2025年高考数学一轮复习-8.6.1-双曲线的定义、方程与性质【导学案】

3/38.6.1-双曲线的定义、方程与性质双曲线的定义及应用【例1】（1）已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，｜PF1｜＝2｜PF2｜，则cos∠F1PF2＝；（2）已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的一动点，则｜PF｜＋｜PA听课记录解题技法双曲线定义的应用主要有两个方面1.已知动点M（x，y）满足（x+2）2＋y2－（xA.射线 B.直线C.椭圆 D.双曲线的一支2.双曲线x216－y29＝1的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过点F1的弦AB的长为5，那么△ABF2A.12 B.16C.21 D.26双曲线的标准方程【例2】（1）双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）过点（2，3），且离心率为A.x2－y23＝1 B.x23C.x2－y23＝1 D.x23（2）在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（－3，0），B（3，0），其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为（）A.x24－y25＝1（x＞2） B.x29－yC.x29＋y25＝1（0＜x＜2） D.x29＋y24听课记录解题技法求双曲线标准方程的两种方法（1）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程（组）并求出a，b，c的值；（2）定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.提醒求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1（mn＜0）求解.1.焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线y24－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是2.经过点P（3，27），Q（－62，7）的双曲线的标准方程为.双曲线的几何性质考向1双曲线的渐近线【例3】（1）已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的焦距为25，且实轴长为2，A.y＝±12x B.y＝±2C.y＝±5x D.y＝±52（2）（2022·全国甲卷14题）若双曲线y2－x2m2＝1（m＞0）的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m听课记录解题技法求双曲线渐近线方程的方法（1）求双曲线中a，b的值，进而得出双曲线的渐近线方程；（2）求a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程；（3）令双曲线标准方程右侧为0，将所得代数式化为一次式即为渐近线方程.提醒两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴，y轴对称.考向2双曲线的离心率【例4】（1）（2021·全国甲卷5题）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，｜PF1｜＝3｜PF2｜，则C的离心率为（）A.72 B.C.7 D.13（2）（2022·全国甲卷15题）记双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点听课记录解题技法求双曲线离心率的两种方法1.设F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若｜PF1｜＋｜PF2｜＝4a，且∠F1PF2＝60°，A.3x±y＝0 B.2x±7y＝0C.3x±2y＝0 D.2x±3y＝02.已知点F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2A.（1，2） B.（1，1＋2）C.（2，＋∞） D.（1＋2，＋∞）3.（多选）已知双曲线C：x22－y2＝λ（λ＜0），则（A.双曲线C的实轴长为定值 B.双曲线C的焦点在y轴上C.双曲线C的离心率为定值 D.双曲线C的渐近线方程为y＝±22参考答案与解析双曲线的定义及应用【例1】（1）已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，｜PF1｜＝2｜PF2｜，则cos∠F1PF2＝34（2）已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的一动点，则｜PF｜＋｜PA｜的最小值为解析：（1）∵由双曲线的定义有｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝22，∴｜PF1｜＝2｜PF2｜＝42，则cos∠F1PF2＝｜PF1｜2（2）因为F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，所以F（－4，0），设其右焦点为H（4，0），则由双曲线的定义可得｜PF｜＋｜PA｜＝2a＋｜PH｜＋｜PA｜≥2a＋｜AH｜＝4＋（4－1）2＋（0解题技法双曲线定义的应用主要有两个方面1.已知动点M（x，y）满足（x+2）2＋y2－（xA.射线 B.直线C.椭圆 D.双曲线的一支解析：A设F1（－2，0），F2（2，0），由题意知动点M满足｜MF1｜－｜MF2｜＝4＝｜F1F2｜，故动点M的轨迹是射线，故选A.2.双曲线x216－y29＝1的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过点F1的弦AB的长为5，那么△ABF2A.12 B.16C.21 D.26解析：D依题意知｜AF2｜－｜AF1｜＝2a＝8，｜BF2｜－｜BF1｜＝2a＝8，∴（｜AF2｜－｜AF1｜）＋（｜BF2｜－｜BF1｜）＝16，又｜AB｜＝5，∴｜AF2｜＋｜BF2｜＝16＋（｜AF1｜＋｜BF1｜）＝16＋｜AB｜＝16＋5＝21.∴｜AF2｜＋｜BF2｜＋｜AB｜＝21＋5＝26.即△ABF2的周长是26.故选D.双曲线的标准方程【例2】（1）双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）过点（2，3），且离心率为A.x2－y23＝1 B.x23C.x2－y23＝1 D.x23（2）在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（－3，0），B（3，0），其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为（）A.x24－y25＝1（B.x29－y25＝1（C.x29＋y25＝1（0＜D.x29＋y24＝1（0＜答案：（1）A（2）A解析：（1）因为e＝ca＝2，所以c＝2a，b＝c2－a2＝3a，则双曲线的方程为x2a2－y23a2＝1，将点（2，3）的坐标代入双曲线的方程，得2a2－33a2＝1a2（2）如图，设△ABC与圆的切点分别为D，E，F，则有｜AD｜＝｜AE｜＝5，｜BF｜＝｜BE｜＝1，｜CD｜＝｜CF｜，所以｜CA｜－｜CB｜＝5－1＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，所以顶点C的轨迹方程为x24－y25＝1（x解题技法求双曲线标准方程的两种方法（1）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程（组）并求出a，b，c的值；（2）定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.提醒求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1（mn＜0）求解.1.焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线y24－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是x25－解析：设所求双曲线的标准方程为y24－x2＝－λ（λ＞0），即x2λ－y24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ2.经过点P（3，27），Q（－62，7）的双曲线的标准方程为y225－x2解析：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1（mn＜0），因为所求双曲线经过点P（3，27），Q（－62，7），所以9m+28n=1，72m双曲线的几何性质考向1双曲线的渐近线【例3】（1）已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的焦距为25，且实轴长为2，则双曲线CA.y＝±12x B.y＝±2C.y＝±5x D.y＝±52（2）（2022·全国甲卷14题）若双曲线y2－x2m2＝1（m＞0）的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝解析：（1）由题意可知，2c＝25，2a＝2，所以c＝5，a＝1，所以b＝c2－a2＝2，则ba＝2.故该双曲线C（2）双曲线的渐近线方程为x±my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0的方程可化为x2＋（y－2）2＝1，则圆心坐标为（0，2），半径r＝1.∵双曲线的渐近线与圆相切，∴圆心到渐近线的距离d＝｜0±2m｜1+m2＝1解题技法求双曲线渐近线方程的方法（1）求双曲线中a，b的值，进而得出双曲线的渐近线方程；（2）求a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程；（3）令双曲线标准方程右侧为0，将所得代数式化为一次式即为渐近线方程.提醒两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴，y轴对称.考向2双曲线的离心率【例4】（1）（2021·全国甲卷5题）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，｜PF1｜＝3｜PF2｜，则C的离心率为（A）A.72 B.C.7 D.13（2）（2022·全国甲卷15题）记双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值2（答案不唯一，（1，解析：（1）设｜PF2｜＝m，｜PF1｜＝3m，则｜F1F2｜＝m2+9m2－2×3m×m×cos60°＝7m，所以C的离心率（2）双曲线C的渐近线方程为y＝±bax，若直线y＝2x与双曲线C无公共点，则2≥ba，∴b2a2≤4，∴e2＝c2a2＝1＋b2a2≤5，又e＞1，∴e∈（1，5解题技法求双曲线离心率的两种方法1.设F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若｜PF1｜＋｜PF2｜＝4a，且∠F1PF2＝60°，A.3x±y＝0 B.2x±7y＝0C.3x±2y＝0 D.2x±3y＝0解析：C∵F1，F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，∴由双曲线的定义可得｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，又知｜PF1｜＋｜PF2｜＝4a，∴｜PF1｜＝3a，｜PF2｜＝a.在△PF1F2中，由余弦定理的推论可得cos60°＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2−|F1F2｜22｜PF1｜·｜PF2｜，即12＝（3a）2＋a2－4c22×3a×a，∴3a22.已知点F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2A.（1，2） B.（1，1＋2）C.（2，＋∞） D.（1＋2，＋∞）解析：B依题意，得0＜∠AF2F1＜π4，故0＜tan∠AF2F1＜1，则b2a2c＝c2－a22ac＜1，即e－1e＜2，e2－2e－1＜0，（e－1）2＜2，又3.（多选）已知双曲线C：x22－y2＝λ（λ＜0），则（A.双曲线C的实轴长为定值B.双曲线C的焦点在y轴上C.双曲线C的离心率为定值D.双曲线C的渐近线方程为y＝±22解析：BCD对于A、B，由双曲线C：x22－y2＝λ（λ＜0），整理可得y2－λ－x2－2λ＝1（λ＜0），所以双曲线的焦点在y轴上，且a2＝－λ，b2＝－2λ（λ＜0），实轴长不是定值，所以A错误，B正确；对于C，离心率e＝ca＝1+b2a2＝3为定值，C正确；对于1.方程x22+m－y21－m＝1表示双曲线A.－2＜m＜1B.m＞1C.m＜－2 D.－1＜m＜2解析：A因为方程x22+m－y21－m＝1表示双曲线，所以（2＋m）（1－m）＞0，即（m＋2）（m－1）＜0，解得－2.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0），离心率e＝2，A.y＝2x B.y＝3xC.y＝±2x D.y＝±3x解析：Dba＝c2－a2a2＝e2－1＝33.若双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）满足ba＝52，且与椭圆x212＋A.x24－y25＝1 B.C.x25－y24＝1 D.解析：A由题意可得椭圆的焦点坐标为（－3，0），（3，0），则在双曲线C中，有ba＝52，c=3，c4.已知点A（0，2），B（0，－2），C（3，2），若动点M（x，y）满足｜MA｜＋｜AC｜＝｜MB｜＋｜BC｜，则点M的轨迹方程为（）A.y2－x23＝1 B.y2－x23＝1（C.x2－y23＝1 D.x2－y23＝1（解析：B设M（x，y），因为｜MA｜＋｜AC｜＝｜MB｜＋｜BC｜，故｜MA｜＋3＝｜MB｜＋32＋[2−(−2）]2，即｜MA｜－｜MB｜＝2＜4.故点M（x，y）的轨迹是以A（0，2），B（0，－2）为焦点的双曲线的下支，且a＝1，c＝2.故b2＝c2－a2＝3.故方程为y2－5.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A是圆O：x2＋y2＝c2上一点，线段F2A交双曲线C的右支于点B，｜F2A｜＝a，F2A＝3A.62 B.C.362 解析：A如图，由题意可知｜F2B｜＝a3，｜AB｜＝2a3，由双曲线的定义可知｜BF1｜＝a3＋2a＝7a3，易得∠F1AF2＝90°，则在△ABF1中，由勾股定理可得｜AF1｜＝5a，在Rt△AF1F2中，（5a）2＋a2＝（2c）2，所以6.（多选）已知双曲线C的方程为x216－y29＝1，A.双曲线C的实轴长为8B.双曲线C的渐近线方程为y＝±34C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为3D.双曲线C上的点到焦点距离的最小值为9解析：ABC因为a2＝16，所以a＝4，2a＝8，故A正确；因为a＝4，b＝3，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±bax＝±34x，故B正确；因为c＝a2＋b2＝16+9＝5，所以焦点坐标为（－5，0），（5，0），焦点（5，0）到渐近线3x－4y＝0的距离为｜15｜32＋(−4）2＝3，故C7.双曲线y2m－x2n＝1（m＞0，n＞0）的渐近线方程为y＝±22x，实轴长为2，则m－n＝解析：因为双曲线的实轴长为2m，所以2m＝2，所以m＝1，又渐近线方程为y＝±22x，所以mn＝22，解得n＝2，所以m－n8.试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为y＝±2x的双曲线方程为x2－y24＝1（答案不唯一）解析：因为渐近线方程为2x±y＝0，设双曲线方程为4x2－y2＝λ，λ≠0，所以双曲线的方程可以为x2－y29.设双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，如图所示，直线l：x＝a2c与两条渐近线交于P，Q两点，N为PQ的中点，如果△PQF是直角三角形解析：由题意知右焦点F（c，0），直线l：x＝a2c，渐近线y＝±bax.联立x＝a2c，y＝±bax，可得P（a2c，abc），Q（a2c，－abc），∴｜FP｜＝｜FQ｜，即△PQF是等腰三角形.∵△PQF是直角三角形，∴∠PFQ＝90°，N为PQ的中点，∴｜PN10.中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且｜F1F2｜＝213，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.（1）求这两个曲线的方程；（2）若P为这两个曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值.解：（1）由已知c＝13，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a，b，双曲线的实半轴长、虚半轴长分别为m，n.则a解得a＝7，m＝3，所以b＝6，n＝2.所以椭圆的方程为x249＋y236＝1，双曲线的方程为（2）不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则｜PF1｜＋｜PF2｜＝14，｜PF1｜－｜PF2｜＝6，所以｜PF1｜＝10，｜PF2｜＝4，又｜F1F2｜＝213，所以cos∠F1PF2＝｜PF1｜211.如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为1033，下底座外直径为239A.22π B.3πC.23π D.4π解析：C该金杯主体部分的上口外直径为1033，下底座外直径为2393，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，可设M（533，2m），N（393，－m），代入双曲线方程可得253a2－4m2b2＝1，133a2－m2b2＝1，即2512a2－m2b2＝112.（多选）双曲线C：x24－y22＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是A.双曲线C的离心率为6B.双曲线y24－x28C.若PO⊥PF，则△PFO的面积为2D.｜PF｜的最小值为2解析：ABC因为a＝2，b＝2，所以c＝a2＋b2＝6，所以e＝ca＝62，故A正确；双曲线y24－x28＝1的渐近线方程为y＝±22x，双曲线C的渐近线方程为y＝±22x，故B正确；因为PO⊥PF，点F（6，0）到渐近线2x－2y＝0的距离d＝｜2×6｜6＝2，所以｜PF｜＝2，所以｜PO｜＝（6）2−(2）2＝2，所以△PFO的面积为12×2×2＝13.已知双曲线x216－y24＝1的左、右焦点分别为F1（1）若点M在双曲线上，且MF1·MF2＝0，求点M（2）若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点（32，2），求双曲线C的方程.解：（1）不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，∵MF1·MF2＝0，∴MF1设｜MF1｜＝m，｜MF2｜＝n，由双曲线的定义知m