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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在中,,,,点满足,则等于()A.10 B.9 C.8 D.72.已知定义在上的奇函数满足:(其中),且在区间上是减函数,令,,,则,,的大小关系(用不等号连接)为()A. B.C. D.3.若(1+2ai)i=1-bi,其中a,b∈R,则|a+bi|=().A. B. C. D.54.公比为2的等比数列中存在两项,,满足,则的最小值为()A. B. C. D.5.已知函数,不等式对恒成立,则的取值范围为()A. B. C. D.6.已知,,则()A. B. C.3 D.47.下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边、直角边,已知以直角边为直径的半圆的面积之比为,记,则()A. B. C.1 D.8.某设备使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)的统计数据分别为,,,,由最小二乘法得到回归直线方程为,若计划维修费用超过15万元将该设备报废,则该设备的使用年限为()A.8年 B.9年 C.10年 D.11年9.从某市的中学生中随机调查了部分男生,获得了他们的身高数据,整理得到如下频率分布直方图:根据频率分布直方图,可知这部分男生的身高的中位数的估计值为A. B.C. D.10.如图,内接于圆,是圆的直径,,则三棱锥体积的最大值为()A. B. C. D.11.如图,用一边长为的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将体积为的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为()A. B. C. D.12.一个四棱锥的三视图如图所示(其中主视图也叫正视图,左视图也叫侧视图),则这个四棱锥中最最长棱的长度是().A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知抛物线的焦点为,斜率为2的直线与的交点为,若,则直线的方程为___________.14.设,则______.15.在棱长为6的正方体中,是的中点,点是面,所在平面内的动点,且满足,则三棱锥的体积的最大值是__________.16.若双曲线的两条渐近线斜率分别为,,若,则该双曲线的离心率为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设函数()的最小值为.(1)求的值;(2)若,,为正实数,且,证明:.18.(12分)设函数,(1)当,,求不等式的解集;(2)已知,,的最小值为1,求证:.19.(12分)已知矩阵不存在逆矩阵,且非零特低值对应的一个特征向量,求的值.20.(12分)在边长为的正方形,分别为的中点,分别为的中点,现沿折叠,使三点重合,构成一个三棱锥.(1)判别与平面的位置关系,并给出证明;(2)求多面体的体积.21.(12分)已知,其中.(1)当时,设函数,求函数的极值.(2)若函数在区间上递增,求的取值范围;(3)证明:.22.(10分)已知.(Ⅰ)当时,解不等式;(Ⅱ)若的最小值为1,求的最小值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
利用已知条件,表示出向量,然后求解向量的数量积.【详解】在中,,,,点满足,可得则==【点睛】本题考查了向量的数量积运算,关键是利用基向量表示所求向量.2.A【解析】因为,所以,即周期为4,因为为奇函数,所以可作一个周期[-2e,2e]示意图,如图在(0,1)单调递增,因为,因此,选A.点睛:函数对称性代数表示(1)函数为奇函数,函数为偶函数(定义域关于原点对称);(2)函数关于点对称,函数关于直线对称,(3)函数周期为T,则3.C【解析】试题分析:由已知,-2a+i=1-bi,根据复数相等的充要条件,有a=-,b=-1所以|a+bi|=,选C考点:复数的代数运算,复数相等的充要条件,复数的模4.D【解析】
根据已知条件和等比数列的通项公式,求出关系,即可求解.【详解】,当时,,当时,,当时,,当时,,当时,,当时,,最小值为.故选:D.【点睛】本题考查等比数列通项公式,注意为正整数,如用基本不等式要注意能否取到等号,属于基础题.5.C【解析】
确定函数为奇函数,且单调递减,不等式转化为,利用双勾函数单调性求最值得到答案.【详解】是奇函数,,易知均为减函数,故且在上单调递减,不等式,即,结合函数的单调性可得,即,设,,故单调递减,故,当,即时取最大值,所以.故选:.【点睛】本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式,参数分离求最值是解题的关键.6.A【解析】
根据复数相等的特征,求出和,再利用复数的模公式,即可得出结果.【详解】因为,所以,解得则.故选:A.【点睛】本题考查相等复数的特征和复数的模,属于基础题.7.D【解析】
根据以直角边为直径的半圆的面积之比求得,即的值,由此求得和的值,进而求得所求表达式的值.【详解】由于直角边为直径的半圆的面积之比为,所以,即,所以,所以.故选:D【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式,考查二倍角公式,属于基础题.8.D【解析】
根据样本中心点在回归直线上,求出,求解,即可求出答案.【详解】依题意在回归直线上,,由,估计第年维修费用超过15万元.故选:D.【点睛】本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用,属于基础题.9.C【解析】
由题可得,解得,则,,所以这部分男生的身高的中位数的估计值为,故选C.10.B【解析】
根据已知证明平面,只要设,则,从而可得体积,利用基本不等式可得最大值.【详解】因为,所以四边形为平行四边形.又因为平面,平面,所以平面,所以平面.在直角三角形中,,设,则,所以,所以.又因为,当且仅当,即时等号成立,所以.故选:B.【点睛】本题考查求棱锥体积的最大值.解题方法是:首先证明线面垂直同,得棱锥的高,然后设出底面三角形一边长为,用建立体积与边长的函数关系,由基本不等式得最值,或由函数的性质得最值.11.D【解析】
先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离,再加上侧面三角形的高,即可求解.【详解】设四个支点所在球的小圆的圆心为,球心为,由题意,球的体积为,即可得球的半径为1,又由边长为的正方形硬纸,可得圆的半径为,利用球的性质可得,又由到底面的距离即为侧面三角形的高,其中高为,所以球心到底面的距离为.故选:D.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征,以及球的性质的综合应用,着重考查了数形结合思想,以及推理与计算能力,属于基础题.12.A【解析】
作出其直观图,然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可.【详解】根据三视图作出该四棱锥的直观图,如图所示,其中底面是直角梯形,且,,平面,且,∴,,,,∴这个四棱锥中最长棱的长度是.故选.【点睛】本题考查了四棱锥的三视图的有关计算,正确还原直观图是解题关键,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
设直线l的方程为,,联立直线l与抛物线C的方程,得到A,B点横坐标的关系式,代入到中,解出t的值,即可求得直线l的方程【详解】设直线.由题设得,故,由题设可得.
由可得,
则,从而,得,所以l的方程为,故答案为:【点睛】本题主要考查了直线的方程,抛物线的定义,抛物线的简单几何性质,直线与抛物线的位置关系,属于中档题.14.121【解析】
在所给的等式中令,,令,可得2个等式,再根据所得的2个等式即可解得所求.【详解】令,得,令,得,两式相加,得,所以.故答案为:.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,考查学生分析问题的能力,属于基础题,难度较易.15.【解析】
根据与相似,,过作于,利用体积公式求解OP最值,根据勾股定理得出,,利用函数单调性判断求解即可.【详解】∵在棱长为6的正方体中,是的中点,点是面所在平面内的动点,且满足,又,∴与相似∴,即,过作于,设,,∴,化简得:,,根据函数单调性判断,时,取得最大值36,,在正方体中平面.三棱锥体积的最大值为【点睛】本题考查三角形相似,几何体体积以及函数单调性的综合应用,难度一般.16.2【解析】
由题得,再根据求解即可.【详解】双曲线的两条渐近线为,可令,,则,所以,解得.故答案为:2.【点睛】本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)证明见解析【解析】
(1)分类讨论,去绝对值求出函数的解析式,根据一次函数的性质,得出的单调性,得出取最小值,即可求的值;(2)由(1)得出,利用“乘1法”,令,化简后利用基本不等式求出的最小值,即可证出.【详解】(1)解:当时,单调递减;当时,单调递增.所以当时,取最小值.(2)证明:由(1)可知.要证明:,即证,因为,,为正实数,所以.当且仅当,即,,时取等号,所以.【点睛】本题考查绝对值不等式和基本不等式的应用,还运用“乘1法”和分类讨论思想,属于中档题.18.(1)或;(2)证明见解析【解析】
(1)将化简,分类讨论即可;(2)由(1)得,,展开后再利用基本不等式即可.【详解】(1)当时,,所以或或解得或,因此不等式的解集的或(2)根据,当且仅当时,等式成立.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、利用基本不等式证明不等式问题,考查学生基本的计算能力,是一道基础题.19.【解析】
由不存在逆矩阵,可得,再利用特征多项式求出特征值3,0,,利用矩阵乘法运算即可.【详解】因为不存在逆矩阵,,所以.矩阵的特征多项式为,令,则或,所以,即,所以,所以【点睛】本题考查矩阵的乘法及特征值、特征向量有关的问题,考查学生的运算能力,是一道容易题.20.(1)平行,证明见解析;(2).【解析】
(1)由题意及图形的翻折规律可知应是的一条中位线,利用线面平行的判定定理即可求证;(2)利用条件及线面垂直的判定定理可知,,则平面,在利用锥体的体积公式即可.【详解】(1)证明:因翻折后、、重合,∴应是的一条中位线,∴,∵平面,平面,∴平面;(2)解:∵,,∴面且,,,又,.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理,线面垂直的判定定理及锥体的体积公式,属于基础题.21.(1)极大值,无极小值;(2).(3)见解析【解析】
(1)先求导,根据导数和函数极值的关系即可求出;(2)先求导,再函数在区间上递增,分离参数,构造函数,求出函数的最值,问题得以解决;(3)取得到,取,可得,累加和根据对数的运算性和放缩法即可证明.【详解】解:(1)当时,设函数,则令,解得当时,,当时,所以在上单调递增,在上单调递减所以当时,函数取得极大值,即极大值为,无极小值;(2)因为,所以,因为在区间上递增,所以在上恒成立,所以在区间上恒成立.当时,在区间上恒成立,当时,,设,则在区间上恒成立.所以在单调递增,则,所以,即综上所述.(3)由(2)可知当时,函数在区间上递增,
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