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文档简介
素养拓展24立体几何中球与几何体的切接问题(精讲+精练)一、知识点梳理一、知识点梳理一、外接球如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球.解决这类问题的关键是抓住内接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系,而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.二、内切球球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.如果外切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时,注意球心到各面的距离相等即球的半径,求球的半径时,可用球心与多面体的各顶点连接,球的半径为分成的小棱锥的高,用体积法来求球的半径.【常用结论】①外接球模型一:墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型,用构造法(构造长方体)解决.外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=eq\r(a2+b2+c2).),秒杀公式:R2=eq\f(a2+b2+c2,4).可求出球的半径从而解决问题.有以下四种类型:②外接球模型二:三棱锥的三组对棱长分别相等模型,一般用构造法(构造长方体)解决.外接球的直径等于长方体的体对角线长,即SKIPIF1<0(长方体的长、宽、高分别为a、b、c).秒杀公式:R2=eq\f(x2+y2+z2,8)(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z).可求出球的半径从而解决问题.③外接球模型三:直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型,用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点.一般情况下只作出一个面的垂线,然后设出球心用算术方法或代数方法即可解决问题.有时也作出两条垂线,交点即为球心.)解决.以直三棱柱为例,模型如下图,由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点,算出小圆O1的半径AO1=r,OO1=SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.④外接球模型四:垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型,可补为直棱柱内接于球,由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点,算出小圆O1的半径AO1=r,OO1=SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.⑤外接球模型五:有一侧面垂直底面的棱锥型,常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD,如类型Ⅰ,△ABC与△BCD都是直角三角形,类型Ⅱ,△ABC是等边三角形,△BCD是直角三角形,类型Ⅲ,△ABC与△BCD都是等边三角形,解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线,交点O即为球心.类型Ⅳ,△ABC与△BCD都一般三角形,解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所在平面的垂线,用代数方法即可解决问题.设三棱锥A-BCD的高为h,外接球的半径为R,球心为O.△BCD的外心为O1,O1到BD的距离为d,O与O1的距离为m,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R2=r2+m2,,R2=d2+h-m2,))解得R.可用秒杀公式:R2=r12+r22-eq\f(l2,4)(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径,l为两个面的交线的长)⑥外接球模型六:圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥.秒杀公式:R=eq\f(h2+r2,2h)(其中h为几何体的高,r为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心)SKIPIF1<0SKIPIF1<0⑦内切球思路:以三棱锥P-ABC为例,求其内切球的半径.方法:等体积法,三棱锥P-ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和;第一步:先求出四个表面的面积和整个锥体体积;第二步:设内切球的半径为r,球心为O,建立等式:VP-ABC=VO-ABC+VO-PAB+VO-PAC+VO-PBC⇒VP-ABC=eq\f(1,3)S△ABC·r+eq\f(1,3)S△PAB·r+eq\f(1,3)S△PAC·r+eq\f(1,3)S△PBC·r=eq\f(1,3)(S△ABC+S△PAB+S△PAC+S△PBC)·r;第三步:解出r=eq\f(3VP-ABC,SO-ABC+SO-PAB+SO-PAC+SO-PBC)=eq\f(3V,S表).二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】(2023·浙江·高三校联考期中)正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上,则该正四面体的棱长是.【答案】SKIPIF1<0【解析】如图所示:因为正四面体内接于球,则相应的一个正方体内接球,设正方体为SKIPIF1<0SKIPIF1<0,则正四面体为SKIPIF1<0,设球的半径为R,则SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0则正方体的棱长为SKIPIF1<0,所以正四面体的棱长为SKIPIF1<0,故答案为:SKIPIF1<0【典例2】(2023·河南·开封高中校考模拟预测)已知四面体ABCD中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则四面体ABCD外接球的体积为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】设四面体SKIPIF1<0的外接球的半径为SKIPIF1<0,则四面体SKIPIF1<0在一个长宽高为SKIPIF1<0的长方体中,如图,则SKIPIF1<0故SKIPIF1<0,故四面体ABCD外接球的体积为SKIPIF1<0,故选:C【典例3】(2023·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习)设直三棱柱SKIPIF1<0的所有顶点都在一个表面积是SKIPIF1<0的球面上,且SKIPIF1<0,则此直三棱柱的表面积是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】设SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.于是SKIPIF1<0(SKIPIF1<0是SKIPIF1<0外接圆的半径),SKIPIF1<0.又球心到平面SKIPIF1<0的距离等于侧棱长SKIPIF1<0的一半,所以球的半径为SKIPIF1<0.所以球的表面积为SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.因此SKIPIF1<0.于是直三棱柱的表面积是SKIPIF1<0.故选:D.【典例4】(2023·安徽宣城·高三统考期末)在三棱锥SKIPIF1<0中,△ABC是边长为3的等边三角形,侧棱PA⊥平面ABC,且SKIPIF1<0,则三棱锥SKIPIF1<0的外接球表面积为.【答案】SKIPIF1<0【解析】根据已知,底面SKIPIF1<0是边长为3的等边三角形,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,可得此三棱锥外接球,即以SKIPIF1<0为底面以SKIPIF1<0为高的正三棱柱的外接球.设正三棱柱的上下底面的中心分别为SKIPIF1<0,则外接球的球心SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点,SKIPIF1<0的外接圆半径为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以球的半径为SKIPIF1<0,所以四面体SKIPIF1<0外接球的表面积为SKIPIF1<0,故答案为:SKIPIF1<0.【典例5】(2023·四川乐山·高三期末)已知正SKIPIF1<0边长为1,将SKIPIF1<0绕SKIPIF1<0旋转至SKIPIF1<0,使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,则三棱锥SKIPIF1<0的外接球表面积为.【答案】SKIPIF1<0【解析】如图,取BC中点G,连接AG,DG,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,分别取SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的外心E,F分别过E,F作平面ABC与平面DBC的垂线,相交于O,则O为四面体SKIPIF1<0的球心,由SKIPIF1<0,SKIPIF1<0所以正方形OEGF的边长为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以四面体SKIPIF1<0的外接球的半径SKIPIF1<0,球O的表面积为SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0.【典例6】(2023·山东滨州·高三校考期中)已知正四棱锥SKIPIF1<0的底面边长为SKIPIF1<0,侧棱长为6,则该四棱锥的外接球的体积为.【答案】SKIPIF1<0【解析】如图,SKIPIF1<0是正四棱锥SKIPIF1<0的高,而SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,显然正四棱锥SKIPIF1<0的外接球的球心O在直线SKIPIF1<0上,令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以该四棱锥的外接球体积为SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0【典例7】(2023·高三课时练习)边长为SKIPIF1<0的正四面体内切球的体积为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】将棱长为SKIPIF1<0的正四面体SKIPIF1<0补成正方体SKIPIF1<0,则该正方体的棱长为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,设正四面体SKIPIF1<0的内切球半径为SKIPIF1<0,正四面体SKIPIF1<0每个面的面积均为SKIPIF1<0,由等体积法可得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,因此,该正四面体的内切球的体积为SKIPIF1<0.故选:D.【题型训练1-刷真题】一、单选题1.(2022·全国·统考高考真题)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径SKIPIF1<0,再根据球心距,圆面半径,以及球的半径之间的关系,即可解出球的半径,从而得出球的表面积.【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,设球心到上下底面的距离分别为SKIPIF1<0,球的半径为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0符合题意,所以球的表面积为SKIPIF1<0.故选:A.
2.(2022·全国·统考高考真题)已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【分析】方法一:先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时,底面ABCD面积最大值为SKIPIF1<0,进而得到四棱锥体积表达式,再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值,从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】[方法一]:【最优解】基本不等式设该四棱锥底面为四边形ABCD,四边形ABCD所在小圆半径为r,设四边形ABCD对角线夹角为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0(当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立)即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时,底面ABCD面积最大值为SKIPIF1<0又设四棱锥的高为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时等号成立.故选:C[方法二]:统一变量+基本不等式由题意可知,当四棱锥为正四棱锥时,其体积最大,设底面边长为SKIPIF1<0,底面所在圆的半径为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以该四棱锥的高SKIPIF1<0,SKIPIF1<0(当且仅当SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0时,等号成立)所以该四棱锥的体积最大时,其高SKIPIF1<0.故选:C.[方法三]:利用导数求最值由题意可知,当四棱锥为正四棱锥时,其体积最大,设底面边长为SKIPIF1<0,底面所在圆的半径为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以该四棱锥的高SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,单调递增,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,单调递减,所以当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0最大,此时SKIPIF1<0.故选:C.【点评】方法一:思维严谨,利用基本不等式求最值,模型熟悉,是该题的最优解;方法二:消元,实现变量统一,再利用基本不等式求最值;方法三:消元,实现变量统一,利用导数求最值,是最值问题的常用解法,操作简便,是通性通法.3.(2022·全国·统考高考真题)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,则该正四棱锥体积的取值范围是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【分析】设正四棱锥的高为SKIPIF1<0,由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系,由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵球的体积为SKIPIF1<0,所以球的半径SKIPIF1<0,[方法一]:导数法设正四棱锥的底面边长为SKIPIF1<0,高为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0所以正四棱锥的体积SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以当SKIPIF1<0时,正四棱锥的体积SKIPIF1<0取最大值,最大值为SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以正四棱锥的体积SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0,所以该正四棱锥体积的取值范围是SKIPIF1<0.故选:C.[方法二]:基本不等式法由方法一故所以SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0取到SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时,球心在正四棱锥高线上,此时SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,正四棱锥体积SKIPIF1<0,故该正四棱锥体积的取值范围是SKIPIF1<04.(2021·全国·统考高考真题)已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且SKIPIF1<0,则三棱锥SKIPIF1<0的体积为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【分析】由题可得SKIPIF1<0为等腰直角三角形,得出SKIPIF1<0外接圆的半径,则可求得SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离,进而求得体积.【详解】SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为等腰直角三角形,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0外接圆的半径为SKIPIF1<0,又球的半径为1,设SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.故选:A.【点睛】关键点睛:本题考查球内几何体问题,解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.二、填空题5.(2023·全国·统考高考真题)已知点SKIPIF1<0均在半径为2的球面上,SKIPIF1<0是边长为3的等边三角形,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.【答案】2【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径,再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.【详解】如图,将三棱锥SKIPIF1<0转化为正三棱柱SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0的外接圆圆心为SKIPIF1<0,半径为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,设三棱锥SKIPIF1<0的外接球球心为SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.故答案为:2.【点睛】方法点睛:多面体与球切、接问题的求解方法(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题求解;(2)若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,根据4R2=a2+b2+c2求解;(3)正方体的内切球的直径为正方体的棱长;(4)球和正方体的棱相切时,球的直径为正方体的面对角线长;(5)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.【题型训练2-刷模拟】一、单选题1.(2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试)边长为1的正方体的外接球表面积为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【分析】正方体的对角线就是其外接球的直径,代入对角线公式,即可求解.【详解】其外接球直径SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.故选:B.2.(2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试)已知四面体SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,且该四面体SKIPIF1<0的外接球的表面积是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【分析】将将四面体SKIPIF1<0放入长方体中,求出长方体的体对角线,进而得到外接球半径,得到表面积.【详解】将四面体SKIPIF1<0放入长方体中,如图,则四面体SKIPIF1<0的外接球,即为长方体的外接球,设长方体中SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,三式相加得SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,所以四面体SKIPIF1<0的外接球半径为SKIPIF1<0,故四面体SKIPIF1<0的外接球表面积为SKIPIF1<0.故选:B3.(2023·全国·高三专题练习)在直三棱柱SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则该直三棱柱的外接球的体积为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【分析】将直三棱柱放入长方体中,借助长方体的外接球求解.【详解】如图所示,将直三棱柱SKIPIF1<0补成长方体,则长方体的外接球即直三棱柱的外接球.长方体的体对角线长为SKIPIF1<0设长方体的外接球的半径为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,所以该直三棱柱的外接球的体积SKIPIF1<0.故选:C.
4.(2023秋·四川眉山·高三校考阶段练习)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【分析】设圆柱的底面半径为SKIPIF1<0,利用勾股定理求出SKIPIF1<0,再根据圆柱的体积公式计算可得.【详解】设圆柱的底面半径为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去),所以圆柱的体积SKIPIF1<0.故选:C5.(2023·河南郑州·校联考二模)如图,在三棱锥SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,平面SKIPIF1<0平面ABC,则三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积为(
)
A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【分析】由题意说明SKIPIF1<0为等腰直角三角形,根据面面垂直性质推出SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,进而结合球的几何性质,确定三棱锥SKIPIF1<0外接球球心位置,求出外接球半径,即可求得答案.【详解】由于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0为等腰直角三角形,取AC的中点为M,连接SKIPIF1<0,
因为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0为正三角形,故SKIPIF1<0,由于平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0;又M为SKIPIF1<0的外心,则三棱锥SKIPIF1<0外接球的球心必在BM上,设SKIPIF1<0的中心为O,则O在BM上且SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,即O点即为三棱锥SKIPIF1<0外接球的球心,故外接球半径为SKIPIF1<0,所以外接球表面积为SKIPIF1<0,故选:B【点睛】关键点睛:解答本题的关键在于要能根据条件,结合球的几何性质,确定出三棱锥外接球球心的位置,进而求得半径.6.(2023秋·江苏南通·高三统考开学考试)已知SKIPIF1<0是边长为4的等边三角形,将它沿中线SKIPIF1<0折起得四面体SKIPIF1<0,使得此时SKIPIF1<0,则四面体SKIPIF1<0的外接球表面积为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据题意可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,将四面体SKIPIF1<0转化为直三棱柱SKIPIF1<0,四面体SKIPIF1<0的外接球即为直三棱柱SKIPIF1<0的外接球,结合直三棱柱的性质求外接圆半径.【详解】因为SKIPIF1<0为等边三角形,且SKIPIF1<0为中线,则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0的外接圆圆心为SKIPIF1<0,半径为SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,由余弦定理可得SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,将四面体SKIPIF1<0转化为直三棱柱SKIPIF1<0,四面体SKIPIF1<0的外接球即为直三棱柱SKIPIF1<0的外接球,
设四面体SKIPIF1<0的外接球的球心为SKIPIF1<0,半径为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以四面体SKIPIF1<0的外接球表面积为SKIPIF1<0.故选:D.7.(2023·山西吕梁·统考二模)在三棱锥SKIPIF1<0中,已知SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则三棱锥SKIPIF1<0外接球的体积为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【分析】设SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0,由直角三角形外接圆为斜边中点,且由题意可知SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0为三棱锥SKIPIF1<0外接球的球心,可解.【详解】设SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的外接圆直径SKIPIF1<0,且圆心为SKIPIF1<0,由于SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0为三棱锥SKIPIF1<0外接球的球心,所以外接球的直径SKIPIF1<0,所以外接球的体积SKIPIF1<0.故选:B
8.(2023·四川成都·校联考二模)在三棱锥SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,若三棱锥SKIPIF1<0的所有顶点都在球SKIPIF1<0的表面上,则球SKIPIF1<0的半径为(
)A.SKIPIF1<0 B.3 C.SKIPIF1<0 D.4【答案】B【分析】根据三棱锥中线面关系可先确定球心SKIPIF1<0点在SKIPIF1<0上,再利用勾股定理求解即可.【详解】
取SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.又因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,则球心SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上,连接SKIPIF1<0,设球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,即有SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,故选:B9.(2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试)在三棱锥SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0是边长为3的等边三角形,侧棱SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【分析】应用补体法,将三棱锥外接球问题转化为三棱柱外接球问题,找到球心,求解半径即可.【详解】由底面SKIPIF1<0是边长为3的等边三角形,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,可得此三棱雉的外接球即以SKIPIF1<0为底面,SKIPIF1<0为高的正三棱柱的外接球.设正三棱柱的上、下底面的中心分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则外接球的球心SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点,SKIPIF1<0外接圆的半径SKIPIF1<0,球心到下底面的距离SKIPIF1<0,所以球的半径SKIPIF1<0,所以三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积SKIPIF1<0.故选:A.
10.(2023春·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习)已知四棱锥SKIPIF1<0的体积是SKIPIF1<0,底面SKIPIF1<0是正方形,SKIPIF1<0是等边三角形,平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,则四棱锥SKIPIF1<0外接球表面积为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【分析】过SKIPIF1<0点作SKIPIF1<0于E,则PE为四棱锥的高,据此求出正方形棱长.再根据几何关系找出外接球球心,根据勾股定理求出外接球半径即可.【详解】
设正方形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0,在等边三角形SKIPIF1<0中,过SKIPIF1<0点作SKIPIF1<0于E,由于平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.由于SKIPIF1<0是等边三角形,则SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.设四棱锥外接球的半径为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为正方形ABCD中心,SKIPIF1<0为等边三角形PAB中心,O为四棱锥P-ABCD外接球球心,则易知SKIPIF1<0为矩形,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴外接球表面积SKIPIF1<0.故选:C.11.(2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模)已知四棱锥SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0是矩形,高为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则四棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【分析】作出辅助线,求出平面SKIPIF1<0外接圆半径,再利用勾股定理求出外接球的半径,即可求出球的表面积.【详解】如图,在矩形SKIPIF1<0中,连接对角线SKIPIF1<0,记SKIPIF1<0,则点SKIPIF1<0为矩形SKIPIF1<0的外接圆圆心,取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0,记SKIPIF1<0的外接圆圆心为SKIPIF1<0,易知SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0共线.因为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,易得SKIPIF1<0,所以由正弦定理得SKIPIF1<0的外接圆半径为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,可知SKIPIF1<0,则四边形SKIPIF1<0为矩形,所以SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.根据球的性质,可得点SKIPIF1<0为四棱锥SKIPIF1<0的外接球的球心,因为SKIPIF1<0,所以四棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<0.
故选:C12.(2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试)已知在三棱锥SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,则三棱锥SKIPIF1<0的外接球表面积的最小值为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【分析】通过补形的方法,求得外接球半径的表达式,结合二次函数的性质求得半径的最小值,进而求得外接球表面积的最小值.【详解】将三棱锥补成直三棱柱,如图所示,设点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为上下底面的外心,则SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点,点SKIPIF1<0为直棱柱的外接球的球心,则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点,SKIPIF1<0为底面外接圆的半径,设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,得外接球半径SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0有最小值为SKIPIF1<0,此时球SKIPIF1<0的表面积为:SKIPIF1<0.故选:C
【点睛】求解几何体外接球有关的问题,关键点在于找到球心的位置,然后计算出外接球的半径.方法有直接法和补形法,直接法是根据几何体的结构来找到球心;补形法是补形成直棱柱、长方体(正方体)等几何体,并根据这些几何体的结构找到球心并求得半径.13.(2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习)球O内接三棱锥SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0,球O表面积为SKIPIF1<0.则三棱锥SKIPIF1<0体积最大值为(
)A.1 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用线面垂直的性质有SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,根据线面垂直的判定得SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,进而易得SKIPIF1<0都为直角三角形,找到外接球的球心为SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0,根据已知求球体半径,结合SKIPIF1<0和基本不等式求体积最大值.【详解】由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0都为直角三角形,且SKIPIF1<0为它们的斜边,所以SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0为棱锥外接球球心,如下图示,即球体半径SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,仅当SKIPIF1<0取等号,所以SKIPIF1<0.故选:B14.(2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试)已知四面体ABCD满足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,且该四面体ABCD的外接球的球半径为SKIPIF1<0,四面体的内切球的球半径为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的值是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【分析】将四面体补全为长方体,根据它们外接球相同求出外接球半径,利用等体积法求内切球半径,即可得结果.【详解】由题设,可将四面体补全为如下长方体,长宽高分别为SKIPIF1<0,
所以,四面体外接球即为长方体外接球,则半径SKIPIF1<0,由题意,四面体的四个侧面均为全等三角形,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为三角形内角,所以SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,综上,SKIPIF1<0.故选:A15.(2023·河南开封·统考三模)在三棱锥SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面ABC,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则三棱锥SKIPIF1<0外接球体积的最小值为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【分析】将三棱锥SKIPIF1<0可以补成长方体,从而得到SKIPIF1<0为三棱锥SKIPIF1<0的外接球的直径,要想体积最小,则SKIPIF1<0最小即可,设SKIPIF1<0,表达出SKIPIF1<0,从而得到SKIPIF1<0,进而求出外接球体积的最小值.【详解】根据题意三棱锥SKIPIF1<0可以补成分别以SKIPIF1<0为长、宽、高的长方体,其中SKIPIF1<0为长方体的对角线,则三棱锥SKIPIF1<0的外接球球心即为SKIPIF1<0的中点,要使三棱锥SKIPIF1<0的外接球的体积最小,则SKIPIF1<0最小.设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,则有三棱锥SKIPIF1<0的外接球的球半径最小为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.故选:A16.(2023·河南·统考三模)如图,该几何体为两个底面半径为1,高为1的相同的圆锥形成的组合体,设它的体积为V1,它的内切球的体积为V2,则SKIPIF1<0(
)
A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【分析】轴截面四边形SKIPIF1<0的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径,求出半径,再根据球的体积公式和圆锥的体积公式即可得解.【详解】如图,四边形SKIPIF1<0为该几何体的轴截面,则四边形SKIPIF1<0的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径,设内切球的半径为SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.故选:D.
17.(2023·福建宁德·校考模拟预测)将一个半径为2的球削成一个体积最大的圆锥,则该圆锥的内切球的半径为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【分析】设圆锥的底面半径为SKIPIF1<0,则圆锥的高为SKIPIF1<0,表示出圆锥的体积,换元后利用导数可求出体积的最大值,从而可求出圆锥的底面半径和高,再求出母线长,作出圆锥的截面,然后利用三角形相似可求出圆锥内切圆的半径.【详解】设圆锥的底面半径为SKIPIF1<0,则圆锥的高为SKIPIF1<0,所以圆锥的体积SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0(SKIPIF1<0),则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增,在SKIPIF1<0上递减,所以当SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0时,圆锥的体积最大,此时圆锥的高为SKIPIF1<0,母线长为SKIPIF1<0,设圆锥的内切球半径为SKIPIF1<0,圆锥的截面如图所示,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,故选:D【点睛】关键点点睛:此题考查圆锥的内切球问题,解题的关键是表示出圆锥的体积,化简后利用导数求出其最大值,从而可确定出圆的大小,考查空间想象能力和计算能力,属于较难题.18.(2023·全国·高三专题练习)已知四棱锥SKIPIF1<0的各棱长均为2,则其内切球表面积为(
)
A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【分析】求出四棱锥的表面积和体积,利用等体积法即可求出内切圆半径,从而得解.【详解】因为四棱锥SKIPIF1<0的各棱长均为2,所以四棱锥SKIPIF1<0是正四棱锥,则SKIPIF1<0,过P作底面垂线,垂足为H,则SKIPIF1<0,
所以SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,故其内切圆表面积为SKIPIF1<0,故选:B.19.(2023·全国·高三专题练习)若一个正三棱柱存在外接球与内切球,则它的外接球与内切球体积之比为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【分析】设正三棱柱底面正三角形的边长为a,由正三棱柱的结构特征确定正三棱柱的高,再计算出其外接球的半径,进而由体积公式求解即可.【详解】设正三棱柱底面正三角形的边长为a,则正三棱柱的内切球半径等于正三角形的内切圆半径,则内切球的半径SKIPIF1<0,正三棱柱的高SKIPIF1<0.设正三角形的外接圆半径为R,易得SKIPIF1<0,所以外接球的半径SK
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