第6章空间向量与立体几何【真题模拟练】-2021-2022学年高二数学单元复习（苏教版2019选择性必修第二册）（解析版）

2021-2022学年高二数学单元复习过过过【真题模拟练】

第6章空间向量与立体几何

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.(2021秋•会宁县期末)设平面a的法向量为I=(x,1,-2),平面力的法向量为6=(1,x,x-3),

若a//〃，则x的值为()

A.-5B.-3C.1D.7

【答案】C

【解析】设平面a的法向量为4=(x，1,-2),平面的法向量为5=(1,x,x-3),

若a//〃，则。//5,

x1—2

,.—=—=----,

1xx-3

解得X=l.

故选C.

2.(2021秋•合肥期末)平面a的法向量沅=(x,1,-2),平面夕的法向量狂=(-l,y,g),已知a///?,则x+y=(

)

A.—B.—C.3D.-

442

【答案】A

【解析】根据题意,al1/3,则有i7//U,

则有二='=三，解可得x=4，y=—L

-1y14

2

则x+y=身；

4

故选A.

3.(2021秋•临湘市期末)如图，在四面体。4BC中，M,N分别是。4,3c的中点，则施=()

N

B

1—.1_.1—.

A.-OB+-OC——OAB.-OA--OC--OB

222222

1—.1―.1—.

C.-OB+-OC+-OAD.-OA+-OC--OB

222222

【答案】A

【解析】・・•在四面体。48c中，M,N分别是3c的中点,

/.MN=MA+AN

=-OA+-(AB+AC)

22

=-OA+-(OB-OA+OC-OA)

22

1—.1—.1—.—.

=-OA+-OB+-OC-OA

222

=-OB+-OC--OA.

222

故选A.

4.(2021秋•天心区期末)已知空间向量@=(1,一1,0),5=(1,-1,1),则|d+6|=()

A.3B.y/2C.6D.石

【答案】A

【解析】•.♦空间向量1=(1,-1,0),6=(1,-1,I),

a+b=[2,-2,1),

\a+h\=722+(-2)2+12=3.

故选A.

5.（2021秋•宝安区期末）在平行六面体ABC。-44CQ中，M为与3Q的交点，若4月,AD=bf

44；则与丽•相等的向量是（）

11-11-11r11一

A.—a+—b+cB.——a+—b+cC.-a——b+cD.——a——b+c

22222222

【答案】B

【解析】在平行六面体ABC£>-48CQ中，M为AG与耳。的交点，

AB=a,AD=b,AA,=c,

=AA,+^BD

=A^+^(BA+BC)

=--AB+-AD+AA

22'

11

=——a+—br+c.

22

故选B.

6.(2021秋•沈阳期末)设x,ywR,向量a=(x,1,1),5=(1,y,,。=(2,-4,2),且&_L5,

bUc,则|&+刈=()

A.2夜B.710C.3D.4

【答案】C

【解析】设x,yeR,向量1=(x,1,1),b=(l,y,1),c=(2,-4,2),

且a_L^,bile,

2x-4+2=0

11y1,解得x=l,y=—2,

.2~^4~2

a+b=(1,1,1)+(1,-2,1)=(2,-1,2),

a+h\=\/4+1+4=3.

故选C.

7.（2021秋•惠州期末）如图，在四面体中，E,F,G,，分别为AB,BC,CD,AC的中点,

A.BFB.EHC.FGD.HG

【答案】D

由于，4月=荏，-BC=EH,

22

所以：~(AB+BC+CD)^AE+EH+CG=HC+CG=HG.

故选D.

8.（2019•全国）正三棱锥尸-ABC的侧面都是直角三角形，E,尸分别是"，8C的中点,则PB与平面

PE尸所成角的正弦为（）

A8RV6G口瓜

A.D•V・U•

6633

【答案】C

【解析】•.•正三棱锥P-ABC的侧面都是直角三角形，E,F分别是AB,8C的中点，

・•・以P为原点，%为x轴，所为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，

设24=PB=PC=2,

则4(2,0,0),8(0,2,0).C(0,0,2),£(1,1,0),尸(0,1,1),

丽=(0,2,0),瓶=(1,1,0),而=(0,1,1),

设平面PE尸的法向量为=(x,y,2),

则卜”=x+y=。，取片］,得为=(i,_i,i),

n-PF=y+z=0

设P8与平面所成角为，，

,口\PB-n\2V3

则hlllsin6=—----=—尸=——.

|PB||n|2y/33

；.PB与平面的所成角的正弦值为也.

3

故选C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.(2021秋•储州期末)若A(x,2,-1),8(1,2,3),且|而|=5,则x的值是()

A.-2B.2C.-AD.4

【答案】AD

【解析】若A(x,2,-1),8(1,2,3),且|通|=5；

则—1)2+(2—2)2+(_]—3)2=25,

整理得x=4或-2；

故选AD.

10.（2021秋•玄武区月考）己知点P是平行四边形A8CD所在平面外一点，AB=（2,-1,-4),AD=(4,

2,0),A户=(-1,2,-1),下列结论中正确的是()

A.AP±ABB.存在实数2,^.AP=2.BD

C.A户是平面A8CD的法向量D.四边形A8C。的面积为8指

【答案】ACD

【解析】对于A,vAB=[2,-1,-4),AP=(-1,2,-1),

/.AB-AP=-2-2+4=0,

:.AP±AB,故A正确;

对于3，vAB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-l,2,-1),

BD=AD-AB=(2,3,4),

.••不存在实数/I，使丽=28/5,故3错误；

对于C,A户•AZ5=T+4+O=O,:.APA.AD,

由A得乂48「|仞=4,二APJ_平面A8CD,

.•.丽是平面ABCD的法向量，故C正确;

福.而6上

对于。，cos<AB,AD>=

\AB\-\AD\~y/21-y/20~-J35

sin<AB,AD>=Ji*=源

四边形ABCO的面积为：

S=2sMBD=2x；x|AB\x|A£)|xsin<AB,AD>

=屈-25曜=8娓,故。正确.

V35

故选ACD.

11.（2021秋•无锡期末）正四棱锥P-MCD所有棱长均为2,O为正方形438的中心，E,F分别为

侧棱E4,的中点，则（）

A.OF//AP

B.直线3E与PD夹角的余弦值为点且

6

C.平面OEF//平面「DC

D.直线PD与平面PBC所成角的余弦值为更

3

【答案】BCD

【解析】对于A,因为POL面ABCD,E,尸分别为%,PB中点,

所以£F//A8,B.EF=-AB,

2

乂因为O尸//PD,PDp\PA=P,

所以O尸不会平行与AP，故A错误；

对于3,以O为坐标原点，。4为x轴，03为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

B（0,>/2,0）,4（血,0,0）,P（0,0,V2）,E*,0,与）,0（0,-夜,0）,

丽=（4，-72,与,PD=（0,-夜，-V2）,

直线BE与PD夹角的余弦值为：

\BEPD\1V3

|cos<BE,PD>|：=故3正确;

\BE\\PD\6

对于C,由题意有EF//A8//C。,

又OEIiPD、

EF^\OE=E,CD[\PD=D,

OE,EFu平面OEF,

所以平面O£///平面PDC，故C正确;

对于£),C(-夜，0,0),

PB=(0,应，-夜)，PC=(-V2,0,-0),PD=(0,-夜),

设平面PBC的法向量为=(x,y,z),

则d一二厂，取X=l，得"=(1,-1,-1),

n-PC=—v2x—V2z=0

设直线P£）与平面尸BC所成角为e，

则sin入尊旬=斗=迈,

\PD\-\ri\2V33

直线PD与平面PBC所成角的余弦值为cos。=-净=?，故。正确.

故选BCD.

12.（2021秋•南关区期末）已知正方体ABCr>-AB|CQ的棱长为1,点E,F,G分别为棱43,A4,,CR

的中点，下列结论正确的是（）

A.四面体ZMBQ的体积等于:

B.平面ACg

C.平面EFG与平面夹角余弦值为且

3

D.BQ//平面EFG

【答案】ABC

【解析】对于A,四面体D4B。的体积为,xLxlxlxl=J,故A正确；

326

对于3,正方体ABC。-A8cq中，-.-ACYBD,DD11AC,又8。「|。2=力，

AC±平面BDD、,■：BD、u平面BDD、,AC1BDt,

同理，AB,1BDt,又/1耳「|4。=4,.•.BRJL平面AC4，故B正确；

对于C,以。为原点，建立空间直角坐标如图,

111__,11_.11

£(1,-,0),F(1,O,-),G(O,-,1),EF=(O,--,-),FG=(-1,-,-),

2222222

设平面EFG的法向量谕=(羽y,z),

m-EF=—y+-z=0

22

则

一11

Hi•FG=x+—y+—z=0

22

取x=l,得比=(1,1,1),

又平面ABCD的一个法向量”=(0,0,1),

设平面EFG与平面A8C。的夹角为0,

则cos"叵包=；=走

,平面£FG与平面A8CD的夹角的余弦值为避，

3

故C正确；

对于£),即1,1,1),D,(0,0,1),=(-1,-1,0),

由C选项可知，平面EFG的一个法向量流=(1,LD，

B1D；/??=-2^0,.•.片.与平面£FG不平行，故。错误.

故选ABC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(2021秋•昌平区期末)己知1=(x,-2,6)是直线《的方向向量，6=(1y,-3)是直线6的方向

向量，若直线4/〃2，则x+y=-

【答案】-1

【解析】&=(x，-2,6)是直线/,的方向向量，6=(1,y,-3)是直线，2的方向向量，

若直线《/〃2，则1〃5,

—=------2>则x=-2,y=l.

1y-3-

+y=—2+1=-1.

故答案为：-1.

14.(2021秋•大同期末)已知平面a的一个法向量为序=(1,1,2),点A(0,1,2),B(x,0,1)是平面a

内的两点，则》=—.

【答案】3

【解析】平面a的一个法向量为的=。[,2),点A(0,1,2),B(x,0,1)是平面a内的两点，

A8=(x,—1»-1)»

m-AB=x-l—2=0,

x—3•

故答案为：3.

15.(2021秋•黑龙江期末)已知产，A,B,C四点共面且对于空间任意一点O,都有O户=2。4+0分+fOC,

贝打=.

【答案】-2

【解析】AP=OP-OA=bA+bB+tOC,BP=OP-OB=2OA+tOC,

CP=OP-OC=2OA+OB+(t-])OC,

.P,A,B,C四点共面，，存在“，neR使得A户=mB/5+w所,

OA+OB+tOC=m(2OA+tOC)+n[2C)A+OB+(f—1)OC]=(2m+2n)OA+nOB+(mt+nt—n)OC.

2m+2n=\

<n=\，解得m二一,，〃=1,t=—2.

2

mtnt-n=t

故答案为：-2.

16.（2021秋•湖北月考）在菱形ABC。中，ZA=60°,将沿对角线瓦>折起，若二面角-。为

直二面角，则二面角A—8C—O的余弦值为.

【答案】—

5

【解析】取曲的中点O,连接AO、OC,依题意可得。4、OC、。两两互相垂直，如图建立空间直

角坐标系，

令AB=2，则40,0,商8(1,0,0)。0,石,0),

所以丽=（-1,0,右），反^（一，行,。），设平面ABC的法向量为万=（x,>,z）,

„.n-BA--x+Gz=0.r-

则1_，令x=y/3，贝I]y=z=1,

n-BC=-x+y/3y=0

所以亢=(石,1,1),显然平面BCD的法向量可以为沆=(0,0,1),

设二面角A—BC—O为。，贝心（》6=网辿

\in\-\n\lxV(V3)2+l2+l25

故：面用A—8C—/）的余弦仁为巨：

5

故答案为：—

5

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（2021•新高考H）在四棱锥Q—A8c。中，底面是正方形，若4）=2,QD=QA=旧,QC=3.

（I）求证：平面QA£>1■平面A8C。；

（II）求二面角8-QO-A的平面角的余弦值.

Q

【答案】（I）证明：△。8中，CD=AD=2,QD=45,QC=3,所以C4+Q。？=QC?,所以COQD；

又ADp\QD=D,AQu平面QAD,QOu平面QAO,所以CD_L平面QA£>；

又cr>u平面A8CZ）,所以平面04DJL平面A8CD.

（II）解：【解法1】设AQ的中点为M,连接QM、BM,如图所示：

根据题意知，QM=2,BM=亚,QB=3,8。=2夜，

ABQA中，COSNQOB=、L,COSNQD4=」=,ZBZM=45。，

'V10V5

因此根据三垂线定理知，二面角8-8-A的大小满足：

cos/BDA=cosZQDBcosZQDA+sinNQDBsinZQDAcos（p,

noV21J32

2VlOV5V10V5

解得C0S9=g-

【解法2】取AD的中点O,在平面A38内作Or_LAD,

以OD所在直线为y轴，0。所在直线为z轴，建立空间直角坐标系。-孙z,如图所示:

则0(0,0,0),8(2,-1,0),D(0,1,0),(9(0,0,2),

因为Or,平面AOQ,所以平面AOQ的•个法向量为&=(1,0,0),

设平面班)。的一个法向量为£=(x,y,z),

由B/5=(-2,2,0),DQ=(0,-1,2),

空二°,即-2x+2y=0

得

/•£>。=0一y+2z=0

令z=l,得y=2,x=2,所以£=(2,2,1)；

ka•B2+0+02

所以cos<a，

\a\-\p\lx04+4+13

所以二面角B-QD-A的平面角的余弦值为|.

18.如图，在棱长为2的正方体ABCO-A旦G"中，E,F分别为棱BC,CD的中点.

(1)求证：〃尸//平面AEG；

(2)求直线4c与平面AE£所成角的正弦值；

(3)求二面角A-AC-后的正弦值.

【答案】(1)证明：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示,

则A(0,0,2),E(2,1,0),G(2,2,2),

故AC；=(2,2,0),EC；=(0,1,2),

设平面A}EC}的法向量为*=(羽y,z),

则卜笆=°,即[中二°,

n-Eq=0[y+2z=0

令z=l，则x=2,y=-2,故万=(2,—2,1),

又F(1,2,0),R(0,2,2),

所以西=(-1,0,2),

则储五£>；=0,又。产U平面AEG，

故RF//平面AEG；

(2)解：由(1)可知，宿=(2,2,2),

Mil.,一77r、iI万•-G|2百

则cos<n,AC,>=---------=-------==——,

InllACJ3x2杷9

故直线ACt与平面诏所成角的正弦值为*;

(3)解：由(1)可知，豆'=((),0,2),

设平面AA,C,的法向量为m=(a,b,c),

则卜十°,即.

庆•AG=0[a+b=o

令a=l,贝=故沆=(1,-1,0),

所以Icos（成万＞|=生旦=3=矩

I利行I3x夜3

1

故二面角A-AG-E的正弦值为

3

19.（2021•上海）如图，在长方体ABC£）-ABIGA中，已知AB=BC=2,A4,=3.

（1）若P是棱A。上的动点，求三棱锥c-皿）的体积;

（2）求直线4片与平面ACC/的夹角大小•

【答案】⑴如图，在长方体AB8-A4CQ中，匕加=；Su"<L=gx］；x2x3）x2=2：

（2）连接AGrpQ=O,

.AB=BC,

：.四边形AgGQ为正方形，则10A,

又OAQM=A'

：.OB\J_平面ACGA,

直线AB，与平面ACC/所成的角为NO44,

,2?+2?

...•sin//OAcB1=_-O-B-、=_—.2~=_---.

世后才13

/.直线AB,与平面4CGA所成的角为arcsin普

20.(2021•北京)如图，在正方体AB8-A4G4，E为AR的中点，8c交平面C/组交于点尸.

(1)求证：尸为8c的中点;

(H)若点M是棱A内上一点，且二面角M-CF-E的余弦值为立，求则的值.

3AA

【答案】(I)证明：连结。E，

在正方体A8cn-A4CQ1中，CD”C\D\,0〃(=平面48©2，co9平面

则8〃平面ABCR,因为平面ABCQC平面CDEF=EF,

所以CD//EF,则E///CQ,

故%B\UEF1iC、D\,又因为ADJ/B©,

所以四边形A瓦房为平行四边形，四边形EFGR为平行四边形，

所以AE=g尸，EQ=FC、,

而点£为AA的中点，所以AE=ER，

故gF=FG，则点F为4G的中点；

(H)解：以点片为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

设正方体棱长为2,设点/(,〃，0,0),

因为二面角M—CF—E的余弦值为亚，则帆＜0,所以加工0,

3

则C(0,2,-2),E(-2,1,0),F(0,1,0),

故在=(-2,0,0),FC=(0,1,-2),厢.=(皿-1,0),

设平面CMF的法向量为m=(a/1),

22

所以a=—,h=2»故沅=(—,2,1)»

mm

设平面CDEF的法向量为为二(%,y,1),

则nl[n-F基E=O"叱Rnf-2dx=d0

所以x=0,y=2,故”=(0,2,1),

因为二面角M-CF-E的余弦值为世，

3

则|cos＜西n＞|=叵型=5-------------=好，

⑻利尸+4+lx历T3

Vm

解得加=±1,又加＜0,

所以机=—1,

AM1

故二^=一.

4耳2

21.(2021•乙卷)如图，四棱锥P-A88的底面是矩形，PD_L底面A8C£),PD=DC=1,M为BC中

点、,且依_LAA/.

(1)求BC；

(2)求二面角A-PM-3的正弦值.

【答案】(1)连结如，因为正。，底面且AMu平面ABCZ)，

则AM_LP£>,又AM_LP8，PB^\PD=P,PB，PDu平面P3£>，

所以AM，平面正皿，又BDu平面PBD,则AM_LBZ),

所以ZAB£)+ZM48=90。，XZABD+ZADB=90°,

则有Z4QB=NM4B，所以RtADABsRtAABM，

则四=史，所以J_BC2=I,解得BC=&；

ABBM2

(2)因为ZM,DC,N)P两两垂直，故以点。位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示,

则A(夜,0,0),5(也,1,0),加仁-』0),P(0,0,1),

2

所以AP=(—,\/2,0,1),AM—(―~^~,1,0),BM—,0,0),BP—(―^2,—1,1),

设平面4WP的法向量为万=(x,y,z),

-V2x+z=0

[fi-AP=0

则有《___，即，一也x+y=0'

n-AM=0

2)

令x=0,则y=l,z=2,故"=(0』,2),

设平面BMP的法向量为成=(p©,r),

聿=0

ih・BM=b

则有，___,即,

m-BP=0-y/2p-q+r=0

令q=l,则r=l,故沅=(0,1,1),

3_3714

所以|cos<n.m>|=

1讨11沅I不又近—14

设二