初中圆题型总结

圆的基本题型

纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择

题的形式考查并占有一定的分值；一般在10分一15分左右，圆的有关性质，如

垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形

式考查；利用圆的知识与其他知识点如代数函数，方程等相结合作为中考压轴题

将会占有非常重要的地位，另外与圆有关的实际应用题，阅读理解题，探索存在

性问题仍是热门考题，应引起注意.下面究近年来圆的有关热点题型，举例解析

如下。

一、圆的性质及重要定理的考查

基础知识链接：（1）垂径定理；（2）同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关

系.（3）圆周角定理及推论（4）圆内接四边形性质

【例1】（江苏镇江）如图，A5为。0直径，CD为弦,且CDJ_A5,垂足为

（1）NOCD的平分线CE交。。于E,连结OE.求证：E为弧ADB的中点;

（2）如果。。的半径为1,CD=V3,

①求。到弦AC的距离;

②填空：此时圆周上存在.个点到直线AC的距离为工.

【解析】(1)VOC=OE,ZE=ZOCE

又ZOCE=ZDCE,/.NE=NDCE.

OE//CD.

XCD1AB,.-.ZAOE=ZBOE=90°.

.,.E为弧ADB的中点.

(2)CDLAB,A5为。0的直径，CD=6，

1c-r

-,CH=-CD=^-.又OC=1,...sinNCOB=&2』

22OC12

ZCOB=60°,ABAC=30°.

作。PLAC于P,则==

22

②3.

【点评】本题综合考查了利用垂径定理和勾股定理及锐角三角函数求解问题的

能力.运用垂径定理时，需添加辅助线构造与定理相关的“基本图形”.

几何上把圆心到弦的距离叫做弦心距,本题的弦心距就是指线段0D的长.在圆中

解有关弦心距半径有关问题时,常常添加的辅助线是连半径或作出弦心距,把垂

径定理和勾股定理结合起来解题.如图，©0的半径为弦心距为d,弦长。之间

的关系为/=/+/；根据此公式，在八d三个量中，知道任何两个量就可

以求出第三个量.平时在解题过程中要善于发现并运用这个基本留形.0

【例2】（安徽芜湖）如图，已知点£是圆。上的点，A/A

反。分别是劣弧AD的三等分点，ZBOC=460,\\0/]

则ZAa的度数为一

【解析】由反。分别是劣弧的三等分点知，圆心角/AOB=NBOC=/COD,

又建50c=46°,所以NA0D=138°.

根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。从而有NAEO=69°.

点评本题根据同圆或等圆中的圆心角、圆周角的关系。

【强化练习】

【1】.如图，。。是ABC的外接圆，NA4c=60。，AD,CE分别是BC,AB上的高,

且AD,CE交于点H,求证：AH=A0

⑴如图，在。0中，弦ACJ_BD,0E±AB,垂足为E,求证：0E=1cD

⑵如图，AC,BD是。0的两条弦，且ACBD,。。的半径为自求AB,+CD?的值。

D

【2】(第25题)如图，。。是4ABC的外接圆，弦BD交AC于点E,连接CD,且AE=DE,

BC=CE.

(1)求/ACB的度数；

(2)过点O作OF_LAC于点F,延长FO交BE于点G,DE=3,EG=2,求AB的长.

二、直线与圆的位置关系

基础知识链接：

1、直线与圆的位置关系有三种：

⑴如果一条直线与一个圆没有公共点,那么就说这条直线与这个圆相离.

⑵如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么就说这条直线与这个圆相切，止匕

时这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点.

⑶如果一条直线与一个圆有两个公共点,那么就说这条直线与这个圆相交,此时

这条直线叫做圆的割线,这两个公共点叫做交点.

2、直线与圆的位置关系的判定；

3、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；

4.和圆有关的比例线段

(1)相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；

(2)推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的

比例中项；

(3)切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交

点的两条线段长的比例中项；

(4)推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条

线段长的积相等。

5.三角形的内切圆

(1)有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的

内切圆、圆的外切多边形；

6、圆的切线的性质与判定。

CCr=AC-BCHCD^CE'OCDCOE♦£C且血=屹-AE

u

AC-BC=CE，OCOE,EC=BE-AE

【例1】(甘肃兰州)如图，四边形ABCD内接于。0,3。是。0的直径，AE1CD,

垂足为E,DA平分NBDE.

(1)求证：AE是。0的切线；

(2)若NDBC=30°,DE=1cm,求3。的长.

【解析】(1)证明：连接04,•••DA平分N3DE,/.ZBDA=ZEDA.

•/0A=0D,Z0DA=N0AD.Z0AD=ZEDA.

0A//CE.

•/AEIDE,ZAED=9Q°,ZOAE=ZDEA=90°.

AELOA.,AE是。0的切线.

(2)♦.•3。是直径，ZBCD=ZBAD=90°.

vZDBC=3Q°,ZBDC=60°,ZBDE=120°.

•/DA平分ZBDE,/.ZBDA=ZEDA=60°.

ZABD=ZEAD=30°.

在RtZXAED中，ZAED=9Q°,ZEAD=30°,/.AD=IDE.

在中，NBAD=90°,ZABD=30°,/.BD=2AD=4DE.

•/DE的长是1cm,BD的长是4cm.

【点评】证明圆的切线，过切点的这条半径为必作辅助线.即经过半径的外端且

垂直于这条半径的直线是圆的切线.

【例2】(广东茂名)如图，。。是△"a'的外接圆，且力后4C,点。在弧欧上运

动，过点、D炸DE”BC,"交46的延长线于点£,连结力久BD.

(1)求证：2幻炉/£；

(2)当点。运动到什么位置时，鹿是。。的切线？请说明理由.B

(3)当/斤5,旅6时，求。。的半径.(4分)

【解析】(1)在△"比1中，•:AB=AC,

：.AABOAC.

'：DE//BC,:./ABO/E,

斤NC.

又•：/AD氏4C,

，/ADF/E.

(2)当点。是弧比'的中点时，/应是。〃的切线.

理由是：当点。是弧比'的中点时，则有且H〃过圆心。.

又,：DE〃BC,：.ADVED.

：.应'是。。的切线.

(3)连结加、A0,并延长月。交a1于点尸,

则4a式；且於工旅3.

2

又

设。。的半径为r,在Rt△眺中，0户4—r,OB^r,B户3,

r2=32+(4-r)2

解得，=仝25，二。。的半径是245.

88

【点评】本题综合运用了等腰三角形的性质，圆的切线判定，解题最关键是抓

住题中所给的已知条件，构造直角三角形，探索出不同的结论.

【例4】已知：如图7,点P是半圆0的直径BA延长线上的点，PC切半圆于C

点，CDLAB于D点，若PA：PC=1：2,DB=4,求tanNPCA及PC的长。

图7

证明：连结CB

:PC切半圆0于C点，.../PCA=NB

VZP=ZP,AAPAC^APCB

AAC：BC=PA：PC

,iACPA\

ton=ton3n=----=-----=—

BCPC2

VAB是半圆0的直径，NACB=90°

XVCD1AB

AC2AD*ABAD,门AC25D=1X4=1

-7-=----=-，A.L)-------

・•・BC2BD*ABBDBC24

...AB=AD+DB=5

22

7PC=PA*PB,：.(2PA)=PA(PA+5)

PA=-,：.PC=2PA=—

33

【例5】已知：如图8,在Rt^ABC中，NB=90°,NA的平分线交BC于点D,

E为AB上的一点，DE=DC,以D为圆心，DB长为半径作。D。

求证：(1)AC是。D的切线；

(2)AB+EB=AC

分析：(1)欲证AC与。D相切，只要证圆心D到AC的距离等于。D的半径BD。

因此要作DFXAC于F

(2)只要证AC=AF+FC=AB+EB,证明的关键是证BE=FC,这又转化为证4EBD

^△CFDo

证明：(1)如图8,过D作DFLAC,F为垂足

：AD是NBAC的平分线，DB±AB,；.DB=DF

点D到AC的距离等于圆D的半径

...AC是。D的切线

(2)VAB1BD,OD的半径等于BD,

；.AB是。D的切线，...AB=AF

在RtABED和RtZxFCD中,ED=CD,BD=FD

AABED^AFCD,ABE=FC

；.AB+BE=AF+FC=AC

小结：有关切线的判定，主要有两个类型，若要判定的直线与已知圆有公共点,

可采用“连半径证垂直”的方法；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出,

可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法。此例题属于后一类

【例6】已知：如图9,AB为。0的弦，P为BA延长线上一点，PE与。0相切

C2

于点E,C为中点，连CE交AB于点F。求证：PF=川•产8

分析：由已知可得PE?=PA•PB,因此要证PF?=PA•PB,只要证PE=PF。

即证NPFE=NPEF。

证明一：如图9,作直径CD,交AB于点G,连结ED,

...NCED=90°

c

•点C为的中点，ACDIAB,，NCFG=/D

;PE为。0切线，E为切点

NPEF=ND,；.NPEF=NCFG

：NCFG=NPFE,,NPFE=NPEF,APE=PF

PE2=PA•PB,，PF2=PA•PB

证明二：如图9—1,连结AC、AE

ccc

•.•点C是jR的中点，AAC=BC,，NCAB=NAEC

：PE切。0于点E,.•.NPEA=/C

VZPFE=ZCAB+ZC,NPEF=NPEA+NAEC

...NPFE=NPEF,APE=PF

PE2=PA•PB,PF2=PA•PB

【例7】（1）如图10,已知直线AB过圆心0,交。。于A、B,直线AF交。0

于F（不与B重合），直线/交。。于C、D,交BA延长线于E,且与AF垂直，

垂足为G,连结AC、AD

求证：①NBAD=NCAG；

②AC•AD=AE•AF

（2）在问题（1）中，当直线,向上平行移动，与。。相切时，其它条件不变。

①请你在图10-1中画出变化后的图形，并对照图10标记字母；

②问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果

不成立，请说明理由。

证明：（1）①连结BD

VAB是。0的直径，,NADB=90°

NAGC=NADB=90°

又...ACDB是。0内接四边形

，NACG=NB,AZBAD=ZCAG

②连结CF

NBAD=ZCAG,NEAG=ZFAB

NDAE=NFAC

又：/ADC=NF,A△ADEAFC

AD_AE

：.AF~AC,.-.AC•AD=AE•AF

(2)①见图10-1

②两个结论都成立，证明如下：

①连结BC,

：AB是直径，AZACB=90°

NACB=NAGC=90°

•.•GC切。0于C,NGCA=ZABC

ZBAC=ZCAG(即ZBAD=ZCAG)

②连结CF

/CAG=ZBAC,NGCF=ZGAC,

.\ZGCF=ZCAE,NACF=NACG—NGFC,NE=NACG—NCAE

AC_AF

：.ZACF=ZE,AAACF^AAEC,AAE~AC

.\AC2=AE•AF(即AC•AD=AE•AF)

说明：本题通过变化图形的位置，考查了学生动手画图的能力，并通过探究式的

提问加强了对学生证明题的考查，这是当前热点的考题，希望引起大家的关注。

【强化练习】

【1】(第22题)如图，。。的直径为10cm,弦BC为D、E分别是/ACB的平分

线与。O,AB的交点，尸为AB延长线上一点，＜PC=PE.

(1)求AC、AO的长；(2)试判断直线尸C与。O的位置关系，并说明理由.

[2](第23题)如图，在△ABC中，ZC=90°,/ABC的平分线交AC于点E,过点E作

BE的垂线交AB于点尸，。。是的外接圆.

(1)求证：AC是。。的切线.

(2)过点E作于点H,求证：CD=HF.

【3】(第25题)如图，在。O中，AB,CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD,BC,

BD.

(1)求证：AABD^ACDB；

(2)若/DBE=37。，求/ADC的度数.

[4](第24题)如图，AB为0O的直径，PD切0O于点C,交AB的延长线于点D,且

ZD=2ZCAD.

(1)求ND的度数；

(2)若CD=2,求BD的长.

【5】(第27题)如图，中，ZABC=90°,以AB为直径作半圆。。交AC与点D,

点£为BC的中点，连接DE.

(1)求证：OE是半圆0O的切线.(2)若/BAC=30。，DE=2,求的长.

三、圆与圆的位置关系的考查

基础知识链接：如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,如图（1）、（2）、

⑶所示.其中⑴又叫做外离，⑵、⑶又叫做内含.⑶中两圆的圆心相同，这

两个圆还可以叫做同心圆.

如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,如图（4）、⑸所示.其中⑷

又叫做外切，（5）又叫做内切.如果两个圆只有两个公共点，那么就说这两个圆相

交,如图（6）所示.

【例11（甘肃兰州）.如图是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮

所在圆的位置关系是（）

A.内含B.相交C.相切D.外离

【解析】图中的两圆没有公共点，且一个圆上的所有点都在另一个圆的外部,

故两圆外离，选D.

【点评】圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含.其关系可

以用圆与圆公共点的个数及点与圆的位置关系来判定，也可以用数量关系来表

示圆与圆的位置关系：

如果设两圆的半径为小弓，两圆的圆心距为由则圆与圆的位置关系与数量关系

如下表

两圆的位置关系数量关系及其识别方法

外离*〉门+^2

外切d=ri+f2

相交ri-r2〈d〈ri+之&i

内切d=r\-r2（r\》之）

内含）唠

【例2】（赤峰市）如图（1）,两半径为厂的等圆。（X和。O?相交于N两点,

且。02过点。「过航点作直线A3垂直于MN,分别交。01和。。2于43两点,

连结N4,NB.

（1）猜想点2与。0】有什么位置关系，并给出证明；

（2）猜想△MIB的形状，并给出证明；

（3）如图（2）,若过M的点所在的直线A3不垂直于MN,且点A3在点

M的两侧，那么（2）中的结论是否成立，若成立请给出证明.

M

图⑴图(2)

【解析】解：（1）Q在口。上

证明：过点。1，.•.。1。2=厂.\

/

又。01的半径也是「，.•.点。2在。01上.

（2）ZXMIB是等边三角形

证明：•/MNLAB,ZNMB=ZNMA=9Q°.

.•.3N是。O2的直径，AN是。0i的直径，厂

^BN=AN=2r,Q在BN上，。在A7V上.（Ox

连结。。2，则。02是ANAB的中位线.

M-

图(2)

AB=2OQ,=2r.

AB=BN=AN,则ANAB是等边三角形.

（3）仍然成立.

证明：由（2）得在。0】中弧MN所对的圆周角为60°.

在。中弧MN所对的圆周角为60°..•.当点43在点M的两侧时,

在。Ch中弧MN所对的圆周角NMAN=60°,在。O2中弧MN所对的圆周角

NMBN=60°,

.•.△N4B是等边三角形.

注：（2）,（3）是中学生猜想为等腰三角形证明正确给一半分.

【点评】相交两圆的连心线垂直平分公共弦，又且。过点构建对称性知，

。01过再证ANAB是等腰三角形；（2）1是的基础上发散探究，具有一定的

开放性.

四、圆与多边形的计算考查

基础知识链接：

1、圆与正多边形的关系的计算；

2、弧长、扇形面积、圆锥侧面积全面积的计算.

【例1］（赣州）小芳随机地向如图所示的圆形簸箕内撒了几把豆子，则豆子落

到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率是

【解析】设圆的半径为1,则圆的面积为万，易算得正方形的边长为行，正方形

面积为2,则豆子落到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率是三.

71

【点评】本题考查的是几何概率，解题的关键是圆与圆内接正方形的面积，根据

古典概型，可转化为面积之比.

【例2］两同心圆，大圆半径为3，小圆半径为1,则阴影部分面积为

【解析】根据大、小圆的半径，可求得圆环的面积为8小图中的阴影面积为圆

环面积的一半4万.

【点评】有关面积计算问题，不难发现，一些不规则的图形可转化为规则的图形

计算，本题就较好的体现了转化方法和整体思想.

五、圆的综合性问题的考查

基础知识链接：圆的有关知识与三角函数、一次函数、二次函数等综合应用。

【例1】如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点0,且与x轴、y轴分别相

交于A(-8,0)、3(0,-6)两点.

（1）求出直线AB的函数解析式；

（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M,顶点C在。M上，开口向

下，且经过点B,求此抛物线的函数解析式；

（3）设（2）中的抛物线交x轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P,使得

SAPDEM^SMBC?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由•

L\rULL]Q'

【解析】（1）设AB的函数表达式为y=kr+h

0=~~8k+b,.

,/A(-8,0),B(0,-6),

-6=b.

3/、

直线AB的函数表达式为y=——x-6.

（2）设抛物线的对称轴与。M相交于一点，依题意知这一点就是抛物线的顶点C。

又设对称轴与x轴相交于点N,在直角三角形A0B中，

AB=^AO2+OB2=&2+6?=io.

因为。M经过0、A、B三点，且NAOB=90°".A3为。M的直径，二半径MA=5,

；.N为A0的中点AN=N0=4,MN=3CN=MC-MN=5-3=2,...C点的坐标为（一4,2）.

设所求的抛物线为丁=。/+法+。

贝！J<2=16〃—4b+c,.，・<b=—4,

—6=c.c=—6.

•••所求抛物线为J=-1X2-4X-6

(3)令一工——4x—6.=0,得D、E两点的坐标为D(-6,0)、E(-2,0),所以

2

DE=4.

又AC=2逐,3C=46,.•.直角三角形的面积=g・26・4斯=20.

假设抛物线上存在"(x,y)使得SAPDE=±5,o，即3・。石・国=，・20,二丁=±1.

当丁=1时，x=-4±四;当y=-1时，x=-4±布.故满足条件的存在.它们是

P\卜4+a,1),鸟卜4一0,1)出卜4+6,—1),巴卜4一遍1卜

【点评】本题是一次函数、二次函数与圆的综合性问题，解题的关键是抓住图

形中的点的坐标，运用待定系数数的方法求出解析式；

【例2】(第27题)如图，在。0的内接AABC中，NACB=90°,AC=2BC,过C

作AB的垂线1交。。于另一点D,垂足为E.设P是同上异于A,C的一个动点,

射线AP交1于点F,连接PC与PD,PD交AB于点G.

(1)求证：ZXPACs/XPDF；

(2)若AB=5,AP=BP-求PD的长；

(3)在点P运动过程中，设修生x,tanZAFD=y,

BG

求y与x之间的函数关系式.(不要求写出x的取值范围)

圆的综合题

(1)证明相似，思路很常规，就是两个角相等或边长成比例.因为题中因

圆周角易知一对相等的角，那么另一对角相等就是我们需要努力的方向，

因为涉及圆，倾向于找接近圆的角NDPF,利用补角在圆内作等量代换，等

弧对等角等知识易得NDPF=NAPC,则结论易证.

(2)求PD的长，且此线段在上问已证相似的4PDF中，很明显用相似得

成比例，再将其他边代入是应有的思路.利用已知条件易得其他边长，则

PD可求.

(3)因为题目涉及NAFD与也在第一问所得相似的4PDF中，进而考虑转

化，ZAFD=ZPCA,连接PB得NAFD=NPCA=NPBG,过G点作AB的垂线，

若此线过PB与AC的交点那么结论易求，因为根据三角函数或三角形与三

角形ABC相似可用AG表示NPBG所对的这条高线.但是“此线是否过PB

与AC的交点”？此时首先需要做的是多画几个动点P,观察我们的猜想.验

证得我们的猜想应是正确的，可是证明不能靠画图，如何求证此线过PB与

AC的交点是我们解题的关键.常规作法不易得此结论，我们可以换另外的

辅助线作法，先做垂线，得交点H,然后连接交点与B,再证明

ZHBG=ZPCA=ZAFD.因为C、D关于AB对称，可以延长CG考虑P点的对

称点.根据等弧对等角，可得NHBG=NPCA,进而得解题思路.

(1)证明：•••众=会，

AZDPF=1800-ZAPD=180°-卷所对的圆周角=180°-京所对的圆周

角=3而所对的圆周角二/APC.

在APAC和4PDF中，

[NAPC=NDPF,

IZPAC=ZPDF，

AAPAC^APDF.

(2)解：如图1,连接P0,则由会二或，有PO_LAB,且NPAB=45°,△APO、

△AEF都为等腰直角三角形.

在RtZXABC中，

VAC=2BC,

.*.AB2=BC2+AC2=5BC2,

VAB=5,

；.AC=2巡，

CE=AC•sinNBAC=AC•强2粕・运2,

AB5

AE=AC•cosNBAC=AC•空=2旄•"??/良4,

AB5

,.•△AEF为等腰直角三角形，

.•.EF=AE=4,

.\FD=FC+CD=(EF-CE)+2CE=EF+CE=4+2=6.

•.♦△APO为等腰直角三角形，AO=・AB=,

AAP=5V2

2

•.'△PDFs△PAC,

•PDPA

••丽qr

5A/2

•PDF

62^5

...PD=3何.

2

(3)解：如图2,过点G作GH_LAB,交AC于H,

圆，连接CG并延长交。。于Q,

VHCXCB,GHXGB,

；.C、G都在以HB为直径的圆上，

ZHBG=ZACQ,

•.＜、D关于AB对称，G在AB上，

；.Q、P关于AB对称,

:.AP=AQ>

ZPCA=ZACQ,

，ZHBG=ZPCA.

VAPAC^APDF,

/PCA=/PFD=/AFD,

y=tanNAFD=tanNPCA=tanNHBG=—.

BG

HG=tanZHAG•AG=tanZBAC•AG=—.AG二工•AG,

3嗡x.

本题考查了圆周角、相似三角形、三角函数等性质，前两间思路还算简单，

但最后一问需要熟练的解题技巧需要长久的磨练总结.总体来讲本题偏难，

学生练习时加强理解，重点理解分析过程，自己如何找到思路._

【例3】（第24题）如图①，已知：在矩形ABCD的边AD上有一点0,0A=Jj,

以0为圆心,0A长为半径作圆，交AD于M,恰好与BD相切于H,过H作弦HP〃AB,

弦HP=3.若点E是CD边上一动点（点E与C,D不重合），过E作直线EF〃BD

交BC于F,再把4CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为G.设CE=x,AEFG

与矩形ABCD重叠部分的面积为S.

（1）求证：四边形ABHP是菱形；

（2）问4EFG的直角顶点G能落在。0上吗？若能，求出此时x的值；若不能，

请说明理由；

（3）求S与x之间的函数关系式，并直接写出FG与。。相切时，S的值.

图①图②（备用图）

第3题图

考点：圆的综合题；含30度角的直角三角形；菱形的判定；矩形的性质；垂径

定理；切线的性质；切线长定理；轴对称的性质；特殊角的三角函数值所有

专题：压轴题.

分析：（1）连接0H,可以求出NH0D=60°,ZHD0=30°,从而可以求出AB=3,

由HP〃AB,HP=3可证到四边形ABHP是平行四边形，再根据切线长定理可得

BA=BH,即可证到四边形ABHP是菱形.

（2）当点G落到AD上时，可以证到点G与点M重合，可求出x=2.

（3）当0WxW2时，如图①，S=S△晚，只需求出FG,就可得到S与x之间的函

数关系式；当2VxW3时，如图④，S=SAGEF-SASGR,只需求出SG、RG,就可得到

S与x之间的函数关系式.当FG与。。相切时，如图⑤，易得FK=AB=3,KQ=AQ

-AK=2-2'小，金.再由FK=VsKQ即可求出x,从而求出S.

解答：解：（1）证明：连接0H,如图①所示.

•.•四边形ABCD是矩形，

AZADC=ZBAD=90°,BC=AD,AB=CD.

：HP〃AB,

AZANH+ZBAD=180°.

ZANH=90°.

.\HN=PN=HP=.

图①

V0H=0A=V3-

.\sinZH0N=™=2Zl.

OH2

ZH0N=60°

•••BD与。。相切于点H,

AOHIBD.

AZHD0=30°.

00=2-73，

/.AD=3A/3，

，BC=3石.

VZBAD=90°,ZBDA=30°.

tan/BDA=^=—立.

AD3733

.\AB=3.

VHP=3,

.\AB=HP.

：AB〃HP,

四边形ABHP是平行四边形.

VZBAD=90°,AM是。0的直径，

...BA与。0相切于点A.

•••BD与。。相切于点H,

.\BA=BH.

•••平行四边形ABHP是菱形.

(2)aEFC的直角顶点G能落在。。上.

如图②所示，点G落到AD上.

：EF〃BD,

ZFEC=ZCDB.

ZCDB=90°-30°=60°,

AZCEF=60°.

由折叠可得：NGEF=NCEF=60°.

AZGED=60°.

VCE=x,

/.GE=CE=x.ED=DC-CE=3-x.

.,.cos/GED=%"J.

GEx

/.x=2.

AGE=2,ED=1.

.".GD=V3.____

OG=AD-AO-GD=3^/5-V3-

.\OG=OM.

...点G与点M重合.

此时4EFG的直角顶点G落在。0上，对应的x的值为2.

当4EFG的直角顶点G落在。0上时，对应的x的值为2.

（3）①如图①，

在RtAEGF中，

t…嘴詈⑥

,FG二«x.

・'.S=GE•FG=x•A/3X=2Z^X2.

2

②如图③，

ED=3-x,RE=2ED=6-2x,

GR=GE-ER=x-(6-2x)=3x-6.

tanZSRG=i2=SG=J1,

_RG3x-63

ASG=V3(x-2).

••SASGR=SG*RG=«V3(x-2)•(3x-6).

=2^1(x-2)2.

2

2

••S=SAGEF一SASGR

=®2_型(x-2)2.

22_

=--6-73.

综上所述：当0WxW2时,S=2Z^x2；当2<xW3时，S=-V3X2+6-73X-6a.

2

当FG与。。相切于点T时,延长FG交AD于点Q,过点F作FKJ_AD,垂足为K,

如图④所示.

•四边形ABCD是矩形，

.•.BC〃AD,ZABC=ZBAD=90°

AZAQF=ZCFG=60°.

V0T=V3-

.\0Q=2.

AQ=\f^~2.

,：ZFKA=ZABC=ZBAD=90°,

四边形ABFK是矩形._

FK=AB=3,AK=BF=3A/3-历•

KQ=AQ-AK=-(3-y3-=2-2后代.

在RtZXFKQ中，tanNFQK=奥V5.

_QK

/.FK=V3QK.__

：.3=息(2-2后后).

解得：x=3-2V3.

3

70^3-

3

.\S=^x2=^X(3-2^)2

223

=31V3.6.

6_

，FG与。。相切时，S的值为31遥-6.

6

点评：本题考查了矩形的性质、菱形的性质、切线的性质、切线长定理、垂径

定理、轴对称性质、特殊角的三角函数值、30°角所对的直角边等于斜边的一半、

等腰三角形的性质等知识，综合性非常强.

【例4】(第23题)如图1,在。0中，E是弧AB的中点，C为。0上的一动点(C

与E在AB异侧)，连接EC交AB于点F,EB=2(r是。0的半径).

3

(1)D为AB延长线上一点，若DC=DF,证明：直线DC与。0相切；

(2)求EF・EC的值；

(3)如图2,当F是AB的四等分点时，求EC的值.

圆的综合题..

(1)连结0C、0E,0E交AB于H,如图1,由E是弧AB的中点，根据垂径

定理的推论得到0E1AB,则NHEF+NHFE=90°,由对顶相等得NHFE=NCFD,

则NHEF+NCFD=90°,再由DC=DF得NCFD=NDCF,加上N0CE=N0EC,所

以N0CE+NDCE=NHEF+NCFD=90°,于是根据切线的判定定理得直线DC与

。。相切；

(2)由弧AE=MBE,根据圆周角定理得到NABE=NBCE,加上NFEB=NBEC,

于是可判断△EBFS/XECB,利用相似比得到EF・EC=BE?=(r)2=r2；

(3)如图2,连结0A,由弧AE=MBE得AE=BE=r,设0H=x,则HE=r-x,

根据勾股定理，在RtAOAH中有AH2+x2=r2；在RtAEAH中由AH2+(r-x)

=(r)2,利用等式的性质得x?-(r-x)2=r2-(r)2,即得x=r,则HE=r

-r=r,在RtAOAH中，根据勾股定理计算出AH=±Z±r,由0E1AB得AH=BH,

9

而F是AB的四等分点，所以HF=AH=2e三,于是在RtZXEFH中可计算出

_9

EF=W,然后利用(2)中的结论可计算出EC.

9

(1)证明：连结0C、0E,0E交AB于H,如图1,

•••E是弧AB的中点，

.\OE±AB,

AZEHF=90°,

AZHEF+ZHFE=90°,

而NHFE=NCFD,

AZHEF+ZCFD=90°,

VDC=DF,

ZCFD=ZDCF,

而OC=OE,

，ZOCE=ZOEC,E

Z0CE+ZDCE=ZHEF+ZCFD=90°,图1

AOCXCD,

，直线DC与。0相切；

(2)解：连结BC,

IE是弧AB的中点，

.•.弧AE=MBE,

，ZABE=ZBCE,

而NFEB=NBEC,

AAEBF^AECB,

AEF：BE=BE：EC,

.".EF*EC=BE=(r)2=r2；

(3)解：如图2,连结OA,

V<AE=MBE,

.\AE=BE=r,

设0H=x,则HE=r-x,

在RtZxOAH中,AH2+0H2=0A2,BPAH2+x2=r2,

在Rt^EAH中，AH2+EH2=EA2,即AH?+(r-x)2=(r)2,

x2-(r-x)2=r2-(r)2,即得x=r,

HE=r-r=r,

在RtAOAH中,

AH=A/0A2-OH^

VOEXAB,

.\AH=BH,

而F是AB的四等分点，

.,.HF=AH=2如三,

9________________________

在RtaEFH中，