北师大版九下《直角三角形边角关系》

1~一、单元信息基本信息年级学期教材版本单元名称九年级第二学期北师版直角三角形边角关系单元组织方式课时信息课时名称对应教材内容1锐角三角函数正切1.1.12锐角三角函数正弦、余弦1.1.234三角函数的计算5解直角三角形6三角函数的应用7利用三角函数测高8回顾与思考二、单元分析(一)课标要求通过实例认识锐角三角函数(sinA，cosA，tanA),知道30o、45°、60o角的三角函数值，会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角。运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。《直角三角形的边角关系》是在学生已经学习了直角三角形及有关性质，如直角三角形的两锐角互余、勾股定理及其逆定理等知识的前提下，对直角三角形的边与角之间的关系的进一步探讨、学习与应用。本章内容既是前面所学知识的应用，也是学生以后进一步学习三角函数和解斜三角形的预备知识，它的学习还蕴含着深刻的数学思想(转化，化归)，另外由于解直角三角形在实际生活中应用非常广泛，所以本章内容在教材中有着非常重要的地位与作用。(二)教材分析1.知识网络2~2.内容及教材分析直角三角形中边角之间的关系，是现实世界中应用广泛的关系之一。锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用，如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题。一般说来，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系问题。研究图形之中各个元素之间的关系(如边和角之间的关系)，把这种关系用数量的形式表示出来(即进行量化)，是分析问题和解决问题过程中常用的方法。通过这一章的学习，学生将进一步感受数形结合的思想，掌握数形结合的方法。通过直角三角形边角关系的学习，学生将进一步体会数学知识之间的联系，如：比和比例、图形的相似、推理证明等。直角三角形边角关系的学习，也将为一般性地学习三角函数的知识及进一步学习其他数学知识奠定基础。本章首先从梯子的倾斜程度谈起，引出第一个三角函数——正切。因为相比之下，正切是生活当中用得最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度、山的坡度等往往用到正切。而正弦和余弦的概念，是类比正切的概念得到的。接着，教材从学生熟悉的一副三角板引入特殊角(30°、45°、60°)的三角函数值。对于一般锐角三角函数值的计算问题，需要借助计算器。教材详细介绍了由锐角求三角函数值，以及由三角函数值求锐角的方法，并且提供了相应的练习。在此基础上，教材以勾股定理和锐角三角函数为工具，分两类研究了直角三角形的解法。(三)学情分析3~学生已经学习了直角三角形及有关性质，如直角三角形的两锐角互余，勾股定理及其逆定理等知识。但本章问题需要学生对正切、正弦、余弦的内容在进一步的熟悉过程中，逐渐学习解决。三、单元学习目标1.利用直角三角形的相似，探索并认识锐角三角函数(sinA、cosA、tanA)，掌握30°、45°、60°角的三角函数值，能用相关知识解决一些简单的实际问题。2.会使用计算器求锐角的三角函数值，由三角函数值求它的对应锐角。四、单元作业目标1.巩固学生对直角三角形中边角关系和对锐角三角函数概念的理解，以及计算器的使用。2.考查学生对解直角三角形的掌握，和用直角三角形有关知识解决实际问题，培养分析问题与解决问题的能力。3.展示数形之间的联系，培养学生利用数形结合的思想分析问题和解决问题。五、单元作业整体设计思路课程实施”，尤其是“课程实施”评价建议中的“作业评价”。2.分层设计作业。每课时均设计“基础性作业”(面向全体，体现课标，题量3—4大题，属于必做题，要求学生都做)和“拓展性作业”(体现个性化，探究性、实践性，题量在2—3大题，属于选做题，要求学生有选择的完成)。3.具体设计体系如下：(1)基础性作业包括(常规练习，基础知识记忆，课本母题变式练习)；(2)拓展性作业包括(探究性作业，实践性作业，创新性作业，跨学科作业)。六、单元知识掌握评价体系4~七、课时作业1.1锐角三角函数(第一课时)作业目标1.考查正切的概念并进行简单的计算；2.通过具体的情景巩固坡度概念，提升学生运用数学知识解决问题的能力。学情分析1.本节内容是在学生完成相似三角形学习的基础上进行的，学生能够运用相似知识理解本节内2.结合生活经验感知梯子的陡缓和倾斜角的关系，来探索延伸到对坡度的理解；3.学生对综合运用勾股定理和相似三角形知识解决问题还有一定困难，分析问题的能力仍需提作业1(基础性作业)(1)完成时间(10分钟内)(2)作业内容RtABCCACBCtanA_______。设计意图：考查学生利用“数形结合”的思想理解定义。作业分析：检查学生对正切函数的定义识记。2.△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______。设计意图：考查勾股定理逆定理的应用，然后运用锐角三角函数正切定义求解。作业分析：本题知道三角函数的前提条件是直角三角形，这个是解题根本。5~A．1B．1.5C．2D.3设计意图：考查“数形结合”在平面直角坐标系中对正切概念的运用。作业分析：本题是概念题，综合考察正切概念和坐标定义的组合运用。4.(课本母体变式)如图，梯子(长度不变)和地面所成的锐角为∠A，关于∠A的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是()A．tanA的值越大，梯子越平缓B．tanA的值越小，梯子越陡C．tanA的值越大，梯子越陡D．梯子的倾斜程度与∠A的正切值无关设计意图：考查学生对正切值的大小和梯子陡缓的关系。作业分析:此题是延伸题，由课堂上的探索过程根据生活经验综合判断。作业2(拓展性作业)(1)完成时间(5分钟)(2)作业内容RtABCC.若三角形各边同时扩大三倍，则tanA的值()A．扩大为原来的三倍B．不变C．缩小为原来的D．不确定设计意图:此题让学生理解正切值和倾角的大小，与有关三角形的边长之比有关。作业分析:通过作业加深正切值就是线段之比的认识。6.(创新题)如图是宿州市新汴河护堤的横断面．堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度是()设计意图:考查坡度的定义理解，从具体生活情境中抽象出数学模型，感受数学的应用价值。作业分析:根据生活场景中抽象出的数学问题的解决，训练学生学以致用的能力。设计意图：考查学生在“折叠变换”中的观察分析能力，提升学生整合不同模块知识的能力。6~作业分析：这是综合性较强的问题，如何找到突破的关键点需要在解决问题的过程中去训练，此题要求学生有较强的综合分析能力。评价设计作业评价表评价指标评价主体等级(A,B,C)备注完成的及性A等，及时；B等，迟交；C等，催了多次迟交，或不交的。完成的整洁性损A等，干净，漂亮；B等，有涂改；C等，破损。答题的准确性互评答案不正确。答题的规范性BC等，过程不规范或无过程。解法的创新性师评A等，解法有新意和独到之处；B等，解法思路有创新；C等，常规解法，思路不清楚。综合评价等级C综合评价为B等；其余情况综合评价为C等。1.1.2锐角三角函数(第二课时)作业目标1.学生通过对应的练习，根据三角函数的概念进行简单的计算，巩固三角函数概念；2.提升学生运用数学知识解决问题的能力；3.将生活问题数学化，运用数学知识解决生活中的问题，感受数学的应用价值。学情分析1.学生已经对正切函数有了一定认识和学习；2.学生对不同情境中的问题转化成数学模型的能力不足，相关练习不够。作业1(基础性作业)(1)完成时间(10分钟)(2)作业内容1.如图完成填空7~锐角三角函数定义：sinA=，cosA=，tanA=。作业分析：通过知识回顾为本节的练习做好准备，把所做的练习与所学的知识点建立联系。设计意图：考查学生在具体直角三角形中利用三角函数的定义寻找对应的边长求解。作业分析：本题为必做题，要求每个学生都要熟练正确求解。B设计意图：考查学生逆向思维的能力，通过利用三角函数定义建立方程求解，强化运用方程的思想解题。作业分析：本题的解决主要还是基于对三角函数的定义的理解和运用。A．B．C．D．2设计意图：考查在平面直角坐标系的背景下求解三角函数，加强学生对知识间的联系和运用。作业分析：本题为必做题，结合图像确定求解的边长，利用余弦定义解决。作业2(拓展性作业) (1)完成时间(8分钟) (2)作业内容5.如图，梯子与地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列 叙述正确的是() A．sinA的值越小，梯子越陡 B．cosA的值越小，梯子越陡 C．梯子的长度决定倾斜程度 D．梯子的倾斜程度与∠A的三角函数值无关设计意图：考查“正弦和余弦”在生活中的意义，感受到从不同角度去解释一件事物的合理性，体会三角函数值和梯子的倾斜程度的关系，感受数学与生活的联系。作业分析：本题为必做题，要求学生具备将生活中的问题转化成数学问题。6.(课本母题的变式)如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AD⊥BC于点D． 8~设计意图:考查运用等腰三角形的性质解决三角形中的各个元素，让学生感受知识的联系，也是对等腰三角形知识的一个复习。作业分析:本题为提高题，第一问考察学生对等腰三角形“三线合一”性质的运用；第二问考察学生对三角函数定义的理解。评价设计作业评价表评价指标评价主体等级(A,B,C)备注完成的及性A等，及时；B等，迟交；C等，催了多次迟交，或不交的。完成的整洁性损A等，干净，漂亮；B等，有涂改；C等，破损。答题的准确性互评答案不正确。答题的规范性BC等，过程不规范或无过程。解法的创新性师评A等，解法有新意和独到之处；B等，解法思路有创新；C等，常规解法，思路不清楚。综合评价等级C综合评价为B等；其余情况综合评价为C等。1.230°45°60°角三角函数值作业目标1.通过练习让学生熟练进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；2.能够根据30°、45°、60°角的三角函数值说出相应锐角的大小并进行简单地应用；3.让各个层次的学生都能得到充分的练习和成长。学情分析1.学生已经知道特殊角的三角函数值是怎么推导出来的，通过练习进行加深记忆；2.学生具有利用已学知识解决直角三角形模型里的边角关系的初步能力。作业1(基础性作业)(1)完成时间(10分钟)9~(2)作业内容A．45°B.60°C.90°D.30°设计意图：已知三角函数值，求解锐角的度数，加强学生对特殊角三角函数值的记忆和逆向思维的培养。作业分析：主要考查了哪个锐角的正切值是。2.下列是有理数的是()A.sin45°B.cos45°C.tan45°D.cos30°设计意图：考查学生有理数的概念和特殊三角函数值，熟练掌握概念是解题关键。是300、45°角的函数值容易能混。3.(-sin60°，cos60°)关于y轴对称的点的坐标是()设计意图：主要考查了特殊角的三角函数值，平面直角坐标系中对称点的规律。作业分析：这题注重“知识间的衔接”，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数。4.计算:设计意图：考查学生对三角函数值的记忆，锻炼学生的计算能力。作业分析：第一小题检验三角函数值的运算和二次根式的运算，第二小题的负指数幂和零指数幂的运算也是易错点。作业2(拓展性作业)(1)完成时间(8分钟)(2)作业内容5.(创新题)昨夜一场暴雪，小明同学在宿州北教场发现一棵大树在离地面若干米处被雪压倒BC的长(结果保留根号)。设计意图：在直角三角形中，考查学生三角函数值与角、边之间的关系并加以实际应用。作业分析：通过现实生活中的实例，抽象出直角三角形，利用正切函数来求边长。10~6.计算下列各式完成下列探究(1)sin230°+cos230°=(2)sin245°+cos245°=1、通过上面的计算猜想2、sin2A+cos2A等于多少？设计意图：让学生用已学三角函数的知识进行探究性学习，经历从特殊到一般再进行证明验证，培养孩子的探究能力和激发学生的学习兴趣。作业分析：通过计算很容易猜想到，证明是需要学生画出直角三角形，利用三角函数和勾股定理找到边与角之间的关系，需要学生去思考从何处入手找关系。设计评价作业评价表评价指标评价主体等级(A,B,C)备注完成的及性A等，及时；B等，迟交；C等，催了多次迟交，或不交的。完成的整洁性损A等，干净，漂亮；B等，有涂改；C等，破损。答题的准确性互评答案不正确。答题的规范性BC等，过程不规范或无过程。解法的创新性师评A等，解法有新意和独到之处；B等，解法思路有创新；C等，常规解法，思路不清楚。综合评价等级C综合评价为B等；其余情况综合评价为C等。1.3三角函数的计算作业目标1.通过练习让学生熟练利用计算器求锐角三角函数的值和已知三角函数的值求解相应锐角的度数；2.通过练习巩固三角函数的相关知识，并解决一些实际问题。学情分析1.通过学习，学生很容易掌握使用计算器来计算锐角三角函数值的操作方法；2.通过学生对计算器的使用，学生已经探索一些不是特殊角的三角函数值的应用和规律问题。作业1(基础性作业)(1)完成时间(10分钟)(2)作业内容11~1.利用计算器求解角的三角函数值和已知函数值求角的度数。并用计算器完成下列计算(1)sin56°(2)cos20.5°(3)tan44°59′59″设计意图：强化学生对计算器的操作训练。作业分析：主要让生熟悉用计算器计算三角函数值的步骤。角A的度数tanA=2.9888(2)sinA=0.3957(3)cosA=0.7850设计意图:考查学生动手操作能力，锻炼利用计算器求三角函数的值和度数，熟练使用计算器。作业分析：让学生根据自己的计算器熟练操作步骤。3.用计算器求下列各式的值(1)sin256。+cos225。(2)sin62.6°-2sin37°*cos20°设计意图：培养学生使用计算器计算的能力。作业分析：此题通过计算培养学生的耐心和细心。4.(创新题)下图是宿州华夏世贸商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为设计意图：通过生活中常见的实物考察学生对三角函数的实际应用，激发学生学习的兴趣。作业分析：学生利用计算器来解决不是特殊角三角函数的应用问题。2(探究性作业)5.利用计算器完成以下探究：(1)sin10°≈规律：(2)cos15°≈规律：(3)tan10°≈规律：应用拓展：，sin36°≈，cos40°≈，tan36°≈，sin50°≈，sin87°≈。，cos62°≈，cos88°≈。，tan50°≈，tan87°≈。ABA.c＞a＞bB.a＞b＞cC.a＞c＞bD.b＞c＞a设计意图：考查学生利用计算器来探究正弦，余弦，正切函数的增减性，并加以应用，以此培养孩子的探究能力和总结能力。作业分析：学生很容易利用计算器找到三角函数在锐角范围的的增减情况，但还要学会怎么样利用找到规律来进行应用，这是个难点。设计评价作业评价表12~评价指标评价主体等级(A,B,C)备注完成的及性A等，及时；B等，迟交；C等，催了多次迟交，或不交的。完成的整洁性损A等，干净，漂亮；B等，有涂改；C等，破损。答题的准确性互评答案不正确。答题的规范性BC等，过程不规范或无过程。解法的创新性师评A等，解法有新意和独到之处；B等，解法思路有创新；C等，常规解法，思路不清楚。综合评价等级C综合评价为B等；其余情况综合评价为C等。作业目标1.理解解直角三角形的含义,掌握解直角三角形的方法。2.能将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，解决实际问题。学情分析经掌握了勾股定理、锐角三角函数的定义，会求三角函数sin、cos、tan值。2.会用计算器求任意锐角的三角函数值和由三角函数值求相应的锐角。3.学生综合运用所学知识解决问题能力薄弱，有必要进行针对性的练习。作业一、基础性作业(1)完成时间(10分钟以内)(2)作业内容：ABCD．10设计意图：利用特殊角的三角函数值求边长。作业分析：已知直角三角形一角一边利用三角函数求解三角形的基本元素。2.如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6cm，那么这个三角形的面积为()13~A．12cm2B．6cm2C．6cm2D．9cm2设计意图：考查构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值解决问题。作业分析：利用等腰三角形的“三线合一”构造直角三角形模型解决面积问题。设计意图：利用直角三角形一边一角求解其他边角。作业分析：这是最基本的题型，直接利用三角函数值求解直角三角形。设计意图：考查解直角三角形的实际应用。作业分析：利用特殊三角函数值求解直角三角形并求面积。(1)完成时间(10分钟)(2)作业内容5.(课本母体变式)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D.若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝，设计意图：利用所掌握的解直角三角形知识与技能解决实际问题。作业分析：这是一题无直角三角形的题目，如何构造直角三角形是有一定难度的，重点考查了直角三角形的边角关系的应用。6.如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝6.设计意图：通过练习掌握解直角三角形的方法，考查锐角三角函数的综合应用。作业分析：通过三角函数的使用求解边长，进一步求解三角形的周长。设计评价14~作业评价表评价指标评价主体等级(A,B,C)备注完成的及性A等，及时；B等，迟交；C等，催了多次迟交，或不交的。完成的整洁性损A等，干净，漂亮；B等，有涂改；C等，破损。答题的准确性互评答案不正确。答题的规范性BC等，过程不规范或无过程。解法的创新性师评A等，解法有新意和独到之处；B等，解法思路有创新；C等，常规解法，思路不清楚。综合评价等级C综合评价为B等；其余情况综合评价为C等。应用作业目标1.提高学生利用三角函数解决实际问题的能力。2.借助辅助线构造直角三角形，转化为解直角三角形的问题。3.将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并能借助方程思想解决实际问题。学情分析1.学生已经掌握了直角三角形中边与边的关系(勾股定理)；角与角的关系(直角三角形两锐角互余)；边与角的关系(正弦、余弦、正切)。2.能利用以上三个关系，在直角三角形中进行一些简单计算，并解决一些简单的实际问题。作业一：基础性作业(1)完成时间(12分钟)(2)作业内容1.在Rt△ABC中，三C=90O，则下列式子一定成立的是()。osB设计意图：考查锐角三角函数概念之间的关系。作业分析：基础题，考查学生对三角函数的理解。2.(创新题)如图，AB是宿州新汴河某河堤横断面的迎水坡，坡高AC=1，水平距离BC=，则斜坡AB的坡度为()。15~A.33C．30°D．60O设计意图：考查坡度概念的理解。作业分析：坡度就是铅直高度与水平宽度的比，也是坡角的正切值。3.(课本母题变式)为了迎接第44届植树节，我校汴河路校区八年级学生准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为()。A5cosα米B．米C．5sin米D．米设计意图：利用三角函数解决实际问题。作业分析：构建数学模型解决实际问题。4.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处.如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，那么海轮航行的距离AB的长是()。A.2海里B.2sin55°海里C.2cos55°海里D.2tan55°海里设计意图：考查学生对于方位角的掌握。作业分析：方位角是三角函数的应用之一。5.如图，在平面直角坐标系xOy中，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，如果OA＝，tanα＝2，那么点A的坐标是____．设计意图：考查学生利用三角函数在平面直角坐标系中的应用。作业分析：本题在平面直角坐标系中综合应用三角函数。作业二：发展性作业(1)完成时间(8分钟)(2)作业内容6.(创新题)为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，我校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温(如图1)，其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上下调节(如图2)，已知探测OBCOAC(1)若该设备的安装高度OC为1.6米时，求测温区域的宽度AB．(2)该校要求测温区域的宽度AB为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．16~(结果精确到0.01米，参考数据：sin58.0°≈0.85，cos58.0°≈0.53，tan58.0°≈1.60，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50)设计意图：考查直角三角形中锐角三角函数在生活中的应用。作业分析：把实际问题转化成数学问题，让学生进一步体会“数形结合思想”在学习中的应设计评价作业评价表评价指标评价主体等级(A,B,C)备注完成的及性A等，及时；B等，迟交；C等，催了多次迟交，或不交的。完成的整洁性损A等，干净，漂亮；B等，有涂改；C等，破损。答题的准确性互评答案不正确。答题的规范性BC等，过程不规范或无过程。解法的创新性师评A等，解法有新意和独到之处；B等，解法思路有创新；C等，常规解法，思路不清楚。综合评价等级C综合评价为B等；其余情况综合评价为C等。1.6利用三角函数测高作业目标1.同学们会制作测倾器，了解测倾器的使用方法。2.课下实践性作业锻炼学生实地测量物体的高度。学情分析17~同学们已经熟悉了测倾器的使用方法，掌握了多种测高方法，根据解直角三角形边角关系，能够解决简单的实际问题。实践性作业(1)完成时间(28分钟)(2)作业内容活动任务1.同学们下面的雕塑都比较熟悉吧，它寓意深刻。它有多高呢？按照课堂上分好的8个组，(1—4)四组设计用两种方法测量金钥匙的高度。(1能直接到达它底部的方法测量高度。2不能直接到达它底部的方法测量高度)。完成活动报告(活页)2.大家都去过万达CBD购物，它是目前我市最高的建筑物据说达到180多米，同学们想知道万达CBD到底有多高吗？请(5—8)组的同学在操场测量万达CBD的高度。完成活动报告(活页)设计意图：课堂上我们分8组制作测倾器，了解测倾器的使用方法。在理论上设计如何测量物体的高度，为了培养学生的实际操作能力，合作精神。特布置活动探究性作业。评价设计：探究性活动作业，学生比较喜欢，在活动报告中设计学生自评，和老师点评。器材：测倾器卷尺活动报告年月日第一次18~设计评价作业评价表评价指标评价主体等级(A,B,C)备注完成的及性A等，及时；B等，迟交；C等，催了多次迟交，或不交的。完成的整洁性损A等，干净，漂亮；B等，有涂改；C等，破损。答题的准确性互评答案不正确。答题的规范性BC等，过程不规范或无过程。解法的创新性师评A等，解法有新意和独到之处；B等，解法思路有创新；C等，常规解法，思路不清楚。综合评价等级C综合评价为B等；其余情况综合评价为C等。回顾与思考(第一课时)作业目标(1)巩固三角函数的基础目标(定义、特殊角的值、解直角三角形)，及对三角函数公式的应用；考察学生利用计算器求解三角函数值；(2)培养学生学习数学的兴趣，提升学生运用知识解决实际问题能力。学情分析1．学生已经掌握了本章的知识点，并且利用三角函数这一工具解决相关问题；19~2．学生能动手画出含有特殊角的直角三角形，并且已经获得所学知识的结论；3．学生能够运用计算器求锐角的三角函数值，充分感受到工具的作用。作业1(基础性作业)(1)完成时间(10分钟)(2)作业内容设计意图：主要考查学生利用“数形结合”思想，解决代数问题！作业分析:本题属于基础知识点的考察，可以画出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求。设计意图:考查特殊角的三角函数值的掌握。作业分析:本题是熟记特殊角的三角函数值。1.(创新题)一数学兴趣小组想了解宿州新汴河大堤。测量发现某处堤的横断面如图．堤高是5米，迎水斜坡AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度是()设计意图:激发学生的探索精神，爱学习，爱生活。作业分析:本题是概念题，考查坡度概念的应用。c，按下列条件解直角三角形。(1)若a＝36，∠B＝30°，求∠A的度数和边b、c的长；(2)若a＝6，b＝6，求∠A、∠B的度数和边c的长。设计意图:考查直角三角形的边角关系。作业分析:这是基本题型的训练，利用直角三角形的边角关系求解直角三角形。作业2(拓展性作业)(1)完成时间(10分钟)(2)作业内容33设计意图:考查(1)特殊角的三角函数值的掌握；(2)运用“整体”的思想来解决问题。作业分析:本题是个小综合题，要掌握特殊角的三角函数值以及一元二次方程的解法，加强知识间的联系！6.(创新题)如图,宿州市新开楼盘“御品华府”有甲,乙两栋楼相距24m,甲楼高21m,自甲楼楼顶看乙楼楼顶,仰角为300，求乙楼有多高?(结果根号表示)。设计意图:考查直角三角形在现实生活中的应用，掌握数学模型的构造，知晓数学知识可以服务于生活。作业分析:这题是关于仰角的应用题。关键是要构造直角三角形，利用直角三角形的知识解决20~设计评价作业评价表评价指标评价主体等级(A,B,C)备注完成的及性A等，及时；B等，迟交；C等，催了多次迟交，或不交的。完成的整洁性损A等，干净，漂亮；B等，有涂改；C等，破损。答题的准确性互评答案不正确。答题的规范性BC等，过程不规范或无过程。解法的创新性师评A等，解法有新意和独到之处；B等，解法思路有创新；C等，常规解法，思路不清楚。综合评价等级C综合评价为B等；其余情况综合评价为C等。回顾与思考(第二课时)作业目标1.考察学生运用直角三角形的边角关系、特殊角的三角函数值及计算器解直角三角形；2.锻炼学生借助辅助线构造直角三角形，使之转化为解直角三角形；3.检测学生实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并利用方程的思想解决实际问题的能力。学情分析1.学生对本章有了整体的把握，但还不熟练，要继续巩固；2.学生的求知欲很高，想继续学习。作业1(基础性作业)(1)完成时间(10分钟)(2)作业内容1.△ABC中，若sinA=，tanB=，则∠C=_______．设计意图：考查直角三角形的边角关系。21~作业分析：这题是对特殊角三角函数值的理解和概念的练习。设计意图：考查非直角三角形构造成直角三角形，应用三角函数解决问题。作业分析：是小型求面积的应用题，借助辅助线构造直角三角形解决面积问题。那么sin∠CAD=()(A) 53 23(C)(D)(变式)：若将题目中“AD⊥BC于点D”改为“AD为BC边上的中线”，其它条件不变，选哪个设计意图:本题是考查直角三角形中的等量“转换思想”的应用；变式，主要对所学的知识会“举一反三”。作业分析：“互余”的两个锐角的三角关系，用直角三角形的边角关系求解。5,5,长。长CDDAEB设计思想：考查学生利用“数形结合”和“方程”思想来解几何问题.作业分析：本题有一定的难度关键是构造合适的直角三角形，寻找等量关系，建立方程。作业2(拓展性作业)(1)完成时间(10分钟)(2)作业内容5.如图，在一个坡度i=1:2的山坡AB上发现一棵古树CD.测得古树底端C到山脚A的距离AC=10m，在距山脚A水平距离5m的点E处，测得古树顶端D的仰角三AED=48。(古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面内，古树CD与直线AE垂直)，则古树CD的高度约为(参A.17.75mB.20.9mC.21.3mD.33.3m设计思想：考查学生利用“数形结合”研究坡角和仰角的问题。22~作业分析：这是一题关于坡角的应用题，是对坡角和仰角的应用。6.(创新题)如图，安徽省萧县皇藏峪的山上有一座信号发射塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺，测倾器。某数学兴趣小组根据现有的条件充分利用矩形建筑物设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案，具体要求如下：(1)测量数据尽可能少(2)在所给图形上画出设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上(如果测A、D间的距(3)根据所测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG(用字母表示)H A mMm βnBCG设计思想：培养学生自主学习、主动探究、合作交流。作业分析：这题具有一定的挑战性，培养学生的发散思维。这题的结论可以作为解这类题型的公式。设计评价作业评价表评价指标评价主体等级(A,B,C)备注完成的及性A等，及时；B等，迟交；C等，催了多次迟交，或不交的。完成的整洁性损A等，干净，漂亮；B等，有涂改；C等，破损。答题的准确性互评答案不正确。答题的规范性BC等，过程不规范或无过程。解法的创新性师评A等，解法有新意和独到之处；B等，解法思路有创新；C等，常规解法，思路不清楚。综合评价等级C综合评价为B等；其余情况综合评价为C等。23~八、单元质量检测作业时间：45分钟满分100分作业目标1.了解学生们解直角三角形的概念，运用直角三角形的边角关系解直角三角形。2.探讨解直角三角形所需的最简条件，体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题。3.通过对问题情境的讨论，渗透“数学建模”的思想，培养学生研究问题的意识。学情分析1.学生已经掌握了本章的知识点，知晓了本章的重点和难点；2.对于本章的相关的知识进行相应的练习和训练；3.本章所利用到的数学思想都进行了学习。温馨提示只为最棒的你：同学们好！本次测试内容共计14题，请认真结合所学知识，组织好解题步骤，完整解答。最后理解，感悟----本次检测有哪些收获？我以后该怎么做？A.70°B.60°C.50°D.30°2.如图是一架人字梯，已知AB=AC=2米，AC与地面BC的夹角为a,则两梯脚之间的距离BC为()A.4cosa米B.4sina米C.4tana米D.米A.B.C.1D.4.若∠A为锐角，且cosA<0.5，则∠A()A.小于30°B.大于30°C.大于60°D.大于60°5.在△ABC中，∠C=90°，若AC=3,AB=4，则().A.BC=5B.sinA>tanBC.cosA=D.tanA=cosB6.在正方形网格中，∠AOB如图所示放置，则sin∠AOB的值为()A.B.C.D.24~7.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则tanA的值为.8.(教材变式题)在由边长为1的小正方形所组成的网格中，△ABC如图放置，则cosA= .9.如图，已知P(4，3)为∠a边上一点，则cosa=．10.在Rt△ABC中，∠C=90°,sinA=,AB=13，则△ABC的面积为.)11.(选做题)如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点(点E在点F左侧)，且∠AEB=∠CFD=90°.(1)求证：四边形AECF是平行四边形.(2)当AB=5，tan∠ABE=，∠CBE=∠EAF时，求BD的长。12、(改编题)我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB=AC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动.如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置，且A，B，D'三点共线，AD'=40cm，B为AD'中点，当∠BAC=140°时，伞完全张开.25~(1)求AB的长.(2)当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离.(参考数据：sin70°≈094,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)13、(基础题)如图，宿州市符离镇的网红小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一高压输电iBD底B处测得铁架顶(1)求符离网红小山的高度；(2)求铁架的高度.(3≈1.73，精确到0.1米)14、(拓展提高题)如图，在7×7的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点均在小正方形的格点上(小正方形的顶点称为格点).(1)在图中画一个Rt△ABC，使其同时满足以下三个条件：①A为直角顶点；②点C在格点上；③tan∠ACB=；(2)在(1)的条件下，请在网格中找到另一个格点D，满足tan∠CBD=1，连结CD，求线段26~设计评价(1)等级性评价标体等级(A,B,C)备注及时性A等，及时；B等，迟交；C等，催了多次迟交，或不交的。整洁性破损。准确性互评A等，答案正确；B等，答案不完全正确；C等，答案不正确。规范性A等，过程规范；B等，过程不够规范、不完整；C等，过程不规范或无过程。创新性师评A等，解法有新意和独到之处；B等，解法价等级上无C综合评价为B等；其余情况综合评价为C等。(2)定量性评价90~100A70~89B60~69C50~59DE27~学生自我章节总评价参考答案1.1锐角三角函数(第一课时)1.【答案解析】学生根据正切定义直接求解得出。解：2.【答案解析】利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角形，确定∠C为直角，再运用正切定328~3.【答案解析】根据坐标的定义和正切定义，由点A的坐标(t，3)得出3：t=3:2得t=2。解：C4.【答案解析】根据正切值越大倾斜角越大梯子越陡得出。解：C5.【答案解析】根据正切定义得出锐角三角函数的正切等于角的对边与邻边的比，再利用分数的基本性质得出各边都扩大三倍，其比值不变。解：B6.【答案解析】根据勾股定理先求出AC再由坡度定义计算得出。C解：C7.【答案解析】由折叠性质得出AE=BE,在直角三角形中运用勾股定理得出CE的长度再运用正切定义解决。解：由折叠性质可知相关量的关系.BE=AE，设CE=x,则BE=CE=8-x,在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BE2＝BC2＋CE2，即(8－x)2＝6＋x22.解得x＝7∴tan∠CBE＝CE＝7。4.CB241.1.2锐角三角函数(第二课时)1.【答案解析】由三角函数定义完成。EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(A的),斜)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(对),)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(A的),斜)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(邻),)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(A的),邻)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up5(对),)。2.【答案解析】先根据勾股定理求出第三边，再利用余弦定义计算求出。解：3.【答案解析】先根据提议画出草图找出对应边再利用正弦定义得出含有AB未知线段的等式，通过解方程求出。4.【答案解析】学生先根据坐标定义得出直角三角形，运用勾股定理得出线段OA的长度再利用余弦定义计算得出。解：C5.【答案解析】根据倾斜程度和三角函数值的关系进行判断得出。解：B6.【答案解析】(1)利用等腰三角形的三线合一的性质得出BD＝CD=4，再根据勾股定理计算求出AD。(2)在第一问的基础上根据正弦，余弦定义计算得出。29~ (2)sinB＝AD＝25＝5，cosC＝CD＝4＝2AB63AC63.1.230°45°60°角三角函数值1.【答案解析】30°角的正切值是所以锐角α等于30°。，答案：D2.【答案解析】计算出各个实数，再判断谁是有理数。答案：C3.【答案解析】根据关于y轴的对称点的坐标特点为：横坐标互为相反数，纵坐标不变进行解题即可。故选：A．4.【答案解析】算出特殊角的三角函数值再利用实数的运算法则进行计算得出答案。解：(1)原式=3×+2×=2×+1×+13+2=-15.【答案解析】在Rt△ABC中，根据已知条件，利用正切就可求出BC的长。∴BC＝AC•tan∠BAC＝12×tan30°=43答：BC的长是43米。6.【答案解析】通过计算，很容易猜想得到sin2A+cos2A=1；在直角三角形中，先求出特殊角的正弦和余弦值，再代入sin2A+cos2A，利用勾股定理的知识即可证明猜想。解：(1)通过计算猜想sin2A+cos2A=1；∴sin2A+cos2A=；∵Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2∴sin2A+cos2A=11.3三角函数的计算1.【答案解析】利用学生自己的计算器操作方法，进行操作计算。答案：(1)0.8290(2)0.9367(3)1.00002.【答案解析】利用学生自己的计算器操作方法，进行操作计算。答案：(1)71°30′2″(2)23°18′35″(3)38°16′46″3.【答案解析】利用计算器算出三角函数值，在进行实数的运算，得出答案。答案：(1)1.5087(2)—0.24324.【答案解析】30~根据实际情况抽象成几何图形然后利用三角函数的边角关系进行解决。解：在Rt△ABC中，BC⊥AC，AB=37°∴AB=BC/sin37°≈6÷0.6≈10米5.【答案解析】数的增加sinα，cosα，tanα，三角函数值的变化情况，从而得到三角函数的增减性，然后再利用得到的结论解决问题。解：(1)∵cos60°=，cos30°=，在锐角范围内余弦函数是减函数(2)∵a=sin46°＞sin45°，b=cos46°＜cos45°=sin45°；∴a＞b。∴c＞a＞b。1.【答案解析】利用∠A的正切值等于∠A的对边比邻边。解：A2.【答案解析】过顶点作底边的垂线，利用等腰三角形的“三线合一”构造直角三角形，求高和底边，从而求出面积。解：D3.【答案解析】利用三角形内角和定理求出另一锐角，利用45°角的正弦和余弦求出另两条边。cc88.∴a＝b＝8.4.【答案解析】在直角三角形中利用∠A的正弦和余弦分别求出两条直角边，从而求出三角形的面积。sinA＝，cosAsinA＝，cosA＝∴a=BC＝csinA=sin60°8=12b=AC＝cosA=cos60°8=4，cc解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°∴Rt△ADB中tan∠BAD＝BDAD.AC13.AC13.6.【答案解析】31~ BC63.2)Rt△BDC中，sinC＝BD，∴BD＝22∴BD＝4.BC63.应用1.【答案解析】根据直角三角形中锐角三角函数的关系解答。解：D2.【答案解析】根据坡度的知识解答。解：A3.【答案解析】根据两直线平行内错角相等，利用相等角的函数值也相等解答。解：B4.【答案解析】掌握方位角的表示方法利用三角函数解决。解：C的坐标即可。解：(1，2)6.【答案解析】解：(1)根据题意可知：RtOBCBC1.00(米)，在Rt△OAC中，答：测温区域的宽度AB为2.2米；(2)根据题意可知：在Rt△OAC中，OC＝AC•tan∠OAC≈(2.53+BC)×0.50，答：该设备的安装高度OC约为1.84米．1.6利用三角函数测高答案(略)回顾与思考(第一课时)1．【答案解析】本题利用勾股定理求出AC，然后根据正弦、余弦和正切的定义计算。32~BC5AC12BC5sinA＝＝，cosA＝＝,tanA=＝AB13AB13AC122.【答案解析】将特殊角的三角函数值代入求解。解：原式＝2××－6××＝－＝－14.【答案解析】(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形。形c 25.【答案解析】用因式分解法解关于tanα的一元二次方程。6.【答案解析】这一题如何构造直角三角形是关键，再结合三角函数的知识，然后解答。 ∵tanA= ∴DE=×24=8∴DC=21+8答：乙楼的高度为(21+83)m。回顾与思考(第二课时)1.【答案解析】利用特殊锐角三角函数值求角，再利用直角三角形中简单的边角关系，进而求之。.C2.【答案解析】过点A作AD⊥BC于点D，根据勾股定理求出BD、AD的长，再根据解直角三角形求出CD的长，最后根据三角形的面积公式解答。33~∴∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝AB＝×2＝1.∵∠A＝105°，∴∠CAD＝105°－45°＝3 3＋1＝2.3.【答案解析】将要求的角转化为与它相等的角CADBsinCADsin三B,选A【变式】若AD为CB边上的中线，则有AD=CD,则∠CAD=∠ACD,sin∠CAD=sinC,从而得到选项4.【答案解析】这题主要是构造直角三角形，利用tan∠DBA。数的定义，即可弄清DE与BE的长度关系，再结合等腰直角三角形的性质，问题迎刃而解.∵tan∠DBE==,∴设DE=x，则BE=5x∴AB=DE+BE=6xACBRtARtDEARt△∴AE=DE=x∴AD=2x又∵AC=6,AB=2AC=62∴6x=62∴x=2∴AD=2x=2×2=2即AD=25.【答案解析】先构造直角三角形，以及坡角与仰角的应用。如图，延长DC交直线EA于点由题意可知，DF」EG，BG」EG，：DF//BG，：BG:AG=CF:AF=i=1:2，：AF=2CF.在Rt△ACF中，AC=10，由勾股定理，得AF2+CF2=AC2，即5CF2=500，：CF=10，AF=20，解得CD必17.75(m)，即古树CD的高度约为17.75m.故选A。6.【答案解析】要设计一个测量HG高度的方案，且要求测量数据尽可能少，根据以往的经验，HG的长度还需测得DC的高度，因此采用这种方法，需4个数据；若分别测得在D和C两处HDCHG据，因此本题最佳的解决方案有两套.有了方案第3小题便可轻松解决了。(2)解设HG=x，EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(),AM)EQ\*jc3\*hps25\o\al(\s\up8(x),t)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(),n)EQ\*jc3\*hps25\o\al(\s\up8(n),y)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(),DM)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(x),ta)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(),n)又AM一DM=m：EQ\*jc3\*hps25\o\al(\s\up9(x),t)aEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(),n)一EQ\*jc3\*hps25\o\al(\s\up9(x),t)aEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up9(),n)n=mEQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(),DM)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(x),ta)EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up8(),n)H A mMm βn：x=DMCG： n.tanxx一nBCG ntan(重要的结论：HG=n+HG=ta