性微分方程为f"(x)f’(x)－2f(x)=1，其对应的齐次线性微分方程为f"(x)+f’(x)－2f(x)=0，上式对应的特征方程为λ2+κ－2=0，解得λ1=1，λ2=－2，故齐次线性微分方程的通解为其中C1，C2为任意常数。又设非齐次线性微分方程的特解为f"(x)=a，则故非齐次线性微分方程的通解为又因为f(0)=0,f’(0)=1，所以故知识点解析：暂无解析设其中Da为曲线所围成的区域。22、求Ia；标准答案：积分区域Da如下图阴影部分所示。由于积分区域关于y轴对称，所以其中Da’为Da在y轴右侧的部分。令x=rcosθ，y=rsinθ，则知识点解析：暂无解析23、求a的值使Ia取得最小值。标准答案：令Ia’=0，则a1=－2，a2=0，a3=3，由数轴标根法可得Ia的单调区间如下表所示所以当a=3时，Ia取得最小值。知识点解析：暂无解析设向量α1，α2，…，αn－1是n－1个线性无关的n维列向量，ξ1，ξ2是与α1，α2，…，αn－1均正交的n维非零列向量。证明：24、ξ1，ξ2线性相关；标准答案：令A=(α1，α2，…，αn-1)T，则A是(n－1)×n矩阵，且r(A)=n－1。由已知条件可知αiTξj=o(i=1，2，…，n－1；j=1，2)，即Aξj=0(j=1，2)，这说明ξ1，ξ2是齐次线性方程组Ax=0的两个解向量。但Ax=0的基础解系中所含向量的个数为n－r(A)=1，所以解向量ξ1，ξ2线性相关。知识点解析：暂无解析25、α1，α2，…，αn-1，ξ1线性无关。标准答案：设k1α1+k2α2+…+kn－1αn-1+k0ξ1=0，对等号两边同时取转置得k1α1T+k2α2T+…+kn-1αn－1T+k0ξ1T=0，上式两边同时右乘ξ1得k1α1Tξ1+k2α2Tξ1+…+kn－1αn－1Tξ1+k0ξ1Tξ1=0，在上式中αiT=0(i=1，2，…，n－1)，所以k0ξ1Tξ1=0。由ξ1≠0得ξ1Tξ1≠0，所以k0=0，从而k1α1+k2α2+…kn－1αn－1=0。又因为α1，α2，…，αn－1线性无关，所以k1=k2=…=kn－1=k0=0，故α1，α2，…，αn－1，ξ1线性无关。知识点解析：暂无解析设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为2，向量α1=(1，－1，0)T，α2=(1，0，－1)T是线性方程组Ax=0的两个解。26、求矩阵A的特征值与特征向量标准答案：因为矩阵A的各行元素之和均为2，所以则λ=2是矩阵A的特征值，α=(1，1，1)T是对应的特征向量。所以对应λ=2的全部特征向量为kα=k(1，1，1)T(k≠0)。向量α1，α2是线性方程组Ax=0的解，所以Aα1=0，Aα2=0，即Aα1=0α1，Aα2=0α2，而且α1，α2线性无关，所以λ=0是矩阵A的二重特征值，α1，α2是其对应的特征向量，因此对应λ=0的全部特征向量为k1α1+k2α2=k1(1，－1，0)T+k2(1，0，－1)T，其中k1，k2不同时为0。知识点解析：暂无解析27、求一个正交矩阵Q，使QTAQ=A为对角阵。标准答案：因为A为实对称矩阵，所以α与α1，α2正交，则只需将α1，α2正交化。由施密特正交化法得，取η2=α1，再将α，η2，η3单位化，得将q1，q2，q3构成正交矩阵则Q－1=QT，且知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第5套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设f(χ)＝，若f(χ)在χ＝0处可导且导数不为零，则k为()．A、3B、4C、5D、6标准答案：C知识点解析：因为f(z)在χ＝0处可导，所以k－2＝3，即k＝5，选C．2、χeχ+1＝的根的个数为()．A、没有根B、恰有一个根C、恰有两个根D、有三个根标准答案：B知识点解析：令f(χ)＝xeχ＋1－，由f′(χ)＝(χ＋1)eχ＋1＝0得χ＝－1，f〞(χ)＝(χ＋2)eχ＋1，由f〞(－1)－1＞0得χ＝－1为最小值点，最小值为m＝f(－1)＝－＜0，方程χeχ＋1＝有且仅有一个根．故选B．3、设函数f(χ)是连续且单调增加的奇函数，φ(χ)＝∫0χ(2u－χ)f(χ－u)du，则φ(χ)是()．A、单调增加的奇函数B、单调减少的奇函数C、单调增加的偶函数D、单调减少的偶函数标准答案：B知识点解析：φ(χ)＝∫0χ(2u－χ)f(χ－u)du＝2∫0χ(χ－u)du－χ∫0χf(χ－u)du＝－2∫0χuf(χ－u)d(χ－u)＋χ∫0χ(χ－u)d(χ－u)2∫χ0(χ－t)f(t)dt＋χ∫χ0f(t)dt＝2∫0χ(χ－t)f(t)dt－χ∫0χf(t)dt＝2χ∫0χf(t)dt－2∫0χtf(t)dt－χ∫0χf(t)dt＝χ∫0χf(t)dt－2∫0χtf(t)dt因为φ(－χ)＝－χ∫0－χf(t)dt－2∫0－χtf(t)dt，χ∫0χf(－u)du－2∫0χ(－u)f(－u)d(－u)＝－χ∫0χf(u)du＋2∫0χuf(u)du＝－φ(χ)，所以φ(χ)为奇函数；又φ′(χ)＝∫0χf(t)dt－χf(χ)，当χ＞0时，φ′(χ)＝∫0χf(t)dt－χf(χ)＝χ[f(ξ)－f(χ)]≤0(0≤ξ≤χ)，当χ≤0时，φ′(χ)＝∫0χf(t)dt－χf(χ)＝χ[f(ξ)－f(χ)]≤0(χ≤ξ≤0)，所以φ(χ)为单调减少的奇函数，选B．4、设函数f(χ)具有一阶导数，下述结论中正确的是()．A、若f(χ)只有一个零点，则f′(χ)必至少有两个零点B、若f′(χ)至少有一个零点，则f(χ)必至少有两个零点C、若f(χ)没有零点，则f′(χ)至少有一个零点D、若f′(χ)没有零点，则f(χ)至多有一个零点标准答案：D知识点解析：若f(χ)至少有两个零点，根据罗尔定理，f′(χ)至少有一个零点，故若f′(χ)没有零点，则f(χ)至多一个零点，选D．5、设函数y＝f(χ)的增量函数△y＝f(χ＋△χ)－f(χ)＝＋o(△χ)，且f(0)＝π，则f(－1)为()．A、πB、πeπC、πD、πe－π标准答案：C知识点解析：由△y＝＋o(△χ)得y＝f(χ)为可导函数，且y′＝或者y′－＝0，则y＝f(χ)＝Cearctanχ，因为f(0)＝π，所以C＝π，于是f(χ)＝πearctanχ，故f(－1)＝π，选C．6、设A为m×n矩阵，且r(A)＝m＜n，则下列结论正确的是()．A、A的任意m阶子式都不等于零B、A的任意m个列向量线性无关C、方程组AX＝b一定有无数个解D、矩阵A经过初等行变换化为(Em0)标准答案：C知识点解析：因为A与都是m行，所以r(A)＝r()＝m＜n，所以方程组AX＝b一定有无数个解，选C．7、设A，B为三阶矩阵且A不可逆，又AB＋2B＝O且r(B)＝2，则｜A＋4E｜＝()．A、8B、16C、2D、0标准答案：B知识点解析：令B＝(α1，α2，α3)，由AB＋2B＝O得Aai＝－2α1i(i＝1，2，3)，由r(B)＝2得λ＝－2至少为A的二重特征值，又由r(A)＜3得λ3＝0，故λ1＝λ2＝－2，λ3＝0，A＋4E的特征值为λ1＝λ2＝2，λ3＝4，故｜A＋4E｜＝16．故选B．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)8、极限＝_______．标准答案：知识点解析：9、设f(χ)二阶可导且满足∫0χt2f(t)dt＝χ3＋f(χ)，则f(χ)＝_______．标准答案：－3＋3知识点解析：对∫0χt2f(t)dt＝χ3f(χ)两边求导得χ2f(χ)＝3χ2＋f′(χ)，整理得f′(χ)－χ2f(χ)＝－3χ2，解得当χ＝0时，f(χ)＝0，于是C＝－3，故f(χ)＝－3＋3．10、＝_______．标准答案：知识点解析：11、y＝y(χ)由确定，则＝_______．标准答案：2(e-1－e-2)知识点解析：当t＝0时，χ＝0，y＝－1，＝2t－1，由tey＋y＋1＝0，得ey＋tey＝0，解得＝－e-1．12、若f(χ)＝2nx(1－χ)n，记Mn＝f(x)，则Mn＝_______．标准答案：知识点解析：令f′(χ)＝2n(1－χ)n－2n2χ(1－χ)n-1＝0，得χ＝，由f(0)＝f(1)＝0，得13、设A＝，且ABAT＝E＋2BAT，则B＝_______．标准答案：知识点解析：由ABAT＝E＋2BAT，得ABAT－(AT)-1AT＋2BAT，因为AT可逆，所以AB＝(AT)-1＋2B或B＝(A－2E)-1(AT)-1[AT(A－2E)]-1，解得B＝．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)14、令χ＝cost(0＜t＜π)将方程(1－χ2)y〞－χy′＋y＝0化为y关于t的微分方程，并求满足y｜χ＝0＝1，y′｜χ＝0＝2的解．标准答案：代入原方程得＋y＝0，该方程的通解为y＝C1cost＋C2sint，原方程的通解为y＝C1χ＋C2，将初始条件y｜χ＝0＝1，y′｜χ＝0＝2代入得C1＝2，C2＝1，故特解为y＝2χ＋．知识点解析：暂无解析15、设方程＝0在变换，下化为＝0，求常数a的值．标准答案：代入整理得从而故a＝－2．知识点解析：暂无解析16、求曲线y＝－χ2＋1上一点P(χ0，y0)(其中χ0≠0)，使过P点作抛物线的切线，此切线与抛物线及两坐标轴所围成图形的面积最小．标准答案：切线方程为y＝－2χ0χ＋χ02＋1，令y＝0，得切线与χ轴的交点为A，令χ＝0，得切线与y轴的交点为B(0，1＋χ02)．1)当χ0＞0时，因为＞0，所以所围成图形面积为因为＞0，所以当χ10＝时，所围成的面积最小，所求的点为P()．2)当χ0＜0时，因为＜0，所以所围成的面积为因为＞0，所以当χ0＝－时，所围成的面积最小，所求点为P()．知识点解析：暂无解析17、设f(χ)在[0，a]上一阶连续可导，f(0)＝0，在(0，a)内二阶可导且f〞(χ)＞0．证明：∫0aχf(χ)dχ＞f(χ)dχ．标准答案：令φ(χ)＝∫0χtf(t)dt－∫0χf(t)dt，φ(0)＝0．因为f〞(χ)＞0，所以f′(χ)单调增加，故f′(ξ)＜f′(χ)，于是φ〞(χ)＞0(0＜χ＜a)．由得φ′(χ)＞0(0＜χ≤a)，再由得φ(χ)＞0(0＜χ≤a)，于是由φ(a)＞0，故∫0aχf(χ)dχ＞∫0af(χ)dχ．知识点解析：暂无解析18、计算二重积分，其中积分区域D＝{(χ，y)｜0≤χ2≤y≤χ≤1}．标准答案：知识点解析：暂无解析19、设u＝f(χ2＋y2，χz)，z＝z(z，y)由eχ＋ey＝ez确定，其中f二阶连续可偏导，求．标准答案：由eχ＋ey＝ez得再由u＝f(χ2＋y2，χz)得＝2χ(2yf〞11＋χey-zy〞12)＋(eyy-z－χeχ+y-2z)f′2＋(z＋χeχ-z)(2yf〞21＋χeyy-zf〞22)＝4χy〞11＋(2χ2eyy-z＋2yz＋2χyeχ-z)f〞12＋(ey-z－χeχ+y-2z)f′2＋χeyy-z(z＋χeχ-z)f〞22．知识点解析：暂无解析20、求微分方程y〞＋y′－2y＝χeχ＋sin2χ的通解．标准答案：特征方程为λ2＋λ－2＝0，特征值为λ1＝－2，λ2＝1，y〞＋y′－2y＝0的通解为y＝C1e-2χ＋C2eχ．设y〞＋y′－2y＝χeχ(*)y〞＋y′＝2y＝sin2χ(**)令(*)的特解为y1(χ)＝(aχ2＋bχ)eχ，代入(*)得a＝，b＝－，由y〞＋y′－2y＝sin2χ得y〞＋y′＝2y＝(1－cos2χ)，显然y〞＋y′－2y＝有特解y＝－．对y〞＋y′－2y＝－cos2χ，令其特解为y＝Acos2χ＋Bsin2χ，代入得，则y2(χ)＝，所以原方程的通解为y＝C1e-2χ＋C2eχ＋知识点解析：暂无解析21、设，讨论当a，b取何值时，方程组AX＝b无解、有唯一解、有无数个解；有无数个解时求通解．标准答案：情形一：a≠0当a≠0且a－b＋1≠0时，方程组有唯一解；当a≠0且a－b＋1＝0时，方程组有无数个解，由得方程组的通解为情形二：a＝0当b≠1时，方程组无解；当b＝1时，方程组有无数个解，由得方程组的通解为知识点解析：暂无解析22、设A为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得QTAQ＝，又α＝且A*α＝α．(Ⅰ)求正交矩阵Q；(Ⅱ)求矩阵A．标准答案：(Ⅰ)显然A的特征值为λ1＝λ2＝－1，λ3＝2，A*的特征值为μ1＝μ2＝－2，μ3＝1．因为α为A*的属于特征值μ3＝1的特征向量，所以α是A的属于特征值λ3＝2的特征向量，令α＝α3．令A的属于特征值λ1＝λ2＝－1的特征向量为ξ＝，因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以－χ1－χ2＋χ3＝0，则A的属于特征值λ1＝λ2＝－1的线性无关的特征向量为知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第6套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)＝F(x)＝∫－1xf(t)dt，则F(x)在x＝0处()A、极限不存在．B、极限存在但不连续．C、连续但不可导．D、可导．标准答案：C知识点解析：法一写出F(x)的表达式进行讨论．由f(x)的表达式知，当x＜0时，F(x)＝∫－1xf(t)dt＝∫－1xf(－t)dt＝当x≥0时，F(x)＝∫－1xf(t)dt＝∫－10f(t)dt＋∫0xf(t)dt＝∫－10(－t)dt＋∫0xetdt＋＝｜－10＋et｜0x＝即由上可知F(x)在x＝0处连续，在看是否可导．所以选(C)．法二有下述定理：设f(x)在[a，b]上除点c∈(a，b)外连续，而点x＝c是f(x)的跳跃间断点．又设F(x)＝∫x0xf(t)dt，x0∈(a，b)．则：①F(x)在[a，b]上必连续；②当x∈[a，b]但x≠c时，F’(x)＝f(x)；③F’(c)必不存在，并且F’﹢(c)＝f(c﹢﹢)，F’－(c)＝f(c－)．在做选择题时可套用此结论．由此定理可知应选(C)．2、当x→0时，下列3个无穷小按后一个无穷小比前一个高阶的次序排列，正确的次序是()A、α，β，γ．B、γ，β，α．C、γ，α，βD、α，γ，β标准答案：D知识点解析：综上所述，无穷小的阶从低到高排列应是α，γ，β，选(D)．3、()A、1．B、0．C、－1．D、﹢∞．标准答案：C知识点解析：4、设f(x，y)＝｜x－y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则“φ(0，0)＝0”是“f(x，y)在点(0，0)处可微”的()A、必要条件而非充分条件．B、充分条件而非必要条件．C、充分必要条件．D、既非充分又非必要条件．标准答案：C知识点解析：先证充分性．设φ(0，0)＝0，由于φ(x，y)在点(0，0)处连续，所以按可微定义，f(x，y)在点(0，0)处可微，且df(x，y)＝0·△x﹢0·△y，即fx’(0，0)＝0，f’(0，0)＝0．再证必要性．设f(x，y)在点(0，0)处可微，则f’x(0，0)与f’y(0，0)必都存在．其中当x→0﹢时，取“﹢”，当x→0－时，取“－”．由于f’x(0，0)存在，所以φ(0，0)＝－φ(0，0)，从而φ(0，0)＝0．证毕．5、设，n＝0，1，2，…．则下列关于an的关系式成立的是()A、an﹢2＝an﹢1﹢an．B、an﹢3＝an．C、an﹢4＝an﹢2﹢an．D、an﹢6＝an．标准答案：D知识点解析：由f(x)＝，得f(0)＝1，再由f(x)(x2－x﹢1)＝x﹢1，(*)两边对x求一阶导数，得f’(x)(x2－x﹢1)﹢f(x)(2x－1)＝1．将x＝0代入，得f’(0)－f(0)＝1，f’(0)＝f(0)﹢1＝2．将(*)式两边对．x求n阶导数，n≥2，有f(n)(x)(x2－x﹢1)﹢C1nfn－1(x)(2x－1)﹢C2n(x)·2＝0，将x＝0代入，得f(n)(0)－C1nfn－1(0)﹢2C2nfn－2(0)＝0，即fn(0)＝nfn－1(0)－n(n－1)f(n－2)(0)，n＝2，3，…．或写成an﹢2＝an﹢1－an，n＝0，1，2，…．(**)现在验算(A)～(D)中哪一个正确．显然，由递推公式(**)知，(A)的左边an﹢2＝an﹢1－an，仅当an＝0时才有(A)的左边等于(A)的右边，故(A)不正确．再验算(B)．(B)的左边an﹢3＝an﹢2－an﹢1＝an﹢1－an－an﹢1＝－an，所以仅当an＝0时，(B)的左边等于(B)的右边，故(B)不正确．再验算(C)．(C)的左边an﹢4＝an﹢3－an﹢2＝an﹢2－an﹢1－an﹢2＝－an﹢1．(C)的右边an﹢2﹢an＝an﹢1－an﹢an＝an﹢1．(C)的左边等于(C)的右边，得an﹢1＝0，n＝0，1，2…．但这不正确．所以(C)也不正确．余下只有(D)．以下可直接验算(D)正确．由已证(**)式，所以对一切n，有an﹢6＝an﹢5－an﹢4＝an﹢4－an﹢3－an﹢4＝－an﹢3，从而an﹢6＝－an﹢3＝－(an)＝an，n＝0，1，2，…．所以(D)正确．6、设A，B，C为常数，则微分方程y”﹢2y’﹢5y＝e－xcos2x有特解形式()A、e－x(A﹢Bcos2x﹢Csin2x)．B、e－x(A﹢Bxcos2x﹢Cxsin2x)．C、e－x(Ax﹢Bcos2x﹢Csin2x)．D、e－x(Ax﹢Bxcos2x﹢Cxsin2x)．标准答案：B知识点解析：原方程可写成y”﹢2y’﹢5y＝．特征方程是r2﹢2r﹢5＝0，特征根r1，2＝－1±2i．对应于自由项e－x的一个特解形式为y1*＝Ae－x．对应于自由项e－xcos2x的一个特解形式为y*2＝xe－x(Bcos2x﹢Csin2x)．所以原方程的一个特解形式为y*1﹢y*2＝e－x(A﹢Bxcos2x﹢Cxsin2x)．故应选(B)．7、已知n维向量组α1，α2，α3，α4是线性方程组Ax＝0的基础解系，则向量组aα1﹢bα4，aα2﹢bα3，aα3﹢bα2，aα4﹢bα1也是Ax＝0的基础解系的充分必要条件是()A、a＝b．B、a≠－b．C、a≠b．D、a≠±b．标准答案：D知