高等数学(本科)第十一章课后习题解答

习题11.1

1.回答下列问题.

⑴何谓级数£>“的前〃项部分和？何谓级数£>"的收敛和发散？何谓收敛级

〃=1"=1

数的和?

【答】(1)的前〃项部分和是指S〃=Z%(〃=12…)；

n=\k=\

(2)收敛是指limS.=s存在，这时并称s为的和；

W=1〃T°°tl=\

京“发散是指limS,不存在.

rt=l

⑵当公比q取何值时，等比级数£>(/一收敛？当公比q取何值时，等比级数

M=1

发散？写出收敛时的和数.

n=\

【答】(1)当|司<1时，收敛，且其和数为s=，；

n=l1-q

(2)当时21时，£做〃7发散.

H=1

(3)级数£>“收敛的必要条件是什么？它是否也是充分条件.请举例说明.

n=l

8

【答】(1)收敛的必要条件是lim〃“=O；

/»=!

⑵lim”“=0不是支““收敛的充分条件.比如，limLo,但,:发散.

n—>00〃=]n—>coM11M〃=]，<•

2.若级数(q+4)+(%+%)+…+(*+〃,)+…收敛，去掉括号之后的级数级数

%+仇+a2+h2+...+an+bn+...是否还收敛？它说明了什么？

8

【答】未必，比如£(—l)"T=l+(—1)+1+(-1)+....

M=I

3.把下列级数写成级数“2”的形式.

(1)ln5+ln25+ln35+...；

【解】ln5+ln25+ln35+...=^lnH5；

II-1

(2)++

248

【解】++…这㈠丫击；

248n=l乙

(3)0.001+Vo.ooi+Vo.ooi+...；

【解】0.001+Vo.ooi+Vo.ooi+...=^(0.00if；

n=l

(4)，+，+—..

1x33x55x7

111J2L

【解】」一+」一+'+…=61

1x33x55x7占(2n-1X2/1+1)-

4.根据级数收敛与发散的定义，判别下列级数的敛、散性.

(1)-+-+-+-+

2468

【解】_1+l+工+,+...=之_1，发散.

2468£2〃

⑵Jlnfl

n=2\

【解】记〃“=Infl一-=In=In£zl+(n=2,...)

In)nnn

贝|JS“=42+〃3+〃4+…+

雪©+'2+0+伉。岛+...+2+13

22八33八44)I〃n

+12〃+l

In—+In—+In—+In—+ln—+...+In----t+ln----

2I23{34)[n-1nn

=ln；+ln[l+，)(〃=1,2,...)

因为！野“二年，

所以收敛.

"=2\

00ln〃21

⑶E2〃+不

产]n〃.兽第罚K阂"均收敛盟(野扑敛・

【解】因

«=1乙

111

(4)-+1+-+—+…4----1---F...

3923nn

【解】因为…收敛，但1+工+…+,+...发散，故原级数发散.

393"2n

小123

(5)—I--1----F...;

234

【解】级数的通项为明='-(〃=1,2,…)，因为lim〃,=l=0，故工+2+』+...

"72+1-”234

发散.

7C717C

(6)COS71+COS------FCOS------F...4-COS------F...

23n

【解】级数的通项为w„=cos—(n=1,2,...)因为limwn=cosO=1w0，故

nn—>8

COS7t+COS------FCOS------F...+COS------F...发散

23n

⑺打

1,2,...),因为

00

工0,故£ln发散.

n=l

882

9+9?-F+-"

【解】-号+Z•-雪+…=£]-灯是等比级数，且公比-目的绝对值小于1,故

992939J9

882父3

一彳+…收敛.

992

5.已知级数X%的部分和S,,=/,当〃22H寸，求明.

n=I

32

【解[uH=Sn-Sn_}=n_(〃-1)'=3〃—3〃+1(〃=2,...).

6,若级数收敛，记S〃=f%,则（B）

n=l/=!

A.lirnS,,=0；B.limS,,存在；

n—>oon->oo

C.limS,可能不存在;D.{S,}是单调数列.

7.若级数收敛，则下列级数中收敛的是（A）

n=l

B.Z(〃,+10);

”=1

C.泮;D.£(%-10).

〃=111n〃=1

8.设£>,,=50,£>,,=100,则石(2%+3匕)(D)

n=ln=ln=l

A.发散；B.收敛，和为100；

C.收敛，和为50；D.收敛，和为400.

9.下列条件中，使级数£（““+匕,）一定发散的是（A）

n=\

发散且£匕,收敛;

A.B.发散；

n=[〃=1n=l

c.£叱发散；D.和£匕,都发散

?:=1n=\n=l

10.设级数£(1-M)收敛，求limn“.

"T8

n=l

【解】因为£(1-〃“)收敛，故根据级数收敛的必要条件知

n=l

lim(l-wz;)=0,

“T8

所以lim〃〃=lim[l-(l-wzi)]=1-lim(l-)=1-0=1.

〃T871->COW—>00

11.将下列循环小数表示为分数

⑴0.3；

【解】()4=0.3+0.03+0.003+…是公比为q=0.1的等比级数，故0.3=-^-=L

1-0.13

⑵0.073.

【解】0.038=0.073+0.00073+0.0000073+…是公比为q=0.01的等比级数，故

••007373

0.073=

1-0.01990

12.设级数£>“满足条件：(1)!如〃“=0；⑵f(%.T+，，2.)收敛，证明级数

/1=1n=ln=l

收敛.

【解】记£>“的前〃次部分和数列为{S,,}.又记£。,1+〃2.)的前"次部分和数

n=\n=l

列为{3}.则有5,=52“(〃=1,2,...).因为已知£(〃2,1+〃2.)，故根据级数收敛的定

n=\

义知limcr〃=limS)〃=s①存在；又已知lim〃=0,故lim〃2〃+]=0，从而

〃T8"TOO"TOO"TOO

=lim(〃,；IM+S,“)=O+s=s②也存在.综合①、②式知limS“=s存在，所

Zt—>007J—>CO"TOO

以级数£>“收敛.

n=l

13.小球从1米高处自由落下，每次弹起的高度均为前一次高度的一半，问小球

会在自由下落约多少秒后停止运动？

【解】小球为自由落体运动，即s=：g/。记小球首次落下为第0次运动，所需

时间为t=以后每次都是往返运动，第〃次的高度为(3)，即(；)=；gf2,

n-1n-1

fir厂/甲

故，=乌・o所以小球自由下落至停止后所需总时间为J2+=

y]8«=iJg

1

习题11.2

i.£>,为正项级数，下列命题中错误的是（C）.

n=l

A.若lim上-=夕<1,则收敛；

“Too11

”=1

B.若lim^-=x7>l,贝“发散；

Unn=I

c.若如<1,则收敛；

u.，1

D.若殳乜〉1,则发散

Un〃=1

【解】取明=乙〃=1,2,…），则如=-^<1,但受工发散；

nu„n+1普”

若以包〉i,则“的通项极限不为零，故£〃“发散.

U,.„=|„=|

2.判断下列正项级数的敛、散性.

00〃+6

⑴E

3

71=1n+〃2-4724-5

〃+6〃+6

【解】因为lim=1且收敛，所以Z收敛;

3

〃3+〃2-472+5n=\〃n=ln+〃2-An+5

77

⑵z/f,

n=l+1)

【解】因为lim/手I/口=1且£二发散,所以£f发散;

…厮刁/〃I£麻y刁

S1

⑶ysin—；

“=】〃

【解】因为limsin，/，=l且Z上1发散，所以£sin上1发散;

M

〃fgn!nnn=ln

(4)¥2"sin—

n=13

【解】因为吧2"sin'/j|j=1且发散，所以£2"sin£收敛;

n=l3

2222324

⑸----1------1------1------F

1x22x33x44x5

2〃

【解】记孙而可(〃=1'2...)，因夕=lim"=21im/一=2>l,故级数发散.

"f"un，T8〃+2

【解】记%=亡(〃=1,2…)，因夕=lim-=1limk+』Y=，<l,故之日收敛.

2"28%2«XnJ2念2"

⑺00装;

2"u1故£二收敛.

【解】记〃“=—(/?=1,2...),因/?=lim—=21im----=0<1

n\〃f0°u„+l,1〃！

⑻ETn\

n=ln"

2"n!17n'

【解】记〃“=i(〃=l,2…)，因夕=lium-=21imi=』<1,故«£j2"

n"-8MZ8(1Yen"

收敛.

⑼E8n

n=l5n+2

【解】记/=(--—](n=1,2...),因夕=lim板7=lim---=一<1,故

15/z+2J〃T8vn->oc5〃+25

00n

E收敛.

n=\5/1+2

产一1

(io)y?

tr[ln(n+l)]n

【解】记〃“=7------^-(〃=1,2…)，因夕=lim^7=lim—^^=0<1,故

[ln(n+1)]H…、38in(〃+l)

收敛.

£[ln(n+1)]"

n/r

x〃cos2—

(ii)y------

n=\乙

nji

ncos2——②

【解】记%=------>(“=1,2...)，则W=(〃=1,2...),又因£二收敛

22)«=|2

n.+1,n兀

1«7JCOS--

[p=lim^—=-<1],所以由比较判别法知1------上也收敛.

…JL12£2"

2"

(12)卦Y)；

、22

—工，,又因

(In)2n2

”)_21x/\

£土收敛，所以£1-cos工也收敛.

,12n-„=1<nJ

(13)V—?—；

£1+/

【解】记〃“=—-—(〃=1,2…).

\+a

(1)当0<。<1时，因为lim”“=l*0,所以£」—发散;

28£1+屋

1]产[

(2)当a=l时,u=—(n=1,2...),因为lim〃=—。0,所以£----发散;

2…2念1+。"

(3)当时，因为夕=lim%包=lim上上二■=liml^---=—<1,所以

goo〃TS1+Q"〃­"]、〃a

1;备收敛

(14)£〃K(£2O)；

n=l

【解】记明=〃R"5=1,2…)，则°=lim—=lim|l+l||3^p.

"Too〃〃一巩flJ

(1)当£<1时，z〃力"收敛；

n=l

(2)当月>1时，£〃/"发散；

W=1

(3)当夕=1时，即为£相=£」7

n=lM=IM=1〃

1

(i)当-a〉l,即a<-l时，工一7收敛；

n=l〃

81

(ii)当一aQ,即a11时，之二发散.

n=l〃

/“、白8arctan〃

(15)>-------

£l+〃2

I8arctanti.ic、ni11/8式11-r-7m

【■解】】己〃“=----；—(n=1,2...),则----7.—=4A].----，又A因

1+〃21+〃22l+n2〃2

?*收敛’所以£筌詈也收敛

9\

(⑹[枷〃)收敛

【解】记«„=—^―(〃=1,2...)显然un>〃“+](〃=1,2,…).

〃ln~n

且£29,,=力k1J-J—=f是p—级数.

白白2A(ln2A)'白伞也2)2£皿2公

S]0cli8]

故由柯西定理知，级数£7一与P-级数工一一.占同敛散.因此£7二7

n=\n[\nn)~&=iIn2k~,l=in(ln〃)-

收敛.

3.若正项级数£>“，”均收敛，证明下列级数都收敛.

n=l〃=1

⑴£一;

»=|1+%

【证明】因为一仁4%("=1,2...),且收敛，故由比较判别法知之一仁也

1+%«=i,>=i1+«„

收敛.

【证明】因为其=向.34%+与伽=1,2...),且次氏及均收敛【从

几〃21n)„=i〃=]〃

而£斗氏+与也收敛】，所以由比较判别法知y叵收敛.

“=121n)n

⑶%：；

n=\

/8

【证明】因为limM=lim%=0,且收敛，所以由比较判别法的极限形式

M—>oocn—¥<x>

"=1

8

知收敛.

ZJ=1

O)_________

⑷Z』a.a“+i；

ZJ=1

0081

【证明】因为Ma吁、<；(%+%_),且收敛【从而f(氏+%)也收敛工

〃=in=i2

所以£夜区「收敛・

M=1

⑸E/M；

rt=l

100X

【证明】因为明力”"(4+汇)〃=1,2...),且及》>“均收敛【从而利用已

2n=i〃=1

证明的(3)知，及也收敛；进而由级数的性质知f(a,；+汇)收敛工

M=1n=lM=12

所以由比较判别法知〃收敛.

n=\

⑹£(%+〃广

〃=】

【证明】因为(%+6j=d+照+26仇，且由已证明的(3)、⑸知Ybn

n=ln=l

及£2。,均收敛，所以由级数的性质知%2)2收敛

n=ln=l

4.讨论级数£>I(x〉0)的敛、散性.

”=|

【解】记““(X)=£'(〃=1,2,…)

(―)当x=0时，级数显然收敛；

n+1

(二)当xwO时，p(x)=lim-lim---X=X

…8(x)”78n

(1)当0cx<1时，原级数收敛；

(2)当x>l时，原级数发散.

00

(3)当x=l时，又分两种小情况来讨论:原级数变成z〃发散.

«=1

5.讨论下列级数的敛、散性.

(1)卦用；

sin-

二丫与£二同敛、散.

【解】因为lim，=/,故£sin?

斯

夕1S(

(i)当时，级数皂为发散，从而牛卜足工发散；

念In)

51Q0/7F、P

(ii)当p>l时，级数收敛，从而£卜皿生收敛.

n=l〃w=l\〃J

⑵"(a>0)；

n=l

11

【解】夕=lim^7=lim。""=。"=1[lim—In—=limxlnx

n—>ooY〃TOOn—>oo〃〃,v—>04

1

=lim=limx.=-limx=0].

xwr1io+1io+

8〃〃川

(3)£—^(a>0,aWe)；

«=i几

.々八1-Un+\1-6Z/，+1(/l+l)!n〃].1

【解】p=lim—=lim——'.---=ahm--------

00

〃-8un〃-②(〃+1)”优〃！"T.1

In

(i)当0<Q<e时，夕<1,£幺;收敛；

n=l〃

产〃“川

(ii)当a>e时，p>\,发散.

?:=1〃

⑷:、“(”。)；

【解】=lim-^-=—.

〃T8"TOO1a

a+

n

(i)当0<。<1时，p>\,y-J发散；

1^(1Y

Q+—

In)

(ii)当。>1时，p<\,X-------收敛；

1Y

(iii)当。=1时，原级数即为之一-—发散.【因为

I用

M,一丫〃一、

lim------=lim—1+—=Oxe=O,故lim-------=oo,所以£-------发

,18nnJ[1+)

散】.

6.设正项级数收敛，且a,用4%(〃=1,2,...),证明：

71=1

(1)宜〃(。“一a.+i)收敛;(2)limnafl=0.

〃=1

【证明】设级数£〃(%--),£%的前〃次部分和数列分别为炽｝和忆｝,

〃=1n=l

(-)

1.因为%+照册("=1,2,...),故£>(凡一%)为正项级数，故炽｝单调增加.

n=l

2.S“=(%-。2)+2(。2-。3)+3(。3-。4)+…+(〃-lX%T—%)+"(%

=%+“2+%+…+%一"*+1=T加一〃%+1•①

即S„=T„-/7«n+l<T„.(^l,2,...)②

又根据题意，已知以“收敛，故有limT.=f存在，且7；0(〃=1,2,…)，因此由

n=\"“Too

②式知S,<t(n=l,2,...).

综合1、2知｛SJ单调增加且有上界，所以吧S“=s存在，即£〃&-%)收敛.

«=1

(二)由②式知〃。，川=(,—S“，因此lim〃％+|=lim，—limS“=f-s也存在。

n->00ZJ—>00"T8

我们说，必有lim〃勺=0。

〃一>8

否则，若=f-s工0,即lim?=l-s③

n—>oon-»co1

n

则由比较判别法的极限形式知，定a“应与£二,即“应是发散的，这与已

w=ln=\〃〃=】

知收敛相矛盾！

n=l

习题11.3

1.讨论下列正交错级数的敛、散性.

⑴£业；

倒〃一In〃

(解】记un=————(n=1,2,...).

n-ln/7

(i)令/(x)=————,xe[l,+oo).

x-Inx

贝U/'(x)=—~^—r<0,xe(l,+oo),因此'/(x)=——!——,xe1,+8)单减,

x(x-Inx)x-lnx

故：/(n)>/(/i+l)^>zz„>M„+I(n=1,...)；

(ii)又lim〃“=lim——!——=lim—4—=0,故由莱布尼兹审敛法知—收

“Too…8n-jnn«->«>inn状〃一Inn

n

敛.

(2)f(-1)"(J〃+1-〃')；

n=\

【解】原级数即为2s(-串丁1*—/.

记““=刀=^—尸(w=1,2,...),则显然｛“"｝单调减少；又

J〃+1+J〃

=01)"

lim〃〃=㈣赤缶.故由莱布尼兹审敛法知昉讦-㈤收敛.

〃T8

⑶2』

M

【解】记u=-------(〃=1,2,...).

"M2+100

(i)令/(8)=丁3——[1,+00),

V7x2+100L7

则/'(x)=zlOO—Xp<Oxw(10,+oo)，因此,/(x)=——-——,xw[10,+8)单减,

(x2+100fx-\nx

故：当〃>10时，/(n)>/(«+1)=>«„>M„+I(H=1,...);

又lim〃"=lim-Q"[00=0,故由莱布尼兹审敛法知＞(-1)"佑H-〃)收敛.

(4)y(_i)«->JL

士〃+i

【解】令u.=E-,(n=1,…

n+l

(1)令/(x)=----,x€[1,+co).

x+1

<0,xe(l,+oo),因此，/(x)=-^pxe[,+oo)单减,

则尸(x)=,

2>/x(l+x)

故：/(n)>/(n+l)=>t/„>M„+1(«=1,...);

1

(2)1淞〃,,=1而立=0.所以，之(一广正收敛.

200“T8]+煞〃+]

n

2.判断下列级数中哪些是绝对收敛，哪些是条件收敛，并说明理由.

(1)------—+-------+...；

In2In3In4In5

1

【解】原级数即为£(-i)z系交错级数，旦满足莱布尼兹定理的条件,

n=Iln(/?+1)

故£(1)(、收政.乂因为lim-、/=lim(=+oo,且停发

普ln(n+l)+n2+°°皿〃+1)

散’所以全岛发散.

81

综上分析知，条件收敛.

ln(n+1)

〃=1

⑵Z(-r^r；

/:=!3

【解】因为夕=则—=!吧所以，t|“』收敛，从而

un|"is3\nJ3w=i

£(-1产右绝对收敛.

M=13

(3)£当q(a是常数);

〃=|几

【解】因为1/1=1当4&I，而之二收敛，所以，£当竺绝对收敛.

〃几念n

(4)£(-1)巫；

〃=|〃

【解】令〃〃=如"("=1,2,…)

n

(1)令=£[l,+oo).

x

则/'(x)=-—坐<O,XG(3,4-00),因此，/(X)=,X€[3,+8)单减,

XX+1

故：当又>3时,/(n)>/(n+l),即｛与｝单调减少;

(2)lim〃“==limlim—=0.

"TOO〃T8YlXT+<»XXT+00X

所以，由莱布尼兹审敛法知，£(—叶•也收敛.

(3)因为lim---/—=limInn=+oo,且改;，发散，所以右皿发散.

〃foon—>+co“=]〃〃=]〃

综上分析知，£(—1)"皿条件收敛.

z,=in

〃=】乙

【解】因为目以户斗=£*收敛，所以名

，绝对收敛.

«=1n=l«=1乙n=l乙M=1

3.证明£二对任何V。G(-8,+00)都是绝对收敛的.

“=1〃•

Unl18

【解】因为P=lim+lim|a|.-----=0<1,所以，ZWJ收敛，从而

“T8

Un""+1”=i

身Q绝对收敛.

£〃！

4.证明8£(-lyi1—在0<〃41时为条件收敛；而在0>1为绝对收敛的.

n=l几

【解】

5.讨论£(-1广£的敛、散性.

“1"

【解】(一)当x=0时，级数显然收敛，且为绝对收敛；

(二)当xwO时，p[x}=lim=lim—Ixl=1x1

♦,18%⑴…n+1日11

(1)当lxl<l时，原级数绝对收敛；

(2)当1%|>1时,原级数发散；

(3)当1x1=1时，又分两种小情况来讨论:

CC1

(i)x=-l时，原级数变成£(-1)上发散;

«=1〃

(ii)X=1时，原级数变成之(-1)"”条件收敛.

6.讨论geos1+.+g>卜>0)的敛、散性.

因为limK=。〈工JN,〃〉N时，0〈生〈三，故当〃〉N时sinK〉O.

〃T8n'2n2n'

故此级数为交错级数.

O77-②0g

令4=sin4，则原级数变为：y(-ir'sin74r=£(-1)«„.

〃n=l〃n=l

sin2"

考虑E(-r«J=El(-irsin^l=Esin^,因为则皆=1，所以，

£sin军与£军同敛、散.

w=l几n=l"

(1)当。</lWl时，之士发散，所以，之sin军也发散；再用莱布尼兹判别

法讨论知，原级数收敛，故为条件收敛.

(2)当九>1时，£之收敛，所以，£sin军也收敛；故为绝对收敛.

7.判断级数£sin(g/〃2+a2)的敛、散性.

因为lim军=lim/〃兀=工,所以，£|陶与同敛、散，

-1…曲1+〃2占口

n

故发散；又因为sin-7T—>sin/----------

y/n'+1+n++i+(〃+])

且limsin-7兀-----=0，所以，旦sin(办//+1)收敛.

-0V77T+ntr'>

所以，£sin卜J”?+1)条件收敛.

习题11.4

1.回答下列问题.

(1)基级数的收敛域有什么样的特征，为什么？

(2)基级数在其收敛区间端点处的敛、散性有几种情形？

【答】略。

8

2.若幕级数X%(x-3)"在点x=l处发散，在点x=5处收敛，则在点x=0,x=2,

n=l

x=4,x=6中使该级数发散的点的个数有(C).

A.0个;B.1个;C.2个;D.3个.

【解】因为3)"在点x=l处发散，而在点x=5处收敛，故由阿贝尔收敛

00CC

定理知，对于满足|x-3|>卜3|=2的X,£*(X-3)"也发散；又因为Z%(X-3)"

«=1"=1

在点x=5处收敛，故由阿贝尔收敛定理知，对于满足卜-3|<|5-3|=2的x,

£>“(x-3)”均收敛。即当|x-3|<2nxe(l,5)时，级数收敛；而当

卜-3|〉2nx<1或x〉5级数发散。点x=0,x=6满足卜-3|>2,故都是发散点。

3.若基级数£%一的收敛半径为R,则基级数2产的收敛区间为(D)

"=171=1

A.B.(2—R,2+R)；C.(一H,R)；D.(2-V^,2+V^),

【解】令f=(x-2)2,则2产化为

Sop

由题意知，、>/的收敛半径为R，即当fw(-R,R)时，收敛。所以由

〃=1〃=1

(x-2)2e(—R,R)解出(2+6,2_6)。

00

4.设基级数Z%x"在点x=-2处条件收敛，求它的收敛半径.

【解】的收敛半径R=2・理由如下:

(1)由条件收敛的定义知之%x"在x=-2处收敛，根据阿贝尔收敛定理，对

于7忖<卜2|=2的x,Z也绝对收敛;

0000

(2)我们说对于V|x|>2的x,必发散，否则，假设在某个点王,

归|>2处收敛，则仍然由阿贝尔收敛定理，对于W|x|<k］的x,

71=1

也绝对收敛(当然也包括点X=-2),这就与已知在点x=-2处条件收

n=\

敛矛盾.

5.求下列事级数的收敛半径和收敛区间.

/八XX2X3

(1)--1-----1-------F...；

22.42.4.6

【解】记CI-------7--r-----(H—1,2,...)

〃2.4.6…(2〃)2"!

a2"疝11

因为一=lim驮=lim;〃・=」而'=0,所以，收敛半径为

“TZ%〃->82("+lj!2"T8〃+1

R=+00;收敛区间为(一8,+8).

M=i\n

【解】记”X-5,则原级数化为之二.

记an=-^=(n=1,2,...).因为.=lim%^=limJ"=1,所以，/?=—=1；

isan〃tsV〃+1p

又在1处，收敛；在处，E-r发散，故的收敛区

n=\J"n=\J"n=\5/〃

间为[—1,1).

由fe[-1,1),即x-5e[-l,l)解得xw[-4,6),所以£与式的收敛区间

n=lYn

为[-4,6).

^2/i+l

⑶E(-iy

n=I2n+l

【解】(一)当x=0时，级数显然收敛，且为绝对收敛;

|火田(“2〃+1

(二)当xwO时，x?(x)=limlimx2=x2

M->oO2〃+3

(1)当夕(X)=，<1时，即当W<1时，原级数绝对收敛；

(2)当2(x)=x2>l时，即当lxl>l时，原级数发散；

(3)当1x1=1时,又分两种小情况来讨论:

(i)x=-1时，原级数变成£8(-1)"T—1条件收敛；

念2/1+1

(ii)x=l时，原级数变成寸一1)"」—条件收敛.

,.=|2〃+1

产2/t+l

所以，-的收敛半径为R=I；收敛区间为[-1』.

a2〃+1

(4)名汩婢-2；

”=1乙

【解】(一)当x=0时，级数显然收敛，且为绝对收敛；

(二)当xwO时，p[x)=lim=—lim+x2=—x2.

’18M”(x)2>^2n-\2

(1)当0(x)=g/<i时，即当忖<四时，原级数绝对收敛；

(2)当P(幻=(/〉1时，即当|x|>血时，原级数发散；

(3)当1x1=正时，即当x=±右时，原级数变成£口口发散.

”=12

所以，£空口"2的收敛半径为R=忘；收敛区间为(-血,血).

n=\2

⑸£“；

〃=0

【解】(-)当x=0时，级数显然收敛，且为绝对收敛;

(\[.W"+l(x)|

(二)当xwO时,p(x)=hm；(丫=xlim(x2)〃

〃一＞8、/

(1)当)<1时,即忖<1时，P(X)=O<1,原级数绝对收敛;

(2)当一>1时，即忖>1时，p(x)=+8>l,原级数发散；

(3)当/=1时.

(i)当x=—l时，£(—1)"发散；(ii)当x=l时,Zi发散；所以，

n=0n=0

f的收敛半径为R=1；收敛区间为

71=0

⑹z(-ir4白Txn

n=l〃M〃-+i

【解】（一）先求£（-1）"1的收敛区间［-川；

M=1〃

8Yn