新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）24 立体几何中球与几何体的切接问题（原卷版）

素养拓展24立体几何中球与几何体的切接问题（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理一、外接球如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用．二、内切球球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径．【常用结论】①外接球模型一：墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)．)，秒杀公式：R2＝eq\f(a2＋b2＋c2,4)．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：②外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型，一般用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即SKIPIF1<0(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝eq\f(x2＋y2＋z2,8)(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．③外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．④外接球模型四：垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．⑤外接球模型五：有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R2＝r2＋m2，,R2＝d2＋h－m2，))解得R．可用秒杀公式：R2＝r12＋r22－eq\f(l2,4)(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长)⑥外接球模型六：圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥．秒杀公式：R＝eq\f(h2＋r2,2h)(其中h为几何体的高，r为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心)SKIPIF1<0SKIPIF1<0⑦内切球思路：以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径．方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC⇒VP－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·r＋eq\f(1,3)S△PAB·r＋eq\f(1,3)S△PAC·r＋eq\f(1,3)S△PBC·r＝eq\f(1,3)(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r；第三步：解出r＝eq\f(3VP－ABC,SO－ABC＋SO－PAB＋SO－PAC＋SO－PBC)＝eq\f(3V,S表)．二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，则该正四面体的棱长是．【典例2】（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则四面体ABCD外接球的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】设直三棱柱SKIPIF1<0的所有顶点都在一个表面积是SKIPIF1<0的球面上，且SKIPIF1<0，则此直三棱柱的表面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例4】在三棱锥SKIPIF1<0中，△ABC是边长为3的等边三角形，侧棱PA⊥平面ABC，且SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球表面积为．【典例5】已知正SKIPIF1<0边长为1，将SKIPIF1<0绕SKIPIF1<0旋转至SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球表面积为．【典例6】已知正四棱锥SKIPIF1<0的底面边长为SKIPIF1<0，侧棱长为6，则该四棱锥的外接球的体积为．【典例7】边长为SKIPIF1<0的正四面体内切球的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【题型训练1-刷真题】一、单选题1．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则该正四棱锥体积的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题5．已知点SKIPIF1<0均在半径为2的球面上，SKIPIF1<0是边长为3的等边三角形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【题型训练2-刷模拟】一、单选题1．边长为1的正方体的外接球表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知四面体SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且该四面体SKIPIF1<0的外接球的表面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该直三棱柱的外接球的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面ABC，则三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知SKIPIF1<0是边长为4的等边三角形，将它沿中线SKIPIF1<0折起得四面体SKIPIF1<0，使得此时SKIPIF1<0，则四面体SKIPIF1<0的外接球表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．在三棱锥SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0外接球的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，若三棱锥SKIPIF1<0的所有顶点都在球SKIPIF1<0的表面上，则球SKIPIF1<0的半径为（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．49．）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是边长为3的等边三角形，侧棱SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．）已知四棱锥SKIPIF1<0的体积是SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0是等边三角形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则四棱锥SKIPIF1<0外接球表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．已知四棱锥SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0是矩形，高为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则四棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．已知在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球表面积的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<013．）球O内接三棱锥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，球O表面积为SKIPIF1<0.则三棱锥SKIPIF1<0体积最大值为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．已知四面体ABCD满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且该四面体ABCD的外接球的球半径为SKIPIF1<0，四面体的内切球的球半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015．在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0外接球体积的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<016．如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为V1，它的内切球的体积为V2，则SKIPIF1<0（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<017．将一个半径为2的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的半径为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<018．已知四棱锥SKIPIF1<0的各棱长均为2，则其内切球表面积为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<019．若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<020．已知直三棱柱SKIPIF1<0存在内切球，若SKIPIF1<0，则该三棱柱外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<021．已知正三棱锥P—ABC的底面边长为3，高为SKIPIF1<0，则三棱锥P—ABC的内切球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<022．已知圆台SKIPIF1<0的下底面半径是上底面半径的2倍，其内切球的半径为SKIPIF1<0，则该圆台的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<023．已知正三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，其内切球半径为r，外接球半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<024．将菱形SKIPIF1<0沿对角线SKIPIF1<0折起，当四面体SKIPIF1<0体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题25．在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为．26．已知正三棱柱SKIPIF1<0的底面边长为6，三棱柱的高为SKIPIF1<0，则该三棱柱的外接球的表面积为.27．正三棱锥SKIPIF1<0底面边长为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0，则正三棱锥SKIPIF1<0外接球的体积为.28．在菱形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AC与BD的交点为G，点M，N分别在线段AD，CD上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿MN折叠到SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为．29．三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0在底面的射影SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内心，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则四面体SKIPIF1<0的外接球表面积为.30．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0绕着边BC逆时针旋转SKIPIF1<0后得到SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为.31．四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0