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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知三棱锥且平面,其外接球体积为()A. B. C. D.2.已知关于的方程在区间上有两个根,,且,则实数的取值范围是()A. B. C. D.3.已知,,由程序框图输出的为()A.1 B.0 C. D.4.已知是第二象限的角,,则()A. B. C. D.5.在复平面内,复数(,)对应向量(O为坐标原点),设,以射线Ox为始边,OZ为终边旋转的角为,则,法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理:,,则,由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式:,已知,则()A. B.4 C. D.166.已知双曲线C:()的左、右焦点分别为,过的直线l与双曲线C的左支交于A、B两点.若,则双曲线C的渐近线方程为()A. B. C. D.7.音乐,是用声音来展现美,给人以听觉上的享受,熔铸人们的美学趣味.著名数学家傅立叶研究了乐声的本质,他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述,它们是一些形如的简单正弦函数的和,其中频率最低的一项是基本音,其余的为泛音.由乐声的数学表达式可知,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波.下列函数中不能与函数构成乐音的是()A. B. C. D.8.某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在(单位:元)的同学有34人,则的值为()A.100 B.1000 C.90 D.909.根据最小二乘法由一组样本点(其中),求得的回归方程是,则下列说法正确的是()A.至少有一个样本点落在回归直线上B.若所有样本点都在回归直线上,则变量同的相关系数为1C.对所有的解释变量(),的值一定与有误差D.若回归直线的斜率,则变量x与y正相关10.函数与在上最多有n个交点,交点分别为(,……,n),则()A.7 B.8 C.9 D.1011.某几何体的三视图如图所示,图中圆的半径为1,等腰三角形的腰长为3,则该几何体表面积为()A. B. C. D.12.若实数满足的约束条件,则的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知△ABC得三边长成公比为2的等比数列,则其最大角的余弦值为_____.14.设定义域为的函数满足,则不等式的解集为__________.15.函数的定义域是____________.(写成区间的形式)16.三所学校举行高三联考,三所学校参加联考的人数分别为160,240,400,为调查联考数学学科的成绩,现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本,若在学校抽取的数学成绩的份数为30,则抽取的样本容量为____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)当时,解不等式;(2)设不等式的解集为,若,求实数的取值范围.18.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)把的参数方程化为极坐标方程:(2)求与交点的极坐标.19.(12分)已知椭圆的短轴的两个端点分别为、,焦距为.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线与椭圆有两个不同的交点、,设为直线上一点,且直线、的斜率的积为.证明:点在轴上.20.(12分)(选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系,已知曲线(为参数),在以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;(2)过点且与直线平行的直线交于,两点,求点到,的距离之积.21.(12分)设,函数,其中为自然对数的底数.(1)设函数.①若,试判断函数与的图像在区间上是否有交点;②求证:对任意的,直线都不是的切线;(2)设函数,试判断函数是否存在极小值,若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.22.(10分)某工厂,两条相互独立的生产线生产同款产品,在产量一样的情况下通过日常监控得知,生产线生产的产品为合格品的概率分别为和.(1)从,生产线上各抽检一件产品,若使得至少有一件合格的概率不低于,求的最小值.(2)假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品,以(1)中确定的作为的值.①已知,生产线的不合格产品返工后每件产品可分别挽回损失元和元.若从两条生产线上各随机抽检件产品,以挽回损失的平均数为判断依据,估计哪条生产线挽回的损失较多?②若最终的合格品(包括返工修复后的合格品)按照一、二、三等级分类后,每件分别获利元、元、元,现从,生产线的最终合格品中各随机抽取件进行检测,结果统计如下图;用样本的频率分布估计总体分布,记该工厂生产一件产品的利润为,求的分布列并估算该厂产量件时利润的期望值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
由,平面,可将三棱锥还原成长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而求解.【详解】由题,因为,所以,设,则由,可得,解得,可将三棱锥还原成如图所示的长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以,所以外接球的体积.故选:A【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.2.C【解析】
先利用三角恒等变换将题中的方程化简,构造新的函数,将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题,画出函数图象,再结合,解得的取值范围.【详解】由题化简得,,作出的图象,又由易知.故选:C.【点睛】本题考查了三角恒等变换,方程的根的问题,利用数形结合法,求得范围.属于中档题.3.D【解析】试题分析:,,所以,所以由程序框图输出的为.故选D.考点:1、程序框图;2、定积分.4.D【解析】
利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【详解】因为,由诱导公式可得,,即,因为,所以,由二倍角的正弦公式可得,,所以.故选:D【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.5.D【解析】
根据复数乘方公式:,直接求解即可.【详解】,.故选:D【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法,解题的关键是理解棣莫弗定理,将复数化为棣莫弗定理形式,属于基础题.6.D【解析】
设,利用余弦定理,结合双曲线的定义进行求解即可.【详解】设,由双曲线的定义可知:因此再由双曲线的定义可知:,在三角形中,由余弦定理可知:,因此双曲线的渐近线方程为:.故选:D【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用,考查了余弦定理的应用,考查了双曲线的渐近线方程,考查了数学运算能力.7.C【解析】
由基本音的谐波的定义可得,利用可得,即可判断选项.【详解】由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波,由,可知若,则必有,故选:C【点睛】本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.8.A【解析】
利用频率分布直方图得到支出在的同学的频率,再结合支出在(单位:元)的同学有34人,即得解【详解】由题意,支出在(单位:元)的同学有34人由频率分布直方图可知,支出在的同学的频率为.故选:A【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,考查了学生概念理解,数据处理,数学运算的能力,属于基础题.9.D【解析】
对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】回归直线必过样本数据中心点,但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A错误;所有样本点都在回归直线上,则变量间的相关系数为,故B错误;若所有的样本点都在回归直线上,则的值与相等,故C错误;相关系数r与符号相同,若回归直线的斜率,则,样本点分布应从左到右是上升的,则变量x与y正相关,故D正确.故选D.【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.C【解析】
根据直线过定点,采用数形结合,可得最多交点个数,然后利用对称性,可得结果.【详解】由题可知:直线过定点且在是关于对称如图通过图像可知:直线与最多有9个交点同时点左、右边各四个交点关于对称所以故选:C【点睛】本题考查函数对称性的应用,数形结合,难点在于正确画出图像,同时掌握基础函数的性质,属难题.11.C【解析】
几何体是由一个圆锥和半球组成,其中半球的半径为1,圆锥的母线长为3,底面半径为1,计算得到答案.【详解】几何体是由一个圆锥和半球组成,其中半球的半径为1,圆锥的母线长为3,底面半径为1,故几何体的表面积为.故选:.【点睛】本题考查了根据三视图求表面积,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.12.B【解析】
根据所给不等式组,画出不等式表示的可行域,将目标函数化为直线方程,平移后即可确定取值范围.【详解】实数满足的约束条件,画出可行域如下图所示:将线性目标函数化为,则将平移,平移后结合图像可知,当经过原点时截距最小,;当经过时,截距最大值,,所以线性目标函数的取值范围为,故选:B.【点睛】本题考查了线性规划的简单应用,线性目标函数取值范围的求法,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.-【解析】试题分析:根据题意设三角形的三边长分别设为为a,2a,2a,∵2a>2a>a,∴2a所对的角为最大角,设为θ,则根据余弦定理得考点:余弦定理及等比数列的定义.14.【解析】
根据条件构造函数F(x),求函数的导数,利用函数的单调性即可得到结论.【详解】设F(x),则F′(x),∵,∴F′(x)>0,即函数F(x)在定义域上单调递增.∵∴,即F(x)<F(2x)∴,即x>1∴不等式的解为故答案为:【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用,根据条件构造函数是解决本题的关键.15.【解析】
要使函数有意义,需满足,即,解得,故函数的定义域是.16.【解析】
某层抽取的人数等于该层的总人数乘以抽样比.【详解】设抽取的样本容量为x,由已知,,解得.故答案为:【点睛】本题考查随机抽样中的分层抽样,考查学生基本的运算能力,是一道容易题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)或;(2)【解析】
(1)使用零点分段法,讨论分段的取值范围,然后取它们的并集,可得结果.(2)利用等价转化的思想,可得不等式在恒成立,然后解出解集,根据集合间的包含关系,可得结果.【详解】(1)当时,原不等式可化为.①当时,则,所以;②当时,则,所以;⑧当时,则,所以.综上所述:当时,不等式的解集为或.(2)由,则,由题可知:在恒成立,所以,即,即,所以故所求实数的取值范围是.【点睛】本题考查零点分段求解含绝对值不等式,熟练使用分类讨论的方法,以及知识的交叉应用,同时掌握等价转化的思想,属中档题.18.(1)(2)与交点的极坐标为,和【解析】
(1)先把曲线化成直角坐标方程,再化简成极坐标方程;(2)联立曲线和曲线的方程解得即可.【详解】(1)曲线的直角坐标方程为:,即.的参数方程化为极坐标方程为;(2)联立可得:,与交点的极坐标为,和.【点睛】本题考查了参数方程,直角坐标方程,极坐标方程的互化,也考查了极坐标方程的联立,属于基础题.19.(1);(2)见解析.【解析】
(1)由已知条件得出、的值,进而可得出的值,由此可求得椭圆的方程;(2)设点,可得,且,,求出直线的斜率,进而可求得直线与的方程,将直线直线与的方程联立,求出点的坐标,即可证得结论.【详解】(1)由题设,得,所以,即.故椭圆的方程为;(2)设,则,,.所以直线的斜率为,因为直线、的斜率的积为,所以直线的斜率为.直线的方程为,直线的方程为.联立,解得点的纵坐标为.因为点在椭圆上,所以,则,所以点在轴上.【点睛】本题考查椭圆方程的求解,同时也考查了点在定直线的证明,考查计算能力与推理能力,属于中等题.20.(1)曲线:,直线的直角坐标方程;(2)1.【解析】试题分析:(1)先根据三角函数平方关系消参数得曲线化为普通方程,再根据将直线的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)根据题意设直线参数方程,代入C方程,利用参数几何意义以及韦达定理得点到,的距离之积试题解析:(1)曲线化为普通方程为:,由,得,所以直线的直角坐标方程为.(2)直线的参数方程为(为参数),代入化简得:,设两点所对应的参数分别为,则,.21.(1)①函数与的图象在区间上有交点;②证明见解析;(2)且;【解析】
(1)①令,结合函数零点的判定定理判断即可;②设切点横坐标为,求出切线方程,得到,根据函数的单调性判断即可;(2)求出的解析式,通过讨论的范围,求出函数的单调区间,确定的范围即可.【详解】解:(1)①当时,函数,令,,则,,故,又函数在区间上的图象是不间断曲线,故函数在区间上有零点,故函数与的图象在区间上有交点;②证明:假设存在,使得直线是曲线的切线,切点横坐标为,且,则切线在点切线方程为,即,从而,且,消去,得,故满足等式,令,所以,故函数在和上单调递增,又函数在时,故方程有唯一解,又,故不存在,即证;(2)由得,,,令,则,,当时,递减,故当时,,递增,当时,,递减,故在处取得极大值,不合题意;时,则在递减,在,递增,①当
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