1993年全国初中数学联赛试卷

1993年全国初中数学联赛试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）多项式除以的余式是A．1 B． C． D．2．（4分）对于命题Ⅰ．内角相等的圆内接五边形是正五边形．Ⅱ．内角相等的圆内接四边形是正四边形，以下四个结论中正确的是A．Ⅰ，Ⅱ都对 B．Ⅰ对，Ⅱ错 C．Ⅰ错，Ⅱ对 D．Ⅰ，Ⅱ都错3．（4分）设是实数，．下列四个结论：Ⅰ．没有最小值；Ⅱ．只有一个使取到最小值；Ⅲ．有有限多个（不止一个）使取到最大值；Ⅳ．有无穷多个使取到最小值．其中正确的是A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ4．（4分）（2016•宝山区校级自主招生），其中，，，，是常数，且，则，，，，的大小顺序是A． B． C． D．5．（4分）不等式的整数解的个数A．等于4 B．小于4 C．大于5 D．等于57．（4分）（2009•南充开学）锐角三角形的三边是，，，它的外心到三边的距离分别为，，，那么等于A． B． C． D．8．（4分）可以化简成A． B． C． D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）9．（5分）设为实数，则函数的最小值是．10．（5分）放有小球的1993个盒子从左到右排成一行，如果最左边的盒里有7个小球，且每四个相邻的盒子里共有30个小球，那么最后面的盒子有个球．11．（5分）（2020•浙江自主招生）若方程有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则．12．（5分）锐角三角形中，．以边为直径作圆，与，分别交于，，连接，把三角形分成三角形与四边形，设它们的面积分别为，，则．三、解答题（共3小题，满分48分）13．（16分）设是等腰三角形的垂心．在底边保持不变的情况下，让顶点至底边的距离变小，问这时乘积的值变大？变小？还是不变？证明你的结论．14．（16分）（2020•浙江自主招生）如图，在中，，，，在边、上分别取点、，使线段将分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度．15．（16分）已知方程与各有两个整数根，，和，，且，．（1）求证：，，，；（2）求证：；（3）求，的所有可能的值．

1993年全国初中数学联赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）多项式除以的余式是A．1 B． C． D．【考点】：整式的除法【专题】11：计算题【分析】设除以的余式是，则说明能被整除，从而，求出的两个的值也能使，把的值代入可得关于、的方程组，解即可．【解答】解：设除以的余式是，则可被整除，又，即当或时，，即（1），，由于，（1），，，，解得，，多项式除以的余式是1．【点评】本题考查的是多项式除以多项式，注意理解整除的含义，比如被整除，另外一层意思也就是说，是的公因式，使公因式等于0的值，必是的一个解．2．（4分）对于命题Ⅰ．内角相等的圆内接五边形是正五边形．Ⅱ．内角相等的圆内接四边形是正四边形，以下四个结论中正确的是A．Ⅰ，Ⅱ都对 B．Ⅰ对，Ⅱ错 C．Ⅰ错，Ⅱ对 D．Ⅰ，Ⅱ都错【考点】：正多边形和圆【分析】Ⅰ画出图形，根据圆周角定理即可作出判断；Ⅱ举出反例即可证明原结论错误．【解答】解：Ⅰ．如图所示，五边形的各内角相等，连接、，，，，，，同理可证，此五边形是正五边形．故Ⅰ正确；Ⅱ．例如圆内接矩形，故Ⅱ错误．故选：．【点评】本题考查的是圆内接正多边形的判定及性质，熟知圆周角定理是解答此类题目的关键．3．（4分）设是实数，．下列四个结论：Ⅰ．没有最小值；Ⅱ．只有一个使取到最小值；Ⅲ．有有限多个（不止一个）使取到最大值；Ⅳ．有无穷多个使取到最小值．其中正确的是A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ【考点】：函数最值问题【专题】31：数形结合【分析】的几何意义是表示数轴上点到原点的距离．类似地可知，的几何意义是表示数轴上点到点的距离．所以原问题可转化为求取哪些值时，数轴上点到点1与点的距离之和为最小．【解答】解：从数轴上可知，区间，上的任一点到点1与点的距离之和均为2；区间，之外的点到点1与点的距离之和均大于2．所以函数当时，取得最小值2．Ⅰ、在区间，上取得最小值2；故本选项错误；Ⅱ、在区间，上的任一点到点1与点的距离之和均为2；故本选项错误；Ⅲ、在区间，之外的点到点1与点的距离之和均大于2，且无限大，所以在区间，之外的点没有最大值；故本选项错误；Ⅳ、在区间，上的任一点到点1与点的距离之和均为最小值2，所以有无穷多个使取到最小值．故本选项正确；故选：．【点评】本题考查了函数最值问题．解题时，利用了绝对值的几何意义，借助数形结合，常常会得到妙解．4．（4分）（2016•宝山区校级自主招生），其中，，，，是常数，且，则，，，，的大小顺序是A． B． C． D．【考点】一元一次不等式的应用【专题】转化思想【分析】本方程组牵涉5个未知数，，，，，经观察方程（1）与（2）、（2）与（3）、（3）与（4）、（4）与（5）、（5）与（1）均含有相同的两个未知数，只要做差就会出现，通过的大小关系，即可确定，，，，的大小关系．【解答】解：方程组中的方程按顺序两两分别相减得因为所以，，，，于是有故选：．【点评】本题如果直接比较，，，，的大小关系很难，那么考虑到方程（1）与（2）、（2）与（3）、（3）与（4）、（4）与（5）、（5）与（1）均含有相同的两个未知数，通过比较，，，，的大小就容易的多了，本题要注意并不是任何两个方程都能相减，需要消去两个未知数，保留两个未知数的差，这才是目的．5．（4分）不等式的整数解的个数A．等于4 B．小于4 C．大于5 D．等于5【考点】：一元一次不等式组的整数解【专题】11：计算题【分析】先解，等价于，再解，等价于，求出不等式组的解后即可得出答案．【解答】解：由，原不等式等价于，，分别解得或，，故不等式组的解集为：与，故原不等式的整数解为0，3，4，5．故选：．【点评】本题考查了一元一次不等式组，难度一般，关键是先求出不等式组的解集后再确定整数解的个数．7．（4分）（2009•南充开学）锐角三角形的三边是，，，它的外心到三边的距离分别为，，，那么等于A． B． C． D．【考点】：三角形的外接圆与外心【专题】11：计算题【分析】根据外心的性质可知，，在中，，故，同理可得，，代入中求解．【解答】解：如图经过、、三点，连接、、，则，在中，，，同理可得，，，即．故选：．【点评】本题考查的是三角形外心的性质．重点在于理解圆周角与圆心角的关系，解直角三角形的知识．8．（4分）可以化简成A． B． C． D．【考点】24：立方根；：实数的运算；：负整数指数幂【专题】11：计算题【分析】先把化为的形式，再根据负整数指数幂及实数的运算法则进行计算即可．【解答】解：对原式进行化简，可得原式．由若则原式上下同乘可化为即【点评】本题考查的是负整数指数幂及实数的运算法则，把化为的形式是解答此题的关键．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）9．（5分）设为实数，则函数的最小值是4．【考点】：二次函数的最值【专题】11：计算题【分析】先整理式子得，此时△，得出的范围由此即可求得的最小值．【解答】解：将函数整理为关于的一元二次方程得：，，由为实数，△，化简得出不等式，解得，当取最小值4时，，分式的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了二次函数的最值，难度一般，此类题关键是把原函数式整理化简为关于的一元二次方程．10．（5分）放有小球的1993个盒子从左到右排成一行，如果最左边的盒里有7个小球，且每四个相邻的盒子里共有30个小球，那么最后面的盒子有7个球．【考点】多元一次方程组【专题】方程思想；数据分析观念；运算能力【分析】先由“每四个相邻的盒子里共有30个小球”结合最左边的数为7，建立方程组，求出，进而求出，再判断出1993除以4余1的数，即可得出结论．【解答】解：设从左到右小盒里的球数为：，，，，，，，根据题意得，，③②得，④，将①代入④得，，，同理：为正整数），，，故答案为：7．【点评】此题主要考查了多元一次方程组，根据题意列出方程组是解本题的关键．11．（5分）（2020•浙江自主招生）若方程有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则．【考点】：高次方程【专题】11：计算题【分析】设，原方程变为，设此方程有实根，，根据根与系数的关系即可求出的值．【解答】解：设，原方程变为，设此方程有实根，，则原方程的四个实根为，，由于它们在数轴上等距排列，即，①又，，由此求得且满足△，．故答案为：．【点评】本题考查了解高次方程，难度一般，关键是用换元法求解方程．12．（5分）锐角三角形中，．以边为直径作圆，与，分别交于，，连接，把三角形分成三角形与四边形，设它们的面积分别为，，则．【考点】：圆内接四边形的性质；：相似三角形的判定与性质【专题】11：计算题【分析】由于是直径，连，可得，再过点作，则与的面积可用线段表示出来，进而再由割线定理以及直角三角形边长之间的关系，通过线段之间的转化，即可求解．【解答】解：过点作，连接，由割线定理可得，，，，，，，．故答案为．【点评】本题主要考查了割线定理以及三角形面积的计算问题，能够通过线段之间的转化求解一些简单的问题，对割线定理以及三角形面积的计算应熟练掌握．三、解答题（共3小题，满分48分）13．（16分）设是等腰三角形的垂心．在底边保持不变的情况下，让顶点至底边的距离变小，问这时乘积的值变大？变小？还是不变？证明你的结论．【考点】：切割线定理；：菱形的判定与性质【专题】152：几何综合题；14：证明题【分析】构造以垂心为顶点的菱形（图，并借助于四点共圆是完成本题的一条捷径．【解答】证明：延长至，使，连、、、，易证四边形是菱形，则．因是垂心，故、、、四点共圆，，从而，、、、四点共圆，，又，故．从而（定值）．【点评】本题考查的是切割线定理，菱形的判定和性质，三角形的面积．14．（16分）（2020•浙江自主招生）如图，在中，，，，在边、上分别取点、，使线段将分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度．【考点】：三角形的面积【分析】过作，用表示，求出代数式的最小值即可求出线段的最小长度．【解答】解：为直角三角形，过作于，设，则，，，，，，最小值是12，最小值为，即的最小长度为：．【点评】考查了三角形面积公示的应用，以及化简求最值的能力．15．（16分）已知方程与各有两个整数根，，和，，且，．（1）求证：，，，；（2）求证：；（3）求，的所有可能的值．【考点】&：一元二次方程的整数根与有理根；：根与系数的关系【专题】11：计算题；32：分类讨论【分析】（1）分类讨论，根据，知道与同号，然后利用根与系数的关系求出矛盾，得到正确的结果；（2）分别证明和，利用根与系数的关系和整数根；（3）根据（2）中，分别另、、进行求解，从而得到所有正确的结果．【解答】解：（1）由知，与同号．若，则，这时，所以，此时与矛盾，所以，．同理可证，．（2）由（1）知，，，所以，．由韦达定理，所以．同理有所以，所以．（3）由（2）可知，与的关系有如下三种情况：．由韦达定理知，所以，所以或解得，，所以，．．由韦达定理知，所以，所以，从而，．．由韦达定理知所以，解得，，所以，．综上所述，共有三组解：，，，，．【点评】本题主要考查了一元二次方程的整数根和根与系数的关系，关键是分类讨论时要找到所有的情况．

考点卡片1．立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．【规律方法】平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．2．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．3．整式的除法整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．4．负整数指数幂负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）注意：①a≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．5．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．6．高次方程（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．（2）高次方程的解法思想：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理．换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．7．一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．8．一元一次不等式组的整数解（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．（2）已知解集（整数解）求字母的取值．一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．9．二次函数的最值（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．10．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．11．菱形的判定与性质（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．12．圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．13．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．14．切