2025年高考数学一轮复习-9.3-随机事件的概率与古典概型-专项训练【含答案】

9.3-随机事件的概率与古典概型-专项训练1．为调查我校学生的用电情况，学校后勤部门抽取了100间学生宿舍在某月的用电量，发现每间宿舍的用电量都在50kW·h到350kW·h之间，将其分组为[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)为降低能源损耗，节约用电，规定：当每间宿舍的月用电量不超过200kW·h时，按每度0.5元收取费用；当每间宿舍的月用电量超过200kW·h时，超过部分按每千瓦时1元收取费用．用t(单位：kW·h)表示某宿舍的月用电量，用y(单位：元)表示该宿舍的月用电费用，求y与t之间的函数关系式；(2)在抽取的100间学生宿舍中，月用电量在区间[200，250)内的学生宿舍有多少间？2．某学校为了了解老师对“民法典”知识的认知程度，针对不同年龄的老师举办了一次“民法典”知识竞答，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．(1)根据频率分布直方图，估计这m人年龄的第75百分位数；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取40人，担任“民法典”知识的宣传使者．①若有甲(年龄23)，乙(年龄43)2人已确定人选宣传使者，现计划从第一组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人恰有一人被选上的概率；②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．3．某校设置了篮球挑战项目，现在从本校学生中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表：(1)根据条件完成下列2×2列联表：性别接受挑战情况合计愿意不愿意男生女生合计(2)根据2×2列联表，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析该校学生是否愿意接受挑战与性别有关；(3)挑战项目共有两关，规定：挑战过程依次进行，每一关都有两次机会挑战，通过第一关后才有资格参与第二关的挑战，若甲参加第一关的每一次挑战通过的概率均为12，参加第二关的每一次挑战通过的概率均为13，且每轮每次挑战是否通过相互独立．记甲通过的关数为X，求参考公式与数据：χ2＝nad−bc2a+bc+da+cb+d，n＝a＋α0.10.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8284．马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n＋1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n－1，n－2，n－3，…次状态是“没有任何关系的”．现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行n(n∈N*)次操作后，记甲盒子中黑球个数为Xn，甲盒中恰有1个黑球的概率为an，恰有2个黑球的概率为bn.求：(1)X1的分布列；(2)数列{an}的通项公式；(3)Xn的期望．5．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]分组，绘制频率分布直方图如图所示，试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及α＝0.05的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体．①用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p；②以①中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X.试验后统计数据显示，当X＝99时，P(X)取最大值，求参加人体接种试验的人数n.参考公式：χ2＝nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n＝a＋α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.8286．为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分；从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分．学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为34，各次答题(1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率；(2)记甲第i次答题所得分数Xi(i∈N*)的数学期望为E(Xi)．①写出E(Xi－1)与E(Xi)满足的等量关系式；②若E(Xi)>100，求i的最小值．参考答案1．解：(1)根据题意，得当50≤t≤200时，月用电费用为y＝0.5t；当t>200时，月用电费用为y＝200×0.5＋(t－200)×1＝t－100.综上，宿舍的月用电费用为y＝0.5t，(2)因为月用电量在[200，250)内的频率为50x＝1－(0.0060＋0.0036＋0.0024＋0.0024＋0.0012)×50＝1－0.0156×50＝0.22，所以月用电量在[200，250)内的宿舍有100×0.22＝22(间)．2．解：(1)不妨设第75百分位数为a，此时5×(0.01＋0.07＋0.06)＋(a－35)×0.04＝0.75，解得a＝36.25.(2)由条件可知，第一、二、三、四、五组应分别抽取2人，14人，12人，8人，4人．①第一组应抽取2人，记为A，甲，第五组抽取4人，记为B，C，D，乙，此时对应的样本空间为Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，甲)，(A，乙)，(B，C)，(B，D)，(B，甲)，(B，乙)，(C，甲)，(C，乙)，(C，D)，(D，甲)，(D，乙)，(甲，乙)}，共15个样本点，记“甲、乙两人恰有一人被选上”为事件M，此时M＝{(A，甲)，(A，乙)，(B，甲)，(B，乙)，(C，甲)，(C，乙)，(D，甲)，(D，乙)}，共8个样本点，则甲、乙两人恰有一人被选上的概率P(M)＝815②设第四组，第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为x，y，方差分别为s2，s′此时x＝36，y＝42，s2＝1，s′设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z，方差为s″2，此时z＝8x12+s″2＝8＝81+36−382故这m人中35～45岁所有人的年龄的方差为2833．解：(1)根据条件得2×2列联表如表所示．性别接受挑战情况合计愿意不愿意男生154560女生202040合计3565100(2)零假设为H0：该校学生是否愿意接受挑战与性别无关，根据列联表的数据，经计算得到χ2＝100×15×20−20×45235×65×60×40≈6.593<6.635＝依据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分理由证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为该校学生是否愿意接受挑战与性别无关．(3)记甲第i次通过第一关为Ai(i＝1，2)，第i次通过第二关为Bi(i＝1，2)，由题意得，X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝P(A1A2)＝12×P(X＝1)＝P(A1B1B2)＋P(A1A2B1B2)＝12×23×23＋P(X＝2)＝P(A1B1)＋P(A1B1B2)＋P(A1A2B1)＋P(A1A2B＝12×13＋12×23×13＋12×12×13＋12故X的分布列为X012P115所以E(X)＝0×14＋1×13＋2×5124．解：(1)由题可知，X1的可能取值为0，1，2．由相互独立事件概率乘法公式可知：P(X1＝0)＝13×23＝29，P(X1＝1)＝13×13+23故X1的分布列为X1012P252(2)由全概率公式可知：P(Xn＋1＝1)＝P(Xn＝1)·P(Xn＋1＝1|Xn＝1)＋P(Xn＝2)·P(Xn＋1＝1|Xn＝2)＋P(Xn＝0)·P(Xn＋1＝1Xn＝13×13+23×23P(Xn＝1)＋23＝59P(Xn＝1)＋23P(Xn＝2)＋23P(即an＋1＝59an＋23bn＋23(1－an－所以an＋1＝－19an＋2所以an＋1－35＝－1又a1＝P(X1＝1)＝59，a1－35＝－所以数列an−35为以－所以an－35＝－245·即an＝35(3)由全概率公式可得：P(Xn＋1＝2)＝P(Xn＝1)·P(Xn＋1＝2|Xn＝1)＋P(Xn＝2)·P(Xn＋1＝2|Xn＝2)＋P(Xn＝0)·P(Xn＋1＝2|Xn＝0)＝23×13·P(Xn＝1)＋13×1·P(Xn＝2)＋0×即bn＋1＝29an＋13b又an＝35所以bn＋1＝13bn＋2所以bn＋1－1＝13又b1＝P(X1＝2)＝29所以b1－15+1所以bn－15所以bn＝15所以E(Xn)＝an＋2bn＋0×(1－an－bn)＝an＋2bn＝1.5．解：(1)由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：在[0，20)内有0.0025×20×200＝10(只)；在[20，40)内有0.00625×20×200＝25(只)；在[40，60)内有0.00875×20×200＝35(只)；在[60，80)内有0.025×20×200＝100(只)，在[80，100]内有0.0075×20×200＝30(只)．由题意，有抗体且指标值小于60的有50只，而指标值小于60的小白鼠共有10＋25＋35＝70只，所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如表所示．抗体指标值合计小于60不小于60有抗体50110160没有抗体202040合计70130200零假设为H0：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联．根据列联表中数据，得χ2＝200×50×20−20×1102160×40×70×130≈4.945>3.841＝根据α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，以此推断犯错误的概率不大于0.05.(2)①令事件A＝“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B＝“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件C＝“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”，记事件A，B，C发生的概率分别为P(A)，P(B)，P(C)，则P(A)＝160200＝0.8，P(B|A)＝20P(C)＝1－P(AB)＝1－所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p＝0.9.②由题意，知随机变量X～B(n，0.9)，P(X＝k)＝Cnk×0.9k×0.1n－k(k＝0，1，2，…，因为P(X＝99)最大，所以C解得109≤n≤11019因为n是整数，所以n＝109或n＝110，所以接受接种试验的人数为109或110.6．解：(1)甲前3次答题得分之和为40分的事件A是：甲前3次答题中仅只答对一次的事件，所以甲前3次答题得分之和为40分的概率P(A)＝C31×(2)①甲第1次答题得20分，10分的概率分别为34，14，则E(X1)＝20×34＋10×1则E(X2)＝40×34×34＋20×14×34＋10×14＝1154，显然E(X2)＝220×34当i≥2，i∈N*时，甲第i－1次答题所得分数Xi－1的数学期望为E(Xi－1)，因此第i次答对题所得分数为2E(Xi－1)，答错题所得分数为10分，其概率分别为34于是甲第i次答题所