高中数学一轮复习课时作业梯级练七十二二项分布正态分布及其应用课时作业理含解析新人教A版

一轮复习精品资料(高中)PAGE1-课时作业梯级练七十二二项分布、正态分布及其应用一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2020·日照模拟)已知P(AB)＝eq\f(3,10)，P(A)＝eq\f(3,5)，则P(B|A)等于()A．eq\f(9,50)B．eq\f(1,2)C．eq\f(9,10)D．eq\f(1,4)〖解析〗选B.因为P(AB)＝eq\f(3,10)，P(A)＝eq\f(3,5)，则P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2).2．(2021·连云港模拟)已知随机变量Z～N(0，1)，且P(Z＜2)＝a，则P(－2＜Z＜2)＝()A．2a B．2a－1C．1－2a D．2(1－a)〖解析〗选B.因为随机变量Z～N(0，1)，且P(Z＜2)＝a，所以P(Z≥2或Z≤－2)＝2－2a，所以P(－2＜Z＜2)＝1－(2－2a)＝2a－1.3．已知一个箱子里装有2个黑球和3个白球，随机从箱子中摸出1个球再放回，如果摸出黑球记2分，摸出白球记－1分，则10次摸球所得总分数ξ的期望为()A．2 B．4 C．6 D．8〖解析〗选A.10次摸球摸出黑球的次数为X，则X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(2,5)))，E(X)＝10×eq\f(2,5)＝4，所得总分数ξ＝2X＋(10－X)×(－1)＝3X－10，所以E(ξ)＝3E(X)－10＝2.4．如图，展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首诗不仅意境极好，而且还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨．某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9，连续两天下雨的概率是0.63，若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是()A.0.63 B．0.7C．0.9 D．0.567〖解析〗选B.设“清明节当天下雨”为事件A，“第二天下雨”为事件B，P(A)＝0.9，P(AB)＝0.63，则P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(0.63,0.9)＝0.7.〖加练备选·拔高〗(2020·宁德模拟)法国有个名人叫做布莱尔·帕斯卡,他认识两个赌徒,这两个赌徒向他提出一个问题:他们相约赌博,约定先赢4局者可获得全部赌金600法郎,赌了半天,甲赢了3局,乙赢了2局,时间很晚了,他们都不想再赌下去了.假设每局甲赢的概率为QUOTEeq\f(1,2),每局输赢相互独立,那么这600法郎比较合理的分配是()A.甲300法郎,乙300法郎B.甲480法郎,乙120法郎C.甲450法郎,乙150法郎D．甲400法郎，乙200法郎〖解析〗选C.根据题意，在甲赢了3局，乙赢了2局后，甲获得全部赌金600法郎的概率P1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，乙获得全部赌金600法郎的概率P2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，则这600法郎应该分配给甲600×eq\f(3,4)＝450法郎，分配给乙600×eq\f(1,4)＝150法郎．5．(2021·芜湖模拟)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成．其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻．若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻．若每一枚钱币正面向上的概率为eq\f(1,2)，则一卦中恰有三个变爻的概率为()A．eq\f(5,16)B．eq\f(15,64)C．eq\f(135,1024)D．eq\f(1215,4096)〖解析〗选C.1个爻为变爻的概率为2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,4)，不是变爻的概率为1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，则一卦中恰有三个变爻的概率为Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(135,1024).〖加练备选·拔高〗如图电子元件设备,当甲能正常工作,且乙和丙至少有一个正常工作时,设备正常工作,其中甲、乙、丙能正常工作的概率都为p(0<p<1),且互不影响,电子元件设备能正常工作的概率是()A.2p2-p3 B.p3C.1-p2 D.p2-p3〖解析〗选A.当甲能正常工作,且乙和丙至少有一个正常工作时,设备正常工作,设事件A表示“甲正常工作”,事件B表示“乙正常工作”,事件C表示“丙正常工作”,则P(A)＝P(B)＝P(C)＝p(0＜p＜1)，所以电子元件设备能正常工作的概率为：P＝p〖1－(1－p)(1－p)〗＝2p2－p3.二、填空题(每小题5分，共15分)6．从图中的E，F，G，H四点中随机选出两点，记ξ为选出的两点纵坐标y的值大于0的点的个数，则P(ξ＝1)等于________．〖解析〗从题干图中的E，F，G，H四点中随机选出两点，基本事件总数n＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝6，记ξ为选出的两点纵坐标y的值大于0的点的个数，ξ＝1包含的基本事件个数m＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))＝4，则P(ξ＝1)＝eq\f(m,n)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).〖答案〗eq\f(2,3)7．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若E(ξ)＝eq\f(2,3)，则P(η≥3)＝________．〖解析〗因为E(ξ)＝2p＝eq\f(2,3)，所以p＝eq\f(1,3)，所以η～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，所以P(η≥3)＝P(η＝3)＋P(η＝4)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(1)＋Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(8,81)＋eq\f(1,81)＝eq\f(1,9).〖答案〗eq\f(1,9)8．(2021·安阳模拟)2020年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象．在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，已知某工厂生产口罩的质量指标ξ～N(15，0.0025)，单位为g，该厂每天生产的质量在(14.9g，15.05g)的口罩数量为818600件，则可以估计该厂每天生产的质量在15.15g以上的口罩数量为________．参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)≈0.9973.〖解析〗由题意知，ξ～N(15，0.0025)，即μ＝15，σ2＝0.0025，即σ＝0.05；所以P(14.9＜ξ＜15.05)＝P(μ－2σ＜ξ＜μ＋σ)≈eq\f(0.6827＋0.9545,2)＝0.8186，所以该厂每天生产的口罩总量为818600÷0.8186＝1000000(件)，又P(ξ＞15.15)＝P(ξ＞μ＋3σ)＝eq\f(1－0.9973,2)，所以估计该厂每天生产的质量在15.15g以上的口罩数量为1000000×eq\f(1－0.9973,2)＝1350(件).〖答案〗1350三、解答题(每小题10分，共20分)9．某高校设计了一个实验学科的考核方案：考生从8道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知8道备选题中考生甲有6道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是eq\f(3,4)，且每题正确完成与否互不影响．(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的分布列，并计算均值；(2)试从两位考生正确完成题数的均值及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．〖解析〗(1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数为ξ，η，则ξ的所有可能取值为1，2，3；η的所有可能取值为0，1，2，3.P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(3,28)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(15,28)，P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(5,14).所以考生甲正确完成题数的分布列为ξ123Peq\f(3,28)eq\f(15,28)eq\f(5,14)E(ξ)＝1×eq\f(3,28)＋2×eq\f(15,28)＋3×eq\f(5,14)＝eq\f(9,4).因为P(η＝0)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,64)，同理，P(η＝1)＝eq\f(9,64)，P(η＝2)＝eq\f(27,64)，P(η＝3)＝eq\f(27,64).所以考生乙正确完成题数的分布列为η0123Peq\f(1,64)eq\f(9,64)eq\f(27,64)eq\f(27,64)E(η)＝3×eq\f(3,4)＝eq\f(9,4).(2)因为P(ξ≥2)＝eq\f(15,28)＋eq\f(5,14)＝eq\f(25,28)，P(η≥2)＝eq\f(27,64)＋eq\f(27,64)＝eq\f(54,64)，所以P(ξ≥2)＞P(η≥2).故从正确完成题数的均值发现，两人水平相当；从至少正确完成2题的概率发现，甲通过的可能性大．因此可以判断甲的实验操作能力较强．10．(2020·呼和浩特模拟)为了更好地贯彻党的“五育并举”的教育方针，某市要对全市中小学生体能达标情况进行了解，决定通过随机抽样选择几个样本校对学生进行体能达标测试，并规定测试成绩低于60分为不合格，否则为合格，若样本校学生不合格人数不超过其总人数的5%，则该样本校体能达标为合格．已知某样本校共有1000名学生，现从中随机抽取40名学生参加体能达标测试，首先将这40名学生随机分为甲、乙两组，其中甲、乙两组学生人数的比为3∶2，测试后，两组各自的成绩统计如下：甲组的平均成绩为70，方差为16，乙组的平均成绩为80，方差为36.(1)估计该样本校学生体能测试的平均成绩；(2)求该样本校40名学生测试成绩的标准差s；(3)假设该样本校体能达标测试成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，用样本平均数eq\x\to(x)作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值估计该样本校学生体能达标测试是否合格？(注：①本题所有数据的最后结果都精确到整数；②若随机变量X服从正态分布，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9973).〖解析〗(1)由题知，甲、乙两组学生数分别为24和16，则这40名学生测试成绩的平均分eq\x\to(x)＝eq\f(70×24＋80×16,40)＝74.故可估计该样本校学生体能测试的平均成绩为74.(2)由s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2变形得s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－neq\x\to(x)2)，设甲组学生的测试成绩分别为x1，x2，x3，…，x24，乙组学生的测试成绩分别为x25，x26，x27，…，x40，则甲组的方差为seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(1,24)〖(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(24)))－24×702〗＝42，解得：xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(24))＝24×(16＋702).乙组的方差为seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(1,16)〖(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(25))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(26))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(40)))－16×802〗＝62，解得xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(25))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(26))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(40))＝16×(36＋802).这40名学生的方差为s2＝eq\f(1,40)〖(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(24))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(25))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(26))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(40)))－40eq\x\to(x)2〗＝eq\f(1,40)〖24×(16＋702)＋16×(36＋802)－40×742〗＝48，所以s＝eq\r(48)＝4eq\r(3)≈7.综上，标准差s＝7.(3)由eq\x\to(x)＝74，s≈7，得μ的估计值＝74，σ的估计值＝7，故P(74－2×7＜X≤74＋2×7)≈0.9545，即P(60＜X≤88)＝0.9545，所以P(X＜60)＝P(X≥88)＝eq\f(1,2)〖1－P(60＜X≤88)〗＝eq\f(1,2)(1－0.9545)＝0.02275.从而，在全校1000名学生中，不合格的有1000×0.02275＝22.75≈23(人).而eq\f(23,1000)＜5%，故可估计该样本校学生体能达标测试合格．1．（5分）(2021·益阳模拟)若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，设ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≥3)＝0.15865，在平面直角坐标系xOy中，若圆x2＋y2＝σ2上恰有两个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围为()A．(－26，－13)∪(13，26)B．(－26，26)C．(－39，－13)∪(13，39)D．(－39，39)〖解析〗选C.由题意知：P(ξ≥3)＝P(ξ≤－1)＝eq\f(1,2)〖1－P(－1＜ξ＜3)〗，所以P(－1＜ξ＜3)＝0.6827，所以1－σ＝－1，1＋σ＝3.所以σ＝2.故圆的方程为x2＋y2＝4，圆心为(0，0)，半径为2.如图，L1，L2表示与12x－5y＋c＝0平行的直线，OA，OB，OC共线且垂直于L1，L2.当BC＝AC＝1时，圆上分别恰有1个，3个点到直线的距离等于1，此时圆心到直线的距离分别为3，1.当直线介于L1，L2之间时，符合题意．故1＜eq\f(|c|,\r(122＋（－5）2))＜3，所以13＜|c|＜39，所以－39＜c＜－13或13＜c＜39.2．（5分）著名的斐波那契数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an.人们通过研究发现其有许多优美的性质，如：记黄金分割比eq\f(\r(5)－1,2)＝k≈0.618，若eq\f(an,an＋1)＞k，则eq\f(an＋1,an＋2)＜k；反之亦然．现记bn＝eq\f(an,an＋1)，若从数列{bn}的前7项中随机抽取2项，则这2项都大于k的概率为()A．eq\f(4,7)B．eq\f(1,7)C．eq\f(5,7)D．eq\f(2,7)〖解析〗选D.因为a1＝1，a2＝1，a3＝2，…，所以b1＝eq\f(a1,a2)＝1＞k≈0.618，b2＝eq\f(a2,a3)＝eq\f(1,2)＜k≈0.618，….因为若eq\f(an,an＋1)＞k，则eq\f(an＋1,an＋2)＜k，所以数列{bn}的前7项中b1，b3，b5，b7共4项都大于k，所以从数列{bn}的前7项中随机抽取2项，则这2项都大于k的概率为eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)))＝eq\f(2,7).3．（5分）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).①P(B)＝eq\f(2,5)；②P(B|A1)＝eq\f(5,11)；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中哪一个发生有关．〖解析〗P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝eq\f(5×5,10×11)＋eq\f(2×4,10×11)＋eq\f(3×4,10×11)＝eq\f(9,22)，故①⑤错误；②P(B|A1)＝eq\f(\f(5×5,10×11),\f(1,2))＝eq\f(5,11)，正确；③事件B与A1的发生有关系，故错误；④A1，A2，A3不可能同时发生，是互斥事件，正确．〖答案〗②④4．（10分）(2020·重庆模拟)某项数学竞赛考试共四道题，考查内容分别为代数、几何、数论、组合，已知前两题每题满分40分，后两题每题满分60分，题目难度随题号依次递增，已知学生甲答题时，若该题会做则必得满分，若该题不会做则不作答得0分，通过对学生甲以往测试情况的统计，得到他在同类模拟考试中各题的得分率，如表所示：代数几何数论组合第1题0.60.80.70.7第2题0.50.70.70.6第3题0.40.50.50.3第4题0.20.30.30.2假设学生甲每次考试各题的得分相互独立．(1)若此项竞赛考试四道题的顺序依次为代数、几何、数论、组合，试预测学生甲考试得160分的概率；(2)学生甲研究该项竞赛近五年的试题发现第1题都是代数题，于是他在赛前针对代数版块进行了强化训练，并取得了很大进步，现在，只要代数题是在试卷第1、2题的位置，他就一定能答对，若今年该项数学竞赛考试四道题的顺序依次为代数、数论、组合、几何，试求学生甲此次考试得分X的分布列．〖解析〗(1)学生甲得160分，即第1，2题做对一道，第3，4题都做对，所以P＝(0.6×0.3＋0.4×0.7)×0.5×0.2＝0.046.(2)由题知学生甲第1题必得40分，只需考虑另三道题的得分情况，故X的所有可能取值为40，80，100，140，160，200，P(X＝40)＝0.3×0.7×0.7＝0.147，P(X＝80)＝0.7×0.7×0.7＝0.343，P(X＝100)＝0.3×Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×0.3×0.7＝0.126，P(X＝140)＝0.7×Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×0.3×0.7＝0.294，P(X＝160)＝0.3×0.3×0.3＝0.027，P(X＝200)＝0.7×0.3×0.3＝0.063.所以X的分布列为：X4080100140160200P0.1470.3430.1260.2940.0270.0635．（10分）为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程，某企业每天从该生产线上随机抽取10000个零件，并测量其内径(单位：cm).根据长期生产经验，认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径X服从正态分布N(μ，σ2).如果加工的零件内径小于μ－3σ或大于μ＋3σ均为不合格品，其余为合格品．(1)假设生产状态正常，请估计一天内抽取的10000个零件中不合格品的个数为多少；(2)若生产的某件产品为合格品则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格品则该件产品亏损．已知每件产品的利润L(单位：元)与零件的内径X有如下关系：L＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－5，X＜μ－3σ，,4，μ－3σ≤X＜μ－σ，,6，μ－σ≤X≤μ＋3σ，,－5，X＞μ＋3σ.))求该企业一天从生产线上随机抽取10000个零件的平均利润．附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，有P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9973.〖解析〗(1)抽取一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率约为0.9973，从而抽取一个零件为不合格品的概率约为0.0027.因此一天内抽取的10000个零件中不合格品的个数约为10000×0.0027＝27；(2)由题意，P(X＜μ－3σ)＝0.00135.P(μ－3σ≤X＜μ－σ)＝eq\f(1,2)(0.9973－0.6827)＝0.1573；P(μ－σ≤X≤μ＋3σ)＝0.9973－0.1573＝0.8400；P(X＞μ＋3σ)＝0.00135.故随机抽取10000个零件的平均利润为10000L＝10000(－5×0.00135＋4×0.1573＋6×0.8400－5×0.00135)＝56557元．1．设两个独立事件A和B同时不发生的概率是p，A发生B不发生与A不发生B发生的概率相同，则事件A发生的概率为()A．2p B．eq\f(p,2)C．1－eq\r(p) D．1－eq\r(2p)〖解析〗选C.根据题意，设事件A发生的概率为a，事件B发生的概率为b，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－a）（1－b）＝p，①,a（1－b）＝（1－a）b.②))由②知a＝b，代入①即得a＝1－eq\r(p).2．搪瓷是在金属坯体表面涂搪瓷釉而得到的制品．曾经是人们不可或缺的生活必备品，厨房用具中的锅碗瓢盆；喝茶用到的杯子；洗脸用到的脸盆；婚嫁礼品等，它浓缩了上世纪整整一个时代的记忆．某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，将其细分成6个等级，等级系数X依次为3，4，5，6，7，8，该公司交给生产水平不同的A和B两个厂生产，已知A厂生产的该种搪瓷水杯的等级系数X服从正态分布N(μ，0.25)，且P(X＜6)＝eq\f(1,2).在电商平台上A厂生产的搪瓷水杯的零售价为36元/件，B厂生产的搪瓷水杯的零售价为30元/件．(1)(i)求A厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值；(ii)若A厂生产了10000件这种搪瓷水杯，记X表示这10000件搪瓷水杯等级系数位于区间(5.5，6.5)的产品件数，求E(X)；(2)从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图：设L＝eq\f(产品等级系数的平均值,产品零售价)，若以L的值越大，产品越具可购买性为判断标准．根据以上数据，哪个工厂生产的搪瓷水杯更具可购买性？说明理由．注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9973.〖解析〗(1)(i)根据题意，P(X＜6)＝eq\f(1,2)，得μ＝6；(ii)因为σ2＝0.25，所以σ＝0.5，则μ＋σ＝6.5，μ－σ＝5.5，由(i)知，一件搪瓷水杯等级系数X位于区间(5.5，6.5)的概率为0.6827，依题意知X～B(10000，0.6827)，所以E(X)＝10000×0.6827＝6827；(2)A厂生产的搪瓷水杯更具可购买性，理由如下：将频率视为概率，可得B厂生产的搪瓷水杯的等级系数XB的概率分布列如表：XB345678P0.30.20.20.10.10.1所以E(XB)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8，即B厂生产的搪瓷水杯的等级系数的期望等于4.8.因为A厂生产搪瓷水杯的等级系数的数学期望等于6，价格为36元/件，所以LA＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，因为B厂生产的搪瓷水杯的等级系数的期望等于4.8，价格为30元/件，LB＝eq\f(4.8,30)＝0.16，eq\f(1,6)＞0.16，故A厂生产的搪瓷水杯更具可购买性．课时作业梯级练七十二二项分布、正态分布及其应用一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2020·日照模拟)已知P(AB)＝eq\f(3,10)，P(A)＝eq\f(3,5)，则P(B|A)等于()A．eq\f(9,50)B．eq\f(1,2)C．eq\f(9,10)D．eq\f(1,4)〖解析〗选B.因为P(AB)＝eq\f(3,10)，P(A)＝eq\f(3,5)，则P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2).2．(2021·连云港模拟)已知随机变量Z～N(0，1)，且P(Z＜2)＝a，则P(－2＜Z＜2)＝()A．2a B．2a－1C．1－2a D．2(1－a)〖解析〗选B.因为随机变量Z～N(0，1)，且P(Z＜2)＝a，所以P(Z≥2或Z≤－2)＝2－2a，所以P(－2＜Z＜2)＝1－(2－2a)＝2a－1.3．已知一个箱子里装有2个黑球和3个白球，随机从箱子中摸出1个球再放回，如果摸出黑球记2分，摸出白球记－1分，则10次摸球所得总分数ξ的期望为()A．2 B．4 C．6 D．8〖解析〗选A.10次摸球摸出黑球的次数为X，则X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(2,5)))，E(X)＝10×eq\f(2,5)＝4，所得总分数ξ＝2X＋(10－X)×(－1)＝3X－10，所以E(ξ)＝3E(X)－10＝2.4．如图，展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首诗不仅意境极好，而且还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨．某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9，连续两天下雨的概率是0.63，若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是()A.0.63 B．0.7C．0.9 D．0.567〖解析〗选B.设“清明节当天下雨”为事件A，“第二天下雨”为事件B，P(A)＝0.9，P(AB)＝0.63，则P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(0.63,0.9)＝0.7.〖加练备选·拔高〗(2020·宁德模拟)法国有个名人叫做布莱尔·帕斯卡,他认识两个赌徒,这两个赌徒向他提出一个问题:他们相约赌博,约定先赢4局者可获得全部赌金600法郎,赌了半天,甲赢了3局,乙赢了2局,时间很晚了,他们都不想再赌下去了.假设每局甲赢的概率为QUOTEeq\f(1,2),每局输赢相互独立,那么这600法郎比较合理的分配是()A.甲300法郎,乙300法郎B.甲480法郎,乙120法郎C.甲450法郎,乙150法郎D．甲400法郎，乙200法郎〖解析〗选C.根据题意，在甲赢了3局，乙赢了2局后，甲获得全部赌金600法郎的概率P1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，乙获得全部赌金600法郎的概率P2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，则这600法郎应该分配给甲600×eq\f(3,4)＝450法郎，分配给乙600×eq\f(1,4)＝150法郎．5．(2021·芜湖模拟)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成．其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻．若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻．若每一枚钱币正面向上的概率为eq\f(1,2)，则一卦中恰有三个变爻的概率为()A．eq\f(5,16)B．eq\f(15,64)C．eq\f(135,1024)D．eq\f(1215,4096)〖解析〗选C.1个爻为变爻的概率为2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,4)，不是变爻的概率为1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，则一卦中恰有三个变爻的概率为Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(135,1024).〖加练备选·拔高〗如图电子元件设备,当甲能正常工作,且乙和丙至少有一个正常工作时,设备正常工作,其中甲、乙、丙能正常工作的概率都为p(0<p<1),且互不影响,电子元件设备能正常工作的概率是()A.2p2-p3 B.p3C.1-p2 D.p2-p3〖解析〗选A.当甲能正常工作,且乙和丙至少有一个正常工作时,设备正常工作,设事件A表示“甲正常工作”,事件B表示“乙正常工作”,事件C表示“丙正常工作”,则P(A)＝P(B)＝P(C)＝p(0＜p＜1)，所以电子元件设备能正常工作的概率为：P＝p〖1－(1－p)(1－p)〗＝2p2－p3.二、填空题(每小题5分，共15分)6．从图中的E，F，G，H四点中随机选出两点，记ξ为选出的两点纵坐标y的值大于0的点的个数，则P(ξ＝1)等于________．〖解析〗从题干图中的E，F，G，H四点中随机选出两点，基本事件总数n＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝6，记ξ为选出的两点纵坐标y的值大于0的点的个数，ξ＝1包含的基本事件个数m＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))＝4，则P(ξ＝1)＝eq\f(m,n)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).〖答案〗eq\f(2,3)7．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若E(ξ)＝eq\f(2,3)，则P(η≥3)＝________．〖解析〗因为E(ξ)＝2p＝eq\f(2,3)，所以p＝eq\f(1,3)，所以η～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，所以P(η≥3)＝P(η＝3)＋P(η＝4)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(1)＋Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(8,81)＋eq\f(1,81)＝eq\f(1,9).〖答案〗eq\f(1,9)8．(2021·安阳模拟)2020年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象．在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，已知某工厂生产口罩的质量指标ξ～N(15，0.0025)，单位为g，该厂每天生产的质量在(14.9g，15.05g)的口罩数量为818600件，则可以估计该厂每天生产的质量在15.15g以上的口罩数量为________．参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)≈0.9973.〖解析〗由题意知，ξ～N(15，0.0025)，即μ＝15，σ2＝0.0025，即σ＝0.05；所以P(14.9＜ξ＜15.05)＝P(μ－2σ＜ξ＜μ＋σ)≈eq\f(0.6827＋0.9545,2)＝0.8186，所以该厂每天生产的口罩总量为818600÷0.8186＝1000000(件)，又P(ξ＞15.15)＝P(ξ＞μ＋3σ)＝eq\f(1－0.9973,2)，所以估计该厂每天生产的质量在15.15g以上的口罩数量为1000000×eq\f(1－0.9973,2)＝1350(件).〖答案〗1350三、解答题(每小题10分，共20分)9．某高校设计了一个实验学科的考核方案：考生从8道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知8道备选题中考生甲有6道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是eq\f(3,4)，且每题正确完成与否互不影响．(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的分布列，并计算均值；(2)试从两位考生正确完成题数的均值及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．〖解析〗(1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数为ξ，η，则ξ的所有可能取值为1，2，3；η的所有可能取值为0，1，2，3.P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(3,28)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(15,28)，P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)))＝eq\f(5,14).所以考生甲正确完成题数的分布列为ξ123Peq\f(3,28)eq\f(15,28)eq\f(5,14)E(ξ)＝1×eq\f(3,28)＋2×eq\f(15,28)＋3×eq\f(5,14)＝eq\f(9,4).因为P(η＝0)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,64)，同理，P(η＝1)＝eq\f(9,64)，P(η＝2)＝eq\f(27,64)，P(η＝3)＝eq\f(27,64).所以考生乙正确完成题数的分布列为η0123Peq\f(1,64)eq\f(9,64)eq\f(27,64)eq\f(27,64)E(η)＝3×eq\f(3,4)＝eq\f(9,4).(2)因为P(ξ≥2)＝eq\f(15,28)＋eq\f(5,14)＝eq\f(25,28)，P(η≥2)＝eq\f(27,64)＋eq\f(27,64)＝eq\f(54,64)，所以P(ξ≥2)＞P(η≥2).故从正确完成题数的均值发现，两人水平相当；从至少正确完成2题的概率发现，甲通过的可能性大．因此可以判断甲的实验操作能力较强．10．(2020·呼和浩特模拟)为了更好地贯彻党的“五育并举”的教育方针，某市要对全市中小学生体能达标情况进行了解，决定通过随机抽样选择几个样本校对学生进行体能达标测试，并规定测试成绩低于60分为不合格，否则为合格，若样本校学生不合格人数不超过其总人数的5%，则该样本校体能达标为合格．已知某样本校共有1000名学生，现从中随机抽取40名学生参加体能达标测试，首先将这40名学生随机分为甲、乙两组，其中甲、乙两组学生人数的比为3∶2，测试后，两组各自的成绩统计如下：甲组的平均成绩为70，方差为16，乙组的平均成绩为80，方差为36.(1)估计该样本校学生体能测试的平均成绩；(2)求该样本校40名学生测试成绩的标准差s；(3)假设该样本校体能达标测试成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，用样本平均数eq\x\to(x)作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值估计该样本校学生体能达标测试是否合格？(注：①本题所有数据的最后结果都精确到整数；②若随机变量X服从正态分布，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9973).〖解析〗(1)由题知，甲、乙两组学生数分别为24和16，则这40名学生测试成绩的平均分eq\x\to(x)＝eq\f(70×24＋80×16,40)＝74.故可估计该样本校学生体能测试的平均成绩为74.(2)由s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2变形得s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－neq\x\to(x)2)，设甲组学生的测试成绩分别为x1，x2，x3，…，x24，乙组学生的测试成绩分别为x25，x26，x27，…，x40，则甲组的方差为seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(1,24)〖(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(24)))－24×702〗＝42，解得：xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(24))＝24×(16＋702).乙组的方差为seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(1,16)〖(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(25))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(26))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(40)))－16×802〗＝62，解得xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(25))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(26))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(40))＝16×(36＋802).这40名学生的方差为s2＝eq\f(1,40)〖(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(24))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(25))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(26))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(40)))－40eq\x\to(x)2〗＝eq\f(1,40)〖24×(16＋702)＋16×(36＋802)－40×742〗＝48，所以s＝eq\r(48)＝4eq\r(3)≈7.综上，标准差s＝7.(3)由eq\x\to(x)＝74，s≈7，得μ的估计值＝74，σ的估计值＝7，故P(74－2×7＜X≤74＋2×7)≈0.9545，即P(60＜X≤88)＝0.9545，所以P(X＜60)＝P(X≥88)＝eq\f(1,2)〖1－P(60＜X≤88)〗＝eq\f(1,2)(1－0.9545)＝0.02275.从而，在全校1000名学生中，不合格的有1000×0.02275＝22.75≈23(人).而eq\f(23,1000)＜5%，故可估计该样本校学生体能达标测试合格．1．（5分）(2021·益阳模拟)若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，设ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≥3)＝0.15865，在平面直角坐标系xOy中，若圆x2＋y2＝σ2上恰有两个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围为()A．(－26，－13)∪(13，26)B．(－26，26)C．(－39，－13)∪(13，39)D．(－39，39)〖解析〗选C.由题意知：P(ξ≥3)＝P(ξ≤－1)＝eq\f(1,2)〖1－P(－1＜ξ＜3)〗，所以P(－1＜ξ＜3)＝0.6827，所以1－σ＝－1，1＋σ＝3.所以σ＝2.故圆的方程为x2＋y2＝4，圆心为(0，0)，半径为2.如图，L1，L2表示与12x－5y＋c＝0平行的直线，OA，OB，OC共线且垂直于L1，L2.当BC＝AC＝1时，圆上分别恰有1个，3个点到直线的距离等于1，此时圆心到直线的距离分别为3，1.当直线介于L1，L2之间时，符合题意．故1＜eq\f(|c|,\r(122＋（－5）2))＜3，所以13＜|c|＜39，所以－39＜c＜－13或13＜c＜39.2．（5分）著名的斐波那契数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an.人们通过研究发现其有许多优美的性质，如：记黄金分割比eq\f(\r(5)－1,2)＝k≈0.618，若eq\f(an,an＋1)＞k，则eq\f(an＋1,an＋2)＜k；反之亦然．现记bn＝eq\f(an,an＋1)，若从数列{bn}的前7项中随机抽取2项，则这2项都大于k的概率为()A．eq\f(4,7)B．eq\f(1,7)C．eq\f(5,7)D．eq\f(2,7)〖解析〗选D.因为a1＝1，a2＝1，a3＝2，…，所以b1＝eq\f(a1,a2)＝1＞k≈0.618，b2＝eq\f(a2,a3)＝eq\f(1,2)＜k≈0.618，….因为若eq\f(an,an＋1)＞k，则eq\f(an＋1,an＋2)＜k，所以数列{bn}的前7项中b1，b3，b5，b7共4项都大于k，所以从数列{bn}的前7项中随机抽取2项，则这2项都大于k的概率为eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)))＝eq\f(2,7).3．（5分）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).①P(B)＝eq\f(2,5)；②P(B|A1)＝eq\f(5,11)；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3是两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中哪一个发生有关．〖解析〗P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝eq\f(5×5,10×11)＋eq\f(2×4,10×11)＋eq\f(3×4,10×11)＝eq\f(9,22)，故①⑤错误；②P(B|A1)＝eq\f(\f(5×5,10×11),\f(1,2))＝eq\f(5,11)，正确；③事件B与A1的发生有关系，故错误；④A1，A2，A3不可能同时发生，是互斥事件，正确．〖答案〗②④4．（10分）(2020·重庆模拟)某项数学竞赛考试共四道题，考查内容分别为代数、几何、数论、组合，已知前两题每题满分40分，后两题每题满分60分，题目难度随题号依次递增，已知学生甲答题时，若该题会做则必得满分，若该题不会做则不作答得0分，通过对学生甲以往测试情况的统计，得到他在同类模拟考试中各题的得分率，如表所示：代数几何数论组合第1题0.60.80.70.7第2题0.50.70.70.6第3题0.40.50.50.3第4题0.20.30.30.2假设学生甲每次考试各题的得分相互独立．(1)若此项竞赛考试四道题的顺序依次为代数、几何、数论、组合，试预测学生甲考试得160分的概率；(2)学生甲研究该项竞赛近五年的试题发现第1题都是代数题，于是他在赛前针对代数版块进行了强化训练，并取得了很大进步，现在，只要代数题是在试卷第1、2题的位置，他就一定能答对，若今年该项数学竞赛考试四道题的顺序依次为代数、数论、组合、几何，试求学生甲此次考试得分X的分布列．〖解析〗(1)学生甲得160分，即第1，2题做对一道，第3，4题都做对，所以P＝(0.6×0.3＋0.4×0.7)×0.5×0.2＝0.046.(2)由题知学生甲第1题必得40分，只需考虑另三道题的得分情况，故X的所有可能取值为40，80，100，140，160，200，P(X＝40)＝0.3×0.7×0.7＝0.147，P(X＝80)＝0.7×0.7×0.7＝0.343，P(X＝100)＝0.3×Ceq\o\al(\s\up1