2024年全国高考甲卷理科数学试题及答案

绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷理科数学使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．izzz5i1.设（）A10D.2ðABAA4,5,9,BxxA2.（）4,94,92,35A.D.）D.4x3y30x,yx2y20x5yz3.若实数满足约束条件的最小值为（2x6y907212A.52a1，5an项和为SS1014.等差数列（）nn5732A.1D.2在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（D.4)(4)5.已知双曲线的两个焦点分别为A.43）22e2sinxxyfx在6.设函数fx）1x2第1共页16132312A.在区间[D.esinxfxx7.2exx的大致图像为（）A.D.π43（8.）3A.2319.已知向量231D.132ax,2xx,b，则（）A.“x3”“ab”的必要条件“x3”是“a//b的必要条件“x0”是“ab”的充分条件D.“x13”“a//b”的充分条件10.设m//nn/n是两条直线，且m.下列四个命题：两个平面，n/或n//n,nmnnmnn//m//n④若与和所成的角相等，则其中所有真命题的编号是（）A.D.9π在中内角,B,C所对边分别为a,b,cB，b2sinAsinC（）34373A.2D.222a,c+c=04y10,B的最小+x2y212.b是值为（）第2共页A.234D.25二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．101x的展开式中，各项系数的最大值是______．13.33rr，则两个圆台21r1r22rr14.已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为和，母线长分别为和21V甲=______．的体积之比V乙1152a______．15.a1，log8aloga4m16.有6个相同的球，分别标有数字12346，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记n为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则mn12与差的绝对值不超过的概率是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.150行检验，数据如下：优级品26合格品24不合格品50甲车间乙车间022702810015096521）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有第3共页的优级品率存在差异？p0.5p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率pp)pp1.65150n生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）)22Kacdabd)kPK20.0503.8410.0106.6350.001k10.828项和，且San4Snn4．18.记为数列nn1）求的通项公式；an2）设b(n1na，求数列bn项和为T．nnnn19.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC//AD,EF//ADADABBCEF2MED10,FB23为AD的中点．，，，1）证明：BM//；2）求二面角FE的正弦值．x22y223M在C上，且MFx20.设椭圆C:ab的右焦点为F2ab1）求C的方程；2P0的直线与C,BN交直线Q两点，为线段FP，证明：AQy第4共页21已知函数fx1axln1xx．fx1）当a2时，求的极值；2）当x0fx0恒成立，求的取值范围．a10分，请考生在第2223题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程]中，以坐标原点OxC为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐22.在平面直角坐标系标方程为1.1）写出C的直角坐标方程；xtt（与相交于ClB2a的值.2）设直线：两点，若yta选修4-5：不等式选讲]a,bab3．23.a2b2ab；1）证明：2）证明：ab2ba6．2第5共页绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷理科数学使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．izzz5i1.设（）A.102D.【答案】A【解析】【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.z5iz5i,zz10izz【详解】由.故选：A4,5,9,BxxAðABAA2.（）4,94,92,35D.A.【答案】D【解析】【分析】由集合B的定义求出B，结合交集与补集运算即可求解.4,5,9,BxxA，所以B，A【详解】因为AB4,9，AAB2,5则故选：D第7共页4x3y30x,yx2y20x5yz3.若实数满足约束条件的最小值为（）2x6y907212A.52D.【答案】D【解析】【分析】画出可行域后，利用z的几何意义计算即可得.4x3y30x,yx2y20【详解】实数，作出可行域如图：2x6y9011zx5yyx由z，5155151xz的截距的即z的几何意义为y，5则该直线截距取最大值时，z有最小值，1515此时直线yxzA，32y14x3y30x3A,1，解得，2x6y90237z51则.22故选：D.4.等差数列1an项和为SS10a51，（）nn5732A.1D.2【答案】B【解析】SSa0a【分析】由【详解】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值.51081SSaaaaaa0a0，8567898第8共页8a51315d1473a1ad则等差数列的公差.n33故选：4)(4)5.已知双曲线的两个焦点分别为在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（D.）A.4322【答案】C【解析】【分析】由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得2a，即可得离心率.cP4、，F4F0,4【详解】设、12FFc86244262446，2，则，12122c2a842aPFPF1064e2.则12故选：ex2sinxyfx在6.设函数fx）1x2113212A.D.63【答案】A【解析】面积.ex2x1xe2sinx2x2xfx【详解】，1x22cos010e2sin002e00f03则，102y13xy=3x+1，即该切线方程为1x0y1x=-令y0，31131S故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.26故选：A.第9共页eesinx在区间[fxx7.2xx的大致图像为（）A.D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A、，代入x1f0，可排除D.esinxxeesinxfx，fxx【详解】2xex2xx又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、，1e1eπ6e111f11esin11esin又10，22e42e故可排除D.故选：π43（8.）32A.231231D.13【答案】B【解析】sintan【分析】先将【详解】因为1弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.sin3，331，，1tan3tan1tan231，1tan4故选：B.ax,2xx,b9.已知向量，则（）A.“x3”“ab”的必要条件“x3”是“a//b的必要条件“x0”是“ab”的充分条件D.“x13”“a//b”的充分条件【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对Aab时，则ab0，x(x2x0x0或3，即必要性不成立，故A错误；，解得x0a0,b0,2ab0，对ab，即充分性成立，故C正确；对a//b时，则2(xx2，解得x13，即必要性不成立，故B错误；13时，不满足2(xx2，所以a//b不成立，即充分性不立，故D错误.对Dx故选：10.设是两个平面，.下列四个命题：n是两条直线，且mn,nm//nn/n/或n//mnnmnn//m//n④若与和所成的角相等，则其中所有真命题的编号是（）A.D.【答案】A【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.n，因为m//n，mn//，【详解】对①，当nmn/，当，因为m//n，第共页n既不在m,mn/n//且，故①正确；当也不在内，因为m//n，n,对②，若mn与不一定垂直，故②错误；n分别作两平面与,st分别相交于直线和直线，对③，过直线n/n的平面与平面的交线为直线s，则根据线面平行的性质定理知，tn//s，，过直线s，同理可得n//ts//t，因为s//s平面，ms//m，又因为n//sm//n，故③正确；对④，若,n与和n/,n//所成的角相等，如果m//n，故④错误；综上只有①③正确，故选：A.9π在中内角,B,C所对边分别为a,b,cB，b2sinAsinC（）34373A.2D.222【答案】C【解析】13134sinAsinCa2c2ac，再利用正弦定理得到【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有2AC的值，最后代入计算即可.2941B,b2sinAsinCsin2B【详解】因为，则由正弦定理得.34939b2a2c2由余弦定理可得:，41313CsinAsinC13a2c2ac，根据正弦定理得sin2Asin2:，441274(sinAsinC)2sin2AsinC2sinAsinC2，7,C为三角形内角，则sinAsinC0sinAsinC.2故选：a,c+c=04y10,B的最小+x2y212.b是值为（）A.234D.25【答案】C【解析】c【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.a,b,cbac，cba++c=0得【详解】因为成等差数列，所以，代入直线方程x10x1axbyba0ax1by20得y2，y20，圆化为标准方程得：C:x2y2P2225，故直线恒过设圆心为C，画出直线与圆的图形，由图可知，当最小，r52222514.2，此时故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．101x的展开式中，各项系数的最大值是______．13.3【答案】5【解析】10r10r9r131r1CrC3【分析】先设展开式中第r1项系数最大，则根据通项公式有，进而求出r即r1131CrCr3可求解.10r1【详解】由题展开式通项公式为TCr10xr，0r且rZ，r1310r9r11r1CrC33设展开式中第r1项系数最大，则，10rr1131CrCr344rr44r，rZr8123C8105.所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为故答案为：5.3rr，则两个圆台21r1r22rr14.已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为和，母线长分别为和21V甲=______．的体积之比V乙6【答案】4【解析】【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解.222r3rr，rrr【详解】由题可得两个圆台高分别为h甲12121222r12h乙3rrrr22r，12121SSSShV甲3rr62121甲31甲12.V乙乙22rr4SSSSh乙12212136故答案为：.41152a______．15.a1，log8aloga4【答案】64【解析】a,4log2a来表示即可求解.【分析】将利用换底公式转化成8a11315a25a60，【详解】由题，整理得a2a4log2a22228alog2a1或log2a6a1，a626故答案为：64.16.有6个相同的球，分别标有数字12346，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记a622mn为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则mn12与差的绝对值不超过的概率是______．7【答案】【解析】a,bc，第三个球的号码为，则【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为ab3cab3c的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.A36【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有abcab12a,bc，第三个球的号码为设前两个球的号码为，32故故若c(a)332c(ab)3，ab3cab3，c1ab5a,b3,2，故有2a,b,1,4,,,3,4若c2，则1ab7，,,,,4,3，故有103ab9a,b当c31,2,1,4,,,2,4,2,5,2,6,4,5，，,,,,4,2,5,2,6,2,5,416当c45ab11，同理有167ab，同理有当c510当c69ab，同理有2122，mn共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为2567故所求概率为.120157故答案为：三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.150行检验，数据如下：优级品26合格品24不合格品50甲车间乙车间022702810015096521）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的优级品率存在差异？p0.5p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率pp)pp1.65150n生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）)22Kacdabd)kPK20.0503.8410.0106.6350.00110828k【答案】（）答案见详解2）答案见详解【解析】）根据题中数据完善列联表，计算K2，并与临界值对比分析；pp)2）用频率估计概率可得p，根据题意计算p，结合题意分析判断.n【小问1详解】根据题意可得列联表：优级品非优级品甲车间乙车间267024302K2，5096，所以有优级品率存在差异.【小问2详解】由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为，用频率估计概率可得p，p0.5又因为升级改造前该工厂产品的优级品率，p1p0.510.50.5则p1.650.51.650.51.650.568，n15012.247pp)pp1.65，n所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.4San4Snn18.记为数列项和，且n．na1）求的通项公式；n，求数列n项和为n．2）设n(n1nabnn1【答案】（）a4(nnT(2n31n2）n【解析】a）利用退位法可求2）利用错位相减法可求n的通项公式．n【小问1详解】4S4aa4a4，解得．1当n1111n24Sn1an144Sn4Sn14aaaaa即nn1当而，所以，nnn1anan1a40a03，1n3a4为首项，为公比的等比数列，nn1.43an【小问2详解】n(n1n4(3)n14nn1,Tbbbbn140833n312n123n故n43183212334n3nn44314324n14n3n31n1423n114n3n444n3n13(24n)32n(2n3n，n1.19.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC//AD,EF//AD2MED10,FB23为AD的中点．，，，1）证明：BM//；2）求二面角FE的正弦值．【答案】（）证明见详解；432）【解析】）结合已知易证四边形为平行四边形，可证，进而得证；交AD于O，连接，易证OB,OD,OF三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公（2）作式即可求解.【小问1详解】BC//AD,EFADMBC//MD,BCMD，为AD的中点，所以BM，又因为，四边形为平行四边形，所以；，所以【小问2详解】如图所示，作交AD于O，连接，//AD,2因为四边形为等腰梯形，，所以CD2，22，结合（1）为平行四边形，可得ABM为等边三角形，O为中点，所以3，EFMD,EF//又因为四边形为等腰梯形，M为AD中点，所以，四边形为平行四边形，FMEDAF，△为等腰三角形，ABM与△底边上中点O重合，23，22，所以OB,OD,OFBF2，所以互相垂直，2O以方向为x方向为方向为轴，建立yz空间直角坐标系，B3,0,3F0,33,0,0,M0,E2,30,，，，mx,y,z，13,2,3，设平面的法向量为11，nx,y,z222EMB的法向量为0m03113x3z0x13yz1m3,，则则即，11m0110n032y2x3yz1，222n03x2y3z0222mn1111433,3,1ncos,nmnsinm,n，1313131343故二面角FE的正弦值为.x22y223M在C上，且x20.设椭圆C:ab的右焦点为F2ab1）求C的方程；C的直线与P0,BN交直线Q两点，为线段FP，证明：2AQyx2y21【答案】（）432）证明见解析【解析】F,0，根据M的坐标及x轴可求基本量，故可求椭圆方程.AB:yk(x4)Ax,yBx,y,Byy1Q2，，的坐标表示，1122yy0AQy.结合韦达定理化简前者可得，故可证1Q【小问1详解】b232a2132F,0c1且a2b3，设，由题设有aax2y21.故椭圆方程为43【小问2详解】AB的斜率必定存在，设AB:yk(x4)Ax,yBx,y，2，，11222123x4y34kx32kx64k1202222由故，，yk(x4)11264kΔ1024k4434k22120k232k264k2又1x2,1x2，34k234k232y252y523y2225:yx252N,05yQ而，故直线，22212253y23y2yyy1Q1225225kx5422225kx41264k212232k225828225x21x251234k34kkkk225128k224160k34k222432k2，0225yyAQy故Q.1【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：x,y,x,y；21）设直线方程，设交点坐标为112xy2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于）的一元二次方程，注意的判断；3）列出韦达定理；xxxxyy1yy、）的形式；124）将所求问题或题中的关系转化为5）代入韦达定理求解.、1212221.已知函数fx1axln1xx．fx1）当a2时，求的极值；2）当x0fx0恒成立，求的取值范围．a【答案】（）极小值为0，无极大值.1a2）【解析】）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.2121aa0a0、分类讨论后可得参数的取值范围.2）求出函数的二阶导数，就【小问1详解】、2f(x)2x)x)x当a2，12x1x11x12x)1，故f(x)2x)11x1在y2xy上为增函数，故f(x)在上为增函数，而f(0)0，f(x)0x01x0f(x)0，x0fx在f00，无极大值.故处取极小值且极小值为【小问2详解】a1x1x11xfxa1xa1x1,x0，a1x1x设sxa1x,x0，ax1a1aa1a1sx则，x11x2221x1x12在上为增函数，asx0sx当sxs00fx0，故fxf00.fx在上为增函数，故12a1sx0，a00x当故时，当2a2a12a1sxsxs0上，在上为减函数，故在aa2a1fx0即fx为减函数，上a2a1上fxf00，不合题意，舍.asx0在上恒成立，a0当，此时fxf00恒成立，不合题意，舍；上同理可得在12a综上，.【