2025版高考数学一轮复习核心素养测评五十一10.4直线与圆圆与圆的位置关系文含解析北师大版VIP

PAGE6-核心素养测评五十一直线与圆、圆与圆的位置关系(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2024·桂林模拟)已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为 ()A.(x+2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=1【解析】选B.圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1的圆心坐标为(-1,1),关于直线x-y-1=0对称的圆心坐标为(2,-2),所求的圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.2.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m= ()A.21 B.19 C.9 【解析】选C.圆C1的圆心是原点(0,0),半径r1=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=25-m,圆心C2(3,4),半径r2=25-m,由两圆相外切,得|C1C2|=r1+r2=1+253.已知两点A(-1,0),B(1,0)以及圆C:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0),若圆C上存在点P,满意·=0,则r的取值范围是 ()A.[3,6] B.[3,5] C.[4,5] D.[4,6]【解析】选D.因为·=0,所以点P在以A(-1,0),B(1,0)两点为直径的圆上,该圆方程为:x2+y2=1,又点P在圆C上,所以两圆有公共点.两圆的圆心距d=32所以|r-1|≤5≤r+1,解得4≤r≤6.4.过点(0,1)且倾斜角为π3的直线l交圆x2+y2-6y=0于A,B两点,则弦AB的长为A.10 B.2 C.22 D.42【解析】选D.过点(0,1)且倾斜角为π3的直线l为y-1=3x,即3因为圆x2+y2-6y=0,即x2+(y-3)2=9,所以圆心(0,3),半径r=3,圆心到直线l:3x-y+1=0的距离d=|-3+1|2=1,所以直线被圆截得的弦长l=235.直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是 ()A.相交 B.相切C.相离 D.不确定【解析】选A.直线l:mx-y+1-m=0过定点(1,1),因为点(1,1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,所以直线l与圆相交.【一题多解微课】本题还可以采纳以下方法求解:(几何法)选A.由题意知,圆心(0,1)到直线l的距离d=|m|m2+1<1<5(代数法)选A.由mx-y+1-m=0,x2+(y-1)2=5,消去y,整理得:(1+m2)x26.若直线l:ax+by=1与圆C:x2+y2=1无交点,则点P(b,a)与圆C的位置关系是 ()A.点在圆上 B.点在圆外C.点在圆内 D.不能确定【解析】选C.直线l:ax+by=1与圆C:x2+y2=1无交点,则1a2+b2>1,即所以点P(b,a)在圆C内部.7.若直线l:4x-ay+1=0平分圆C:(x+2)2+(y-2)2=4,则实数a的值为世纪金榜导学号()A.-72 B.2815 C.72 D.【解析】选A.当直线经过圆心时平分圆,所以,圆心C(-2,2)在直线l:4x-ay+1=0上,所以4×(-2)-a×2+1=0,解得a=-72二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2024·合肥模拟)已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1相外切,则ab的最大值为.

【解析】由已知得圆C1的圆心C1(a,-2),圆C2的圆心C2(-b,-2),由两圆外切可知|a+b|=3,故a2+2ab+b2=9,所以4ab≤9,所以ab≤94.答案:9.过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于B(2,1),则圆C的方程为.

【解析】设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由已知,点(a,b)既在直线y-1=-(x-2)上,又在AB的垂直平分线上,由x+y-3=0,x-3=0,得圆心C的坐标为(3,0),r=|AC|=(4-答案:(x-3)2+y2=210.圆x2+y2+2y-3=0被直线x+y-k=0分成两段圆弧,且较短弧长与较长弧长之比为1∶3,则k=. 世纪金榜导学号

【解析】由题意知,圆的标准方程为x2+(y+1)2=4.较短弧所对圆心角是90°,所以圆心(0,-1)到直线x+y-k=0的距离为22r=2.即|1+k|2=2答案:1或-3(15分钟35分)1.(5分)已知k∈R,点P(a,b)是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2-2k+3的公共点,则ab的最大值为 ()A.15 B.9 C.1 D.-【解析】选B.由题意得,原点到直线x+y=2k的距离d=|-2k|2≤k2-2k+3,且k2-2k+3>0,解得-3≤k≤1,因为2ab=(a+b)2-(a2+b2)=4k2-(k22.(5分)若直线y=x+b与曲线x=1-y2恰有一个公共点,则A.(-1,1] B.{-2}C.{-2,2} D.(-1,1]∪{-2}【解析】选D.由x=1-y2知,曲线表示半圆当-1<b≤1时,直线y=x+b与半圆有一个公共点;当直线与半圆相切时,也与半圆只有一个公共点,此时|b|2=1(b<-1),解得3.(5分)(2024·江西模拟)已知圆O:x2+y2=9,过点C(2,1)的直线l与圆O交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,直线l的方程为 ()A.x-y-3=0或7x-y-15=0B.x+y+3=0或7x+y-15=0C.x+y-3=0或7x-y+15=0D.x+y-3=0或7x+y-15=0【解析】选D.当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=2,则P,Q的坐标为(2,5),(2,-5),所以S△OPQ=12×2×25=25当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-1=k(x-2)k≠12,则圆心到直线PQ的距离由平面几何学问得|PQ|=29-S△OPQ=12·|PQ|·d=12·29-d2·d=(9-d2)d2≤9-d2+d222=因为25<92,所以S△OPQ的最大值为9此时4k2-4k+1k2+1=92,4.(10分)已知圆(x-1)2+y2=25,直线ax-y+5=0与圆相交于不同的两点A,B.世纪金榜导学号(1)求实数a的取值范围.(2)若弦AB的垂直平分线l过点P(-2,4),求实数a的值.【解析】(1)由题设知|a+5|a2+1所以a<0或a>512.故实数a的取值范围为(-∞,0)∪5(2)圆(x-1)2+y2=25的圆心坐标为(1,0),又弦AB的垂直平分线过圆心(1,0)及P(-2,4),所以kl=4-0-2-1=-43,又kAB=a,且AB⊥l,即a·-43=-1,所以a=5.(10分)已知圆C经过点A(2,-1),和直线x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x上. 世纪金榜导学号(1)求圆C的方程.(2)已知直线l经过原点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程.【解析】(1)设圆心的坐标为C(a,-2a),则(a-2化简,得a2-2a+1=0,解得a=1.所以C点坐标为(1,-2),半径